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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI 1.

IDENTIFICACIÓN DEL MÓDULO Semestre: 6 Competencia a desarrollar

Reconocer patrones de datos como funciones de distribuciones de probabilidades discretas y continuas para iniciarse con la inferencia estadística. Realizar simulaciones o experimentaciones para modelar fenómenos con sus respectivas funciones de distribuciones de probabilidad muestrales. Realizar inferencia estadística calculando intervalos de confianza para estadísticos muestrales. Aplicar los conocimientos de las distribuciones de probabilidades para realizar pruebas de hipótesis sobre parámetros poblacionales. Analizar fenómenos y situaciones de la vida cotidiana y utilizar la regresión simple: lineal y exponencial, para modelarlos. Nombre y número del módulo Matemáticas VI Carga horaria semanal 5 horas Carga horaria semestral: 90 horas 2.

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO Distinguir la modelación matemática determinista de la modelación estadística que considera la variabilidad y al azar. Hasta antes de este semestre, los estudiantes ya han tenido oportunidad de trabajar con datos y muestras, con probabilidades y funciones de regresión, pero aún cuando el concepto de variabilidad se trabaja, así como el del azar también, las rectas o curvas de ajuste no fueron formalmente presentadas. En este semestre serán presentados con mayor rigor y formalidad disciplinaria los contenidos señalados aun cuando “ya se vieron en semestres anteriores” Gracias a la popularización de las calculadoras científicas se pueden simplificar los cálculos para la obtención de medidas estadísticas, y con el uso de computadoras hoy en día es posible trabajar en el aula con conjuntos de datos reales grandes que antes eran difíciles o imposibles de manejar. Es importante poder comunicarle al alumnado una visión global de la estadística: que sirve para recoger datos, para organizarlos en tablas y gráficos, reducirlos con técnicas de cálculo y para asignar probabilidades, esto es, modelarlo estadísticamente. Y todo ello, con un último objetivo, el de interpretar datos para tomar decisiones. Esta visión se puede apoyar y agilizar haciendo uso de software estadístico o utilizando alguna hoja de cálculo y/o de programas de computadora adecuados para elaborar tablas y realizar cálculos y gráficos estadísticos. El bloque de estadística y probabilidad, por su presencia en la vida cotidiana y en las demás ciencias, tiene un peso específico en esta modalidad de Bachillerato. Los contenidos de este bloque son imprescindibles para que el alumnado logre la madurez suficiente para interpretar de forma crítica las informaciones y encuestas de opinión, y adquiera los conocimientos

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI necesarios para su aplicación en determinados aspectos de las ciencias sociales y económicas. Estos contenidos ofrecen una buena oportunidad para analizar, tratar e interpretar la realidad mexicana. Los contenidos de este curso se basan en lo estudiado en etapas anteriores, se ocupa del tratamiento de variables bidimensionales y profundiza en las distribuciones de probabilidad, en particular la binomial y la normal. El interés se centra en el tratamiento de los datos, en la representación e interpretación de los parámetros y en la elaboración de conclusiones, realizándose los cálculos relativos a la correlación y regresión con calculadora o computadora. Aquí también se realizan estudios concretos de una población, a partir de una muestra bien seleccionada, para inferir y contrastar parámetros poblacionales de interés. En el último bloque, se realiza el estudio de la regresión lineal simple y la exponencial, considerando a ésta última como una función linealizable al transformar sus valores aplicando la función logaritmo. El uso de programas informáticos (hojas de cálculo y software específico de estadística), agiliza el estudio de la estadística, minimiza esfuerzos de cálculo y mejora la presentación de gráficos y datos. Los contenidos de este semestre son imprescindibles para que el alumnado logre el bagaje necesario para interpretar de forma crítica las informaciones y encuestas de opinión y para acceder al conocimiento científico. Estos contenidos ofrecen una buena oportunidad para analizar, tratar e interpretar la realidad mexicana. Basándose en lo estudiado en la etapa anterior, la estadística en Bachillerato se ocupa del tratamiento de variables bidimensionales. El interés debe centrarse en el tratamiento de los datos, en la representación e interpretación de los parámetros y en la elaboración de conclusiones, realizándose los cálculos relativos a la correlación y regresión con calculadora o computadora. Por su frecuente presencia en todo tipo de fenómenos sociales, económicos, demográficos y naturales, las distribuciones binomial y normal se convierten en contenidos indispensables para cualquier estudiante de este nivel escolar. 3.

OBJETIVO GENERAL DEL MÓDULO En cuanto a los objetivos que el curso persigue, describimos las habilidades y capacidades intelectuales, éticas y emocionales que deseamos lograr en cada uno de nuestros estudiantes para que adquieran la cultura básica para la empleabilidad; por lo tanto, cada alumno, al final del curso: • Sabe aplicar la teoría de la probabilidad para que pueda diseñar experimentos matemáticos en el área del control estadístico de calidad. • Analizar conjuntos de datos, para describir características arrojadas por los mismos. • Aplicar los elementos básicos de la teoría de probabilidad a fenómenos que obedecen a modelos no determinísticos. • Sabe aplicar el análisis estadístico a la solución de problemas comunes en los negocios. • Definir: variable aleatoria, variable aleatoria discreta, • Función de probabilidad puntual, variable aleatoria continua, función de densidad de probabilidad, función de

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distribución acumulativa. Calcular probabilidades, dada una función de probabilidad puntual. Calcular probabilidades, dada una función de densidad de probabilidad. Determinar la función de distribución acumulativa, dada -una función de probabilidad puntual y una función de densidad de probabilidad. Definir función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria distribuida uniformemente. Calcular probabilidades, dada la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria distribuida uniformemente. Determinar la función de distribución acumulativa para una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria distribuida uniformemente. Definir: sucesos equivalentes, función de variable aleatoria discreta, función de variable aleatoria continua. Comprender la regularidad estadística y el teorema del límite central. Sabe analizar un modelo estadístico e interpretar sus resultados. Calcular intervalos de confianza para un parámetro estadístico. Probar hipótesis de forma estocástica para la toma de decisiones en el control de calidad. Sabe diseñar pruebas para el control de calidad. Hallar la curva de regresión (lineal o exponencial) que mejor se ajuste a sus datos e interpretar e inferir con el nuevo modelo. Sabe utilizar distintos recursos y fuentes documentales: calculadora científica, gráfica, computadora, internet, diccionarios, enciclopedias, otras obras de referencia y consulta, revistas especializadas, bancos de datos, etc Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos (diagramas de barras o de sectores, histogramas, etcétera) así como calcular los parámetros estadísticos más usuales (moda, mediana, media aritmética y desviación típica), correspondientes a distribuciones sencillas y utilizar programas informáticos o la calculadora científica.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI CONTENIDO TEMÁTICO Unidad Distribuciones de probabilidad

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Unidad de competencia 1. Reconocer las relaciones entre las variables aleatorias (datos que analiza) con un patrón probabilista para expresarlos con la función de distribución de probabilidad correspondiente y aplicar las leyes de probabilidad. Analizar conjuntos de datos, para describir características arrojadas por los mismos y aplicar los elementos básicos de la teoría de probabilidad a fenómenos que obedecen a modelos no determinísticos.

carga horaria de la unidad: 12 horas Elementos de competencia 1.1 Analizar las relaciones entre datos variables identificando tendencias y patrones para hallar la distribución de probabilidad de un fenómeno de variable discreta y aplicar dicha función en el cálculo de probabilidades de eventos

Componentes temáticos Expresar con distribuciones de probabilidades patrones y relaciones entre variables discretas • Distribución binomial. • Distribución binomial acumulada • Distribución hipergeométrica • Distribución de Poisson 1.2 Analizar las relaciones entre datos Expresar con distribuciones de variables identificando tendencias y probabilidades patrones y relaciones patrones para hallar la distribución de entre variables continuas. probabilidad de un fenómeno de variable • Distribución exponencial continua y aplicarla en el cálculo de • Distribución uniforme probabilidades de eventos. • Distribución normal - Desviación normal - Cálculo de probabilidades - Determinación del valor de X - Aproximación a la distribución binomial 1.3 Revisar el uso de funciones de Conectar matemáticas con... distribución de probabilidades para Aplicación de estos conocimientos a organizar e interpretar relaciones de datos. problemas en contextos diversos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE 1.1. • • •

Haga un resumen de los conocimientos sobre probabilidad vistos en los cursos anteriores. Diseñe actividades donde introduzca las funciones de distribución de probabilidades discretas. Proporcione varios ejemplos, tanto de distribuciones discretas como de distribuciones continuas de probabilidad que pueden aparecer comúnmente en los negocios. Haga énfasis en la diferencia entre una distribución discreta y una continua de

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probabilidad. Diseñe una actividad donde los estudiantes puedan visualizar la estabilización de la frecuencia relativa de un suceso dependiendo del número de pruebas. Proponga una actividad de exploración donde los estudiantes usen variables discretas con sus gráficas para investigar la naturaleza probabilista y deducir la función de distribución correspondiente. Acérquese gradualmente a la presentación formal de este tipo de funciones probabilistas. Haga que sus estudiantes calculen e interpreten el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de lanzar una moneda tres veces y observar el número de águilas. Diseñe actividades donde los estudiantes se apoyen en la gráfica para hallar la función de distribución de probabilidades. Proponga a los alumnos, problemas en los que interpreten y simbolicen expresiones donde utilicen expresiones como “por lo menos…”, “a lo más….”, “exactamente…”, “más de…”, y otras. Diseñe actividades de aplicación que obliguen a plantear problemas contextualizados para que el alumno calcule y dé significado al valor esperado y a la desviación estándar. Proponga problemas donde los alumnos comparen diferentes distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, dos distribuciones con la misma media y diferente desviación estándar. Presente experimentos donde el alumno identifique si cumplen con la condiciones como para ser considerados un experimento Binomial. Diseñe actividades para que los alumnos apliquen la distribución de probabilidad Binomial utilizando diferentes medios como: fórmula, tablas, calculadora o algún programa de computadora. Plantea problemas en los que los alumnos puedan observar que los resultados del valor esperado y la desviación estándar obtenidos a partir de la distribución de probabilidad coinciden con los que se obtienen a partir de las fórmulas x = np y σ = npq respectivamente. Haga que sus alumnos trabajen, en al menos un caso, en que no hay reemplazo en una población finita conocida donde la probabilidad de éxito sea perceptiblemente alterada de una selección a la siguiente para que arriben a la distribución hipergeométrica. Proponga una actividad de análisis de la discriminación para que los alumnos apliquen la distribución hipergeométrica. Para el análisis de eventos aleatorios en períodos de tiempo o espacio, explique un ejemplo a sus alumnos que se resuelva por medio de la distribución de Poisson y proponga ejercicios sencillos donde los estudiantes apliquen la fórmula. Proponga actividades donde los estudiantes tengan que revisar los supuestos necesarios para aplicar la distribución de Poisson. Haga que sus estudiantes busquen, en el ámbito de los negocios y/o la informática, situaciones que se pueden modelar con la distribución de Poisson.

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Haga un resumen de lo visto en otros semestres, sobre la función exponencial. Proporcione un ejemplo que modele un fenómeno de variable aleatoria de la vida real con una función de distribución exponencial. Proponga a sus alumnos problemas, en el ámbito económico y de las computadoras, donde puedan aplicar la función de distribución exponencial. Diseñe una actividad de aplicación donde los estudiantes analicen y apliquen la función de distribución de probabilidad uniforme. Diseñe una actividad de exploración para la distribución Normal y añada un poco de información histórica sobre su origen y aplicaciones. Presente a sus alumnos situaciones donde puedan observar comportamientos que se puedan aproximar con modelos de distribuciones normales. Haga que sus estudiantes investiguen y presenten estudios y/o artículos de situaciones o procesos reales cuyo análisis incluya una curva de distribución Normal. Muestre a los alumnos la gráfica de una función de la forma y = a f ( x - c ) y haga énfasis en el papel que desempeñan las constantes a y c en dicha función y la asociación que estas guardan con μ y σ en la función de probabilidad Normal. Diseñe una actividad de aplicación donde los alumnos utilicen las propiedades geométricas de la función de distribución Normal Estándar en la evaluación de probabilidades y en el cálculo de los valores estandarizados z. Haga que practiquen y calculen con sus máquinas calculadoras y que usen tablas de valores para la Normal estandarizada. Haga una exposición de cátedra para cada una de las funciones de distribución de probabilidad estudiadas donde se muestre su aplicación en un fenómeno o situación de la vida cotidiana. Desarrolle una actividad de exploración para que los estudiantes encuentren la distribución normal de mejor ajuste para los datos que describen un fenómeno que se puede modelar mediante esta función. Haga que los estudiantes practiquen la resolución de preguntas típicas de examen. Haga que los estudiantes trabajen en la propuesta de posibles funciones normales que modelen situaciones económicas, sociales y de los negocios y que las escriban en función de sus medias y desviaciones estándar.

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica la importancia que tendrían las funciones de distribución de probabilidad en tus estudios profesionales y el desarrollo de tu carrera en el ámbito del trabajo. Explica como has

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI asociado estos conceptos de probabilidad con tu comprensión de los procesos matemáticos que habías observado en el pasado. ¿Cuáles de las técnicas vistas en este capítulo te resultaron confusas y por qué? ¿Cómo planeas resolver tus confusiones? Evaluación por examen. Puede proponer una batería de exámenes convencionales donde toque los siguientes términos claves listados en orden alfabético: cálculo de probabilidades mediante funciones de distribución, función de densidad de probabilidad, función de distribución acumulativa, función de distribución uniforme, función de probabilidad puntual, función de variable aleatoria continua, función de variable aleatoria discreta, variable aleatoria continua, variable aleatoria discreta, variable aleatoria, desviación estándar de una variable aleatoria con distribución de probabilidad binomial, desviación estándar de una variable aleatoria con distribución de probabilidad uniforme, desviación estándar de una variable aleatoria con distribución de probabilidad normal. Evaluación por desempeño: Ponga a los estudiantes en el papel de un gerente de empresa de contabilidad donde se descubre que el tiempo que toma realizar un proceso de auditoría está distribuido normalmente, con una media de 17.2 días y una desviación estándar de 3.7 días. Como gerente de la empresa, promete iniciar un trabajo de auditoría para una firma dentro de 20 días, pero debe terminar una que ya ha comenzado. ¿Qué tan probable es que cumpla su promesa? •

Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de lo que significan los datos distribuidos normalmente y la probabilidad de una serie de eventos independientes. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones es clara y detallada. o Hace una correcta y completa interpretación de resultados en el contexto del problema y su redacción es adecuada.

Nivel 3 logro esencial. o Muestra una completa comprensión de lo que significan los datos distribuidos normalmente y la probabilidad de una serie de eventos independientes. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones es clara en lo general. o La interpretación de los resultados es buena pero con detalles de redacción.

Nivel 2 logro parcial. o Muestra una parcial comprensión de lo que significan los datos distribuidos normalmente y la probabilidad de una serie de eventos independientes. o La estimación de los días es correcta pero el cálculo de la probabilidad de que termine en 20 días, es incorrecto. o La explicación sobre el cálculo de las estimaciones es confusa.

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La interpretación de resultados es incorrecta o incompleta.

Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra una pequeña o nula comprensión de lo que significan los conjuntos de datos normalmente distribuidos o la probabilidad de una serie de eventos independientes. o El cálculo de los porcentajes y probabilidades es incorrecto. o No es clara la explicación sobre los cálculos y estimaciones o de plano, está omitida. o No hay interpretación de resultados.

CONTENIDO TEMÁTICO Distribuciones muestrales

Unidad: 2

Unidad de competencia 2. Reconocer a los parámetros muestrales como variables aleatorias y modelar las distribuciones de probabilidad de la media muestral. Continuar ganando experiencia en la experimentación con datos obtenidos con diferentes muestras de una misma población y deducir sus distribuciones de probabilidad.

carga horaria de la unidad:______ Elementos de competencia 2.1 Comprender los elementos básicos de una distribución de medias muestrales ensayando con un conjunto de datos tomados de su entorno cotidiano.

Componentes temáticos Expresar los parámetros estadísticos con distribuciones muestrales 1. Error de muestreo 2. Media de las medias muestrales 3. Varianza y error estándar de las medias muestrales 4. Impacto del tamaño de la muestra en el error estándar.

2.2 Analizar la utilidad del teorema del límite central en distribuciones muestrales y usarlo como una herramienta poderosa en la estimación de parámetros poblacionales. Aplicaciones para una distribución normal

1. Teorema del límite centra 2. Uso de la distribución muestral 3. La distribución de las proporciones muestrales Conexiones

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE 2.1.

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2.3

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Haga un breve resumen de los conocimientos sobre probabilidad vistos anteriormente. Diseñe actividades donde introduzca las funciones de probabilidades para distribuciones muestrales. Haga que sus estudiantes experimenten con la probabilidad y la frecuencia relativa y construyan la distribución de probabilidad y la distribución de probabilidad acumulada asociada a una variable aleatoria. Proporcione varios ejemplos para medias muestrales y para proporciones muestrales que pueden aparecer comúnmente en los negocios. Haga énfasis en el error de muestreo y el “error estándar” aclarando la diferencia entre ambos. Proponga una actividad de exploración donde los estudiantes hallen la distribución de probabilidad para la media de las medias muestrales, haga que usen las variables con sus gráficas para investigar la naturaleza probabilista y puedan deducir la función de distribución correspondiente. Acérquese gradualmente a la presentación formal de este tipo de funciones probabilistas. Haga que sus estudiantes calculen la varianza y el error estándar de la distribución muestral. Diseñe un taller de exploración donde los estudiantes calculen las medias y desviaciones estándar para muestras de diferentes tamaños de una misma población, pida que hagan el análisis interpretando la media de las medias muestrales conforme los tamaños de las muestras crecen y condúzcalos a la deducción del teorema del límite central. Aproveche el taller anterior para que los estudiantes deduzcan los conceptos de desviación estándar de la población y error estándar de la distribución muestral de las medias muestrales. Haga énfasis en como se relacionan y cómo se diferencian en cuanto a tamaño. Pida las gráficas que apoyen los análisis, discusión e interpretación. Diseñe actividades donde los estudiantes se apoyen en la gráfica para ilustrar lo que sucede con el error estándar a medida que el tamaño de muestra aumente. Diseñe actividades donde los estudiantes, de manera natural o implícita, empiecen a usar la distribución muestral para calcular probabilidades y las medias de medias así como las desviaciones estándar. Haga que los estudiantes calculen probabilidades de eventos como “más de…”, “menos de…”, “entre (un valor), y (otro valor)….”, etc. Pregunte ¿Qué tanto es probable que el error de muestreo exceda un valor? Diseñe actividades de exploración y aplicación para trabajar con la distribución de las proporciones muestrales en el mismo sentido que enseñó la distribución muestral para la media proponiendo ejemplos y ejercicios con énfasis en los negocios. Diseñe actividades de aplicación que obliguen a plantear problemas contextualizados para que el alumno calcule y dé significado a la media y/o a la proporción. Haga que sus alumnos contesten preguntas típicas de examen y que usen la calculadora o un programa de computadora. Haga una exposición de problemas diversos resueltos cuyos contextos sean cercanos a lo que el estudiante vive cotidianamente.

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Proponga a sus estudiantes problemas cuya solución tenga aplicación real en un fenómeno o situación de la vida cotidiana. Desarrolle una actividad de exploración para que los estudiantes encuentren la distribución muestral que a su juicio mejor describen un fenómeno de variable aleatoria. Haga que los estudiantes practiquen la resolución de preguntas típicas de examen. Haga que los estudiantes trabajen en la aplicación de funciones muestrales y respondan a situaciones económicas, sociales y de los negocios e interpreten los resultados en función de los contextos propuestos.

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica la importancia que tendrían las funciones de distribución muestrales en tus estudios profesionales y en el ámbito de tu trabajo de acuerdo con tu carrera. Explica como has asociado estos conceptos de probabilidad con tu comprensión de los procesos matemáticos que habías observado en el pasado. ¿Cuáles de las técnicas vistas en este capitulo te resultaron difíciles o confusas y por qué? ¿Cómo planeas resolver tus dudas y dificultades? Evaluación por examen. Puede proponer una batería de exámenes convencionales donde revise el aprendizaje de los siguientes conceptos y términos claves listados en orden alfabético: desviación normal (estandarizada) para las proporciones, (Z), desviación normal para medias (z), error estándar con el factor de corrección para poblaciones finitas, error estándar con el factor de corrección para poblaciones finitas (estimadores insesgados), error estándar de la distribución muestral, error estándar de las proporciones, errores y sesgo, factor de corrección por finitud, media de las medias muestrales, procedimientos de muestreo, teorema del límite central, valor esperado de las proporciones, valor esperado, varianza de la distribución de las medias muestrales, Evaluación por desempeño: Ponga a los estudiantes en el papel de un inversionista. Sólo el 22% de todas las firmas de la industria de bienes de consumo comercializa sus productos directamente con el consumidor final. Usted planea hacer su siguiente compra a las firmas de esta industria, si una muestra de 250 firmas, le revela una proporción de más del 20% que se compromete en el mercado directo. ¿Qué tan probable es que usted gaste su dinero bien ganado en otra parte? •

Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de la distribución muestral y la probabilidad de una serie de eventos. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones es clara y detallada.

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Hace una correcta interpretación de los resultados.

Nivel 3 logro esencial. o Muestra una completa comprensión de lo que significa una distribución muestral para proporciones y la probabilidad de una serie de eventos. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones es clara en lo general. o La interpretación es buena pero con detalles de ajuste en la redacción o aparece un tanto incompleta pero deja ver que si hay comprensión.

Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial de lo que significa una distribución muestral para proporciones y la probabilidad de una serie de eventos. o La estimación de los porcentajes es correcta pero el cálculo de la probabilidad de que compre en otro lado es incorrecto. o La explicación sobre el cálculo de las estimaciones es confusa. o Tiene idea de lo que debe interpretar en el resultado pero lo muestra con equivocaciones.

Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra una pequeña o nula comprensión de lo que significa una distribución muestral para proporciones y la probabilidad de una serie de eventos. o El cálculo de los porcentajes y probabilidades es incorrecto. o No es clara la explicación sobre los cálculos y estimaciones o de plano, está omitida. o No hace interpretación de resultados.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: _3________ Inferencia estadística: intervalos de confianza y pruebas de hipótesis Unidad de competencia Realizar inferencia estadística de una población a partir del análisis de una muestra. Comprender las características esenciales de la estimación de parámetros poblacionales así como de las hipótesis estadísticas. Ganar experiencia en el uso del método para contrastar hipótesis estadísticas, interpretar los resultados y tomar decisiones.

carga horaria de la unidad:__________

Elementos de competencia 3.1 Estimar e interpretar parámetros poblacionales desde una muestra, puntualmente o con el uso de intervalos de confianza.

Componentes temáticos Inferencia estadística Estimación puntual Estimación con intervalos de confianza

3.2 Desarrollar una metodología mínima de prueba estadística que permita aplicar e interpretar la prueba de hipótesis para tomar decisiones.

Pruebas de hipótesis Elementos esenciales de una prueba de hipótesis. Valores críticos de z. Probabilidad de error. Formulación de la regla de decisión. Contraste de hipótesis. Conexiones Problemas en los negocios. Control de calidad.

3.3 Aplicar la metodología de pruebas estadísticas para obtener información suficiente que contribuya a la toma de decisiones en la solución de problemas en el ámbito del trabajo. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE 3.1. • • •

Haga un breve resumen de los conocimientos sobre parámetros estadísticos vistos anteriormente. Para conocer el concepto de estimación puntual, proponga actividades en las que los alumnos hagan estimaciones intuitivas, propiciando la discusión con el grupo en torno a las razones de tales estimaciones. Diseñe actividades donde introduzca el concepto de estimación por intervalo.

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3.2

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Plantear problemas contextualizados con n ≥ 30 a resolver por equipos y haga que sus estudiantes discutan los resultados con el grupo. Haga que sus estudiantes experimenten con intervalos de confianza y comenten los propósitos de esta estimación estadística. Diseñe actividades donde los estudiantes planteen problemas que pongan en relevancia el significado del nivel de confianza y del error de estimación. Proporcione varios ejemplos para estimar medias muestrales y para proporciones muestrales que pueden aparecer comúnmente en los negocios. Pida a sus estudiantes que planteen las hipótesis y que determinen y representen gráficamente la región de rechazo. Plantee problemas en los que se obtenga el tamaño de muestra para que la estimación no rebase un error de estimación dado. Proponga una actividad de exploración donde los estudiantes construyan el intervalo de confianza para la media y para la proporción de la población. Acérquese gradualmente a la presentación formal de este concepto. Haga que sus estudiantes calculen diferentes intervalos de confianza para medias y proporciones con calculadora o computadora y que analicen el error estándar y el tamaño de la muestra. Pida a sus alumnos que hagan la Interpretación estadística y representen gráficamente los intervalos de confianza. Haga a sus estudiantes preguntas típicas de examen. Diseñe un taller de exploración donde los estudiantes adecuen los problemas de estimación para contrastar una hipótesis. Haga que los estudiantes calculen el valor de n para diferentes errores y niveles de confianza, analicen su trabajo y arriben a conclusiones propias sobre la relación que guardan el error, el tamaño de muestra y el nivel de confianza. Diseñe actividades donde los estudiantes, de manera natural o implícita, comprendan que las hipótesis estadísticas sobre los parámetros pueden ser o no rechazadas. Diseñe una actividad de aprendizaje donde los alumnos aprendan a identificar los elementos que intervienen en una prueba de hipótesis. Diseñe al menos un taller, donde los problemas conduzcan a realizar pruebas de hipótesis de medias y de proporciones, generadas a partir de situaciones reales y cotidianas, utilizando la distribución Normal. Plantear actividades que impliquen contrastar supuestos referentes a alguna variable que sea susceptible de ser medida por los alumnos, con el fin de que verifiquen dichos supuestos; por ejemplo, los tiempos medios de duración de las piezas musicales en un disco, o el contenido neto en productos envasados. • Presentar problemas de planteamiento y verificación de hipótesis de medias y proporciones, bajo distribuciones normales Diseñe actividades donde los estudiantes se apoyen en la gráfica para ilustrar lo que sucede y resuelvan problemas de

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aplicación. Presente problemas cuyo planteamiento implique la verificación de hipótesis de medias y proporciones, bajo distribuciones muestrales Normales. Diseñe actividades de exploración y aplicación donde pregunte a los estudiantes por los tipos de error que pueden cometerse con respecto a los supuestos hechos sobre un parámetro. Diseñe actividades de aplicación que obliguen a plantear problemas contextualizados para que el alumno calcule y dé significado a las pruebas de hipótesis sobre los parámetros que estima y como este trabajo le ayuda en la toma de decisiones. Plantee actividades de aplicación del procedimiento de la prueba de hipótesis para obtener información suficiente que contribuya a tomar decisiones acerca del valor de un parámetro y que los estudiantes expliquen los resultados obtenidos de una prueba de hipótesis. Haga que sus alumnos planteen y resuelvan problemas de aplicación con calculadora o un programa de computadora para probar una hipótesis con diferentes niveles de confianza. Haga que los estudiantes contesten preguntas típicas de examen. Ponga a los estudiantes a trabajar en la aplicación de estimaciones puntales, de intervalo y pruebas de hipótesis que respondan a situaciones económicas, sociales y de los negocios e interpreten los resultados en función de los contextos propuestos.

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica la importancia que tendrían las pruebas de hipótesis en tus estudios profesionales y en el ámbito de tu trabajo de acuerdo con tu carrera. Explica como has asociado estos conceptos estadísticos con tu comprensión de los procesos matemáticos que habías observado en el pasado. ¿Cuáles de las técnicas vistas en este capítulo que te resultaron difíciles o confusas y por qué? ¿Cómo planeas resolver tus dudas y dificultades? Evaluación por examen. Puede proponer exámenes convencionales donde observe el aprendizaje de los siguientes conceptos y términos claves listados en orden alfabético: Elementos que componen un intervalo de confianza, elementos que componen una prueba de hipótesis, estimación, estimación puntual y por intervalos para la media y la proporción de la población, importancia de la estimación por intervalos, intervalos de confianza para la media y la proporción, prueba de hipótesis para la media y la proporción. Evaluación por desempeño: Ponga a los estudiantes en un contexto de negocios cotidianos, puede usar el siguiente u otro. Las redes de televisión reportaron los problemas que tenían al transmitir los juegos de fútbol profesional, debido a las variaciones en el

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI tiempo que dura cada partido. Los juegos que toman tiempos adicionales, debido a los marcadores o a los múltiples recesos, extendieron a franja de tiempo tomándolo del siguiente programa, mientras que los juegos que requerían de menos tiempo dejaron a las cadenas con lapsos de tiempo por llenar. NBC decidió probar la hipótesis de que debería asignar exactamente 3.1 horas por juego. Para probar esta hipótesis se seleccionaron los tiempos de 12 juegos. Los resultados en horas son los siguientes: Si α = 1%, ¿Qué debe hacer la NBC? •

Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de la situación y sabe qué distribución de probabilidad sigue la muestra y cómo plantear la hipótesis para probarla. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones y la prueba de hipótesis es clara y detallada. o Hace una correcta interpretación de los resultados y señala la decisión que ha de tomarse.

Nivel 3 logro esencial. o Muestra una completa comprensión de la situación y sabe qué distribución de probabilidad utilizar. o Sabe cómo plantear la hipótesis para probarla. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones y la prueba de hipótesis es clara en lo general. o La interpretación es buena pero con detalles de ajuste en la redacción o aparece un tanto incompleta pero deja ver que si hay comprensión.

Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial de la situación y de cuál es la distribución de probabilidad que sigue la muestra, también hay una comprensión incompleta de cómo plantear la hipótesis para probarla. o Casi todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas pero se observan omisiones. o La explicación de las estimaciones y la prueba de hipótesis plantean aspectos generales pero omite algunos o es confusa. o Tiene idea de lo que debe interpretar en el resultado pero dicha interpretación de resultados es incompleta o con equivocaciones y señala la decisión que ha de tomarse sin argumentos.

Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra una pequeña o nula comprensión de la situación y de cuál es la distribución de probabilidad que sigue la

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muestra. Hace, o está omitido, el planteamiento de la hipótesis a probar. Casi todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son incorrectas u omitidas. No hay explicación de las estimaciones y la prueba de hipótesis. No muestra idea alguna sobre lo que debe interpretar en el resultado ni señala la decisión que ha de tomarse

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: Análisis de varianza Unidad de competencia Probar hipótesis sobre la igualdad o diferencia de varianzas de dos poblaciones aplicando este conocimiento a los negocios.

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carga horaria de la unidad: __________

Elementos de competencia 4.1 Comparar la variabilidad de dos o más poblaciones. y determinar posibles diferencias significativas.

Componentes temáticos Prueba f 1. La razón F 2. Distribución F de Fisher 3. Pruebas para la diferencia de dos varianzas

4.2 Aplicar a la resolución de problemas cotidianos las pruebas de hipótesis para la toma de decisiones.

Conexiones

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE 4.1

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Haga referencia a las pruebas estadísticas anteriores donde se hizo la suposición a ciegas de que se tenía igualdad de varianzas e introduzca la razón F para comparar dos varianzas poblacionales. Explique la función de distribución f de Fisher y los conceptos en las que ésta se basa. Pida a los alumnos que haga un análisis del dominio de la función y de su conjunto imagen. Explique en que consiste la prueba de hipótesis para la igualdad de varianzas usando la razón F y la distribución f. Enseñe con un ejemplo como leer una tabla de valores f dado que tienen dos parámetros para los grados de libertad dado que el tamaño de muestra de donde provienen las varianzas, son distintos. Pida a sus estudiantes que planteen las hipótesis y que determinen y representen gráficamente la región de rechazo. Proponga a los estudiantes un problema o situación donde hagan un análisis y el planteamiento para probar la variabilidad de dos poblaciones, muestre como realizar la prueba f. Haga que sus estudiantes practiquen la regla de desición para rechazar o no la hipótesis nula.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI • • • • • • • •

Plantee problemas ricos donde los estudiantes tengan que aplicar todo lo aprendido. Varíe las preguntas sobre las poblaciones, haga que calculen el estimado de la varianza mancomunada común a ambas poblaciones y que lo apliquen a problemas que impliquen el cálculo de intervalos de confianza para la diferencia de medias. Haga que sus estudiantes contesten preguntas típicas de examen. Diseñe actividades donde los estudiantes tengan que calcular un intervalo de confianza cuando las varianzas poblacionales son desconocidas. Haga que los estudiantes discutan el caso en el que deban calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre 2 2 medias poblacionales cuando σ 1 = σ 2 son desconocidas. Muestre la fórmula para calcular los grados de libertad cuando las varianzas poblacionales no son iguales. Haga una demostración para probar igualdad de dos medias usando la distribución f. Si le queda tiempo, explique que se pueden probar tres o más medias mediante un análisis de varianza, deje esta información a nivel de la divulgación científica.

4.2 • Proponga una actividad de exploración para que los estudiantes puedan diseñar experimentos matemáticos en el área del control estadístico de calidad. • Proponga actividades en entornos de negocios y producción donde los estudiantes analicen la variabilidad y características de dos poblaciones para probar que son diferentes. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica la importancia que tendría la comparación de varianzas y analizar la variabilidad entre poblaciones distintas en tus estudios profesionales y en el ámbito de tu trabajo de acuerdo con tu carrera. Explica como has asociado estos conceptos de inferencia estadística a través de las pruebas de hipótesis con tu comprensión de los procesos matemáticos que habías observado en el pasado. ¿Cuáles de las técnicas vistas en este capitulo te resultaron difíciles o confusas y por qué? ¿Cómo planeas resolver tus dudas y dificultades? Evaluación por examen. Puede proponer un examen convencional donde revise el aprendizaje de conceptos y términos claves como: comparación de varianzas, razón F, distribución f, nivel de confianza, intervalo de confianza, grados de libertad, parámetros de l distribución f, hipótesis nula, hipótesis alternativa, regla de desición para rechazar o no la hipótesis de

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI igualdad de varianzas. Evaluación por desempeño: Ponga a los estudiantes en el papel de un productor que requiere insumos que compara las materias primas suministradas por dos proveedores que en apariencia proporcionan materiales distribuidos normalmente con el mismo promedio, pero existe preocupación en cuanto a la variabilidad de los materiales. Una muestra de 16 lotes del 2 proveedor A proporciona una varianza de 150 ( s1 = 150 ), mientras que una muestra de 21 lotes, provenientes del proveedor 2 B, arroja una varianza de 225 ( s2 = 225 ). Pruebe y decida si las variables son iguales contra la hipótesis de que son distintas.

Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de la prueba de hipótesis para analizar la variabilidad de dos poblaciones. o El reconocimiento de parámetros y valores de probabilidades y estimadores es correcto. o Los cálculos son correctos. o Muestra una gráfica de la situación. o Las explicaciones de las pruebas son claras y detalladas. o Hace una correcta interpretación de los resultados y una buena toma de desiciones en consecuencia ya la argumenta.

Nivel 3 logro esencial. o Muestra una completa comprensión de la prueba de hipótesis para analizar la variabilidad de dos poblaciones. o El reconocimiento de parámetros y valores de probabilidades y estimadores es correcto. o Los cálculos son correctos. o Puede o no mostrar una gráfica. o Las explicaciones de las pruebas son claras en lo general. o Hace una buena interpretación de los resultados pero con detalles de ajuste en la redacción o aparece un tanto incompleta, sin embargo se aprecia que hace una toma de desiciones en consecuencia y la argumenta.

Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial de lo que significa la prueba de hipótesis para analizar la variabilidad de dos poblaciones. o El reconocimiento de parámetros y valores de probabilidades y estimadores está incompleto en la escritura. o Los cálculos son correctos. o No muestra gráfica alguna. o Las explicaciones de las pruebas están expuestas de forma general.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI o •

Hace una interpretación de los resultados que dejan ver que tiene una idea de lo que debe interpretar, hace una toma de desiciones pero no la argumenta.

Nivel 1 logro insuficiente. o Muestra muy poca o nula comprensión de lo que significa la prueba de hipótesis para analizar la variabilidad de dos poblaciones. o El reconocimiento de parámetros y valores de probabilidades y estimadores está omitido en la escritura. o Los cálculos son incorrectos. o No muestra gráfica alguna. o No da explicaciones de las pruebas. o No hace una interpretación de los resultados.

CONTENIDO TEMÁTICO Unidad: Regresión lineal simple y exponencial Unidad de competencia Analizar con las herramientas de la regresión estadística, un conjunto de datos de dos variables para modelarlos con alguna función algebraica que mejor se ajuste a la relación presentada entre dichas variables. Establecer el grado y tipo de relación entre dos variables y construir el modelo de regresión correspondiente.

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carga horaria de la unidad:__________

Elementos de competencia 5.1 Conocer el concepto de correlación lineal entre dos variables a través de los diagramas de dispersión y el coeficiente de correlación de Pearson. 5.2 Aplicar la regresión lineal simple analizando si la recta de mínimos cuadrados es la de mejor ajuste estocástico.

5.3 Modelar una situación estocástica analizando si la regresión exponencial es la de mejor ajuste estocástico.

Componentes temáticos Regresión y correlación estadística 1. Diagramas de dispersión 2. Correlación de Pearson Regresión lineal simple: 1. Análisis de regresión (modelo de mínimos cuadrados) 2. Inferencia estadística: • Pruebas de hipótesis • Intervalos de confianza 3. Análisis de correlación Regresión exponencial 1. Linealización de la exponencial por logaritmos.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI 5.4 Modelar situaciones de la vida cotidiana que involucran probabilidad variabilidad lineal y exponencial linealizable mediante logaritmos.

Conexiones

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE 5.1. regresión y correlación estadística • • • • • •

Proponga una actividad de exploración con datos cercanos a las vivencias de los estudiantes para que los analicen y establezcan intuitivamente el tipo de relación entre dos variables. Diseñe una actividad donde enseñe a los estudiantes a construir tablas de contingencia para representar la relación entre dos variables cualitativas. Muestre como este instrumento supera a las tablas de frecuencias. Con el análisis de problemas propuestos por usted, discutir con los alumnos sobre la construcción e interpretación de las tablas de contingencia. Oriente el trabajo para que sus estudiantes descubran, al usar las tablas de contingencia, la intensidad de la relación entre las variables que estudian Haga que sus estudiantes utilicen la computadora para construir tablas de contingencia. Pida a sus estudiantes que construyan diagramas de dispersión para representar gráficamente la relación entre dos variables cuantitativas y que exploren como medirla e interpretarla.

5.2 . regresión lineal simple • • • • •

Diseñe una actividad para recuperar lo visto en matemáticas IV cuando se acercaron por primera vez a modelar una situación con una recta (función lineal). Aclare a sus estudiantes que el modo de acercamiento anterior a una regresión con función lineal fue de tipo determinista y que ahora es estocástico y muestre el nivel de profundidad en el que trabajaran desde ahora Diseñe más actividades donde utilicen la computadora para visualizar en el diagrama el mejor ajuste a partir de aproximaciones. Plantear problemas donde se haga notar que en un diagrama de dispersión es posible trazar una gran cantidad de rectas, pero que la que se obtiene con el método de mínimos cuadrados es la que mejor se ajusta a la nube de puntos. Discuta con el grupo lo que significa “la curva de regresión de mejor ajuste”.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI •

Para hacer que los alumnos conozcan e interpreten los conceptos de regresión y correlación lineal simple, proporcione parejas de datos de dos variables en situaciones cercanas a las vivencias de los estudiantes; pida que los grafiquen y calculen la recta de regresión (pueden usar calculadora o software). Pida que hagan predicciones del valor de alguna de las variables utilizando la recta de regresión, como un primer acercamiento a la idea de inferencia. Solicite que calculen el coeficiente de correlación. Discutan en equipo y con el grupo los resultados obtenidos. 5.3 regresión exponencial. • Proponga una actividad de exploración para que los estudiantes visualicen una curva de regresión exponencial a datos de la vida cotidiana. • Proporcione ejemplos que ilustren la evaluación de expresiones que contengan exponentes de número real utilizando logaritmos • Proponga problemas a los estudiantes donde vean que se debe “ajustar”. Una función exponencial y que se pude hacer de dos maneras a) “linealizando” la función mediante logaritmos o utilizando la paquetería de calculadoras científicas o un programa de calculadoras • Haga que los estudiantes elaboren predicciones con base en una función dada para calcular la producción automotriz. • Para ejercitar el razonamiento matemático solicite a los alumnos determinar una función exponencial de regresión que mejor se ajuste a los datos fisiológicos de un animal. 5.4. • Diseñe una actividad de exploración donde los estudiantes modelen una situación de la vida cotidiana con una función lineal o exponencial y que entonces procedan a inferir o predecir probabilidades de ocurrencia • Proponga ejemplos donde los estudiantes evalúen con falso y verdadero afirmaciones con respecto a una fórmula Prepare a los estudiantes para que trabajen con ecuaciones con radicales. • Proporcione ejemplos que ilustren métodos de resolución para ecuaciones con radicales. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES Evaluación (2 horas) Auto evaluación. Escribe un resumen de lo que has aprendido en este capítulo. Explica la importancia que tendrían las funciones de distribución muestrales en tus estudios profesionales y en el ámbito de tu trabajo de acuerdo con tu carrera. Explica como has asociado estos conceptos de probabilidad con tu comprensión de los procesos matemáticos que habías observado en el pasado. ¿Cuáles de las técnicas vistas en este capitulo te resultaron difíciles o confusas y por qué? ¿Cómo planeas resolver tus dudas y dificultades? Evaluación por examen. Puede proponer una batería de exámenes convencionales donde revise el aprendizaje de los conceptos y términos claves listados a continuación: variabilidad entre poblaciones, patrones de respuesta, correlación,

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI correlación estocástica, inferencia estadística ,modelo de regresión, modelo ajustado, etc Evaluación por desempeño: Ponga a los estudiantes en el papel de funcionario académico de una prestigiada universidad. El centro de ubicación laboral en State University desea determinar si los promedios puntuales en notas d los estudiantes (GPAs) puede explicar el número de ofertas laborales que ellos reciben después de graduarse. Los datos que siguen corresponden a los 10 recién graduados . Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GPA 3.25 2.35 1.02 0.36 3.69 2.65 2.15 1.25 3.88 3.37 Ofertas 3 3 0 0 5 4 2 2 6 2 Pida un diagrama de dispersión para los datos, que calculen e interpreten el modelo de regresión ¿Qué dice este modelo sobre la relación entre GPA y las ofertas de trabajo? Si fulanito tiene un GPA de 32 ¿cuántas ofertas laborales pronostican que él recibirá? Se desea, además, un estimado por intervalo del 95% para el número promedio de ofertas laborales que muchos de sus graduados recibirán para quienes tuvieron un GPA de 2.69. Calculen e interpreten el intervalo apropiado. • Nivel 4 logro completo. o Muestra una completa comprensión de la regresión estadística y llega al modelo de “mejor ajuste”. o Todas las estimaciones de probabilidades, inferencias y porcentajes son correctas. o Muestra una gráfica con detalles. o La explicación de las estimaciones es clara y detallada. o Hace una correcta interpretación de los resultados. • Nivel 3 logro esencial. o Muestra una completa comprensión de lo que significa una regresión estadística para modelar datos. o Todas las estimaciones de probabilidades y porcentajes son correctas. o La explicación de las estimaciones es clara en lo general. o La interpretación es buena pero con detalles de ajuste en la redacción o aparece un tanto incompleta pero deja ver que si hay comprensión. • Nivel 2 logro parcial. o Muestra una comprensión parcial de lo que significa una modelación usando regresión estadística. o La estimación de los porcentajes es correcta pero el cálculo de la probabilidad de que compre en otro lado es incorrecto. o La explicación sobre el cálculo de las estimaciones es confusa. o Tiene idea de lo que debe interpretar en el resultado pero lo muestra con equivocaciones. • Nivel 1 logro insuficiente.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI o o o o

Muestra una pequeña o nula comprensión de lo que significa una regresión lineal o exponencial El cálculo de los porcentajes y probabilidades es incorrecto. No es clara la explicación sobre los cálculos y estimaciones o de plano, está omitida. No hace interpretación de resultados.

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Programa de estudio MATEMÁTICAS VI 4.

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía para el alumno: Cochran, W. (1974). Técnicas de muestreo. CECSA, México. Hanke, J. y Reitsh, A. (1997). Estadística para negocios. Irwin Mc-Graw Hill, México. Lind, D., Mason, R. y Marchal, W. (2001). Estadística para Administración y Economía. Irwin Mc-Graw Hill, México. Lohr, S. (2000). Muestreo: Diseño y análisis. Thomson, México. Mendenhall, W. y Reinmuth, J. (2001). Estadística para Administración y Economía. Ideroamericana, México. Méndez, I. (1986). Conceptos muy elementales del muestreo con énfasis en la determinación práctica del tamaño de la muestra. Comunicaciones Técnicas, IIMAS, UNAM México. Bibliografía para el profesor http://www.iberomat.uji.es/carpeta/posters/poster_angeles_lonjedo.doc http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/cast/eponencies.htm Jornada Europeas de de estad´sitica. Revista con artículos de investigación en la enseñanza de la estadística de varios autores http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Mallorcadef.doc Iniciativas para mejorar el aprendizaje de la Estadística en la Universidad Autores: Muñoz Gracia, M. Pilar; Cobo Valeri, Erik; González Alastrué, José Antonio; Sánchez Espigares, Josep Anton; Castro Pérez, Jordi; Martí Recober, Manuel Universitat Politècnica de Catalunya , Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Pau Gargallo, 5. 08029 Barcelona, España { pilar.munyoz, erik.cobo, jose.a.gonzalez, josep.a.sanchez}@upc.es, jcastro@eio.upc.es manuel.marti-recober@upc.es

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Matematicas VI