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OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 2,5 puntos.

Sea la matriz

(

3 0 m A= −5 m −5 m 0 3

)

a) (1 punto) Determina los valores de b) (1,5 puntos) Para

m

para los que la matriz

m=−2, resuelve la ecuación matricial

A−2I

tiene inversa.

AX =2X + I.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

{

( 2m +2 ) x + my+2z=2m−2 2x + ( 2−m ) y=0 ( m+1 ) x + ( m+1 ) z =m−1

a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de

m.

b) (0,5 puntos) Resolverlo para el caso

m=1.

c) (0,5 puntos) Resolverlo para el caso

m=2.

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2,5 puntos. Sea

rA

la recta con vector director

( 1, α , 1 ) que pasa por el punto

vector director (1,1,1) que pasa por B(1,-2,3), y por

C(4,1,-3). Se pide:

rC

A ( 1,2,1 ) , r B

la recta con

la recta con vector director (1,1,-2) que pasa


a) (1 punto) Hallar

α

r A y r B se corten.

para que las rectas

α

b) (1,5 puntos) Halla

para que la recta

rA

sea paralela al plano definido por

r B y rC . Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos. Dados los puntos A(1,3,-1), B( a,2,0), C(1,5,4) y D(2,0,2), se pide: a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano. b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices A, B, C y D tenga volumen igual a

3

7u .

OPCIÓN B

Ejercicio 1. Calificación máxima: 2,5 puntos. Dada la matriz

(

A= α +1 0 1 −1

)

a) (1, 25 puntos) Determina los valores de

α

para los cuales la matriz

2

A +3A

no tiene

inversa. b) (1,25 puntos) Para

α=0 , halla la matriz

X

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

{

( 2m+2 ) x + my+2z=2m−2 2x + ( 2−m ) y=0 ( m+1 ) x + ( m+1 ) z =m−1

d) (2 puntos) Discutirlo según los valores de

m.

e) (0,5 puntos) Resolverlo para el caso

m=1.

f)

m=2.

(0,5 puntos) Resolverlo para el caso

que verifica la ecuación

AX + A=2I.


Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos. Considera los puntos A(1,0,-1) y B(2,1,0), y la recta

{

r : x + y=1 x+ z=2

a) (1 punto) Determina la ecuación del plano que es paralelo a

r

y pasa por A y B.

b) (1 punto) Determina si la recta que pasa por los puntos P(1,2,1) y Q(3,4,1) está contenida en dicho plano.

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2,5 puntos. a) (1,25 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas

r 1 : x= y=z

{

r 2 : y=0 z=0

{

r 3 : x=0 z =0

con el plano

25 puntos) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

{

s : x−3y−5=0 x−3z−8=0

π : 2x+3y +7z=24. x y−1 z−2 r: = = 1 −1 2

b) (1,

y


Simulacro pau 1ª evaluación