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12/07/2013

Universidad Católica de El Salvador Facultad de Ingeniería y Arquitectura Programación I, Sección A Docente: Ma. Ing. Giovanni Acosta

Objetivos: • Conocer el concepto de sistema de numeración. • Identificar los tipos de sistemas de numeración. • Realizar conversiones entre las bases de numeración más comunes.

NÚMERO VS. NUMERAL Un número es una entidad abstracta que representa una magnitud. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.

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¿QUÉ ES UN SISTEMA DE NUMERACIÓN? Un sistema de numeración es la combinación de un conjunto de símbolos y reglas para representar, o nombrar, números o cantidades.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Posicionales: el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

Ejemplo:

97510

Sistemas de numeración No-posicionales: los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupan en el número.

Ejemplo:

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¿QUÉ NÚMERO O CANTIDAD REPRESENTA?

Sistemas de numeración no posicionales

¿QUÉ NÚMEROS QUEREMOS REPRESENTAR?

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¿QUÉ NÚMERO QUEREMOS REPRESENTAR CON LA SIGUIENTE TIRA DE SÍMBOLOS?

¿Será correcto lo anterior?

CLARO EL NÚMERO REPRESENTA…

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CLARO EL NÚMERO REPRESENTA…

La interpretación depende del valor de cada símbolo, y de la posición que ocupa.

SISTEMA NUMÉRICO DECIMAL En el sistema decimal, la posición de cada símbolo lo relaciona con una potencia de 10.

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS NÚMEROS Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración posicional con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.

N es el valor de la cantidad que queremos expresar en el sistema de numeración decimal, k es el número de dígitos de la parte entera del número. j es el número de dígitos de la parte fraccionaria del número. B es la base del sistema de numeración en que está expresado el número.

SISTEMAS NUMÉRICOS Un sistema numérico consiste de un conjunto ordenado de símbolos, llamados dígitos, con relaciones definidas entre ellos:  Suma (+)  Resta (-)  División (/)  Multiplicación (*)

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DEFINICIÓN La base r en un sistema numérico, define el número de dígitos del sistema numérico.

Ejemplos: Base r

Número de dígitos

Dígitos

10

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

8

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2

2

0, 1

NOTACIÓN YUXTAPOSICIONAL En general un número N, en base r, se puede representar en notación yuxtaposicional (posicional) de la siguiente manera:

Una yuxtaposición consiste en poner un símbolo al lado de otro, y al final poner un subíndice de la base: 1068

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NOTACIÓN POLINOMIAL Un número N escrito en representación yuxtaposicional, puede ser escrito en forma polinomial, de la siguiente manera:

Se representa la cantidad usando un polinomio. Se puede omitir los ceros. La representación polinomial de 410710 es: 4 x 103 + 1 x 102 + 0 x 101 + 7 x 100 = 410710

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales • Decimal • Binario • Octal • Hexadecimal

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SISTEMA DECIMAL Sistema de numeración que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. Donde la Base a que usa es la 10.

Por ejemplo el número 52810 significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades 500 + 20 + 8, en notación polinomial: 5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 = 52810

SISTEMA BINARIO Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), donde estos tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. Usando la potencia de base 2.

Por ejemplo el número 1012 en notación polinomial: 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1012

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CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO Para convertir un número decimal al sistema binario, se puede realizar el siguiente procedimiento: Realizar divisiones sucesivas entre 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar el número binario se toman los restos en orden inverso al que han sido obtenidos (de mayor a menor peso).

CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO 249 2 1

124 0

a0 a1

2 62

2

0

31

2

1

15

a2

1

a3 a4

2 7

2

1

3

2

1

1

2

1

0

a5 a6

a7

10


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PENSANDO EN BINARIO

EJERCICIOS Convertir las siguientes cantidades de decimal a binario: 1. 57 2. 89 3. 135

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SISTEMA OCTAL En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

La conversión de un número decimal a octal, se realiza de la misma manera que la conversión a binario, la diferencia es que se emplea como base el número 8 en lugar del 2, colocando los restos obtenidos en orden inverso (de mayor a menor peso).

CONVERSIÓN DECIMAL A OCTAL 249 8 1

31

7

a0 a1

8 3

8

3

0

a2

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EJERCICIOS Convertir las siguientes cantidades de decimal a octal: 1. 79 2. 134 3. 456

SISTEMA HEXADECIMAL En este sistema, los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

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SISTEMA HEXADECIMAL

CONVERSIÓN DECIMAL A HEXADECIMAL 876 16 C

54

6

a0 a1

16 3

16

3

0

a2

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EJERCICIOS Convertir las siguientes cantidades de decimal a hexadecimal: 1. 1345 2. 874 3. 911

INVESTIGAR ¿Cómo convertir de binario a decimal, octal a decimal y hexadecimal a decimal? ¿Cómo convertir de binario a hexadecimal? ¿Cómo convertir entre cualquier base de numeración?

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Prg1 clase2