Issuu on Google+

GEOMETRÍA ANALÍTICA Fernando Miranda / Elías Irazoqui.

La Parábola. DEF. La Parábola es el conjunto T de puntos del plano que cumplen con: P(x, y) − T Í P(x,y) equidista de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Esto es : P(x, y) − T

Í .ÐP(x,yÑß J Ð:ß !ÑÑ œ .ÐP(x,y), directriz).

Graficamente la situación es la siguiente:

Obervaciones: 1. El vértice de la parábola es el punto medio del segemneto del eje desde el foco a la directri, en el dibujo el el vértice corresponde al punto: V(0,0).

2. El segmento A1 A se llama lado recto ( latus rectum), su longitud es: 4p.


Teorema 1. La ecuación de la parábola con foco F(p,0) y directriz x=p es: C # œ %:B Ð"Ñ Demostración. Sea P(x,y) cualquier punto de la parábola, entonces: . ÐT ß J Ñ œ .ÐT ß UÑ

È ÐB  :Ñ#  C # œ È ÐB  :Ñ#  ÐC  CÑ# ÐB  :Ñ#  C # œ ÐB  :Ñ# C # œ %:BÞ Obs. 1. Si :  !ß la parábola se abre hacia la derecha. 2. Si :  !ß la parábola de abre hacia la izquierda.

Teorema 2. La ecuación de la parábola con foco F(0,p) y directriz y= -p es: B# œ %:C Ð#Ñ Demostración. Ejercicio. Obs. 1. Si :  !ß la parábola se abre hacia arriba.. 2. Si :  !ß la parábola de abre hacia abajo.


Teorema 3. La ecuación de la parábola de vértice V(h,k)ß con eje paralelo al eje X y foco: F(h+p, k) es: ÐC  5Ñ# œ %:ÐB  2Ñ

Ð$Ñ

Demostración. P(x,y) − T ß si y sólo si, .ÐT ß J Ñ œ .ÐT ß UÑ esto es, ÐB  Ð2  :ÑÑ#  ÐC  5Ñ# œ ÐB  Ð2  :ÑÑ#

ÐC  5Ñ# œ %:ÐB  2Ñ Teorema 4. La ecuación de la parábola de vértice V(h,k)ß con eje paralelo al eje Y y foco: F(h, k+p) es: ÐB  2Ñ# œ %:ÐC  5Ñ

Ð%Ñ

Demostración. Ejercicio. Obs. Las ecuaciones (1). (2), (3) y (4) reciben el nombre de ecuaciones canónicas de la parábola. Si se desarrollan sus expresiones algebraicas toman la forma: B œ +C #  ,C  ó C œ +B#  ,B  -Þ


La parabola