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Antonio Núñez

Los números reales (3º ESO)

IES Sotomayor

TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES 1. CONCEPTO

DE FRACCIÓN .

Una f r ac ci ón es e l c oci e nte d e dos núme r os e nter os a y b, qu e r epr es e nt am o s de la s igu ient e for m a: a ,b ≠ 0 b b, d en omi na d o r , in dic a e l n úm ero de par t es en qu e s e ha div i di do la un ida d. a, num er a dor , i nd ica el num er o de par t es e leg idas .

Ejemplo:

2. SIGNIFICADO •

DE LA FRACCIÓN .

La fracción como partes de la unidad:

E l t o do s e t om a co mo un id ad. L a fr ac c i ón expr es a un val or co n r el ació n a es e t o do . Ejemplo: Un depósito contiene 2/3 de gasolina. El todo es el depósito. 2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

1


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La fracción como cociente:

Ej em plo :

R epar t ir 4 € e ntr e 5 am igos . 4 5

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¿ 0 ,8 €

La fracción como operador:

C alcu lar l a f r ac ci ón de un núm er o es equ iv al ent e a m ult i pl icar la fr ac ció n por dic ho núm er o . Ej em plo : Cal cu lar lo s 2 /3 de 60 € . 2 2 2 ∙ 60 120 de 60= ∙ 60= = 3 3 3 3

¿ 40 €

3. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES . •

Fracciones propias:

L as f r ac ci one s pr opi as s o n aqu el las cuy o nume r ad or es m e nor q ue e l de nomi nad or . S u v alo r co m pr end ido e nt r e cer o y uno . 2 3 7 , , 3 5 10 •

Fracciones impropias:

L as f r ac ci one s im pr opi as so n a que ll as cuy o num e r ador es m ay or qu e el de nomi nad or . S u v alo r es may or que 1 . 5 7 13 , , 3 5 10

2


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• El

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Números mixtos:

nú mero

mi xto

es t á

co m pu es to

de

u na

par te

ente r a

y

ot r a

fr ac c i onar i a . P ar a p as ar de núm e r o mi xto a f r ac ci ón i m pr opi a , s e d ej a el mi s m o de nomi nad or y el nume r ad or es l a sum a del pr oduc to d el e nt ero po r e l de nomi nad or m ás el num er ad or , d el núme r o mi xto . 2 3 ∙ 5+2 17 3 = = 5 5 5 P ar a p as ar una f r ac ci ón i m pr opi a a núm e r o mi xto , s e di vi de e l nume r ad or po r el de nom i nador . E l c oc ie nte es el e nte r o de l núme r o mi xto y el re s to el num e r ador d e l a f r ac ci ón , s ie ndo e l de nom i nador e l mi sm o .

4. FRACCIONES EQUIVALENTES. Do s fr ac c i one s so n e qui vale nte s c uan do el pr oduc to de e xtr e m os es i gual al pr oduc to de me di os . a c = si a ∙ d =b ∙ c b d a y d so n lo s ext r emo s ; b y c, lo s m edio s . Ej em plo : Cal cu la s i so n eq uiv a lent es las fr ac cio nes : 4 8 y 6 12 4 · 1 2 = 48 = 6 · 8

S í s o n eq uiv a le nt es

3


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5. AMPLIFICAR

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FRACCIONES .

Am p lif icar u na fr ac ció n co ns is t e en m ult i pl icar

el num er ado r y e l

de nom i nado r de un a fr ac ció n po r un m is mo núm er o e nt ero , dis t i nto de cer o , o bt e ni éndo s e ot r a fr acció n eq uiv a le nt e a la dada . Ej em plo : 2 ∙5 10 2 10 = ; = ; 2∙ 15=30=3 ∙ 10 3∙ 5 15 3 15

6. SIMPLIFICAR

FRACCIONES .

Si m pli fi c ar una fr ac c i ón co ns is t e en

tr ans fo rm ar l a e n u na f r ac ci ón

e qui val e nte m ás s im pl e, div id ien do e l num er a dor y el de nom i na dor por un div is o r com ú n a am bos . Ej e m pl o:

12 18

7. FRACCIONES

¿

12 ÷ 2 18 ÷ 2

¿

6 9

¿

6 ÷3 9÷3

¿

2 3

IRREDUCIBLES .

L as fr ac c i one s ir r e duci ble s s o n a que ll as qu e no s e pu ede n si m pl if ic ar , es to s uc ed e cu ando el nume r ad or y el de nomi na dor s o n pr i m os ent r e s í. Ej em plo :

5 8 3 ; ; 7 11 4 4


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8. REDUCCIÓN

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DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR .

Re duci r v ar ias fr ac c i one s a c om ún de nomi nad or co ns is t e e n co nv er t ir las en ot r as e qui val e nte s q ue t engan el mi sm o de nom i nador . Par a e llo : 1 º S e d et erm i na el de nom i nador c om ún , qu e s er á el m í ni m o c om ún m úl ti pl o de l os de nom i nador e s . 2º

Es t e

de nom i nador

c om ún,

se

di vi de

po r

cad a

u no

de

lo s

de nomi nad or e s, m ul ti pl i c ándose e l c oc ie nte o bt en ido po r el num er a dor cor r es po nd ie nt e . 2 5 1 , , 3 12 9

24 15 4 , , 36 36 36

3=3 ;12=2 2 ∙ 3 ; 9=32 ⟹ mcm (3 , 12 ,9)=36

9. ORDENAR •

FRACCIONES .

Fracciones con igual denominador:

D e do s f r ac ci one s q ue t ien en el m i sm o de nomi nad or es m e nor la qu e t ien e m e nor num e r ador . 4 5 < 6 6 •

Fracciones con igual numerador:

D e dos fr ac c i one s q ue t ie ne n el mi sm o nume r ad or es m e nor l a qu e t ien e m ayor de nom i nad or . 4 4 < 12 7

5


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Fracciones con numeradores y denominadores distintos:

E n pr im er l ugar las t enem o s qu e po n er a c om ún de nom i nador . 2 5 1 , , 3 12 9

24 15 4 , , 36 36 36

Es m e nor la qu e t ie ne me nor nume r ador .

10.

NÚMEROS RACIONALES. S e l lam a núme r o r aci on al a t o do núme r o qu e p ue de r epr es ent ar s e com o

el c oci e nte de dos e nte r os , co n d eno m ina dor d is t int o de cer o . S e r epr es ent a por

Q . Q=

{ab / a ∈ Z ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0}

6


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11.

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NÚMERO DECIMAL RACIONAL .

To da f r acció n s e p ue de expr es ar co m o un núm er o dec im al r acio na l, s i n m ás q ue r eal iz ar la co r r es po nd ie nt e d iv is ió n in dic ada en la fr acció n. A l r eal iz ar la div is ió n, e l co ci ent e pu ede s er : •

Un núm er o ent er o :

S i el num er ado r es un m últ ip lo de l d eno m ina dor . E j em p lo :

6 2

¿3

Un n úm ero dec im al e xact o (t ie ne u n núm er o finit o de cif r as

dec im al es ): S i o bt e nem os r es t o nu lo, no s ien do la div is ió n e xact a. E j em p lo :

7 5

¿ 1,4

L os núm er o s dec im ales ex act os s e o bt i en en d e las fr accio n es ir r edu ci bles e n l as qu e e l deno m in ado r so lo t ie ne com o facto r es pr imo s e l 2 o el 5 . •

Un núm er o dec im al per ió d ico p uro :

T ie ne un co nj u nto de cifr as d ecim a les que s e r ep it en in def in idam e nt e e n s u par t e d ecim a l. S e ll am a per io do al blo q ue m ás peq ue ño d e cifr as qu e s e r ep it e, o cupa ndo to da la part e dec im al, y s e r epr es ent e co n u n ar co en cim a d el per io do . E j em p lo :

71 11

̂ ¿ 6,4545 ⋯=6, 45

L os núm er o s dec im ales p er ió di cos pur o s s e o bt ie ne n de l as fr acc io nes ir r ed uc ib les c uyo s d eno m ina do r es no s o n div is ib les ni por 2 ni por 5 . 7


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Un núm er o dec im al per ió d ico m ixt o :

E l per io do com i enz a d es pu és de l blo qu e for m ado por algu nas cif r as d ecim a les que no s e r epit en l lam ado ant e per io do . E j em p lo :

31 12

¿ 2,58333 ⋯=2,58 3̂

L os núm er os dec im ales per ió d ico s m ixto s s e o bt i en en de las fr acc io nes ir r ed uc ib les

cuy o de nom i nado r t ien e co mo div is o r es pr im o s el 2 o el 5 y

a lg ún ot ro d iv is o r pr imo dis t int o .

12.

FRACCIÓN GENERATRIZ . Un núm e r o de c i m al e xac to o per i ódic o p ue de ex pr es ar s e en fo rm a de

fr ac c i ón , l lam ad a f ra cci ón g en era tri z , de las fo rm as que in di camo s : •

Pasar de decimal exacto a fracción:

S i e l n úm ero es d eci ma l exa cto , la f r ac ci ón t ien e co mo num e r ador e l núme r o d ado si n l a c om a , y por de nom i nador , la uni d ad s egu ida d e t anto s ce r os co mo c if r as de c im al e s t enga. Ej em plo s :

1,13=¿

113 100

,

0,1769=¿

1769 10000

,

2234,1=¿

22341 10 •

Pasar de decimal periódico puro a fracción:

S i el n úm ero es p eri ód i ca pu ro , la fr ac c i ón ge ner a tri z t ie ne co mo nume r ad or e l núme r o d ado si n l a c om a, m e nos la par te ente r a , y por de nomi nad or un núm e r o fo rm ado po r t ant os nue ve s com o c if r as t eng a el per í odo. Ej em plo s : 8


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̂ 1, 13=¿ 22341−2234 9 •

113−1 ¿ 99 20107 ¿ 9

112 99

;

0, ̂ 1769=¿

1769 9999

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;

̂ 2234, 1=¿

Pasar de decimal periódico mixto a fracción:

S i el n úm ero es p eri ód i ca mi xto , la f r ac ci ón ge ne r atr i z t ien e com o nume r ad or el núm e r o d ado si n l a c om a, me nos la par te e nte r a s eg uid a d e l as ci fr as de ci m al es no pe ri ódi c as , y por de nom i nador , u n num e r o fo rm ado po r t anto s nue ve s com o cifr as t enga e l pe rí odo , s egui do s de t anto s ce r os co mo cif r as t eng a la par te de c i m al no pe ri ódi c a . Ej em plo s : 113−11 90

̂ 1,1 3=¿

̂ 0,17 69=¿

1769−17 9900

̂ 2,2 341=¿

22341−22 9990

13.

102 90

¿

¿ 1752 9900

¿

¿

17 15 ¿

438 2475

22319 9990

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES. Lo s núm e r os r ac i onal e s s e r epr es ent an en la r ect a j unt o a lo s núm e r os

e nte r os .

P ar a r epr es e nt ar exact am e nt e fr acc io nes irr e duc ib les en la r ect a, s e ut il iz a e l t eo r em a de Th al es .

9


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14.

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OPERACIONES CON LOS NÚMEROS RACIONALES . •

Suma y resta de números racionales:

E n pr im er l ugar s e re duc e n los de nomi na dor e s a c om ún de nom i nador , y s e s um an o s e re stan lo s num e r ador e s d e l as fr ac c i one s e qui val e nte s o bt e ni das . Ej em plo s : 5 1 15+ 2 17 5 1 15−2 13 + = = ; − = = 4 6 12 12 4 6 12 12 •

Multiplicación de números racionales:

La m ul ti pl i c aci ón de dos fr ac c i one s es otra fr ac c i ón que tiene por nume r ad or el pr oduc to

de los nume r ad or e s

y por de nom i nador

el pr oduc to

de los

de nomi nad or e s . a c a ∙c ∙ = b d b∙d

Ej em plo :

3 2 ∙ 4 5

¿

6 20

¿

3 10

División de números racionales:

La di visi ón de dos fr ac c i one s es otra f r ac ci ón que tiene por nume r ad or el pr oduc to de los e xtr em os y por de nom i nador el producto de los m e di os , y se obtiene multiplicando la primera por la inversa de la segunda:

10


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a c a ∙d a d ÷ = = ∙ b d b∙c b c

Ejemplo:

15.

4 6 ÷ 5 7

¿

4 7 ∙ 5 6

¿

28 30

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¿

14 15

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS RACIONALES .

J er ar quí a d e l as o per ac io nes b ás icas y lo s par é nt es is :

1

P as ar a f r ac ci ón l os núme r os mi xtos y dec i m ale s.

2

Ef ect uar las oper a cio nes ent r e p ar é nte si s, c orc he te s y ll ave s.

3

Ef ect uar lo s pr oduc tos y c oci e nte s.

4

R eal iz ar las sum as y r e stas.

Ej em plo :

( 12 − 23 ∙ 35 )−[ 0 , 0 2̂ +0 , 1∙ 0 , 2̂ − 32 ]=¿ Pr im er o pas am o s a fr acc ió n lo s n úm ero s d ecim a les :

( 12 − 23 ∙ 35 )−[ 902 + 101 ∙ 29 − 32 ]=¿ R eal iz amo s la m ult ip li cac ió n d el pr im er par é nt es is :

( 12 − 156 )−[ 902 + 101 ∙ 29 − 32 ]=¿ R eal iz amo s la r est a d el pr im er par ént es is y la m ult i pl icac ió n de l cor ch et e:

[

]

3 2 2 3 − + − =¿ 30 90 90 2 11


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S im pl ific amo s y r eal iz amo s l a s um a y la r es t a d el cor c het e:

[

]

1 −131 − =¿ 10 90 Qu it am o s el cor c het e, r ealiz am o s la s um a qu e que da y s im plif icam o s el r es ult ado fina l: 1 131 140 14 + = = 10 90 90 9

16.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES . Un

núm e r o

es

ir r ac i onal

si

po s ee

i nf i ni tas

ci fr as

de c im al e s

no

per i ódic as , po r tant o no se pue de n e xpr e sar en f orm a de f r acc i ón . E l co nj unt o de lo s núm er o s ir r acio na les lo s im bo liz ar em o s co n E l núme r o ir r ac i onal m ás co no c ido es

I .

π , q ue s e d efin e co mo la

r elac ió n e nt r e la lo ngit u d d e l a c ir cunf er en cia y s u d iám et ro . π = 3,141592653589... Otr o s núme r os ir r ac i onal es s o n:

√ 2 , √ 3 , √3 7 ,

et c. Es d ec ir , to das

aqu el las raí ces no exact as . A unq ue, q uiz á, el núm er o m ás im por t ant e d e las m at em át ic as es el e=2,718281828459045 ⋯

núm er o

qu e s ur ge al ev alu ar la expr es ió n

s ig ui ent e par a v alor es de l par ám et r o cada v ez m ayo r es e ir co m pro ba ndo l as cif r as d ec im ales qu e v an qu eda ndo fij as : 1 n

( ) 1+

17.

n

APROXIMACIONES Y ERRORES .

Frecuentemente es complicado realizar operaciones donde intervengan números irracionales o racionales con muchas cifras decimales. Para realizar estas operaciones se utilizan aproximaciones de 12


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esos números que son otros números racionales más sencillos y muy cercanos a esos valores exactos. Si la aproximación es mayor que el valor exacto diremos que es una aproximación “por exceso”, y si es menor, diremos que es una aproximación “por defecto”. Así, la aproximación aproximación de

π

por defecto, y la aproximación

π ≈ 3 , 14

es una

π ≈ 3 , 1416 será una aproximación de

π

por exceso. Para aproximar un número, suele utilizarse la técnica del “redondeo”, que consiste en eliminar todas las cifras decimales del número excepto las que forman el orden decimal deseado, aumentando el número en una unidad decimal de dicho orden si la primera cifra decimal eliminada es 5 o superior. Las aproximaciones

y

π ≈ 3 , 14

son redondeos de

π ≈ 3 , 1416

π

a las centésimas y a las

diezmilésimas, respectivamente.

ERROR ABSOLUTO: Si

a

es la aproximación del valor exacto

V , estamos cometiendo un error, que observamos en

la recta real, llamado “error absoluto”, abreviado por ambos valores. Por tanto

E

y que viene dado por la distancia entre

E=∣V −a∣

Por ejemplo, en la aproximación

π ≈ 3 , 14 , el error absoluto cometido será

E=∣π −3 , 14∣ .

Observamos que en la definición de error absoluto interviene el valor exacto V, por lo que no será operativa, utilizándose a su vez una aproximación por exceso de E y que recibe el nombre de “cota del error absoluto”, que abreviaremos por c. Si E es el error absoluto que se comete al tomar

a

como aproximación de V, se suele tomar como

cota del error absoluto cuando tomamos una aproximación por redondeo media unidad del orden decimal de aproximación EJEMPLOS: •

Al redondear

π ≈ 3 , 14

a las centésimas, se obtiene un error absoluto E más pequeño que

media centésima, 0 ' 005 •

Al redondear

π ≈ 3 , 1416 a las diezmilésimas, se obtiene un error absoluto E más pequeño que

media diezmilésima,

0 ' 00005

13


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18.

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LOS NÚMEROS REALES . E l c onj unto f or m ado po r lo s n úm ero s r ac i onal e s e i rr ac i on ale s es el

co nj unt o de lo s nú mero s rea l es , s e d es ign a po r

R .

Co n lo s núme r os r e ale s po dem o s r ea liz ar tod as l as ope r ac i one s, exc e pto l a r adi c aci ón de índi ce par y r adic and o ne g ati vo, y l a di vi si ón por c e r o.

19. LA RECTA REAL. A to do núm e r o r e al le cor r es po n de un punt o d e la r ect a y a todo punto de l a re c ta un núm e r o r e al . 14


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20.

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INTERVALOS . S e l lam a i nte r val o al c onj unto de núm e r os re al e s com pr e nd ido s ent r e

ot ro s do s da dos , a y b q ue s e l lam an extr e m os de l inte r val o .

Tipos de intervalos: •

Intervalo abierto.

Inte r val o abi er to,

( a , b ) , es el c onj unto de todos l os núme r os re al e s

m ayor e s que a y m e nor e s que b.

Intervalo cerrado.

Inte r val o c e rr a do,

[ a , b ] , es el c onj unto de tod os l os núm e r os re al e s

m ayor e s o i guale s que a y me nor e s o i guale s que b.

Intervalo semiabierto por la izquierda.

Inte r val o se m i abi er to por l a i zquie r da, ( a, b] , es e l c onj unto de tod os l os núme r os re al e s m ayor e s que a y me nor e s o i gual e s que b.

15


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Intervalo semiabierto por la derecha.

Inte r val o se mi abi e r to por l a de re c ha, [ a, b), es el c onj unto de tod os l os núme r os re al e s m ayor e s o i gual es que a y me nor e s que b.

21.

OPERACIONES CON INTERVALOS •

Unión de intervalos

L a un ió n d e do s i nt er v alo s A y B s e r epr es ent a com o

A∪ B

y r epr es ent a

e l co nj u nto d e n úm ero s q ue es t án e n A o en B. L a un ió n d e i nt er v alo s cum p le la pro p ied ad co nm ut at iv a. Si

A= (−2 , 8 )

y

B=[ 0 , 9 ] ⇒ A ∪ B=¿

Intersección de intervalos

L a int er s e cció n de do s int er v alo s A y B s e r epr es e nt a co mo

A∩B

y

r epr es ent a el co nj u nto de núm er os que es t án en A y en B a l a v ez . L a int er s e cció n de int er v alo s c um pl e la pr o pi eda d co nm ut at iv a. Si

A= (−2 , 8 )

y

B=[ 0 , 9 ] ⇒ A∩ B=¿

16


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IES Sotomayor

Diferencia de intervalos

L a d if er e nc ia de do s int er v alo s A y B s e r epr es ent a co mo

A− B

y

r epr es ent a el co nj u nto de núm er os que es t án en A y no est á n e n B. Si

A= (−2 , 8 )

y

B=[ 0 , 9 ] ⇒ A−B=(−2 , 0)

L a dif er en cia de int er v a los no es co nm ut at iv a, lo q ue s e o bs er v a s in m ás q ue bus car la difer enc ia B −A=[ 8 , 9 ]

17


Tema 1 numeros racionales e irracionales