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Programa de estudio MATEMÁTICAS IV 1.

IDENTIFICACIÓN DEL MÓDULO Semestre: 4 Competencia a desarrollar

Manejar estrategias generales para resolver problemas cotidianos aplicando procedimientos y conocimientos que implican representar fenómenos cotidianos mediante expresiones algebraicas y numéricas usando métodos gráficos y algebraicos que pertenecen a las áreas de la probabilidad y la trigonometría. Simular fenómenos aleatorios y su modelación matemática con herramienta matemática como la regresión polinomial y exponencial. Nombre y número del módulo Matemáticas IV Carga horaria semanal 5 horas Carga horaria semestral: 90 horas 2.

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO El módulo de matemáticas IV también forma parte del bloque básico que proporciona al alumno las matemáticas fundamentales que sustentan una cultura de la tecnología, con la finalidad de capacitarlo para el ejercicio técnico profesional. En este curso se continúan trabajando, en profundidad y extensión, componentes temáticos que ya se vieron en matemáticas I, II y III a nivel introductorio y que corresponden a técnicas de conteo, representación con datos reales de fenómenos aleatorios, cálculo de probabilidades utilizando herramienta algebraica sin enseñar explícitamente la estadística, sólo que ahora estas herramientas abordan las expresiones exponenciales y con radicales, la combinación de funciones (cálculo o álgebra de funciones) a nivel introductorio y la trigonometría para representar fenómenos que se comportan con patrones cíclicos. El tratamiento de la temática dista de centrarse en el manejo de un conjunto de fórmulas para aplicar a cada tipo de problema, que se estudia, más bien, se intenta manejar estrategias generales y ubicar la importancia de contar con diversas formas de representación matemática que facilitan el trabajo, dependiendo de los elementos o condiciones que se estipulan en un problema. En este semestre también abonan al dominio algebraico, el estudio de las razones trigonométricas y de la leyes de senos y cosenos para aplicarlos a problemas de velocidad y velocidad angular.. Hay extensión y profundidad en el conocimiento de las funciones polinomiales, exponenciales (exponentes fraccionarios), y estructura algebraica que incluye el estudio de métodos


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV gráficos para la resolución de problemas que pertenecen al campo de la programación lineal y se aborda su aplicación a fenómenos cotidianos y de los negocios—. Así, a este cuarto semestre de Matemáticas le corresponde, por una parte, avanzar en el estudio de los conceptos vistos en los tres semestres anteriores e introducir un nuevo tipo de funciones, las exponenciales con exponentes fraccionarios y las logarítmicas y vincular las ecuaciones con funciones y exponenciales y con radicales que recién ha trabajado el alumno, aspecto que enriquece ambas temáticas y contribuye a la formación de significados sobre la resolución de ecuaciones. El estudio de la probabilidad y las herramientas matemáticas que permiten simular fenómenos aleatorios y su modelación matemática están presentes y utilizan los conocimiento adquiridos sobre las funciones polinomiales, exponenciales y logarítmicas para aplicarlos a la construcción de rectas de mejor ajuste a datos reales, con la finalidad de hacer predicciones además de analizar el comportamiento de los fenómenos en estudio, introduciendo a los estudiantes en la aplicación de la regresión polinomial y modelos estocásticos un poco más complejos que los lineales vistos en los semestres anteriores.

3.

OBJETIVO GENERAL DEL MÓDULO 1. Objetivos generales del módulo En cuanto a los objetivos que el curso persigue, describimos las habilidades y capacidades intelectuales, éticas y emocionales que deseamos lograr en cada uno de nuestros estudiantes para que adquieran la cultura básica para la empleabilidad; por lo tanto, cada alumno, al final del curso:  Sabe usar métodos de conteo para contar objetos y permutaciones y aplicar estos conocimientos en temas como la encriptación de mensajes o la distribución de libros en una biblioteca.  Entiende la distinción entre arreglos donde el orden cuenta y donde no se requiere ser considerado.  Sabe evaluar combinaciones y expandir potencias de binomios usando el teorema del binomio de Newton y el triángulo de Pascal y conoce como aplicarlos para hallar probabilidades.  Es capaz de aplicar y distinguir entre funciones que involucran variaciones inversas, combinadas y conjunta.  Comprende las propiedades de los exponentes y el comportamiento gráfico de ecuaciones de la forma y = xn.  Simplifica y evalúa expresiones que contienen exponentes en forma racional o decimal y modela datos del mundo


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV cotidiano con ecuaciones exponenciales de regresión. Resuelve ecuaciones que contienen expresiones con radicales.  Combina funciones a través de la suma, resta, multiplicación y composición. Es capaz de identificar, algebraica y geométricamente, las funciones inversas.  Explora las funciones polinomiales y sus gráficas.  Visualiza el porqué los puntos que son intersecciones con el eje X, máximos y mínimos de las funciones son parte importante de las características de dichas gráficas.  Aplica las funciones polinomiales a problemas y situaciones del mundo real.  Relaciona los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.  Usa la graficación y factorización para resolver ecuaciones polinomiales y se ayuda de la división de polinomios para factorizar.  Entiende como el teorema fundamental del álgebra relaciona el número de ceros (raíces) de una función polinomial con el grado del polinomio y sabe analizar un modelo polinomial e interpretar sus resultados.  Simplifica expresiones racionales, usa modelos de funciones racionales y entiende las características de sus gráficas para aplicarlas tanto en la modelación de situaciones del mundo real como en la resolución de ecuaciones racionales.  Identifica características de funciones exponenciales por sus representaciones algebraicas, geométricas y numéricas.  Usa funciones exponenciales para modelar fenómenos demográficos, mercantiles y antropológicos y otros fenómenos de la vida cotidiana que involucran crecimiento y decaimiento y resuelve ecuaciones exponenciales.  Identifica características de funciones logarítmicas en su representación algebraica, geográfica y numérica, y el uso de funciones logarítmicas para modelar problemas de la vida cotidiana además de resolver ecuaciones logarítmicas.  Aplica las razones trigonométricas para resolver problemas de la vida real y sabe calcular el valor aproximado de razones trigonométricas de cualquier ángulo y razones exactas de los ángulos que son múltiplos de 30°, 45° y 90°.  Mide ángulos en radianes y calcula las longitudes de arcos, área de secciones circulares, velocidad lineal y angular.  Usa la semejanza para desarrollar, calcular y aplicar las razones trigonométricas.  Desarrolla y aplica la medición angular en radianes y halla los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos especiales.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV  Aplica las relaciones entre las medidas en radianes de arcos y secciones circulares, velocidad angular y velocidad lineal.  Usa ángulos de referencia para hallar las razones trigonométricas de cualquier ángulo.  Puede visualizar si el teorema de Pitágoras se aplica para triángulos rectos sobre una esfera.  Usa las leyes de senos y cosenos par hallar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de un triángulo.  Aplica las leyes de senos y cosenos para hallar la suma de vectores y el área de un triángulo.  Usa la triangulación para hallar las dimensiones y el área de una figura  Reconoce y describe las características de las funciones periódicas y sus gráficas.  Reconoce y entiende como las diferentes constantes en la ecuación de una sinusoide afectan su gráfica.  Ajusta a los datos de un fenómeno de comportamiento cíclico o periódico, una ecuación trigonométrica que lo modele.

4. CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 1 CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 1.1

carga horaria de la unidad: 10 horas carga horaria de la unidad: 4 horas

Unidad de competencia Elementos de competencia Usar métodos de conteo para contar Contar el número de formas en las que objetos y permutaciones. Aplicar estos un evento puede ocurrir. conocimientos en temas como la encriptación de mensajes o la distribución de libros en una biblioteca.

Componentes temáticos Conteo y arreglo de objetos discretos Conteo de objetos y permutaciones. Métodos de conteo.

Arreglos: ordenaciones y permutaciones

Permutación. Hallar el número de maneras distintas en las que se pude arreglar un conjunto de objetos cuando algunos de ellos se repiten y cuando no se repiten.

Contar el número de maneras en las que unos objetos en un conjunto pueden ser arreglados cuando todos los objetos son diferentes entre sí y cuando algunos de ellos están repetidos.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV Aplicar estos conocimientos a problemas cotidianos. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.

Aprender como la sustitución de códigos está relacionada a las permutaciones y descifrar un mensaje.

Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A. • Para que los estudiantes aprendan a contar el numero de maneras en que un evento puede ocurrir diseñe actividades de exploración y haga que los estudiantes dibujen diagramas de árbol y que los estudiantes cuenten el número de maneras en que un torneo puede ser calendarizado. • Proporcione ejemplos que ilustren los principios de conteo por multiplicación y adición y el concepto de eventos mutuamente excluyentes. • Pida a los estudiantes que comparen el número de maneras en que una serie de eventos pueden suceder cuando los resultados posibles son repetidos y cuando no lo son. • Anticipándose a lo que sigue en el programa, prepare a los alumnos para que trabajen con permutaciones y arreglos. B. • Para que los estudiantes aprendan a contar el número de maneras en que los objetos de un conjunto pueden ser arreglados, ya sea que los objetos sean diferentes o no, diseñe actividades de exploración donde los estudiantes investiguen varias permutaciones de un conjunto. • Proporcione ejemplos que ilustren permutaciones de conjuntos de objetos cuando los objetos son diferentes y cuando son idénticos. • Refuerce las permutaciones distinguibles y guíe a los estudiantes a través de un método que determine el número de permutaciones distinguibles. • Para que practiquen más razonamiento matemático introduzca permutaciones circulares y pida a los estudiantes que apliquen el concepto. C. • Para que los estudiantes aprendan los códigos de substitución y relacionen las permutaciones con el descifrado de mensajes diseñe actividades de exploración donde los estudiantes busquen la clave y puedan entonces leer el mensaje secreto.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV • •

Pida a los estudiantes que calculen el número posible de calendarizaciones de viajes, el personal, los destinos y las restricciones para viajar. Proponga ejemplos y ejercicios para que los estudiantes clasifiquen un conjunto de objetos y calculen todas las formas posibles de arreglarlos.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 1.2

carga horaria de la unidad: 4 horas

Unidad de competencia Entender la distinción entre arreglos donde el orden cuenta y donde no se requiere ser considerado. A. Evaluar combinaciones y expandir potencias de binomios usando el teorema del binomio de Newton y el triángulo de Pascal. B. Teorema del binomio.

Elementos de competencia Contar el número de objetos en un conjunto sin considerar el orden

Componentes temáticos Combinaciones y teorema del binomio

Relacionar el conteo de combinaciones con el teorema del binomio y el triángulo de Pascal

Combinaciones. Conjuntos de objetos considerando o no el orden. Conteo de combinaciones para hallar probabilidades.

Usar el desarrollo del binomio de Newton para hallar probabilidades.

C: Aplicación de estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.

Teorema del binomio. Triángulo de Pascal. Interpretación de los conceptos de combinación, expansión binomial y triángulo de Pascal. Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A. • Diseñe actividades de exploración donde los estudiantes relacionen permutaciones y combinaciones de letras con ayuda de un modelo geométrico. Haga que logren contar el número de combinaciones de un conjunto de objetos, sin importar el orden. • Use el conteo de combinaciones para calcular probabilidades. • Prepare a los estudiantes con el teorema de la distribución binomial, con objeto de anticiparse a los requerimientos


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV posteriores del curso. • Para el desarrollo del pensamiento matemático desafíe a los estudiantes a que demuestren la equivalencia entre nCr y nCn-r B. • Para relacionar las combinaciones, el teorema de la binomial y el triángulo de pascal, diseñe actividades de exploración donde los alumnos relacionen los resultados del lanzamiento de dos monedas con los coeficientes de una binomial expandida. • De ejemplos que ilustren la expansión de una función binomial usando el teorema de la binomial y el triangulo de Pascal. • Haga que los estudiantes relacionen la binomial expandida con la probabilidad. C. • Con objeto de que los estudiantes utilicen la expansión de la binomial para calcular probabilidades, desarrolle actividades de exploración y haga que los alumnos utilicen los resultados para hacer predicciones asociadas a problemas cotidianos en el control de calidad. • Pida a los estudiantes que utilicen la información dada en una gráfica de barras para hacer una predicción. • Elabore una nota histórica sonde informe acerca de Samuel F. Morse inventor de la clave Morse y asocie el trabajo desarrollado por este hombre con los temas de la unidad. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Pida a los estudiantes que escriban un resumen de lo que han aprendido en este capítulo, que expliquen como pueden ayudarles las técnicas de contar para analizar crucigramas o contar en otras situaciones Pida también que digan cuales de las técnicas vistas fueron confusas para ellos . Solicite además que expliquen como pueden relacionar esas técnicas con las actividades de la vida cotidiana de tal forma que les sea más fácil recordarlas. Evaluación por examen. Se recomienda que en su examen haya preguntas sobre los siguientes términos esenciales: principio del conteo por adición, teorema de la distribución binomial, combinaciones, factorial, principio del conteo por multiplicación, eventos mutuamente excluyentes, el triángulo de Pascal, permutaciones, diagrama de árbol Evaluación por desempeño: Se sugiere al profesor que diseñe una actividad criptográfica para la que le puede servir la siguiente guía de evaluación del desempeño de sus alumnos. • Nivel 4 logro completo. o Muestra comprensión completa sobre los conceptos de permutaciones y combinaciones. o Presenta pistas significativas y una explicación de cómo estas reducirán el número de sustituciones necesarias para decodificar el mensaje. o Incluye un código de sustitución y un mensaje codificado así como las pistas necesarias para reducir el número


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV •

de sustituciones del código a menos de cien. Nivel 3 logro esencial. o Muestra una comprensión esencial de las permutaciones y combinaciones. o Presenta pistas y una explicación de cómo estas reducirán el numero de sustituciones necesarias para descifrar el código. o Incluye un código de sustitución, un mensaje codificado y las pistas necesarias para reducir el número de sustituciones posibles a menos de cien. Nivel 2 logro parcial. o Muestra una noción parcial sobre las permutaciones y combinaciones. o Presenta pistas parciales y una pequeña explicación de cómo estas reducen el número necesario de sustituciones para descifrar la clave. o Incluye un código de sustitución, un mensaje codificado y algunas pistas. Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra un pequeño o prácticamente nulo entendimiento sobre permutaciones y combinaciones. o Presenta pocas o ninguna pista y no explica como las pistas reducen el número de sustituciones necesarias para descifrar la clave. o El código de sustitución, el mensaje codificado y las pistas no son usados adecuadamente para ilustrar el punto.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 2 Unidad: 2.1:

carga horaria de la unidad: 16 horas carga horaria de la unidad: 5 horas

Unidad de competencia Aplicar y distinguir entre funciones que involucran variaciones inversas, combinadas y conjunta.

Elementos de competencia Identificar variaciones inversa, combinada y conjunta

Componentes temáticos Investigación sobre raíces y potencias. Variación y potencias con exponentes enteros

A. Comprender las propiedades de los exponentes y el comportamiento gráfico de ecuaciones de la forma y = xn.

Clasificar relaciones entre variables según el tipo de variación.

Variación combinada. Variación inversa. Variación conjunta, rectangular e hiperbólica.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV B. Exponentes enteros positivos. C. Propiedades de los exponentes y las potencias. D. Aplicación de estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

. Investigar las propiedades de las gráficas de las funciones de la forma y = xm para m >2 Reconocer y aplicar las propiedades de los exponentes. Aplicar variación directa y notación científica . Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.

Punto de simetría. Gráfica e identificación de funciones de la forma y = xn para n > 2 Base exponente, notación exponencial, potencia, notación científica. Simplificación de expresiones con exponentes enteros. Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

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B.

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Con la intención de que los estudiantes identifiquen la variación conjunta, la combinada y la inversa, desarrolle ejemplos que muestren directamente estas variaciones en situaciones de la vida cotidiana. Haga que sus estudiantes exploren y grafiquen un ejemplo de variación inversa en el contexto de una situación de la vida cotidiana. Pida a sus estudiantes que expliquen en palabras las soluciones que hallen cuando usan gráficas. Pida a sus estudiantes que expliquen que sentido tienen y que significa la constante. Recurra a las notas científicas que hablan sobre las fuentes renovables de energía tales como el viento, la luz solar y la geotérmica. Pida a sus estudiantes que expliquen por qué algunos expertos predicen que estas fuentes de energía serán las de mayor uso a mediados de este siglo. Dado que en esta parte se trata de investigar las propiedades de las gráficas de las funciones de la forma y = xn para n > 2, pida a sus estudiantes que exploren e investiguen los patrones en las gráficas de dichas funciones. En un ejemplo muestre a los estudiantes como analizar una función de la forma f (x) = xn y bosquejar su gráfica a partir de dicho análisis. En un segundo ejemplo use una fusión con la forma f (x) = a xn que describa un fenómeno o situación del mundo real. Verifique que los estudiantes comprenden cual es el efecto en la gráfica que produce el exponente de una función. Pida a sus estudiantes que usen una gráfica para estimar valores. Con objeto de prepararlos para los temas precedentes, prepare a los estudiantes para que trabajen con exponentes y


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV • C.

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potencias. Para ejercitar el razonamiento matemático, los estudiantes deben describir los efectos que los parámetros a, b , y c producen en las gráficas de y = a (x+c)n + b. Parar reconocer y aplicar las propiedades de los exponentes, en esta parte, hay que trabajar algebraicamente y después formalizar dichas propiedades (leyes de los exponentes ). De ejemplos que ilustren, al menos dos maneras, de simplificar una expresión que contenga exponentes. Revise o enseñe la notación científica. Ponga ejercicios donde los estudiantes exploren el uso de la notación científica y las propiedades de los exponentes. Conduzca una discusión sobre el impacto de la deuda nacional y el FOBAPROA. Con la intención de que desarrollen pensamiento matemático, rete a los estudiantes a que desarrollen una regla para el orden en el que e deben ejecutar las operaciones. Promueva el sentido numérico haciendo que sus estudiantes resuelvan y calculen en situaciones de crecimiento demográfico que tengan que ver con densidad de población y demanda de recursos como el agua, energía etc… (no olvide exigirles las representaciones numéricas en notación científica ). El objetivo es aplicar la variación directa y la notación científica, sugerimos al profesor buscar ejemplos en el conocimiento científico donde se apliquen estas herramientas matemáticas, por ejemplo, puede utilizar la suma de las propiedades de la luz y las líneas de absorción para hacer que los estudiantes, al explorar la situación, hallen las diferencias en las posiciones de las líneas en un conjunto espectral y que las usen entonces para calcular la velocidad de un quasar. Use ejercicios en donde los estudiantes practiquen la forma estandarizada que se usan en los exámenes. Prepare a los estudiantes para trabajar con comparaciones cuantitativas sobre exámenes estandarizados. Pida a los estudiantes que estimen el número de granos de arena en el desierto del Sahara.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 2.2

carga horaria de la unidad: 6 horas

Unidad de competencia Simplificar y evaluar expresiones que contienen exponentes en forma racional o decimal y modelar datos del mundo cotidiano con ecuaciones exponenciales de regresión. A. Resolver ecuaciones que contienen expresiones con radicales.

Elementos de competencia Usar potencias con números racionales y explorar la relación entre radicales y exponentes.

Componentes temáticos Raíces, radicales y exponentes fraccionarios

Simplificar y evaluar de expresiones con exponentes racionales

Exponentes racionales. Índice y radicando. .

B. Configurar de modelos para datos con curvas de regresión exponencial. C. Resolver ecuaciones con radicales.

Usar números reales como exponentes en la modelación de datos.

Regresión exponencial.

Resolver ecuaciones con radicales simples y hasta con dos o más radicales

D. Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Enfatizar la práctica con el uso de exponentes y radicales en el mundo real. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.

Solución extraña. Ecuación con radical. Solución de ecuaciones con radicales y raíces extrañas. Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

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Para cumplir con el objetivo de explorar la relación entre radicales y exponentes, proponga situaciones en donde los estudiantes investiguen el significado de una potencia con exponente racional. Proporcione ejemplos que ilustren la relación entre exponentes y radicales e ilustre como se pueden simplificar las expresiones exponenciales.


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B.

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C.

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Pida a los estudiantes calcular los periodos orbitales de los planetas del sistema solar dadas sus distancias desde el sol. Prepare a los alumnos para que puedan trabajar números reales con exponentes. Haga que los estudiantes calculen la frecuencia de una cuerda de guitarra. Proponga una actividad de exploración para que los estudiantes ajusten una curva de regresión exponencial a datos de la vida cotidiana. Proporcione ejemplos que ilustren la evaluación de expresiones que contengan exponentes de número real. Pida a los estudiantes que evalúen cual de dos funciones se ajusta mejor a un conjunto de datos dados y que expliquen ampliamente su elección. Haga que los estudiantes elaboren predicciones con base en una función dada para calcular la producción automotriz. Para ejercitar el razonamiento matemático solicite a los alumnos determinar una función exponencial de regresión que mejor se ajuste a los datos fisiológicos de un animal. Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes modelen una situación de la vida cotidiana con una ecuación que contenga radicales y que entonces procedan a resolverla. Proporcione ejemplos que ilustren métodos de resolución para ecuaciones con radicales. Proponga ejemplos donde los estudiantes evalúen con falso y verdadero afirmaciones con respecto a una fórmula Prepare a los estudiantes para que trabajen con ecuaciones con radicales. Para resolver ecuaciones que contengan dos o más expresiones radicales, diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes hallen gráficamente soluciones a una ecuación con radicales. Proporcione ejemplos donde ilustre métodos para resolver ecuaciones radicales un poco más complejas que las abordadas en la sección anterior. Haga conexiones entre la geometría y el algebra con el concepto de puntos equidistantes. Use el modelo para describir la trayectoria de un objeto que cae escribiendo t (tiempo) en términos de h (altura). Para la comprensión de esta unidad haga énfasis en el uso práctico de los exponentes racionales y los radicales en la vida cotidiana. Diseñe, al menos una actividad de exploración para que los alumnos hallen una curva de regresión exponencial para datos relativos a la temperatura del aire y la velocidad del sonido Haga que los estudiantes practiquen contestar preguntas típicas de examen. Ayude a los estudiantes a prepararse para preguntas de comparación cuantitativa como se usan en las pruebas


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV •

estandarizadas. Recurra a los datos científicos sobre grandes terremotos que generan los tsunamis que pueden producir olas que alcanzan los treinta metros de altura (Puede trabajar con los datos del terremoto en la costa de Chile en mayo 22 de 1960 que produjo un tsunami que alcanzó las costas de California y el Japón; también puede aprovechar los datos más recientes del terremoto en Sumatra que provocó el gran tsunami que afectó a 11 países de Asia en diciembre de 2004 ).

CONTENIDO TEMÁTICO

Unidad: 2.3

Unidad de competencia Combinar funciones a través de la suma, resta, multiplicación y composición. A Operar con funciones. B. Componer funciones. C. Comprender, identificar y encontrar funciones inversas D. Usar una composición de funciones para clasificar una situación del mundo real.

carga horaria de la unidad: 5 horas Elementos de competencia Identificar, algebraica y geométricamente, las funciones inversas. Sumar, restar y multiplicar funciones. Hallar y evaluar funciones de funciones. Usar una relación inversa o una función inversa. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas. Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Componentes temáticos Funciones combinadas Creación de funciones por suma, sustracción y multiplicación de funciones. Funciones compuestas, evaluación de funciones. Funciones y relaciones inversas. Conexiones con matemáticas. Problemas en matemáticas, Problemas en otros contextos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

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Para sumar restar y multiplicar funciones diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes, en una situación de la vida cotidiana, sumen funciones gráficamente para crear una nueva función. Proporcione ejemplos que ilustren operaciones con funciones. Pida a los estudiantes que combinen el modelado de funciones del déficit presupuestal mexicano y que expliquen su


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D.

significado en casos específicos reales. Para que los estudiantes sigan practicando el razonamiento matemático, pídales que prueben teoremas sobre la conmutatividad en las sumas y productos de funciones. Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes compongan funciones que involucren fórmulas geométricas. Proporcione ejemplos que ilustren métodos de composición de funciones. Guíe a los estudiantes a través de los cálculos necesarios para que puedan escribir la fórmula del volumen de un cilindro como una composición de 2 funciones. Para hacer conexiones con la ciencia, pida a sus estudiantes que investiguen como usan los científicos a las bacterias para clonar y estudiar los genes humanos y como han tenido éxito usando este método para aprender más acerca de le hemofilia. Prepare a los estudiantes para trabajar con relaciones y funciones inversas. Promueva el razonamiento matemático haciendo que los estudiantes identifiquen restricciones en los dominios de las funciones compuestas. Dado que el objetivo de esta parte es comprender, identificar y hallar funciones inversas, comience por definir las relaciones y las funciones inversas. Proporcione ejemplos donde muestre como probar y hallar funciones inversas. Diseñe actividades de exploración, donde los estudiantes usen ecuaciones paramétricas para graficar una relación y su inversa. Verifique la comprensión de los estudiantes relativa a la notación de las funciones inversas. Pida a los estudiantes que analicen la forma gráfica y simbólica de la fórmula para convertir entre grados Celsius y Fahrenheit. Recurra a la prueba de la vertical para las funciones y pida a los estudiantes como pueden visualizar una prueba para ver si una función tiene una función inversa. Haga que sus alumnos practiquen el razonamiento matemático al usar el modo paramétrico en sus calculadoras graficadoras para describir un patrón para las pendientes de las líneas que conectan los puntos de una función con los correspondientes en su inversa. Para escribir y evaluar funciones meteorológicas compuestas introduzca la razón de Köppen para clasificar climas secos.


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Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes investiguen como la altitud y la distancia a una montaña afectan el clima de un lugar, y pida que descubran relaciones entre la temperatura y la precipitación pluvial para dos regiones imaginarias. Explore la producción y consumo del país en el rubro de energía a través del uso de funciones y sus combinaciones. Pida a los estudiantes que deduzcan una expresión para el área de la superficie de una esfera en términos de su diámetro. Solicite a los estudiantes hallar la suma y las inversas de dos funciones a partir de sus gráficas.

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Pedir a los estudiantes que escriban un resumen de lo que han aprendido en este capítulo. Que expliquen como los conceptos explorados en este capítulo les pueden ayudar a comprender las relaciones entre variables que existen en la vida cotidiana. Cuales de las técnicas y procedimientos vistos en el capítulo fueron confusos para él. Que explique como puede hacer conexión entre esas técnicas y/o procedimientos con los conceptos que él ha aprendido y que le ayudaran a recordar más fácilmente. Evaluación por examen. Se sugiere que el examen contenga preguntas que pidan al estudiante trabajar con diferentes tipos de variación donde estén relacionadas dos o más variables, que exploren raíces y exponentes, incluir exponentes negativos, racionales y decimales, que reporten formas diferentes de combinar funciones; también puede preguntar o incluir una selección de los siguientes rubros: variación combinada, función compuesta, notación exponencial, solución extraña, índice, función / relación inversa, variación inversa, variación conjunta, punto de simetría, potencia, regresión exponencial, forma cuadrática, ecuación con radical, radicando, hipérbola rectangular y notación científica. Evaluación por desempeño: Para realizar esta evaluación, pida a los estudiantes que capturen los datos numéricos de dos cantidades, que ellos elijan libremente, y que piensen que podrían estar relacionadas. Haga que describan cual es la variable dependiente y cual la independiente y que hagan la grafica de puntos correspondiente. Que usen regresión lineal y exponencial para modelar los datos. Que decidan cual de esos dos modelos parecen ajustarse mejor a sus datos y que expliquen porque. Para terminar pedirles que resuelvan la ecuación que sientan como el mejor modelo para la variable dependiente y que digan en cual de sus formas creen que la ecuación es más útil explicando su decisión. •

Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de la regresión lineal y exponencial.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV o o

Presenta los datos sobre una gráfica de puntos correcta e identifica el modelo que mejor se ajusta a los datos. Incluye una clara explicación sobre su elección para el modelo del mejor ajuste y para la forma más útil de la ecuación de dicho modelo.

Nivel 3 logro esencial. o Muestra una comprensión esencial y suficiente de la regresión lineal y exponencial. o Presenta los datos con las variables bien etiquetadas en una gráfica de puntos e identifica el modelo que mejor se ajusta a ellos. o Incluye una explicación sobre la elección del modelo que mejor se ajusta y la forma más útil de la ecuación para dicho modelo.

Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial sobre las regresiones lineal y exponencial. o Presenta una grafica de puntos y quizás no identifica el modelo de mejor ajuste para esos datos. o Incluye una explicación parcial sobre su decisión del modelo de mejor ajuste y la forma más útil de la ecuación de tal modelo para sus datos.

Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra una nula o casi nula comprensión sobre las regresiones lineal y exponencial. o No presenta una grafica de puntos o no presenta el modelo para los datos. o Presenta una pequeña, o de plano no presenta una explicación para su elección del modelo de mejor ajuste o para la forma más útil de la ecuación de dicho modelo.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 3 CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 3.1 Unidad de competencia

carga horaria de la unidad: 17 horas carga horaria de la unidad: 5 horas Elementos de competencia

Componentes temáticos


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV Explorar las funciones polinomiales y sus gráficas. Visualizar el porqué los puntos que son intersecciones con el eje X, máximos y mínimos de las funciones son parte importante de las características de dichas gráficas. A. Graficar funciones polinomiales.

Ser capaz de aplicar las funciones polinomiales a problemas y situaciones del mundo real.

Polinomios y funciones polinomiales. Funciones polinomiales y sus gráficas

Explorar las gráficas de funciones polinomiales.

B. Hallar valores máximos y mínimos de una función polinomial.

Investigar en las gráficas los máximos y mínimos de funciones polinomiales de grado mayor a 2.r

C. Hallar los ceros de una función.

Hallar algebraicamente los ceros (raíces) de una función polinomial. Hallar gráficamente los ceros (raíces) de una función polinomial. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.

Término constante, grado cúbico, grado de un polinomio, orden descendiente, coeficiente Máximo absoluto, mínimo absoluto, continuidad, máximo y mínimo relativo. Visualización gráfica de máximos y mínimos. Raíz real. Método gráfico para hallar los ceros de una función.

D. Aplicación de estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

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Para explorar las gráficas de funciones polinomiales comience por hacer ver a los estudiantes el grado de un polinomio y la definición misma de polinomio. Elabore una actividad de exploración para que los estudiantes investiguen las gráficas de funciones polinomiales de tercer y cuarto grado. Proporcione un ejemplo que muestre el uso de una función polinomial como un modelo matemático. Use una función polinomial para modelar los ingresos por impuestos. Realice una actividad para que los alumnos previsualicen como hallar los ceros de una función polinomial. Haga que los estudiantes practiquen el razonamiento matemático para investigar el comportamiento final de las


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV graficas polinomiales. B.

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C.

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Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes utilicen una función polinomial que maximice el volumen de una caja armada con los dobleces en las esquinas de una hoja de papel. Proporcione las definiciones de absoluto y relativo para los valores máximos y mínimos de una función. Proporcione ejemplos a los estudiantes para que hallen gráficamente los valores máximos y mínimos de una función. Pida a los alumnos maximizar el volumen de una caja de lápices. Pregunte a los estudiantes porque, en este caso, “la mejor” caja no es un cubo. Haga que los estudiantes usen las gráficas para identificar los valores máximos y mínimos absolutos y relativos de la función. Continúe promoviendo el desarrollo del razonamiento matemático pidiendo a los estudiantes que usen una función polinomial para modelar las utilidades de un negocio. Diseñe una actividad de exploración para que los alumnos estimen, a través de la grafica de una función polinomial, las intersecciones de esta con el eje x (ceros de la función). Proporcione ejemplos a los estudiantes para que hallen los ceros de la función por factorización y gráficamente. Continúe promoviendo el razonamiento matemático en sus estudiantes haciendo que utilicen una función polinomial para modelar la producción de una granja. Haga que los estudiantes practiquen problemas típicos que se acostumbran en los exámenes. Pida a sus estudiantes que maximicen el volumen de una caja con tapa. Los estudiantes verán que el término de mayor potencia en un polinomio encabeza o “sobrepasa” a los otros valores conforme el valor de x se aleja del cero.

CONTENIDO TEMÁTICO

Unidad:3.2

Unidad de competencia Usar la graficación y factorización para resolver ecuaciones polinomiales.

carga horaria de la unidad: 5 horas Elementos de competencia Ayudarse de la división de polinomios para factorizar. Entender como el teorema fundamental del álgebra relaciona el número de ceros (raíces) de una función polinomial con el exponente más alto en el polinomio.

Componentes temáticos Teorema fundamental del álgebra


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV A. Resolver gráficamente ecuaciones polinomiales.

Usar gráficas para resolver ecuaciones polinomiales y entender la naturaleza de sus soluciones.

B. Hallar los factores y raíces de polinomios.

Resolver ecuaciones polinomiales mediante la división y la factorización de polinomios. Resolver ecuaciones polinomiales con el teorema de las raíces racionales y entender el teorema fundamental del álgebra y sus consecuencias. Analizar un modelo polinomial e interpretar sus resultados. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas

C. Conocer y aplicar el teorema fundamental del álgebra D. Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Resolución de ecuaciones polinomiales Ecuación polinomial, soluciones reales de ecuaciones polinomiales mediante gráficas. Teorema del factor y del residuo. Uso de la factorización y división para resolver por raíces las ecuaciones polinomiales. Teorema fundamental del álgebra, raíces múltiples, raíces racionales. Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

• • •

Para que los estudiantes usen las gráficas en la solución de ecuaciones polinomiales y comprendan la naturaleza de sus soluciones, proporcione un ejemplo que ilustre como una ecuación cúbica puede ser resuelta utilizando la función de graficar de una calculadora. Elabore una actividad de exploración que ayude a los estudiantes a diseñar un silo mediante la configuración y solución de una ecuación polinomial. Utilice diferentes ventanas gráficas de la utilería de la calculadora o del software de la computadora para asistir a los estudiantes en la resolución de problemas. Haga que sus alumnos practiquen más resaltando la diferencia entre funciones y ecuaciones polinomiales. Proponga preguntas típicas de examen. Promueva el razonamiento matemático, solicite a sus estudiantes verificar su razonamiento para graficar las funciones.

Para resolver ecuaciones polinomiales mediante división y factorización proporcione a los estudiantes, al menos dos

• •

B.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV • • • • • • C.

• • • • D.

• • •

ejemplos en donde vean los casos especiales en los que la factorización puede ayudarles a resolver las ecuaciones. Diseñe una actividad para que los estudiantes exploren y hallen por graficación una raíz de una ecuación cúbica y que conociendo esta factoricen el polinomio para hallar las otras raíces. Introduzca la división larga de polinomios a través de los teoremas del factor y del residuo. Utilice estos dos teoremas para que en los ejemplos se usen para verificar los factores del polinomio. Haga énfasis en la conexión que existe entre los ceros de una función y sus factores. Pida a los estudiantes que demuestren que hay dos soluciones razonables en una situación adecuada para esto. Prepare a los estudiantes para que trabajen con polinomios de la forma P (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Para conseguir que hagan más razonamiento matemático, rete a los estudiantes a que usen el razonamiento inductivo para hacer conjeturas y verificarlas. Enfoque esta parte en la resolución de ecuaciones polinomiales con la ayuda del teorema de las raíces racionales y la comprensión del teorema fundamental del algebra y sus consecuencias, para ayudarse a ello, proporcione ejemplos a los estudiantes que muestre como el teorema de las raíces racionales les puede ayudar a resolver ecuaciones polinomiales. Diseñe una actividad donde los estudiantes exploren y hagan conjeturas acerca del numero posible de raíces de cualquier ecuación polinomial. Condúzcalos de forma natural a una discusión del teorema fundamental del algebra. Guíe a los estudiantes a través del uso del teorema de la raíz racional. Proporcione un ejemplo en donde dé a los estudiantes las raíces imaginarias y pídales que hallen la raíz real. Para promover mayor razonamiento matemático, introduzca a los estudiantes en el uso de la regla de los signos de Descartes. Con el objetivo de lograr que en esta parte los estudiantes analicen un modelo plinomial e interpreten los resultados, diseñe una actividad de exploración donde los alumnos estudien e interpreten una función polinomial que modele el crecimiento poblacional. Conduzca a los estudiantes a través de las posibilidades y naturaleza de las raíces de una ecuación cúbica. Pida a los estudiantes que expliquen las relaciones entre las gráficas de polinomios que intersectan el eje x y las raíces reales.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 3.3 Unidad de competencia

carga horaria de la unidad: 6 horas Elementos de competencia

Componentes temáticos


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV Simplificar expresiones racionales. Resolver ecuaciones racionales. A Operar con ecuaciones racionales y resolverlas. B Sumar y restar expresiones racionales C Manejar funciones racionales. Resolver ecuaciones racionales D Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Usar modelos de funciones racionales y entender las características de sus gráficas. Escribir, evaluar, multiplicar, dividir y simplificar expresiones racionales. Simplificar sumas y restas de expresiones racionales. Familiarizarse con las gráficas de funciones racionales Resolver ecuaciones que involucran expresiones racionales. Usar funciones racionales para modelar situaciones del mundo real. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas

Expresiones racionales y funciones. Expresión racional. Simplificación de expresiones racionales, productos y cocientes de expresiones racionales. Mínimo común múltiplo (denominador). Gráficas de funciones racionales, asíntotas, gráficas discontinuidades, Ecuaciones racionales y sus soluciones. Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

• • • • • •

Para lograr el objetivo de que los estudiantes escriban, evalúen, multipliquen, dividan y simplifiquen expresiones racionales, diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes escriban una expresión racional, la evalúen e interpreten los resultados. Proporcione un ejemplo donde muestre como se usan los números complejos conjugados para calcular el valor de una expresión racional con números complejos. Proporcione al menos tres ejemplos más donde muestre como se multiplican, dividen y simplifican expresiones racionales. Haga preguntas típicas de examen para que los alumnos practiquen. Utilice el hecho científico de que la parte imaginaria de una impedancia proporciona información acerca de cómo esta reaccionando el componente eléctrico a una corriente alterna, para ilustrar una aplicación de los números complejos. Prepare a los estudiantes para que trabajen con la suma y la resta de expresiones racionales.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV B.

Para promover el razonamiento matemático pida a los alumnos que simplifiquen expresiones racionales complejas.

Para alcanzar el objetivo de que los estudiantes simplifiquen las sumas y diferencias de expresiones racionales, diseñe una actividad de exploración en donde los estudiantes usen gráficas para identificar expresiones racionales equivalentes y empezar a visualizar como sumar y restar expresiones racionales. Proporcione ejemplos que ilustren sumas y diferencias de expresiones racionales con diferente denominador. Use gráficas para hallar la expresión racional equivalente a la suma o diferencia de dos expresiones y use esta conexión para ilustrar como estas sumas y restas se pueden simplificar. Evalúe la comprensión que sus estudiantes tienen acerca del mínimo común denominador. Para que los estudiantes tengan idea de aplicaciones en la vida cotidiana utilice el hecho científico de que la resistencia de un objeto esta midiendo su resistencia al flujo de corriente eléctrica aislantes como el cristal, tienen resistencias altas; y los conductores como el acero tienen baja resistencia; los semi conductores tiene resistencias intermedias y son muy importantes en la industria electrónica. Para ejercitar un mayor razonamiento matemático pida a los estudiantes que simplifiquen expresiones racionales con coeficientes complejos.

• • • •

• C.

D.

• • • • • •

• • E.

Para lograr que los estudiantes se familiaricen con las gráficas de las funciones racionales, diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes usen funciones racionales para modelar el volumen de gas en un balón. Proporcione ejemplos que muestren la gráfica de una función racional con asíntotas verticales. Rete a los estudiantes a explicar las discontinuidades en la gráfica de una función racional. Prepare a sus estudiantes en la solución de ecuaciones con expresiones racionales. Para que los estudiantes resuelvan ecuaciones que involucren expresiones racionales, proporcione ejemplos que muestren los métodos gráfico y simbólico para resolver ecuaciones con expresiones racionales. Diseñe una actividad de exploración para que los alumnos resuelvan una ecuación con expresiones racionales que modele una situación de la vida cotidiana. Puede auxiliarse en el hecho científico de que una lente convexa con una distancia focal positiva da una imagen invertida, ya que la imagen se forma en el lado opuesto a la lente desde el objeto. Una lente cóncava que tenga una distancia focal negativa coloca la imagen del objeto en el mismo lado de la lente y la imagen no es invertida. Haga conexiones a la geometría considerando un cilindro y una esfera con el mismo volumen. Haga que los estudiantes extiendan el conocimiento para operar ecuaciones con expresiones racionales y que trabajen con tres sumandos.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV • •

Para lograr que los estudiantes usen una función con expresiones racionales que modele una situación de la vida cotidiana, diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes usen una función con expresiones racionales para modelar el tiempo que un buzo puede estar en lo profundo sin experimentar la compresión. Evalúe la comprensión de sus estudiantes acerca del concepto de solución para una ecuación con expresiones racionales y del concepto de discontinuidad de una función con expresiones racionales


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación ( 1 horas) Auto evaluación. Para la auto evaluación de esta unidad puede pedir a sus estudiantes lo que sigue: Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica como estos conceptos pueden ayudarte a comprender las representaciones gráficas de situaciones que existen en el mundo real. Cuales de las técnicas vistas en este capítulo te resultaron confusas explica como los conceptos algebraicos de esta unidad del curso están relacionados con los procesos aritméticos que aprendiste anteriormente. Evaluación por examen. Elabore un examen tradicional que refleje un resumen acerca del conocimiento algebraico y como ayuda este a describir el comportamiento gráfico de las funciones. Así mismo, haga que su examen contenga situaciones de aplicación de estos conocimientos en el mundo real. Sus preguntas pueden abarcar varios de los siguientes términos claves: máximo y mínimo absolutos, término constante, continuo, función cúbica, grado de un polinomio, discontinuidad, teorema del factor, teorema fundamental del algebra, coeficiente principal, mínimo común denominador, raíz múltiple, polinomio, ecuación polinomial, función polinomial, ecuación con expresión racional, función con expresión racional, teorema de las raíces racionales, raíz real, máximo y mínimo relativos, teorema del residuo, asíntota vertical, ceros de una función Evaluación por desempeño: Para esta evaluación pida a sus estudiantes que escriban una función con expresión racional que tenga una asíntota vertical en x = 4 y una discontinuidad “hoyo”, en x = -2. Que dibuje una gráfica para su función. Que diga cuales son los ceros reales de su función y describa cualquier valor máximo o mínimo relativo o absoluto. • Nivel 4 logro completo. o Contiene una clara definición de una función con expresión racional y una correcta identificación y descripción de la asíntota y la discontinuidad. o Contiene una gráfica correcta de la función con expresión racional. La asíntota y la discontinuidad están claramente indicadas y el comportamiento final de la función esta delineado correctamente. o Proporciona los valores correctos de las raíces reales de los máximos y los mínimos e indica como estos fueron estimados o calculados. • Nivel 3 logro esencial. o Contiene la definición correcta de función con expresión racional, asíntota y discontinuidad. o Contiene una gráfica de la función que en términos generales es adecuada. La asíntota y la discontinuidad están indicadas pero puede no incluir la delineación del comportamiento final de la función. o Da al menos un valor correcto de raíz real y de un máximo o mínimo. • Nivel 2 logro parcial. o Proporciona una función con expresión racional o la gráfica con cualquiera, ya sea de la asíntota o la


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV •

discontinuidad, correcta. o Intenta resolverla para hallar la raíz real o para encontrar un máximo o un mínimo. Nivel 1 logro insuficiente. o Su trabajo es matemáticamente incorrecto. o Muestra una mínima comprensión sobre las funciones con expresiones racionales y sus caracteristicas.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 4. Unidad: 4.1

carga horaria de la unidad: 11 horas carga horaria de la unidad: 5 horas

Unidad de competencia Usar funciones exponenciales en modelos de la vida cotidiana que involucran crecimiento y decaimiento así como resolver ecuaciones exponenciales. A. Explorar funciones exponenciales para describir sus características y propiedades..

Elementos de competencia Identificar características de funciones exponenciales por sus representaciones algebraicas, geométricas y numéricas.

Componentes temáticos Funciones exponenciales y logarítmicas,

Explorar funciones exponenciales y sus gráficas.

B. Modelar situaciones del mundo real y del mundo abstracto de las matemáticas cuyo comportamiento de decrecimiento o crecimiento es exponencial. C Usar regresión exponencial como modelo de datos de la vida cotidiana. D Usar del número e como base en funciones exponenciales.

Usar funciones exponenciales como modelos de decremento y crecimiento exponencial.

Gráficas de patrones exponenciales. Ecuaciones exponenciales y funciones exponenciales. Modelo de cantidades que incrementen o decrezcan con el tiempo un porcentaje dado. Decremento exponencial y crecimiento exponencial. Escritura y solución de modelos de crecimiento y decremento exponencial.

Encontrar la ecuación de una curva para modelar datos que muestren decremento y crecimiento exponencial. Entender el número e y sus usos.

Modelos de crecimiento y decremento exponencial. El número e .


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV E Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos.

Usar una función exponencial para modelar fenómenos demográficos, mercantiles y antropológicos

Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

• • • • • • •

B.

• • • • •

C.

• •

Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes investiguen la forma y las propiedades de las funciones del tipo y = bx Proporcione ejemplos que ilustren el incremento de dinero. Proporcione ejemplos que muestren un método para resolver un ecuación exponencial. Haga que los estudiantes reflexionen y muestren como usan los métodos numérico y gráfico de resolución de ecuaciones exponenciales. Pida a los estudiantes que comparen las gráficas de las funciones exponenciales y polinomiales. Prepare a los estudiantes para modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial. Haga un repaso de la resolución de ecuaciones para hallar la base y use exponentes negativos antes de que los estudiantes trabajen con funciones logarítmicas. Proporcione suficientes ejemplos que muestren como puede ser usada una función exponencial para modelar y resolver problemas de la vida cotidiana. Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes puedan observar más cercanamente un problema que involucre decaimiento radioactivo. Proporcione a los estudiantes ejemplos que resuelvan paso a paso con algebra y pida que expresen las soluciones como porcentajes del cambio en una función de crecimiento exponencial. Se sugiere que provea una base para discutir en clase la relación entre las series geométricas y el crecimiento / decaimiento exponencial. Para que los estudiantes realicen más razonamiento matemático, haga que exploren los efectos de pequeños cambios en las tazas de crecimiento en una función de incremento exponencial que modele la población mundial. Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes ajusten una función exponencial a datos reales. Haga que los estudiantes usen dicha función para realizar predicciones y calculen valores para la variable dependiente. Pida a los estudiantes que distingan y expliquen claramente el crecimiento lineal y el exponencial.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV

D.

• •

Conduzca una discusión grupal sobre los efectos de la inflación en la política y la estabilidad económica del país. Haga un repaso algebraico y gráfico de las relaciones entre una función y si inversas bosquejando el trabajo con funciones logarítmicas.

Proporcione ejemplos que muestren el interés compuesto por cuatrimestres, esto los conducirá a desarrollar la fórmula para el interés compuesto continuo y el número e. Proporcione otro ejemplo que ilustre el interés compuesto continuo. Ponga una actividad de exploración donde los estudiantes investiguen la idea de duplicar el tiempo y descubran que el valor aproximado del producto por la tasa de interés es aproximadamente 70 en ese período de tiempo. Se sugiere que proporcione a los estudiantes la práctica suficiente sobre los efectos del interés compuesto y las tazas de interés. Extienda la idea del valor límite a sumas parciales. Proponga más razonamiento matemático pidiendo a los estudiantes que detecten las hipótesis invalidas en un modelo de un plan para retiro.

• • • • • E.

• • • •

Explique como funciona la determinación de fechas por medio de la prueba de carbono catorce. Diseñe una actividad de exploración donde pida a los estudiantes que escriban una función para el decaimiento exponencial y que lo usen para estimar la edad de un fósil. Proporcione práctica suficiente para hacer comparaciones cuantitativas sobre asuntos tal y cómo se presentan en las pruebas típicas. Haga que los estudiantes expliquen, después de haber comparado dos estimaciones sobre la taza de crecimiento del número de personas infectadas con SIDA las implicaciones sobre estos dos valores estimados.

CONTENIDO TEMÁTICO

Unidad: 4.2

Unidad de competencia Modelar problemas de la vida cotidiana además de resolver ecuaciones logarítmicas. A Entender la relación inversa entre funciones exponenciales y logarítmicas

carga horaria de la unidad: 4 HORAS Elementos de competencia Identificar características de funciones logarítmicas en su representación algebraica, gráfica y numérica, y el uso de funciones logarítmicas. Definir funciones logarítmicas. Expresar un exponente como logaritmo. Resolver ecuaciones logarítmicas.

Componentes temáticos Funciones logarítmicas.

Logaritmo común, logaritmo, función logarítmica, logaritmo natural. Logaritmo como funciones exponenciales inversas.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV B Resolver ecuaciones exponenciales. C Relacionar las propiedades de lo exponentes con las propiedades de los logaritmos.. D Aplicar los modelos exponenciales y logarítmicos a problemas buscando contextos diversos.

Usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Usar de las propiedades de los logaritmos.

Uso de logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales . Propiedades de los logaritmos.

Trabajar con un modelo logarítmico de magnitud sísmica.

Conexiones con matemáticas. Problemas diversos

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

• • • • • • •

B.

• • • • •

Diseñe una actividad de exploración en donde los estudiantes investiguen la función inversa de una función exponencial. Defina la función logaritmo. Proporcione ejemplos que ilustren como calcular logaritmos y hallar soluciones de ecuaciones logarítmicas. Proporcione suficiente práctica en cambiar expresiones de la forma exponencial a la forma logarítmica y viceversa. Explore el uso de los logaritmos en química para expresar el pH. Prepare a los estudiantes para que investiguen las leyes de los logaritmos. Como antecedente para trabajar con el número e pida a los estudiantes que trabajen con el interés compuesto continuo. Diseñe una actividad de exploración para que los estudiantes descubran que cualquier número real positivo puede ser representado por un logaritmo. De ejemplos a los estudiantes que ilustren la resolución de ecuaciones logarítmicas. En un ejercicio pida a los estudiantes que trabajen la taza de crecimiento anual de población y que lo resuelvan utilizando la aproximación de crecimiento continuo y la comparen con la función de crecimiento continuo. Promueva el razonamiento matemático utilizando la regresión logarítmica para hallar una ecuación que modele el crecimiento de la población, según un conjunto de datos. Haga que los estudiantes observen que y = log (10x) y y =10logx tienen dominios diferentes.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV C.

• • • • • • •

D.

• •

Prepare una actividad de exploración para que los estudiantes descubran las reglas para operar con logaritmos. Proporcione ejemplos donde muestre como se pueden usar dichas reglas para simplificar expresiones con logaritmos y resolver ecuaciones logarítmicas. Proponga una actividad de reflexión que ilustre dos maneras de resolver ecuaciones logarítmicas. Pida a los estudiantes que cambien de base para aplicar las leyes de los logaritmos. Haga un repaso de el conocimiento de los ángulos complementarios los cuales son importantes en triangulo trigonométrico. Prepare a los estudiantes para resolver problemas que surjan del uso de razones trigonométricas. Para practicar más razonamiento matemático, los estudiantes deben hacer su propia regla de cálculo y que expliquen como funciona. Diseñe una actividad de exploración donde los alumnos usen logaritmos para comparar las magnitudes y amplitudes de terremotos notables . Proporcione suficiente práctica con cuestiones de comparación cuantitativa típicas en una examen.

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación ( 2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de los conceptos más importantes de este capítulo. Incluye las descripciones de funciones exponencial y logarítmica, sus gráficas y la relación que guardan una con otra. Identifica situaciones del mundo cotidiano que pueden ser modeladas con esta funciones. En tu resumen menciona aquellas áreas donde hayas tenido dificultad y tu plan para superarla. Evaluación por examen. Elabore un examen convencional en el formato que guste donde pueda observar claramente el conocimiento que sus estudiantes lograron acerca del uso de las funciones exponencial y logarítmica para modelar situaciones de crecimiento y decaimiento de fenómenos del mundo cotidiano. Asegúrese de que examina también el conocimiento sobre la relación inversa entre ambas funciones logarítmicas –exponencial y que los estudiantes usen logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Evaluación por desempeño: Se sugiere al profesor que utilice este o cualquier otro problema típico. Una prescripción médica contiene 400 unidades de medicamento por ml. El medicamento se descompone a través del tiempo, debe haber al menos 300 unidades por ml de droga para que esta sea efectiva. Se tiene la siguiente tabla de datos.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV Días Unidades de prescripción

3 380.1

6 361.2

7 355.1

9 343.3

11 331.8

13 320.7

18 294.6

El director del laboratorio que produce la medicina intenta decidir si invierte o no en una investigación para alargar la vida activa de la medicina. Tu estas preparando el reporte, que incluya toadas las gráficas y tablas necesarias que le ayuden al director a tomar una buena decisión, él necesita saber: - Cual es la vida activa actual del medicamento. - Como se modela matemáticamente el proceso de decaimiento, y - El efecto de cortar a la mitad la taza de decaimiento . • Nivel 4 logro completo. o Muestra una comprensión completa sobre el decaimiento exponencial. o Proporciona un reporte que incluye respuestas correctas a las preguntas específicas solicitadas. o Presenta tablas y gráficas claras y exactas que ilustran los puntos clave. •

Nivel 3 logro esencial. o Muestra una comprensión sustancial sobre el decaimiento exponencial. o Su reporte incluye respuestas correctas sobre las preguntas específicas. o Presenta una tabla o gráfica que apoya puntos clave.

Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial acerca del decaimiento exponencial. o Su reporte incluye algunas respuestas correctas sobre las preguntas específicas. o Presenta una gráfica o tabla que apoya un punto clave.

Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra un pequeño o nula comprensión sobre el decaimiento exponencial. o El reporte no esta hecho o no incluye respuestas correctas a lo pedido. o No contiene tablas o gráficas.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: 5_________ Unidad: 5. 1

carga horaria de la unidad: 15 horas carga horaria de la unidad: 5 horas

Unidad de competencia Aplicar las razones trigonométricas para resolver problemas de la vida real. Medir ángulos en radianes y calcular las longitudes de arcos, área de secciones circulares, velocidad lineal y angular. A Conocer la trigonometría del triángulo.

Elementos de competencia Calcular el valor aproximado de razones trigonométricas de cualquier ángulo y razones exactas de los ángulos que son múltiplos de 30°, 45° y 90°.

Componentes temáticos Trigonometría

Aplicar el concepto de semejanza para desarrollar el conocimiento de las razones trigonométricas, su cálculo y aplicación.

B Desarrollar y aplicar la medición angular en radianes.

Hallar los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos especiales.

C Descubrir y aplicar las relaciones entre las medidas en radianes de arcos y secciones circulares, velocidad angular y velocidad lineal. D Usar ángulos de referencia para hallar las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Calcular la longitud de un arco, calcular el área de una sección circular.

Razones trigonométricas Ángulo de depresión, ángulo de elevación, coséchate, coseno, cotangente, secante, seno, tangente, trigonometría, razones trigonométricas, solución de problemas con ángulos de elevación y ángulos de depresión. Medidas en radianes y ángulos especiales. Ángulo central, radian, medida en radianes, razones trigonométricas de ángulos especiales. Velocidad angular, longitud de un arco, velocidad lineal, sección circular. Resolver problemas que involucran velocidad angular y lineal.

Encontrar razones trigonométricas de ángulos obtusos

Valores trigonométricos extendidos. Lado inicial, lado de referencia, lado terminal..


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV E Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas

Verificar si el teorema de Pitágoras se aplica para triángulos rectos sobre una esfera.

Conexiones con matemáticas. Geometría de la esfera y teorema de Pitágoras.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

• • • • • • •

B.

• • • • •

Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes busquen las razones de las longitudes de los lados en un triángulo rectángulo cuando se les ha proporcionado la medida de un ángulo agudo sin importar el tamaño del triángulo. En grupo definan las razones trigonométricas. Proporcione ejemplos que muestren como calcular razones trigonométricas y como usarlas para resolver problemas. Haga que sus alumnos practiquen la resolución de problemas que son preguntas típicas de examen. Diseñe actividades donde los estudiantes descubran que el seno, secante y tangente de un ángulo son guales al coseno, cosecante, y cotangente de sus ángulos complementarios respectivamente. Proporcione a los estudiantes cultura matemática, puede recurrir a la historia y pedirles que investiguen sobre Hiparco (140 a.C.) quien calculo el mes lunar, descubrió los equinoccios y 850 estrellas. Promueva más razonamiento matemático en su estudiantes, pídales que muestren que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo agudo siempre es igual a 1. Desarrolle actividades de exploración para que los alumnos investiguen las longitudes de los arcos sobre la superficie de la tierra. Defina la medición de ángulos en radianes y proporcione ejemplos que ilustren las conversiones de medidas angulares de radianes a grados y viceversa. Haga que los estudiantes encuentren las razonas trigonométricas en triángulos rectángulos para los ángulos con medidas de 30, 45, 60 y 90 grados. Haga que sus alumnos exploren ángulos con medidas superiores a los 360 grados. Proponga los ejercicios a los estudiantes que son preparatorios para trabajar posteriormente con longitudes de arcos y área de sectores.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV C.

Para desarrollar mayor razonamiento matemático muestre a los estudiantes las expansiones de las series de potencias para sen x y cos x.

• •

Proporcione ejemplos que muestren como hallar la longitud del arco. Proporcione otros cuatro ejemplos donde muestre soluciones a problemas del mundo cotidiano donde estén implicados la longitud del arco, el área de un sector, la velocidad angular y la velocidad lineal. Diseñe actividades de exploración que ayuden a los estudiantes a comprender la diferencia entre velocidad angular y velocidad lineal. Diseñe actividades de aplicación en la vida cotidiana para calcular áreas de sectores, puede recurrir a los limpiadores del parabrisas de un automóvil. Investigue las velocidades lineal y angular de un punto sobre la superficie terrestre. Promueva más razonamiento matemático introduciendo una nota histórica sobre Eratóstenes y pida a los estudiantes que expliquen cómo creen ellos que Eratóstenes logro estimar el radio de la tierra.

• • • • D.

• • • • •

E.

• • •

Prepare una actividad de exploración propuesta para un contexto astronómico en el cual los estudiantes puedan investigar como el lado terminal de un ángulo en la rotación puede producir ángulos equivalentes. Proporcione ejemplos que utilicen ángulos de referencia para hallar las razones trigonométricas de ángulos obtusos. Defina los ángulos coterminales y pida a sus estudiantes que apliquen el concepto. Prepare a los estudiantes con una serie de ejercicios previos al abordaje de las gráficas de las funciones periódicas. Promueva el razonamiento matemático, presente a los alumnos las fórmulas para hallar el seno y el coseno de la suma y diferencia de ángulos y haga que las usen para resolver problemas de la vida cotidiana. Diseñe una actividad de exploración para que los estudiantes usen la trigonometría y hallen la distancia entre dos puntos sobre la superficie terrestre. Prepare a sus estudiantes en la resolución de problemas que resultan en preguntas típicas de examen. Introduzca una nota histórica sobre la ley de la refracción de la luz establecida en 1621 por el científico Holandés Willebrord Snell.


Programa de estudio

CONTENIDO TEMÁTICO

Unidad:5.2

Unidad de competencia Usar las leyes de senos y cosenos par hallar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de un triángulo. A Usar la ley de cosenos para resolver triángulos mediante longitudes de lados y medidas de ángulos. B Usar la ley de senos y áreas de triángulos. Calcular áreas de triángulos con la fórmula trigonométrica para el área de Herón. C Aplicar estos conocimientos a problemas buscando contextos diversos. Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas

MATEMÁTICAS IV carga horaria de la unidad: 4 horas__________ Elementos de competencia Aplicar las leyes de senos y cosenos para hallar la suma de vectores y el área de un triángulo.

Componentes temáticos Leyes de senos y cosenos.

Conocer y aplicar la ley de cosenos. para hallar la resultante en la suma de vectores. Desarrollar y aplicar la ley de senos y usar la fórmula trigonométrica de Herón para hallar el área de un triángulo.

Ley de cosenos, vector, vector resultante. Resolución de problemas con vectores.

Usar la triangulación para hallar las dimensiones y el área de una figura.

Conexiones con matemáticas. Problemas diversos.

Ley de senos, fórmula de Heron. Uso de la ley de senos para resolver triángulos por la medida de los lados y los ángulos,.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

B.

• • • • • •

Introduzca la ley de los cosenos. Proporcione ejemplos que ilustren el uso de la ley de los cosenos. Diseñe una actividad de exploración para que los estudiantes investiguen vectores y usen la ley de los cosenos para hallar el vector suma. Involucre, en problemas de la vida cotidiana o de la física la suma de vectores para hallar las fuerzas resultantes. Promueva el razonamiento matemático y haga que los estudiantes deduzcan la ley de los cosenos. Desarrolle una actividad de exploración para que los estudiantes descubran la ley de los senos y la usen para resolver un problema de la vida cotidiana.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV • • • • • • C.

• • •

Proporcione un ejemplo que ilustre el uso de la ley de los senos. Proporcione otro ejemplo que ilustre la solución de un triángulo cualquiera. Introduzca la fórmula de Herón para hallar el área de un triángulo y la formula trigonométrica para lograr el mismo fin. Proporcione ejemplos donde se usen estas fórmulas. Muestre por que la información LLA podría dar dos triángulos posibles. También ilustre la necesidad de ser precavidos cuando usen la ley de los senos para resolver para una medida angular. Prepare a los estudiantes para trabajar en la graficación de funciones. Para practicar más el razonamiento matemático guíe a los estudiantes hacia la deducción de la fórmula para el área del triángulo trigonométrico y la ley de los senos. Prepare una actividad de exploración que proporcione información acerca de la gráfica de la poligonal de un terreno. Haga que los estudiantes usen trigonometría determinen el costo del plano. Proponga actividades donde los estudiantes observen como, al cambiar el ángulo entre fuerzas se afecta la magnitud del vector resultante. Prepare a sus estudiantes en la resolución de problemas que resultan en preguntas típicas de examen.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad

5. 3

Unidad de competencia Ajustar a los datos de un fenómeno de comportamiento cíclico o periódico, una ecuación trigonométrica que lo modele. Reconocer y entender como las diferentes constantes en la ecuación de una sinusoide afectan su gráfica. A Usar los conceptos de período y amplitud. Investigar funciones periódicas, especialmente funciones cosenos y senos.

carga horaria de la unidad: 4 horas Elementos de competencia Reconocer y describir las características de las funciones periódicas y sus gráficas. Analizar la gráfica de una sinusoide.

Componentes temáticos Funciones trigonométricas. ()

Hallar el período y amplitud de una función trigonométrica desde su gráfica y su ecuación.

Amplitud, período, función periódica, funciones trigonométricas.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV B Entender cómo una translación de una función periódica afecta el valor promedio de la ordenada y el cambio de fase de la función C Relacionar los conocimientos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana para, a través de la aplicación, sintetizar las nuevas ideas.

Hallar una gráfica de una función trigonométrica desde una ecuación y viceversa .Aplicar las translaciones trigonométricas.

Cambio de fase.

Usar una función periódica para modelar un patrón cíclico.

Conexiones con matemáticas.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE A.

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B.

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Introduzca las funciones periódicas. Proponga una actividad de exploración donde los estudiantes usen gráficas para investigar la naturaleza periódica de la función seno. Proporcione ejemplos que muestren como utilizar la gráfica para hallar el periodo y la amplitud de una función y después como hallar estas mismas características utilizando la expresión algebraica de la función. Proporcione otro ejemplo que modele un fenómeno de la vida real con una función periódica. Utilice analogías verbales para definir dominio, periodo, función constante, función lineal, función seno, función coseno, parábola, circulo y ponga problemas típicos de examen. Ayude a los estudiantes a realizar el trabajo previo que se requiere en el desarrollo de habilidades para que los alumnos hagan traslaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas. Promueva el razonamiento matemático pidiendo a los estudiantes que grafiquen las funciones tangente y cotangente. Con el objetivo de que los estudiantes comprendan como la traslación de una función periódica afecta el valor promedio de la variable dependiente y las fases de cambio de la función (frecuencias), proporcione un ejemplo donde los alumnos contrasten las gráficas de tres funciones periódicas relacionadas entre si. Desarrolle una actividad de exploración para que los estudiantes modelen un fenómeno de la vida cotidiana y que usen dicho modelo para hacer predicciones. Evalúe la comprensión de los estudiantes sobre periodo y cambio de fase (frecuencia). Pida a los estudiantes que usen una función seno para modelar las temperaturas subterráneas.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV C.

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Desarrolle una actividad de exploración para que los estudiantes encuentren la ecuación de una curva de mejor ajuste para los datos que describen un fenómeno periódico . Haga que los estudiantes practiquen la resolución de preguntas típicas de examen. Haga que los estudiantes trabajen en la propuesta de posibles funciones periódicas que modelen oleajes superiores a los promedios y que las escriban en función de la distancia.

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica la importancia que tendrían las funciones trigonométricas en tus estudios profesionales y el desarrollo de tu carrera en el ámbito del trabajo. Explica como has asociado estos conceptos de trigonometría expandida con tu comprensión de los procesos matemáticos que habías observado en el pasado. ¿Cuáles de las técnicas vistas en este capitulo te resultaron confusas y por qué?. ¿ Cómo planeas resolver tus confusiones?. Evaluación por examen. Puede proponer una batería de exámenes convencionales donde toque los siguientes términos claves listados en orden alfabético: amplitud, ángulo de depresión, ángulo de elevación, velocidad angular, Longitud de arco, ángulo central, cosecante, cotangente, fórmula de Herón, lado inicial, ley de los senos, ley de los cosenos, velocidad lineal, función periódica, cambio de fase, radian, ángulo de referencia, vector resultante, secante, sector, seno, tangente, lado terminal, trigonometría, función trigonométrica, vector. No olvide revisar la comprensión de los estudiantes sobre el uso de las funciones trigonométricas como modelos de fenómenos naturales. Evaluación por desempeño: Un peso asociado a un resorte o a una banda elástica rebotará subiendo y bajando en un movimiento periódico que puede ser modelado por una función seno. Fije un resorte o una liga a tu escritorio y ate un peso de algún tipo al otro extremo de este. Utilice un reloj con segundero para cronometrar cada rebote, midiendo las alturas máximas y mínimas del peso. Escriba una función y dibuje una gráfica para modelar dicho movimiento. Discuta los conceptos trigonométricos involucrados y describa cualquier inexactitud posible en sus datos o el modelo. • Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de las funciones periódicas, sus ecuaciones y sus gráficas. o La gráfica esta precisa y claramente dibujada. o La función dada es una buena aproximación de los datos. o La discusión de los conceptos trigonométricos es clara y señala las posibles fuentes de error. • Nivel 3 logro esencial. o Muestra una comprensión de las funciones periódicas así como de sus ecuaciones y gráficas.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV

5.

o El dibujo de la gráfica es preciso pero presenta pocos puntos de los datos. o La amplitud, periodo, el valor promedio de y, o la fase de cambio de la función dada pueden no ser correctos. o La discusión de los conceptos trigonométricos es clara y señala, las fuentes de error. Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial de las funciones periódicas, sus ecuaciones y gráficas. o Presenta una gráfica. o L función dada puede ser incorrecta con respecto a dos de los criterios mencionados en el nivel tres. o La discusión de los conceptos trigonométricos puede ser no clara y puede que no señale las fuentes de error. Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra una pequeña o nula comprensión de las funciones periódicas sus ecuaciones y sus gráficas. o La gráfica puede estar omitida o ser poco clara. o No da la función o si la da es incorrecta. o Falta la discusión de los conceptos trigonométricos o en su defecto esta elaborado pobremente.

BIBLIOGRAFÍA Precálculo James Stewart, Lotear Redlin, Saleem Watson, 3a edición. Editorial Thomson, Matemáticas. México 2001 ISBN970-686-030-4

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Cálculo, conceptos y contextos. James Stewart, Editorial Thomson. Serie Matemáticas. México 1999. ISBN 968- 7529-60-1

Estadística Richard c. Weimer. Editorial CECSA. 6a reimpresión. México 2003.


Programa de estudio MATEMÁTICAS IV ISBN 968-26-1300-0

Matemáticas básicas (álgebra, trigonometría y geometría analítica). John C. Peterson, Editorial CECSA. 4a reimpresión. México 2004. ISBN 968-26-1261-6

Fundamentos de matemáticas: álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo Silva Lazo, Limusa Noriega Editores. México 2003 ISBN 968-18-5095-5

Trigonometría y geometría analítica. Michael Sullivan, Prentice Hall ISBN 968-880-943-8

Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. Montgomery, Douglas C y George C. Runger. , Ed. McGraw Hill. México 1998.

Geometría y trigonometría Samuel Fuenlabrada de la Vega Trucíos, Mc Graw Hill ISBN 907-10-2926-3

Geometría con Aplicaciones y Solución de Problemas. Clemens/ O’Daffer /Cooney. Adison Wesley Iberoamericana.

Trigonometría, Rojano, Teresa, Eugenio Filloy Y. , Grupo Editorial Iberoamérica, 1999. ( Altamente recomendable)

Geometría Analítica para Bachillerato. Silvia Figueroa Campos, Manuel Guerra Tejada . Mc Graw Hill. 1992


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