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P

3a prova de Geometria Plana com Gabarito — MA-520 20 de junho de 2012 NOME:

Turma:

RA:

.

Responda a cinco das quest˜ oes abaixo e marque aquela que excluir com × no quadro acima. Toda solu¸c˜ ao deve ser justificada.

1. (a) [10 pontos] Enuncie o postulado das paralelas e ilustre em uma mesma figura as congruˆencias de ˆ angulos alternos externos, alternos internos, correspondentes e opostos pelo v´ertice. Solu¸ c˜ ao Postulado das Paralelas: Por um ponto n˜ ao pertencente a uma reta dada, passa uma u ´nica reta paralela a essa reta. Na figura abaixo sejam r e s duas retas paralelas. Cada uma das situa¸co ˜es est˜ ao representadas em uma das quatro transversais as duas retas. Na ordem, da esquerda para a direita, est˜ ao representados na mesma cor/estilo os a ˆngulos: alternos externos; alternos internos; correspondentes; opostos pelo v´ertice.

(b) [10 pontos] Enuncie os trˆes casos de semelhan¸ca de triˆangulos. Solu¸ c˜ ao Ver em qualquer um dos livros textos, procurem os cap´ıtulos nomeados Semelhan¸ca de Triˆ angulos!

2. [20 pontos] Prove que a semelhan¸ca

L L L , A, L

implica

L L L L, L, L.

Õ Õ

AB AC = DE Solu¸ c˜ ao Considere 4ABC ./ 4DEF tal que DE ⇐⇒ AB = DE e que B AC ' E DF . Suponha AC DF sem perda de generalidade que o 4DEF tenha os lados menores do que o 4ABC. Considere E 0 ∈ [AB]


T

tal que [AE 0 ] ' [DE]. Considere a reta r paralela a reta que contˆem o lado [BC] passando por E 0 . Seja X = [AC] r. Pelo teorema fundamental da proporcionalidade temos que AE 0 AB = AX AC por´em da hip´ otese temos DE AE 0 = DF AX de onde conclu´ımos que DF = AX. Pelo caso de congruencia L.A.L. conclu´ımos que AE 0 X ' DEF . Do teorema da proporcionalidade e pelo fato de B AC ser a ˆngulo comum, conclu´ımos por semelhan¸ca L.A.L. que AE 0 X ./ ABC. Dai AE 0 AB DE AB AB BC = ⇐⇒ = ⇐⇒ = E0X BC EF BC DE EF de onde conclu´ımos que L.A.L implica L.L.L.. Isto ´e, dado um triˆ angulo com dois lados correspondentes proporcionais, e o ˆ angulo compreendido entre esses lados congruentes, mostramos tamb´em que sempre ser˜ ao proporcionais seus outros dois lados, e ainda, tal propor¸ca ˜o ´e sempre igual a dos outros dois, concluindo ent˜ ao que os triˆ angulos semelhantes dados inicialmente sempre possuem os trˆes lados em propor¸ca ˜o.

Õ

3. [20 pontos] Enuncie e demonstre o teorema do ˆangulo inscrito. Solu¸ c˜ ao Ver [Geometria euclidiana plana e constru¸co ˜es geom´etricas, Eliane Q. F. Rezende, Maria L´ ucia B. Q.] p´ agina 90 e 91.

4. (a) [10 pontos] Mostre que a altura oriunda do v´ertice reto de um triˆangulo retˆangulo o divide em dois triˆ angulos que lhe s˜ ao semelhantes. Solu¸ c˜ ao Ver [Geometria euclidiana plana e constru¸co ˜es geom´etricas, Eliane Q. F. Rezende, Maria L´ ucia B. Q.] p´ agina 77.

(b) [10 pontos] Enuncie e demonstre o Teorema de Pit´agoras. Solu¸ c˜ ao Ver [Geometria euclidiana plana e constru¸co ˜es geom´etricas, Eliane Q. F. Rezende, Maria L´ ucia B. Q.] p´ agina 78.

5. Sejam ABC is´ osceles de base [BC] e D ∈ [BC] um ponto da base. Construa r0 (resp. r00 ) a perpendicular a (AB) (resp. (AC)) por D, e marque D0 (resp. D00 ) a interse¸c˜ao com [AB] (resp. [AC]).


(a) [5 pontos] Explique por que a constru¸c˜ao acima depende do Teorema de Pasch. Solu¸ c˜ ao Suponha que r0 ou r00 n˜ ao passem por nenhum v´ertice. Como r0 teorema de Pasch tal reta vai intersecionar [AB] ou [AC].

T[BC] 6= ∅ ent˜ao pelo

(b) [15 pontos] Mostre que a soma DD0 + DD00 ´e igual `a medida da altura de B (ou C).

Õ Õ

Solu¸ c˜ ao Observe a figura abaixo. Seja k a reta paralela a [AC] passando por D. DD0 EF ´e um retˆ angulo. Logo DD0 = F E. ABC ' B DF , logo 4GBD ´e is´ osceles. Tanto [BF ] quanto [DD00 ] s˜ ao alturas relativas aos lados congruentes, logo elas tamb´em s˜ ao congruentes (tente ver isso). Dai BF + F E = D00 D + DD0 .

6. Seja ABCD um quadril´ atero inscrito em um c´ırculo. Figura:

Õ Õ

(a) [6 pontos] Mostre que existe P ∈ [AC] tal que ABP ' C BD.


Õ Õ Õ Õ Õ Õ Vemos que A BC = C BD + D BA. Logo C BD < C BA(*). Lembre-se que intA BC = SSolu¸c˜ao[BP ). Pelo postulado do transferidor e pelo fato (*), podemos posicionar P de tal forma em Õ Õ [AC] tal que A BP = C BD. P ∈[AC]

(b) [6 pontos] Mostre que ABP ./ DBC e ABD ./ P BC.

Õ Õ Õ Õ Õ

Õ Õ ÷ Õ Õ

Solu¸ c˜ ao Note que AP B ' DBC e que B AP ' B DC, o primeiro por constru¸ca ˜o e o segundo por se tratar de ˆ angulos inscritos sob o mesmo arco B C. Logo pelo corol´ ario A.A., temos que 4ABP ./ 4DBC. Considere agora P BD = θ. Dai ABD ' P BC, pois ambos medem DBC + θ, temos tamb´em que ADB ' ACB, pois ambos s˜ ao a ˆngulos inscritos sob um mesmo arco AB. Novamente pelo corol´ ario A.A., temos que 4ABD ./ 4BP C.

Õ ö

(c) [8 pontos] Prove o Teorema de Ptolomeu: dado um quadril´atero inscrit´ıvel ABCD, tem-se AB.CD + BC.DA = AC.BD. Solu¸ c˜ ao Das semelhan¸cas do item (b) concluimos que: AB BP BC AC = e que = AC CD DP AD o que nos leva a AB · CD = BP · AC e BC · AD = DP · AC somando ambas as equa¸co ˜es acima obtemos AB · CD + BC · AD = BP · AC + DP · AC que ´e igual a AB · CD + BC · AD = AC · (BP + DP ) fica claro ent˜ ao que AB · CD + BC · AD = AC · BD


Ma520 p3 gabarito  

terceira prova de geometria euclidiana

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