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Vectores Elías Irazoqui B. 3. Rectas paramétricas. En lo que sigue abordamos la ecuación paramétrica de una recta o su representación paramétrica, dicha ecuación quedará completamente definida por dónde pasa (P) y cual es su dirección, A. (siendo A un vector distinto de cero). La ecuación es: X = P + t A, con t variando en los números reales. Graficamente la situación es la siguiente:

Se puede interpretar la representación paramétrica como la trayectoria que describe un objeto que se mueve a lo largo de la recta a medida que el tiempo transcurre, así en el instante t=0 se está en P, en t=1, X es igual a : P + A y, así siguiendo.

Si se quiere describir el conjunto de puntos que están en una parte de la recta, como sería el caso de un segmento, como PQ, entonces la ecuación paramétrica de la recta nos sirve si consideramos t variando entre cero y uno; tendríamos en este caso: Y( t ) = P  t ( Q  P) , para t entre 0 y 1.

Graficamente la situación se describe en la página siguiente:


Obs. Y( t=0) = P,

Y (t=1) = Q.

Ejercicios: 1. Considere dos puntos del 3-espacio, digamos P= (1,2,3) y Q = (0,-1,1) Determine las coordenadas del punto que está a mitad de camino entre ellos. Solución. Y(t) = P + t (Q-P), entonces para t=1/2 se tiene: Y(1/2) = P + 1/2(Q-P) Y(1/2) = (1/2, 1/2, 2). Verifique que d(P, Y(1/2)) = d(Y(1/2), Q). 2. Determine una representación paramétrica de la recta que pasa por los puntos: P= ( -1,1,-1) y Q=( 0,-1,0). Solución. Es necesario determinar la dirección de la recta, para ello considere A = Q  P, por ejemplo, así Y(t) = P + t ( Q-P); otra representación podría ser: X(t)= P + t( P  Q).

Estudiamos ahora la representación paramétrica de una recta en el plano de 2 dimensiones y su equivalencia en coordenadas rectangulares. En el plano de 2-dimensiones tenemos: X =(x,y) , A = (a, b) y P =(p,q) Como X = P + t A= (p+ta, q+tb) entonces: x = p + ta, y= q + tb , y podemos ahora eliminar t de ambas ecuaciones para obtener: x  p = ta , y  q = tb (x  p) / a œ (y  q) / b œ t Obteniendo una ecuación en las variables x e y normales, de la forma: Ax+By=C. Realice los cálculos usted mismo.


Ejercicio. Determine la ecuación: Ax+By=C para la recta que pasa por el punto P=( 1,2) y tiene dirección A= (1, -1). Grafique dicha recta.

Obs. Al escribir una recta en función del parámetro "t", existen muchas posibilidades para P, como también para la dirección A, donde basta tomar B= xA, con x distinto de cero, por cierto, de este modo se obtiene otra paramentrización de la misma recta, pero distinta naturalmente.

Por último, partiendo de la recta en coordenadas rectangulares obtenemos la correspondiente recta en forma paramétrica, en efecto: Sea ax +by = c la ecuación de una recta, con "a" distinto de cero, si usamos "y" como parámetro y asignamos a y el valor de "t" , y despejamos de la ecuación la variable "x" , tenemos: B œ -Î+  ,CÎ+ œ -Î+  ,>Î+ En estas condiciones :+<+ ?8 :?8>9 \ -?+6/=;?3/<+ se tiene: X = (x,y) œ Ð-Î+  ,>Î+ß >Ñ œ Ð-Î+ß !Ñ  >Ð  ,Î+ß "Ñ= \ =T  > EÞ así, T œ (-Î+ß !Ñ C E œ Ð  ,Î+ß "ÑÞ Obs. En dimensiones superiores , si consideramos la representación paramétrica de una recta, no se puede eliminar t, de modo que esta reprensentación es la única que describe a dicha recta.

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EJERCICIOS. 1. De la representación paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados: (i) P=(1,0-1) y Q=(-2,-1,2) (ii) P=(1,2,3,4) y Q = -P. (iii) P = 0 y Q = (1,1)

2. Para P = (4,-5,1) y Q =(-1,2,1); determine las coordenadas de la recta que pasa por el punto que: a) está en el punto medio entre P y Q. b) está a un cuarto de camino de P y a 3/4 de camino de Q. c) está a un décimo de camino de Q y a nueve décimos de camino de P.

3. Si P y Q son dos puntos del espacio de p-dimensiones. a) de la ecuación paramétrica de la recta que pasa por ellos y b) de las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une P y Q.

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Bibliografía. Lang, Serge ( 1990) . Cálculo. Addisosn -Wesley Iberoamericana, S. A.

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Geometria Vectorial

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