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´ UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOE) Curso 2009-2010 ´ MATERIA: MATEMATICAS II ´ INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION El alumno contestar´a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios de la otra opci´on. En cualquier caso, la caliďŹ caci´on se har´a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gr´aďŹ cas. CaliďŹ caci´ on total m´ axima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media. ´ A OPCION Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos. ÂŻ ÂŻ ÂŻ 1 2 3 ÂŻ ÂŻ ÂŻ Sabiendo que ÂŻÂŻ 6 0 3 ÂŻÂŻ = 3 , y utilizando las propiedades de los determinantes, calcular: ÂŻ đ?›ź đ?›˝ đ?›ž ÂŻ ⎛ ⎞4 2 4 6 a) (1 punto) El determinante de la matriz âŽ? 6 0 3 ⎠, đ?›ź đ?›˝ đ?›ž ÂŻ ÂŻ ÂŻ ÂŻ ÂŻ 10 20 30 ÂŻ ÂŻ 3đ?›ź + 2 3đ?›˝ + 4 3đ?›ž + 6 ÂŻ ÂŻ ÂŻ ÂŻ ÂŻ 0 1 ÂŻÂŻ , 2đ?›˝ 2đ?›ž ÂŻÂŻ . b) (1 punto) ÂŻÂŻ 2 c) (1 punto) ÂŻÂŻ 2đ?›ź ÂŻ 3đ?›ź 3đ?›˝ 3đ?›ž ÂŻ ÂŻ đ?›ź+6 đ?›˝ đ?›ž+3 ÂŻ on m´ axima: 3 puntos. Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ Dada la recta: đ?‘&#x;≥

đ?‘Ľ+1 đ?‘Śâˆ’2 đ?‘§+1 = = −2 1 3

y el punto đ?‘ƒ (2, 0, −1), se pide: a) (1 punto) Hallar la distancia del punto đ?‘ƒ a la recta đ?‘&#x;. b) (2 puntos) Hallar las coordenadas del punto đ?‘ƒ ′ sim´etrico de đ?‘ƒ respecto de la recta đ?‘&#x;. Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. Hallar: [√ 3

a) (1 punto)

l´Ĺm

đ?‘Ľâ†’+∞

3 + 5đ?‘Ľ − 8đ?‘Ľ3 1 + 2đ?‘Ľ

]25 .

( )2/�3 . b) (1 punto) l´Ĺm 1 + 4�3 �→0

Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. Dada la funci´on đ?‘“ (đ?‘Ľ) = ln(đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ − 5), donde ln signiďŹ ca logaritmo neperiano, se pide: a) (1 punto) Determinar el dominio de deďŹ nici´on de đ?‘“ (đ?‘Ľ) y las as´Ĺntotas verticales de su gr´aďŹ ca. b) (1 punto) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de đ?‘“ (đ?‘Ľ).


´ B OPCION Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos. Dadas las funciones:

đ?‘Ś = 9 − đ?‘Ľ2 ,

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 1 ,

se pide: a) (1 punto) Dibujar las gr´aďŹ cas de las dos funciones identiďŹ cando el recinto acotado por ellas. b) (1 punto) Calcular el ´area de dicho recinto acotado. c) (1 punto) Hallar el volumen del cuerpo de revoluci´on obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto acotado por la gr´aďŹ ca de đ?‘Ś = 9 − đ?‘Ľ2 y el eje OX. Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos. Dados el plano đ?œ‹ ≥ 2đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ś + 4đ?‘§ + 25 = 0 y la recta: đ?‘&#x; ≥đ?‘Ľ+1=

đ?‘Śâˆ’1 đ?‘§+3 = 2 5

se pide: a) (1 punto) Calcular los valores de đ?‘Ž para los que la recta đ?‘&#x; est´a contenida en el plano đ?œ‹. b) (1 punto) Para el valor đ?‘Ž = −2, hallar el punto (o los puntos) que pertenecen a la recta perpen√ dicular a đ?œ‹ que pasa por đ?‘ƒ (−3/2, 0, −11/2), y que dista (o distan) 6 unidades de đ?œ‹. c) (1 punto) Para đ?‘Ž = −2, halla el seno del ´angulo que forman đ?‘&#x; y đ?œ‹. Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. Se considera el sistema de ecuaciones: ⎧ đ?‘šđ?‘Ś ⎨ 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ?‘Ś ⎊ 5đ?‘Ľ + (đ?‘š + 1)đ?‘Ś

+ 3đ?‘§ − 2đ?‘§ + đ?‘§

= 3, = 0, = 9.

Se pide: a) (1’5 puntos) Discutir el sistema seg´ un los valores de đ?‘š. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para el caso đ?‘š = 0. Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. ⎛ ⎞ 1 đ?‘Ž 1 Dada la matriz đ??´ = âŽ? 0 1 0 ⎠estudiar para qu´e valores de đ?‘Ž tiene inversa y calcularla siempre 0 1 đ?‘Ž que sea posible.


´ MATEMATICAS II ´ CRITERIOS ESPEC´ IFICOS DE CORRECCION

´ A OPCION

Ejercicio 1. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. Ejercicio 2. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 1 punto. Resoluci´on, 1 punto. Ejercicio 3. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. Ejercicio 4. a) Por determinar el dominio, 0,5 puntos. Por cada as´Ĺntota, 0,25 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

´ B OPCION

Ejercicio 1. a) Por dibujar las gr´aďŹ cas, 0,5 puntos. Por determinar los puntos de corte, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. Ejercicio 2. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. Ejercicio 3. a) Por encontrar el valor đ?‘š = −3/2: 0,5 puntos. Discusi´on de cada caso: 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. Ejercicio 4. Por determinar el valor de đ?‘Ž: 1 punto, repartido en: Planteamiento, 0,5 puntos; Resoluci´on, 0,5 puntos. Por calcular la inversa: 1 punto, repartido en: Planteamiento, 0,5 puntos; Resoluci´on, 0,5 puntos.

Junio 2010 bis  
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