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Ejemplo 1. En cierto país hay tres partidos políticos principales, el liberal (L), el conservador (C) y el demócrata(D) . La matriz de transición siguiente da las probabilidades de que el país sea gobernado por cada uno de los tres partidos políticos después de una elección, conocidas las diversas posibilidades del resultado anterior: L C D

L 0.3 0.4 0.5

C 0.5 0.2 0.4

D 0.2 0.4 0.1

Suponiendo que el partido conservador está gobernando ahora, elabore un diagrama de árbol para determinar la probabilidad de que el partido demócrata esté en el poder después de las dos próximas elecciones. Solución.

La probabilidad de que el partido demócrata elecciones está dada por:

esté en el poder después de las dos próximas

P ( L →D eleccion 2) =(0,4)(0,2) +(0,2)(0,4) +(0,4)(0,1) =0.2

Para los siguientes datos del ejemplo1. L C D

L 0.3 0.4 0.5

C 0.5 0.2 0.4

D 0.2 0.4 0.1


La matriz de transición de dos pasos

0,39 P2 =   0,4  0,36

0,33 0,4 0,37

0,28  0,2   , indica las probabilidades de que uno de los tres partidos políticos 0,27  

esté en el poder después de las dos próximas elecciones. La probabilidad de que hoy el partido liberal esté en el poder y después de las próximas dos elecciones esté en el poder sea el partido conservador es de 0.33. La probabilidad de que hoy el partido conservador esté en el poder y después de las próximas dos elecciones esté en el poder sea el partido demócrata es de 0.20. En el ejemplo 1 se tiene que: i)

Si actualmente el partido liberal está en el poder entonces

0,3 P1 = P0 P = (1,0,0)  0,4 0,5 

P0 = (1,0,0) por lo tanto

0.2 0,4  = (0.3 , 0.5, 0.2) , éste vector indica las probabilidades  0,1 

0,5 0,2 0,4

de que los partidos, liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de la próxima elección.

0,3  Y P2 = P1 P =(0.3 , 0.5 , 0.2) 0,4 0,5 

0,5 0,2 0,4

0 .2  0,4  =(0.33 , 0.39, 0.28)  0,1 

indica las probabilidades de que los partidos liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de las próximas dos elecciones. P0 = (0, 0, 1) por lo tanto ii) Si actualmente el partido demócrata está en el poder, entonces

0,3 P1 = P0 P = (0 , 0 , 1)  0,4  0,5

0,5 0,2 0,4

0.2 0,4  = (0.5 , 0.4, 0.1) 0,1  

es

el

vector

que

indica

las

probabilidades de que los partidos, liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de la próxima elección.

0,3 P2 = P1 P = (0.5 , 0.4 , 0.1)  0,4 Y  0,5

0,5 0,2 0,4

0.2 0,4  = indica las probabilidades de que los partidos 0,1  

(0.36 , 0.37, 0.27) liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de las dos próxima elecciones. Observación. Nótese que si el sistema inicia en el tercer estado D, entonces el vector de estado del sistema después de dos periodos es P2 = (0.36 , 0.37, 0.27) , que es la tercera fila de P 2 . En general si el estado inicial de un sistema es E k , entonces después de estado Pm es la fila

0.8

Ejemplo. P =  0.6 

k

de la matriz

0.2   0.4  

m

periodos, el vector de

Pk

es una matriz regular

Ejemplo. Para la matriz de transición regular Solución.

0.8 P = 0.6 

0.2   , hallar el vector estacionario B = ( x, y ) 0.4  


Como

 0 .8 0 .2  ( x, y )  0 .6 0 .4   = ( x, y ) ⇒ x = 3y   1 3 x + y = 1 entonces y = por lo tanto x = , luego B = (3 / 4 , 1/4) 4 4

Ejemplo 2. Los estudiantes de una especialización en ingeniería, deben hacer una nivelación y luego cursar tres semestres. Algunos terminan los tres semestres y automáticamente se gradúan, otros se retiran, para graduarse se debe pasar secuencialmente por los estados: Nivelación, primer semestre, segundo semestre, tercer semestre y luego grado. Ningún estudiante pasa de un semestre superior a otro inferior. Si el sistema es un proceso de Markov con matriz de transición: N 0.05 0 0 0 0 0

N 1 2 3 G R

1 0.65 0.2 0 0 0 0

2 0 0.7 0.15 0 0 0

3 0 0 0.8 0.05 0 0

G 0 0 0 0.95 1 0

R 0.3 0.1 0.05 0 0 1

Determine: a) Los estados transitorios y los estados absorbentes del sistema b)

La probabilidad de que un estudiante se retire dado que cursó tercer semestre

c)

La probabilidad de que un estudiante se gradúe dado que hizo primer semestre

d)

La probabilidad de que un estudiante se retire dado que hizo nivelación

e)

La probabilidad de que un estudiante pase a tercer semestre dado que cursó primer semestre

f)

La probabilidad de que un estudiante pase a primer semestre dado que cursó segundo semestre Solución

a) Estados transitorios: N, 1, 2 y 3 Estados absorbentes: G y R Solución b) 0 Solución c) 0 Solución Solución e) 0 Solución f) 0

d) 0.3

Para la matriz de transición del ejemplo 2 a)

Halle la matriz fundamental de dicha cadena

b)

Determine la proporción de estudiantes en los estados transitorios que alcanzarán cada uno de los estados absorbentes.

Solución a). Eliminando las filas de los estados absorbentes de la matriz de transición, se obtiene la matriz

0.05  0   0   0

0.65 0.2 0 0

0 0.7 0.15 0

0 0 0 .8 0.05

0 0 0 0.95

0.3  0.1   0.05  0 

De donde se extraen las matrices de estados transitorios y absorbentes

0.05   0 T = 0   0 

Por lo tanto

0.65 0.20

0 0 .7

0 0

0.15 0

0   0  , 0.8   0.05  

 0   0 A = 0  0.95 

0.3   0.1  0.05   0  


0.95   0 I −T =  0   0  y

− 0.65 0.8

F = ( I −T ) −1

Solución b).

0   0  0 0.85 − 0.8   0 0 0.95   1.053 0.855 0.704  1.250 1.025  0 = 0 0 1.176   0 0 0  0 − 0.7

0.593   0.867  0.991   1.053  

Q =F ⋅A = 1.053 0.855 0.704  1.250 1.025  0  0 0 1.176   0 0 0  0.563 0.437    0.824 0.176  = 0.941 0.059     1 0   

N 1 2 3

G 0.563 0.824 0.941 1

0.593   0   0.867   0 ⋅ 0.991   0    1.053   0.95

0.3   0.1  0.05   0  

R 0.437 0.176 0.059 0

Esta matriz nos indica que: La probabilidad de que un estudiante que ingresa a nivelación se gradué es de 0.563 (significa que el 56.3% de los estudiantes que ingresan a nivelación se gradúan y el 43.7% se retira) El 82.4% de los que cursan primer semestre se gradúan y el 17.6% se retira El 94.1% de los que cursan tercer semestre se gradúan y el 5.9% se retira El 100% de los que cursan tercer semestre se gradúan. Ejemplo 3. La universidad XX, tiene un escalafón para sus docentes y los clasifica en tres categorías: categoría 1, categoría 2 y categoría 3. Durante cierto año el 15% de los docentes de la categoría 1 ascendieron a la categoría 2 y a un 5% se les canceló su contrato. Durante un año cualquiera un 12% de los docentes de la categoría 2 ascendieron a la categoría 3 y a un 3% se les canceló su contrato. Los docentes que están en la categoría 1 deben ascender a la categoría 2 y permanecer allí mínimo un semestre antes de llegar a la categoría 3. A ningún docente se le baja de categoría, si su desempeño no es el esperado se les cancela el contrato. A los docentes de la categoría 3 jamás se les cancela su contrato, ellos salen de la universidad jubilados. a) Forme la matriz de transición P b) Determine si P es regular, absorbente o ninguna de las 2. c) Calcule la probabilidad de que un docente de la categoría 1 llegue a la categoría 3 y la probabilidad de que se le cancele su contrato. d) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la categoría 1 un docente recién contratado? e) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la universidad un docente de la categoría 1 antes de llegar a la categoría 3? f) Calcule la probabilidad de que un docente de la categoría 2 ascienda a la categoría 3.


Solución a) Con la información dada se tiene que la matriz de transición es Cat1 Cat2 Cat3 Cancelado

Cat1 0.80 0 0 0

Cat2 0.15 0.85 0 0

0.80   0 P = 0   0 

Cat3 0 0.12 1 0

0.15 0.85

0 0.12

0 0

1 0

Cancelado 0.05 0.03 0 1

0.05   0.03  0   1  

Solución b) Nótese que las filas de los estados Cat3 y Cancelado tienen probabilidades iguales a 1, por lo tanto estos estados son absorbentes y en consecuencia la matriz es absorbente. Solución c) Se sabe que la matriz Q = F ⋅ A contiene las probabilidades de pasar de un estado transitorio a otro absorbente. Eliminando de la matriz P , las filas de los estados absorbentes, obtenemos las siguientes sub matrices y , de estados transitorios y estados absorbentes. T A

0.80 T =  0 

0.15  , 0.85    0.2

Como I − T =   0 

 0 A = 0.12 

0.05   0.03  

− 0.15   0.15  

Entonces la matriz fundamental del sistema es:

5 F = ( I − T ) −1 =  0 

5   6.7  

Ver el cálculo de la matriz F mediante Wólfram Alpha:


  Por lo tanto Q = F ⋅ A =  Cat1 Cat 2 

Cat 3 0.60 0.8

Canc   0.40  0.2  

Ver el cálculo de la matriz Q mediante Wólfram Alpha:

En consecuencia, la probabilidad de que un docente de la categoría 1 llegue a la categoría 3 es de 0.60 y la probabilidad de que se le cancele el contrato es de 0.40 Solución d) La matriz fundamental nos indica que el tiempo en años que debería permanecer normalmente un docente en la categoría 1 es de 5 años. Solución e) El tiempo que debería permanecer en la universidad un docente que ingresa en la categoría 1, antes de llegar a la categoría 3 ó que se le cancele su contrato, es la suma de los tiempos en que estuvo en la categoría 1 con el tiempo que permanece en la categoría 2, de la matriz fundamental obtenemos que el resultado pedido: 5 + 5 = 10 años. Solución f) La matriz Q = F ⋅ A contiene las probabilidades de pasar de un estado transitorio a otro absorbente, por lo tanto la probabilidad de que un docente pase de categoría 2 a la categoría 3 es de 0,80.


Ejemplo 4. Si en el problema del ejemplo 3, se sabe que en el año 2013 dicha universidad tiene la mitad de sus docentes en categoría 1, un cuarto en la categoría 2 y el resto en la categoría 3. Determine a) La proporción de docentes en cada categoría en el año 2015 b) El vector de equilibrio para el escalafón docente. Solución a) La proporción de docentes en cada categoría en el año 2015, está dada por el vector de estado después de dos años. P2 = P0 ⋅ P 2 Como P0 = (0.5, 0.25, 0.25 , 0) ,

0.80   0 P = 0   0  Entonces

0.15 0.85

0 0.12

0 0

1 0

0.05   0.03  y 0   1  

0.64   0 2 P = 0   0 

0.2475 0.7225

0.018 0.2222

0 0

1 0

0.0945   0.0555  0   1  

P2 = P0 ⋅ P 2 = (0.32, 0.30475, 0.3145, 0.061125)

Ver los cálculos de

P0 P 2 en Wólfram alpha

En el 2015 dicha universidad tendrá un 32% de docentes en la categoría 1, un 31.45% en la categoría 3 y ha cancelado contrato a un 6.11% de los docentes que tenía en el 2013. Solución b) El vector de equilibrio para el escalafón docente es de la forma ( x , y , z, w) Donde X: es la proporción de docentes en la categoría 1 Y: es la proporción de docentes en la categoría 2 Z: es la proporción de docentes en la categoría 3 W: es la proporción de docentes con contratos cancelados. Para hallar este vector, basta resolver el siguiente sistema de ecuaciones. ( x , y , z, w)P = ( x, y , z, w) , que satisface x + y + z + w =1 Obteniéndose que x = 0 y y = 0 Por lo tanto z =1 − w y el vector estacionario o de equilibrio del sistema a largo plazo es

(0 , 0 , 1 - w,

w)

Esto significa que a largo plazo en dicha universidad los profesores que no estén en la categoría 3 han sido desvinculados de la institución. No habrá profesores en las categorías 1 y 2. Si la proporción de docentes desvinculados es , entonces la proporción de docentes en la categoría 3 es 1 - w Ver solución del sistema

w


( x , y , z,

0.80   0 w) 0   0 

0.15

0

0.85

0.12

0 0

1 0

0.05   0.03  0  , x + y + z + w =1  1  

en Wólfram Alpha

= ( x, y , z, w)

Ejemplo 5 Tomado de Takeito Takahashi, (1990) En el año cero, la población de un país es de 90 millones y la de su capital, la ciudad B, es de 9 millones. Supóngase que en un año, un 2% de la población de B del año anterior se va de la ciudad y un 0.5% de la población de la parte restante del país de ese mismo año anterior, se instala en la ciudad B. Si no se tiene en cuenta el incremento natural de la población. a) Determine la población de la ciudad B y resto del país en el año 5. b)

Cuál será el valor de las dos poblaciones a largo plazo?

Solución a) Por ecuaciones en diferencias finitas Sean: Bt : La población de la capital B en el año t

R t : La población del resto del país en el año t Entonces en el año

t +1

se tiene que:

1)

La cantidad de población que sale de B es 0.02 Bt y la que permanece en B es 0.98 Bt

2)

La cantidad de población que entra a B es 0.005 Rt y la que permanece en el resto del país es

0.995 Rt . En consecuencia se tiene el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias finitas

 Bt + 1 = 0.98Bt + 0.005Rt   Rt + 1 = 0.02Bt + 0.995Rt Solución b) Por ecuaciones en diferencias finitas


Solución a) Por Cadenas de Markov

El sistema

 Bt + 1 = 0.98Bt + 0.005Rt   Rt + 1 = 0.02Bt + 0.995Rt

se puede escribir matricialmente como

Pk +1 = Pk P , donde Pk +1 = ( Bk +1 , R t +1 ) ,

 0.98 Pk = ( Bk , R k ) y P =  0.005 

0.02   0.995  

Claramente el sistema de cambiar de residencia de un sitio a otro o de permanecer en el mismo sitio es una cadena de Markov, ya que dichas probabilidades de cambio permanecen constantes y las poblaciones en un año t, sólo dependen de las poblaciones del año anterior. La matriz P , es la matriz de transición y Pk es un vector de estado. Por lo tanto si P0 = (9, 81) entonces en el año 5 el vector de estado de las poblaciones en la capital y el resto del país es

 0.98 P5 = P0 P 5 = (9 , 81) 0.005 

5

0.02   = (10.07 , 79.93) el cual indica que la población de la 0.995  

capital al cabo de 5 años será aproximadamente de 10.07 millones de habitantes y la del resto del país será de aproximadamente 79.93 millones de habitantes. Ver el cálculo de P5 en Wólfram Alpha

Solución b) Por Cadenas de Markov Basta hallar el vector estacionario o de equilibrio del sistema, el cual está dado por

B * + R * = 90 y  0.98 ( B * , R * )  0.005 

0.02   = (B* , R* )  0.995 

La solución de dicho sistema de ecuaciones es B * =18 , R * = 72 Ver los cálculos de la solución del sistema en Wólfram Alpha

V = ( B * , R * ) tal que


Lo cual indica que el 20% de la población, lo cual equivale a 18 millones estará en la capital B, y un 80% restante, equivalente a 72 millones estará en el resto del país.

Ejemplos cadenas de markov  

En la siguiente documento encontraras ejemplos resueltos de aplicaciones de Cadenas de Markov, la solución esta apoyada de la herramienta we...

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