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Ejercicios para aprender a derivar: Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación. If(x) = k

~

f'(x) ==

01

If(x) == ax ~ f'(x) ==

n

al

If(x) == u(x) + v(x) -7 f'(x) == u'+v'

f(x) == ax ~ f'(x) == a

Ejemplos: f(x)==4~f'(x)==0

f(x)=x~f'(x)=l

f(x):::: 3x 2 ~ f'(x)

f(x)

= 6x

= x 4 + 4 ~ f'(x):::: 4x 3 9

f(x)

= 3x

5

3

4

_x -7 f'(x) == 15x -3x

7

8

6

, x x 9x 7x f(x)=-;¡- J5~f(x)==7- J5

2

Ejercicios: 10 Derive las siguientes funciones polinómicas: 4

a) f(x) == x 3 +5x 20 + 2x d) f(x)

b) f(x)

x + 7x 4 5

e)f(x)

6x +5x 2 +5

c) f(x):::: x -3x 4 5

f) f(x)==4x +x 3 +4

7

4

x h) f(x):::: -+ x 5 2X2 4 k) f(x):::: _x-2

1) f(x) == x-4

n) f(x)

ñ)

a) f'(x):::: 3X2 + 100X 19 + 2

1 ' b) f'(x) == -+28x' 5

c) f'(x):::: x3_i 4

d) f'(x)

e) f'(x):::: 42x 6 + 10x

f) f'(x):::: 20x 4 +3x 2

j) f'(x)=-2x- 3 -20x-6

= x 3 +5x4 4x k) f'(x):::: _x-2 + 2x-3

i) f'(x) 1) f'(x)

m) f'(x)=-5x- 2

n) f'(x) ==

g) f(x)

j) f(x) = x-2 + 4x- 5 m) f(x)

5

x

+

4

5

i) f(x):::: 1fX 2 + J3x 3

+ 2x-3

f(x)::::~+-kx

x

Sol:

2x 5

g) f'(x) == 5x -15x

4

h) f'(x)

P +if;.:

e) f(x) = -2V

e) f(x)::::3x 1l3 +4 x I/ 4

+W

f) f(x)

Sol:

~X-l/3 + 5X 1/ 4

a) f'(x)= 35 X1l4 +4x- 1I2 4

b) f'(x)

e) f'(x) = _X-2/3 +

x- 4 !5 d) f'(x)==l+-­ 5

4X- 517 2X-7/9 e) f'(x):::: - - - + - -

7

9

3

X-119/120

f) f'(x)::::

-4x- s -6x-4

ñ) f'(x):::: -2x-3 - IOx- 1I

- IOx-3

Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones: a) f(x) 7X5/4_8xJl2 b) f(x)==x 2 !3 +4x 5 !4 d) f(x) =

= 21fx + 3J3x 2

120

~V~if;.:


Derivación de potencias de funciones Reglas de derivación:

r

Ejemplos:

f(x) = (X2 +X)3 ~ f'(X) = (6x+3)(x 2 + x f(x) = (3x + x 2yoo ~ f'(X) = 100(3 + 2x)(3x+ X2)99

f(x) :::: (X 3 + X2 + 1)6 ~ f '(x) = 6 o(3x 2 + 2x)o(x 3+ X2 + 1)5

f(x) = (4x 3 + 5x 2 + 7)15 ~ f'(x) 15 o(12x 2 + lOx)o(4x 3 + 5x 2 + 7)15

f(x) f( x) =

(X5 +4x3 +6t 15{5x4 + 12x2){x5 +4x3 + 6t 8 ~ f'(x) = 8

4

r

(2x 3 -2

(X3 _2X)3

+

5

~ f'(x)

=

3{3x2 _2){X3 -2x 4

r

6{ 6x 2 )(2x 3 -2

+

5

f

Ejercicios: 3° Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f(x)=(x+l)7

(x

4_ 3X 2)2

d)

f (x) =-'-----.:-

g)

f

j)

3

( 2X 3 + 7 x

(x)

r

Sol: a) f'(x)

= (x 2 +3x+5)3

c) f(x)

e) f(x)

= (4X 7 / 2 + 3)../5

f) f(x) = (x 2

k)

5/2

f

(x)

l' (x) :::: ,J5(14x 5 / 2 )(4x 7 /2 + 3) )5-1 -5{ 6X2 + 7)( 2X3 + 7x

= 8(6 X5 + 12X3 -

5)( X

6

3

4

5)7

5(20x 3 - 6x-3 )o(5x + 3X-2 )4 5 ( 5X2 = 2{10x-3)'

3x)3/2

3(2x+3)(x 2 +3x+5)2

d) f'(x)

%( 4x

3

6x)( x

4

-

3x 2 )

t

h) f'(x) = 7( 6X2 -12x-S )( 2X3 + 3x-4 + 2

+ X - X

12

b) f'(x)

f) f'(x) :::: e(2x - 1l'X JT - 1 )(x 2 - x JT )e-l

r

4

m) f'(x)

f

J

e)

k) f'(x)

)"

n) f(x):::: ( 4x 6 -x )7/3

f'(X)~4(h3F3x't; +F3x'

') f'() X

Jr

= -'---1-2--'­

e)

1

x

(5x 4 +3x-2

7(x+ 1)6

g) f'(x)

-

h) f(x)::::(2x 3+3x-4+2f

f (x) :::: -'---7----'-

m) f(x):::: ( 5X2 - 3x )

= ~7+ J3x3J4

b) f(x)

6 o(3x + 14x)·(x3 + 7X2 _5)5 7 2

j) f'(x)

-2){¡+ x 1 )2 x

, 9{ 1 1) f (x)=S ¡-x


Derivación de raíces cuadradas y raíces de orden superior Reglas de derivación:

Ejemplos:

f(x)

Ejercicios: 4° Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f(x) ~ b) f(x) = W¡'-x3-+-¡-0-x d) g)

f(x)=~x+x2 +x 3 f(x) = ~¡ + 'JJx

h) f(x) =?j x 5 +-rx

3~(2x+4)2

d) f'(x)

+ e) f'(x)

f) f(x)

= 1Fx +3x

i) f(x)

JxM

1) f(x)

1<fx2+1+7

1

x

e) f'(x)

¡;z;j

3x 2 + 10 b) f'(x)=-r====

2

a) f'(x)

1+2x+3x 2

=---¡====

10

3'~(10x)2

f)

f

'(x)

=::

---¡======

4'~( Fx + ~10x)3

g) f'(x)

1

1

2~1 + 'JJx

39[;2

7

s'if¡ 2x

k) f'(x)

f(x)=V-rx+~

~x+Fx+'JJx

j)f(x) Sol:

i) f'(x)

e)

e) f(x)

=

h) f' (x)

= ----¡:========::==


p

Derivaci贸n de producto de funciones Re las de derivaci贸n. f(x) = uv ~ f'(x)

= u'v + v'u

If(x)

= u(v(x)) ~ f'(x) = u'(v(x))v'(x) I

Ejemplos: f(x)

= (X2 -1)(x+ 1)~f'(x) = 2x(x -1)+ (X2 -1)

f(x) = (x+ 4X2){X + 1) ~ f'(x) = (1 +8x)(x+ 1) + (x+ 4x 2)

f(x)

= (x+ x7 r (X2

-Ir ~

f'(x)

f (X2 -Ir +14x(x2 -Ir (x+x7r

= 5 (I+7x 6 )(x+x7 o

Ejercicios: 5掳 Derive las siguientes funciones: b) f(x)=x 2(7x 7 +8)

= (x 2 -1)(x -1)

a) f(x)

e) f(x)=(X 2 )3(X+I)

d) f(x)=(x-l)-l(x+l)

f(X)=(~+IJ(~J

e)

1) f(x) = (x 2 - 3f5 (x- X2)

g) f(x) = (x- l - 2)-2(1 + x2)

i) f(x)

= x(x _1)2 (x -

h) f(x)

= (x 2 + x)(x + 2x 2 )(x + 1)

k) f(x)=J;+l:Vx-l

3

7

2)3

j) f(x)=(x +7x)(x +5x 1)

2

)

f(x)=x~~(x+l)4

Sol: 2 a) f'(x)=2x(x-l)+(x -1)

b) f'(x)=2x(7x 7 +8)+49x 8

e) f'(x)=6x 5 (x+l)+x 6

d) f'(x)=-(x-l)-2(x+l)+(x-l)-1

e)

J'(X)~~(~+ln~r +4(~+ln~r

1) f'(x)

= -10x(x 2 -3f6 (x-x 2)+(1-2x)(x 2 -3f5

g) f'(x) =2x-2 (x- l - 2)-3 (1 + x2) + 2x(x- 1 - 2)-2

h) f'(x) = (x-l)2(x-2)3 +2x(x-l)(x-2)3 +3x(x-l)2(x-2)2

2

i) f'(x) = (2x + 1)(x + 2x )(x + 1) + (x 2 + x)(1 + 4x)(x + 1) + (x 2 + x)(x + 2x2) 7 2 2 3 6 j) f'(x) = (3x + x + 5x )+( x + 7x)(7x + 10x)

7)(

k) f'(x)

= (x + l)-1I2 :Vx-l + (X_l)-2/3 2

1) f'(x)

= .Jx 2 +1(x+ 1)2 +

.Jx+l

3

~ (x+l)2 +2x.Jx 2 +1(x+l)

2 X2 +1


Funciones racionales Re1!las de derivación: 1 v' f(x) --+f'(x)=-2

!!. -+ f'(x) = u'v -v'u

f(x)

v

V

v2

V

Ejemplos:

1

f(x) ==--2 -+f'(x) l+x f(x)

=

-+f'(x)=2x(XIOO+4x)-(100X99+4)xZ + 4x (x IOO + 4X)2

XZ

x

100

f (x)

=

X2 + 1 +1

-+ f'(x) == ---'-:---'----'­

Ejercicios:

6° Derive las siguientes funciones: a) f(x)

1

=

b) f(x)

2x

=

1 5

x -6x

1

e) f(x) ==

2

3

(4X-x2 )

Sol:

5'(4-2x)

c)f(x)=-

s

( 4x-xZ)

7° Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f(x)

=

x 3 -3 -1

x3 b) f(x)=-zx +1

e) f(x) = (x _1)3 f) f(x) = ~ 3x ,,3x Sol: 3X2 a) f '(x) =--'----'---;;-'---'-

c) f '(x ) =

e) f'(x)

2(x+3)<x 2)-(x+3)2 2

+

c) f(x)

=

g) f(x)

= Jh

d) f(x)

2

x

X2 =-2­

x -1 h) f(x)

x

=

Xi + 1 x e -2

b) f'(x)

(X2 + 2x (X2 d) f'(x)

(x-2)

-1) - 2X3

(X2 f) f'(x)

-Ir

_1(Jh 3x

x_3_)

2Jh

h) f'(x)

8° Demostrar que las siguientes funciones tienen por derivada: x 4 -1 x 4 +3x3 +x 2 a) f(x) = -+ f'(x) 2x b) f(x) == 2 -+ f'(x) = 2x +1 x +3x+l 4 3 3 3 2 c) f(x) = x + x + x + x -+ f '(x) == 1 1 + +x h) f(x) = -+ f'(x) (x + 1)2


Funciones exponenciales Reglas de derivaciรณn:

Ejemplos:

f(x)

e h3x ---+ f'(X)

f(x) f(x)

2

=2X

f(x)=x+(i

4e 4x +3

= (2x+3)e h3X

---+ f'(x)

2h5X' ---+ f'(x)

f(x)

90

= e 4x+3 ---+ f'(x)

2

2x-2X In2

=(3x 2 + lOx )2"'+5X

2 x : 2 ---+f'(X)=[

2

In 2

22J2x:21n2 (x+2)

Ejercicios: Usando las reglas de derivaciรณn anteriores derive las siguientes funciones: x3 2n1 a) f(x) = e +2X b) f(x) =e c) f(x) d) f(x) = 2 e) f(x) 2,,3+ 2x f) f(x) = 32x +1 g) f(x) 4-:.: h) f(x) 7r x'+Sh3 Sol: a) f'(x) = (3x 2 + 2)_e h2X d) f'(x)

= (7x 6 + 30x 5 )-e

f) f'(x)

= 2-3 2n1 ln 3

X7

b) f'(x)

= 2e 2n1

c) f'(x) = _2xex3 2 e) f'(x) = (3x + 2)_2 +2X -In 2 g) f'(x) _2x-4- x2 -In 4

6

+5x +3

x2

(7x 6 +30x5)-7rx7+sh3-ln7r

h) f'(x)

100 Derive las siguientes funciones: a) f(x)

=

+e n1 +5

b) f(x)=ex2-2X+2x

e) f(x) = ((

j) f(x) Sol:

3

6

4 + eX + 1 X

a) f'(x) == 2xe

c) f'(x)

e) f'(x)

X

2

2e X+ xe

=4x 3e x

(2 x2 -

k) f(x)

*

4

2

4x 'ln4+(2x+3)T +3x 'ln7

i) f'(x)

eXlO In 10 eX

-7-

2x- 2 In 2 (x-2i

r

+ x-:fi

J1/),+1 x

i) f(x)

= lOe

1) f(x)

=<15 + XC + e.J7

X2 2X -

+ 2 x In 2 d) f'(x):::: 4x 3e 3x + 3e Jx x 4 + e n1 + xe n1

X

cx

3

= xe x +e x +e

f) ยก(x) =

b) f'(x)

g) f'(x)

k) f'(x)

(eXrrJ

h) f(x)::::

+e n1

c) f(x)

(2x 2)e

Ji

6x+l

f) f'(x)

=

h) f'(x)

=(3x 2 _3)2,,3_3x

x

j) f'(x)==3x24xoln4+6x5exรณ

5ex ex

1) f(x)=--2-1n5+e-xe-ยก


Funciones logarítmicas Rel!las de derivación: u' f(x) = loga u ~ f'(x) = -Ioga e u

f(x) = Inu

~

u'

f'(x) = ­ u

Ejemplos: 3

f(x)=log 4 (8x+x )~f'(x)= f(x)

8 + 3x 8x+x

2

31og 4 e

l2x

4

3

= In(3x + 7) ~ f'(x) = -------:-4­ 3x +7

11 o

Ejercicios: Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: b) f(x) = In(x 2 -3x) c) f(x) = ln(x 3 -2x 4) a) f(x) = ln(3x -1) d) f(x) = log(6x -5)

e) f(x) = log(2x 2 -x) h) f(x) = IOg3(3x 2 _x 6 )

f) f(x) = log(2x 5 _X-2)

g) f(x) = log2(6x-x 2) i) f(x) = log5(x 2 -8x) Sol: 3 b) f'(x) = 2x-3 c) f'(x) = 3~2 - 8~3 a) f'(x)=-­ X2 -3x 3x-l

x -2x 2x-l 6 '( )=lOx4+2x-3l d) f'(x) = --Ioge

e) f'(x) = 2 loge f) f x 5 -2 oge 6x-5

2x -x 2x -x 6-2x 2x-8 , 6x-6x 5 g) f'(x) = 2 log2 e i) f'(x) = 2 log5 e h) f (x) = 2 6 log3 e 6x-x x -8x 3x -x

120 Derive las siguientes funciones:

a) f(x) = ln( x; J d) f(x) =

1 -rx In x

g) f(x) = log5o (.J4X3 +5)

j) f(x) = e 11nx +

b) f(x)=xln(x+l)

x+2 c) f(x)=ln ~

e) f(x) = ln-Jx-2

f) f(x) = log2 (x J7 )

h) f(x) = Inx x 3 x -x k) f(x) = In (2 -2­ x +4

(

J3

X4 i) f(x)=ln(1+e +1)

J

1) f(x) = In (In (1n x))

Sol: 3 a) f'(x) =­ x

d) f'(x) =

b) f'(x)

-2 x(1nx)2

6X2 g) f'(x) = 3 log50 e 4x +5

j) f'(x) = ~e1+1nx = e

x

x

= In(x+l)+­

x+l

1 e) f'(x) = 2(x-2)

c) f'(x) =_3__ ~ x+2 x

J7

f) f'(x) = -log2 e x

x4 4x 3e +1 x h) f'(x) = _ _ T ln3·lnx i) f'(x) = 4 x 1 + eX +1 X2 1 1) f'(x) = k) f'(x) = 2 +8x~4 x·ln(x)·ln (In x) (x + 4)·(x - x)

TX


Funciones trigonométrica sin u ---1- f '(x) = u "cosu f(x)

Ejemplos: 2 f (x) = sine 4x )

If(x)

tan u ---1- f'(x)

= cos u ---1- f'(x) ::::: -u "sin u I

u' cos U

=-2­

2

f(x) = cos(x ) ~ f'(x) -2xsin(x 2 ) . -cosx 3X2 1 f(x) tan(sm(x» ~ f'(x) ::;: 2. f(x) = tan(x 3 -x) ~ f'(x)::;: --;:---:::--­ cos (sm(x» -x) 8x cos(4x

f'(x)

---1-

2

)

Ejercicios: 13° Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f(x)::::: cos(3x) b) f(x) sin(3x 2 -2) e) f(x) = 4sinx-3cosx d) f(x)

sin(3x + 5)

f) f(x) == sin (2x 6 +

e) f(x) = cos(sinx) 7 h) f(x) = tan (2x +2x)

g) f(x)=tan(x 3 +2)

7)

i) f(x) = tan (x-cosx)

Sol: a) f'(x) =

sin(3x)

b) f'(x)

d) f '(x)

3 cos(3x + 5)

e) f'(x)

-cos xsin(sin x)

h)f'(x)==

14x +2 cos 2 (2x7 +2x)

6x'cos(3x 2 2)

e) f'(x) == 4cosx +3sinx 6

f) f'(x):::::12x 5 'cos(2x +7)

6

g) f'(x) =

2

3X2

COS (X

3

+2)

i)f'(x)=

l+sinx cos 2 (x-cosx)

14° Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: 2

a) f(x):::::sin("hx -5x) d) f(x) g) f(x)

j) f(x)

= ~sin(3x) = sin(x 2 )cos(x)

b) f(x)=sin 2 (x)

e) f(x)=3sin 2 (2x-3)

e) f(x)::;: cos 2 (x 3 )

f) f(x)

= cos 4 (3x 4 )

i) f(x)

tanxcosx

,Jcos 2 x-sin 2 x

h) f(x)

~2tan xsin(2x)

k) f(x)

=~tan Fx

1) f(x)::::: cotan(x)

Sol: a) f'(x)

=

e) f'(x)

= 12sin(2x-3)cos(2x-3)

d) f'( x)

e) f'(x)

= -6X2 sinx

f) f'(x)

g) f'(x)

= 2xcos(x 2 ) cosx-sin(x 2 ) sinx

i) f'(x) k) f'(x)

,J6X 5 cos( ,J3x2 -5x ) 2 3X2 -5x

3

cosx

3

1

2Fx cos

3 cos(3x)

5~(sin(3x»4

= -48x 3 sin(3x4 )cos3 (3x 4 )

h) f'(x)

2

1

Fx 6

6

(tan

Fxr

-sin(2x)

~cos(2x) j) f'(x)

cosx

=

b) f'(x) = 2sinxcosx

1) f'(x)::;:

4cos(2x)

-1


Cálculo de derivadas