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DECLIVE DE UMA RETA COMO TANGENTE DA INCLINAÇÃO

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Distância entre dois pontos y B

yB dAB

yA

o

(yB - yA)

A (xB - xA) x

xA

xB

(dAB )2  (xB  x A )2  (yB  y A )2

ou

dAB  (xB  x A )2  (yB  y A )2


Coordenadas do Ponto Médio

y

B

yB M

yM yA

o

A

x xA

xM

xM

xB

x A  xB  2

y A  yB yM  2

M(x m , ym )


Equação da reta


(u1+v1, u2+v2) (v1,v2)

(u1,u2)


(u1+v1, u2+v2)

(4,6)

(v1,v2)

(-3,2)

(u1,u2)


(4,6)

u=(7,4)

(-3,2)


r

y yB

B (yB - yA) A

yA

o

 (xB - xA)

xA

tg 

x xB

yB  y A y  yA ou mAB  B xB  x A xB  x A


Inclinação Positiva (m>0) r

y B

yB

(yB - yA) yA

o

A

(xB - xA)

xA

x

xB

•As diferenças (yB - yA) e (xB - xA) têm o mesmo sinal. •O ângulo que a reta forma com o eixo x, contado no sentido positivo (anti-horário), é agudo, ou seja, menor que 90°.


Inclinação Negativa (m < 0) r y yA

A (yB - yA)

B yB

(xB - xA)

 o

xA

xB

•As diferenças (yB - yA) e (xB - xA) têm sinais opostos •O ângulo que a reta forma com o eixo x, contado no sentido Positivo (anti-horário), é obtuso (maior que 90°).

x


Pontos Colineares

y C

yC

yA

Três ou mais pontos estão alinhados Se formarem uma reta!

B

yB

A

x o

xA

xB

xC

Algebricamente... Condição para que os pontos sejam colineares

yB  y A y C  yB  xB  x A x C  xB


Equação Reduzida da reta r y B

yB

P

y

y0

o

m

A

x0

y  y0 x  x0

x x

y  y0 m  x  x0

xB

y  y0  m(x  x 0 )


DOIS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: Ex.01: Determina as equações da reta representada abaixo: y A 4

0

x

Solução: (4,0) (0,-8)

-8 B

m =

yB - yA

xB - xA y =-2x + 8 Eq. Reduzida

m=

-8 - 0 4– 0

Ex.02: Determina as equação da reta que faz 60° com o eixo x e passa por P(-2, -2): y  x 3  2.( 3  1)


Condição de paralelismo entre duas retas y r

 o Pode-se notar que: mr = tg  e ms = tg  então: mr = ms

s

 x


y = 2x + 2

1 9 y  x 2 2


Condição de perpendicularidade entre duas retas y

r

s

1 mr   ms  o

b x


Dist창ncia de um ponto a uma reta


d ( A, B) 

5  4.162  1  0.122

d ( A, B)  1.4


Conjuntos de pontos definidos por condições no plano e no espaço

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MEDIATRIZ DE [AB]

Propriedades: • Um ponto qualquer da mediatriz de um segmento de reta é equidistante dos extremos desse segmento. • O ponto médio do segmento de reta é o ponto da mediatriz desse segmento que se encontra à menor distância dos extremos desse segmento de reta. • A mediatriz é perpendicular ao segmento de reta.


  A

P

 M

 B

MP.AB  0

x  xM , y  yM . xB  xA , yB  y A   0


PLANO MEDIADOR DE [AB]

O plano representado a verde denomina-se Plano Mediador do segmento de reta.

P

 B  A

O plano mediador de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de reta.

O plano mediador é perpendicular ao segmento de reta e contém o ponto médio desse segmento de reta.


P

MP.AB  0  B  A

x  xM , y  yM , z  zM . xB  xA , yB  y A , zB  z A   0


CIRCUNFERÊNCIA DE DIÂMETRO [AB]

AP .BP  0 x  xA , y  y A . x  xB , y  yB   0


x  6x  y  8 y  1  0 2

2

Determina o raio e o centro da circunferência:

x  3

2

x  6x  3 2

2

  y  4  1  32  42  0 2

y 2  8 y  42

x  32   y  42 C( 3,4 ) r 2 6

 24


SUPERFÍCIE ESFÉRICA DE DIÂMETRO [AB] A

AP .BP  0 P

B


RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA NUM PONTO DADO

CT .TP  0 xT  xC , yT  yC . x  xT , y  yT   0


PLANO TANGENTE A UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA NUM PONTO DADO

T

C

P

CT .TP  0


FIM

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