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INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL

Profesor: Ángel Millán León I.E.S. “Virgen de Villadiego” Peñaflor (Sevilla)


I.E.S. “Virgen de Villadiego”

Departamento de Tecnología

Índice de la Unidad Didáctica 1. INTRODUCCIÓN: DE LO ANALÓGICO A LO DIGITAL. 2. OPERACIONES BINARIAS. 2.1. Ideas previas. 2.2. El nibble o cuado. 2.3. El byte. 2.4. Conversión de binario a decimal. 2.5. Conversión de decimal a binario. 2.6. El sistema hexadecimal. 2.7. Suma binaria. 2.8. Diferencia binaria. Algoritmo de la resta. 2.9. El código BCD

3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE VERDAD. 3.1. Definiciones. 3.2. Funciones básicas. 3.3. Álgebra de Boole. Propiedades.

4. PUERTAS LÓGICAS. 4.1. Puerta NOT. 4.2. Puerta OR. 4.3. Puerta AND. 4.4. Puerta NOR. 4.5. Puerta NAND. 4.6. Puerta OR Exclusiva (XOR ú OREX). 4.7. Puerta NOR Exclusiva (XNOR ó NOREX).

5. LA ELECTRÓNICA DIGITAL EN EL MERCADO. Apéndice I: método de Karnaugh para la simplificación de funciones lógicas. Apéndice II: implementación de funciones lógicas sólo con puertas NAND o NOR. Apéndice III: primera y segunda formas canónicas Apéndice IV: montajes pull-up y pull-down Apéndice V: apps para smartphone Apéndice VI: FPGAndo por la E.S.O.


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1. INTRODUCCIÓN: DE LO ANALÓGICO A LO DIGITAL. Hoy en día, la palabra “digital” aparece en multitud de situaciones. La expresión “sonido digital” nos “suena” muy bien. Nos hace pensar en un sonido perfecto. Lo asociamos a un CD, o al audio de una película en DVD o Blue-Ray. Desde noviembre de 2005, la Televisión Digital Terrestre es una realidad en vuestras casas, y vemos también televisión digital a través de satélite. Gracias a unos decodificadores, podéis recibir unas imágenes y sonidos de gran calidad. En los circuitos digitales sólo hay dos voltajes o estados: el máximo y el mínimo, cada uno asociado a lo que llamamos un estado lógico, y que identificamos con 0 y 1. Al utilizarse sólo dos estados hablamos de un sistema binario, cuya principal ventaja es la sencillez de sus reglas aritméticas, que hacen de él algo apropiado para el funcionamiento de ordenadores, smartphones, etc. Podemos echar un vistazo a la Historia, para ver los principales hitos de la historia de la electrónica digital: Ponemos el punto de inicio en 1854, cuando el matemático inglés George Boole publica “Las leyes del pensamiento”, donde da a conocer el álgebra que lleva su nombre. Este álgebra permitía explicar, por ejemplo, cómo se realizan los razonamientos en el interior de la mente humana.

George Boole (en este mundo hay 10 tipos de personas, las que saben binario y las que no)

En 1938, Claude Shannon demostró que las operaciones booleanas elementales se podían representar mediante circuitos eléctricos, y que la combinación de circuitos podía representar operaciones aritméticas y lógicas. Además, demostró que el álgebra de Boole se podía usar para simplificar Claude Shannon circuitos conmutadores. La unión entre la lógica (rama de la matemática) y la electrónica quedaba, pues, establecida. En 1942 funcionó la ABC (Atanasoff-Berry Computer), la primera computadora digital, y en 1946 se terminaba la ENIAC, primera computadora electrónica. En 1947, John Bardeen, Walter Brattain y William Shockley inventan el transistor, el elemento de conmutación básico de los circuitos actuales. En 1958, Jack Saint Clair Kilby inventa el primer circuito integrado. Por su ENIAC aspecto, a su circuito le dieron el nombre de chip, el cual ha mantenido hasta nuestros días. Los chips se adaptaron perfectamente a la lógica digital y, desde ahí, los avances han sido constantes y realmente espectaculares. En 1971, por ejemplo, se inventó un chip muy especial: el microprocesador, que aparece en smartphones, tabletas, ordenadores, etc. Sin él, el mundo que conoces sería muy diferente… Circuito integrado de Kilby

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2. OPERACIONES BINARIAS. 2.1. Ideas previas. La clave del sistema binario es que sólo dispone de dos cifras útiles: 0 y 1. Un número como “10”, en binario, no debe leerse como “diez”, sino como “uno, cero”. Para aclararnos mientras estemos manejando dos sistemas de numeración diferentes, colocaremos en la parte inferior derecha de cada número 2) o 10), según estemos hablando de un número en sistema binario o decimal, respectivamente. Así, por ejemplo, la expresión 112) deberá leerse como “uno uno en sistema binario”, y 1110) se leerá como once (en el sistema decimal), igual que hasta ahora. 2.2. El nibble o cuado. Un bit es la mínima cantidad de información que puede escribirse usando el sistema binario: 0 ó 1. Para escribir números superiores, necesitaremos más bits. Así, el número “3” decimal tendrá la expresión binaria “11”, que contiene dos bits. Los bits pueden ir añadiéndose progresivamente, pero ciertas agrupaciones reciben nombres característicos que conviene conocer. Como un nibble es, un paquete de cuatro bits, como éste:

0

0 1

0 1

0 1

1

El nibble tiene su importancia, por ejemplo, en el sistema hexadecimal, donde los dieciséis dígitos del mismo pueden componerse con los dieciséis nibbles posibles. 2.3. El byte u octeto. Si juntamos dos nibbles, obtenemos un byte (en castellano, octeto): BYTE NIBBLE BIT

0

Prefijo S.I. kilobyte megabyte gigabyte terabyte petabyte exabyte zettabyte yottabyte

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

27

26

25

24

23

22

21

20

Símbolo kB MB GB TB PB EB ZB YB

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MÚLTIPLOS DEL BYTE Factor Prefijos binarios 103 kibibyte 6 10 mebibyte 9 10 gibibyte 12 10 tebibyte 15 10 pebibyte 18 10 exbibyte 21 10 zebibyte 24 10 yobibyte

Símbolo KiB MiB GiB TiB PiB EiB ZiB YiB

1

1

Factor = 1024 20 2 = 1 048 576 230 240 250 260 270 280 210

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2.4. Conversión de binario a decimal. En el diagrama anterior, vemos que cada cifra (bit) puede tomar únicamente dos valores, los ya citados 0 y 1. Pero, dependiendo de la posición del bit, la importancia o peso que tiene cada uno no es la misma. Así, por ejemplo, mientras que un uno en la primera casilla tendría un peso de “1”, en la cuarta casilla desde la derecha tendría un peso de 23 = 8. Unos ejemplos: 102) = 0·20 + 1·21 = 210)

1012) = 1·20 + 0·21 + 1·22 = 510)

Fácil, ¿no? Pues anímate a averiguar los siguientes números en sistema decimal para entrenarte: 1001

1 1010

1011

100 1001

101 1001

Nota: observa que hemos dejado un espacio entre cada cuatro bits. Conviene que te acostumbres a esto, ya que te será de utilidad en el futuro.

2.5. Conversión de decimal a binario. Para convertir de decimal, el proceso es un poco más complicado. Necesitamos una técnica, a la que llamaremos algoritmo de la división. Consiste en dividir tantas veces por dos como se pueda, y los restos y el último cociente obtenido nos proporcionan la expresión binaria (invertida) de nuestro número decimal. Veámoslo con un ejemplo, calculando la expresión binaria de 15310) (ver figura de la derecha). Se van haciendo las sucesivas divisiones entre 2, hasta que lleguemos al cociente cero. Los restos nos dan la expresión binaria que buscamos, pero en orden invertido. A saber: 1001 1001. 2.6. El sistema hexadecimal. Aunque los circuitos electrónicos digitales y los ordenadores utilizan el sistema binario, trabajar con este sistema de numeración resulta pesado, y suele producir equivocaciones DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO 0 0 0000 cuando se trabaja con números binarios demasiado largos. El sistema hexadecimal utiliza la base 16: sus dígitos están representados por los 10 primeros números decimales y las letras que van de la A a la F. Actualmente el sistema hexadecimal es uno de los más utilizados en el procesamiento de datos, debido principalmente a dos ventajas:

1

1

0001

2

2

0010

3

3

0011

4

4

0100

5

5

0101

1) La simplificación en la escritura de los números decimales, cada 4 cifras binarias se representan por una hexadecimal.

6

6

0110

7

7

0111

8

8

1000

2) Cada cifra hexadecimal se pueden expresar mediante 4 cifras binarias, con lo que se facilita la transposición entre estos 2 sistemas. Dicho de otra forma, cada byte puede escribirse como dos números hexadecimales unidos.

9

9

1001

10

A

1010

Para convertir un número binario a hexadecimal se realiza el mismo proceso, pero a la inversa. Por ejemplo: Número Hexadecimal: B7E16) B: 1011 (11)

11

B

1011

12

C

1100

13

D

1101

14

E

1110

15

F

1111

Número Binario: 1011 0111 11102)

7: 0111 E: 1110 (14)

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Para pasar del número hexadecimal al sistema decimal, se han de multiplicar los dígitos hexadecimales por las distintas potencias de base 16 que representan cada dígito del sistema de numeración hexadecimal (160, 161, 162...). Ejemplo:

B7E16) = 11•162 + 7•161 + 14•160 = 2816 + 112 + 14 = 2.94210)

A la inversa, para convertir el número decimal en hexadecimal, éste se irá dividiendo por el número 16 sucesivamente hasta que ya no se puedan realizar más divisiones con el mismo número. El número hexadecimal resultante estará formado por el último cociente seguido de todos los restos sucesivos obtenidos desde el último hasta el primero. Veamos, por ejemplo, qué sucede con el 1869 Tenemos el desarrollo del procedimiento a la derecha. En lugar de dividir entre 2 sucesivamente, lo hacemos entre 16, que es la base del sistema hexadecimal.

Expresión decimal:

Nº Hexadecimal: 74D16)

Una vez más, los restos nos indicarán las cifras de la expresión hexadecimal, en orden invertido. Otra posibilidad en la conversión de números decimales y hexadecimales es utilizar los binarios como intermediarios, es decir, en cualquiera de los sentidos, se obtendría en primer lugar el número binario y después éste pasaría al código definitivo. 2.7. Suma de dos números binarios. Para sumar en sistema binario, basta recordar que sólo disponemos de dos números, el cero y el uno. Así pues, cuando nos pasemos del 1, habrá que “llevarse” una cifra y colocarla a la izquierda de la que tenemos. O, simplemente, tener en cuenta que 1+1 sigue siendo igual a 2, salvo que en binario “2” se escribe “10”. En definitiva, puedes utilizar las siguientes reglas: 0+0=0 Veamos algunos ejemplos:

0+1=1

1 0  210 )  1  110 )

1 0  210 )  1 0  210 )

1 1  310 )

1 0 0  410 )

1 + 1 = 10

1

1

1

1 1 1  710 )  1 0 1  510 ) 1 1 0 0  1210

2.8. Diferencia binaria. Algoritmo de la resta. Para hacer la diferencia binaria, utilizaremos el siguiente algoritmo o procedimiento, que obtiene la diferencia binaria a partir de una suma: 1) Colocar el minuendo. 2) Colocar el sustraendo bajo el minuendo, pero con las cifras invertidas, cambiando ceros por unos y unos por ceros. 3) Colocar tantos “1” a la izquierda del nuevo sustraendo como sea necesario para que ambos tengan las mismas cifras. 4) Añadir un “1” como tercera fila de la suma. 5) Efectuar la suma. 6) Quitar la cifra de la izquierda del resultado. Nos ha quedado escrito el número que es la diferencia de los dos que nos han dado.

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Desarrollemos este algoritmo para hacer la diferencia de 1310) = 11012) y 510) = 1012): Paso 1)

Paso 2)

1 1 0 1

1 1 0 1  0 1 0

 Paso 3)

Paso 4)

1 1 0 1 1 0 1 0  1

1 1 0 1  1 0 1 0

Paso 5)

Paso 6)

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0  1

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0  1

1 1 0 0 0

1 1 0 0 0

= 810)

2.9. El código BCD (Binary Codified Decimal). Un número se escribe en código BCD (Decimal Codificado en Binario) cuando cada una de sus cifras decimales se sustituyen por su expresión binaria. Ojo, esto es un código, no un sistema de numeración. Así, por ejemplo, el 12310) se expresaría como 0001 0010 0011 en BCD. 3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE VERDAD. 3.1. Definiciones. Una variable lógica A es aquella que puede tomar únicamente dos valores: 0 y 1. Una función lógica F es un conjunto de variables lógicas A, B, C, relacionadas por los símbolos de las operaciones permitidas: suma, producto y negación. Por ejemplo:

F  A  B  A·C

Una función lógica acepta 2n entradas (siendo n el número de variables) y produce un solo valor (salida). Una tabla de verdad es una tabla donde se recoge el valor de la función para las diferentes combinaciones posibles de las variables. Si hay n variables, tendremos 2n combinaciones posibles.

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3.2. Funciones básicas. Veamos las funciones más sencillas que podemos encontrar en electrónica digital. Observa la tabla con el circuito equivalente de cada función. Te ayudará a entender. NOMBRE DE LA FUNCIÓN

TABLA DE VERDAD

Cero F=0

A 0 1

F=0 0 0

Identidad F=1

A 0 1

F=1 1 1

Igualdad F=A

A 0 1

F 0 1

Negación F=Ā

A 0 1

F 1 0

ESQUEMA ELÉCTRICO 0

1

A

Ā

Suma o Unión F=A+B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

F 0 1 1 1

Producto o Intersección F = A·B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

F 0 0 0 1

Piensa, en cada caso, en el estado que tiene la lámpara al accionar los correspondientes pulsadores y compara con las respectivas tablas de verdad. 3.3. Álgebra de Boole. Propiedades. El álgebra de Boole es una estructura matemática, que cuenta con dos números (0 y 1) y tres operaciones (suma, producto y negación). Parte de unos postulados iniciales, de los que se pueden deducir teoremas, leyes y otras consecuencias. Veámoslos algunos de ellos: 

Postulados. Son enunciados que no necesitan demostración. Postulado 1. El elemento identidad de la suma es el “0”. (A + 0 = A) Postulado 2. El elemento de identidad del producto es el “1”. (A · 1 = A)

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Postulado 3. La suma es conmutativa A + B = B + A Postulado 4. El producto es conmutativo: A ¡ B = B ¡ A Postulado 5. La suma es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) Postulado 6. El producto es asociativo: (A ¡ B) ¡ C = A ¡ (B ¡ C) Postulado 7. El producto es distributivo respecto de la suma: A ¡ (B + C) = (A ¡ B) + (A ¡ C) Postulado 8. La suma es distributiva respecto del producto: A + (B ¡ C) = (A + B) ¡ ( A + C). Postulado 9. Para cada valor A existe un valor Ä€ tal que A¡ Ä€ = 0 y A + Ä€ = 1. Éste valor es el complemento lĂłgico o negado de A. Postulado 10. El ĂĄlgebra de Boole es cerrada bajo las operaciones suma, producto y negaciĂłn. ď ą

ď ą

Teoremas. Son enunciados que se pueden demostrar a partir de los postulados de partida. Teorema 1: A + A = A

Teorema 6: đ??´ + đ??´Ě… ¡ đ??ľ = đ??´ + đ??ľ

Teorema 2: A ¡ A = A

Teorema 7: đ??´ ¡ (đ??´ + đ??ľ) = đ??´

Teorema 3: A ¡ 0 = 0

Teorema 8: đ??´ ¡ (đ??´Ě… + đ??ľ) = đ??´ ¡ đ??ľ

Teorema 4: A + 1 = 1

Teorema 9: đ??´Ě… ¡ (đ??´ + đ??ľ ) = đ??´Ě… ¡ đ??ľ

Teorema 5: đ??´ + đ??´ ¡ đ??ľ = đ??´

Teorema 10: (đ??´Ě… + đ??ľ ) ¡ (đ??´Ě… + đ??ľ) = đ??´Ě…

Leyes de De Morgan

4. PUERTAS LĂ“GICAS.

DM1: đ??´ + đ??ľ = đ??´Ě… ¡ đ??ľ DM2: đ??´ ¡ đ??ľ = đ??´Ě… + đ??ľ

Una puerta lĂłgica es un circuito electrĂłnico que tiene el mismo comportamiento que una funciĂłn lĂłgica. Por tanto, la tabla de verdad de una puerta lĂłgica es la misma que las de una funciĂłn lĂłgica. Las puertas lĂłgicas tienen una Ăşnica salida, aunque pueden tener una o mĂĄs entradas. Las puertas lĂłgicas a la salida pueden dar niveles de tensiĂłn alto (1) o niveles de tensiĂłn bajo (0). En estos dispositivos hay que tener en cuenta que dependiendo de la tecnologĂ­a del fabricante de los circuitos (TTL y CMOS) varĂ­an los niveles de tensiĂłn en las entradas y en las salidas. Esto hay que tenerlo en cuenta ya que en la electrĂłnica digital lo que se pretende es enviar la informaciĂłn mĂĄs fiable posible. Por ejemplo, el voltaje de alimentaciĂłn de las puertas TTL es de 5 V, mientras que el de las CMOS varĂ­a entre 3 y 15 V. SegĂşn se ha comentado, cualquier funciĂłn lĂłgica puede representarse mediante combinaciĂłn de puertas lĂłgicas. A esto se le llama implementaciĂłn. 4.1. Puerta NOT. La figura muestra es sĂ­mbolo de una puerta NOT, a la que se le llama tambiĂŠn INVERSORA. Esta puerta tiene una sola entrada y su nivel lĂłgico de salida siempre es contrario al nivel lĂłgico de esta entrada. Junto a la figura, se indica la tabla de verdad de esta funciĂłn.

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A NOT 0 1 1 0

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4.2. Puerta OR. La puerta OR es un circuito que tiene dos entradas y cuya salida es igual a la suma lógica de las entradas. La figura muestra el símbolo correspondiente a una puerta OR de dos entradas. Como se puede ver en la tabla de verdad, la salida será ALTA si por lo menos una de las entradas está ALTA.

A 0 0 1 1

4.3. Puerta AND.

B 0 1 0 1

OR 0 1 1 1

En la figura se muestra el símbolo de una puerta AND de dos entradas. La salida de la puerta AND es igual al producto lógico de las entradas.

A B AND 0 0

0

En otras palabras, la puerta AND es un circuito que opera en forma tal que su salida es 1 sólo cuando las dos entradas son 1.

0 1

0

1 0

0

1 1

1

4.4. Puerta NOR. En la figura se muestra el símbolo de una puerta NOR de dos entradas. Es igual al símbolo de la puerta OR excepto que tiene un círculo pequeño en la salida, que representa la operación de inversión. De este modo, la puerta NOR opera como una puerta OR seguida de un INVERSOR, de manera que los circuitos de la figura son equivalentes y la expresión de salida para la puerta NOR es la de la derecha.

A B NOR 0 0

1

0 1

0

1 0

0

1 1

0

4.5. Puerta NAND. En la figura se muestra el símbolo correspondiente a una puerta NAND de dos entradas. Es el mismo que el de la puerta AND, excepto por el pequeño círculo en su salida, que vuelve a indicar la operación de inversión. De este modo, la puerta NAND opera igual que la AND seguida de un INVERSOR, y la salida de esta puerta es la que aparece en la tabla de la derecha.

A B NAND 0 0

1

0 1

1

1 0

1

1 1

0

4.6. Puerta OR Exclusiva (X-OR u OR-EX). En la figura se muestra el símbolo de una puerta XOR de dos entradas. La salida es 1 lógico si y solo si A es diferente de B. Si A y B son ambas 0 lógico o ambas son 1 lógico entonces SAL vale 0.

A 0 0 1 1

La tabla de verdad la tienes junto al símbolo de la puerta. Observa que es parecido al de la puerta OR Puede representarse como la función siguiente:

B 0 1 0 1

XOR 0 1 1 0

F  A·B  A·B 4.7. Puerta NOR Exclusiva (X-NOR o NOR-EX). La salida de esta puerta es un 1 lógico si y solo si las dos entradas son iguales, ya sea que ambas sean 0 o ambas 1. La tabla de verdad la tienes junto al símbolo de la puerta. Observa que es parecido al de la puerta NOR Esto puede representarse mediante la función siguiente:

A 0 0 1 1

B XNOR 0 1 1 0 0 0 1 1

F  A·B  A·B Introducción a la electrónica digital

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5. LA ELECTRÓNICA DIGITAL EN EL MERCADO. Los circuitos integrados (C.I.), se han convertido en el componente más importante de la electrónica moderna y se forman o fabrican con la unión de varios componentes comunes como transistores, diodos, resistencias y hasta condensadores, en un solo envoltorio y configurados ya como un circuito completo (chip). Al aumentar la densidad y reducir el tamaño al mismo tiempo, se presenta un avance importantísimo en el diseño de circuitos electrónicos. Usando la misma tecnología de los transistores, con ellos es posible agrupar cientos o miles de componentes en un envoltorio, que es similar en tamaño a un condensador pequeño. Los circuitos integrados digitales se clasifican por familias. Las más populares son:  La familia TTL (Transistor-Transistor Logic o Lógica transistor-transistor). Se identifican generalmente con un número o combinación de números y letras. Generalmente su referencia empieza con el número 74 (véase la tabla adjunta). Como, por ejemplo, 7400, 7402, etc.  La familia CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor). Se identifican generalmente con el número 4000 y posteriores, como 4001, 4002, etc. Esta familia requiere un manejo especial ya que la electricidad estática del cuerpo humano podría dañarlos al tocar sus terminales. Cada circuito integrado tiene cierto número de pines o terminales. Es muy importante saber dónde va conectado cada terminal, ya que si se conecta en forma errada se puede dañar fácilmente. Para eso se recomiendan los manuales técnicos, como el TTL Cookbook y el CMOS Cookbook, manual de reemplazos ECG o los manuales de los fabricantes. Se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:  La ranura y el punto son para localizar el pin #1.  El terminal o pin #1, está señalado por el punto que está a la izquierda de la ranura.  Los pines están numerados en el sentido contrario a las manecillas del reloj en forma de U Los circuitos integrados vienen en configuraciones de 8, 14, 16, 18, 20, 24, 40 y 64 pines. A menudo los circuitos integrados no se sueldan directamente al circuito impreso. Para colocarlos, se pone primero una base o zócalo, en el circuito y luego los integrados se enchufan en las bases. Esto aumenta un poco el costo, pero evita el calentamiento en el proceso de soldadura y facilita la reparación de los equipos, pues solo es cambiar el integrado por uno nuevo cuando se dañe.

zócalo

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TABLA DE CIRCUITOS INTEGRADOS COMERCIALES CON TECNOLOGÍA TTL

Precio: 0,36 € + I.V.A.

Precio: 0,44 € + I.V.A.

Precio: 0,39 € + I.V.A.

Precio: 0,35 € + I.V.A.

Precio: 0,46 € + I.V.A.

Precio: 0,54 € + I.V.A.

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TABLA DE CIRCUITOS INTEGRADOS COMERCIALES CON TECNOLOGÍA CMOS 4001

4011

Precio: 0,45 € + I.V.A.

4071

Precio: 0,43 € + I.V.A.

4081

Precio: 0,38 € + I.V.A. 4069

Precio: 0,41 € + I.V.A. CD4023

Precio: 0,34 € + I.V.A.

Introducción a la electrónica digital

Precio: 0,40 € + I.V.A.

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ÂżCĂłmo se emplean estos circuitos integrados? Imagina que quieres implementar la funciĂłn đ??š = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś La tabla de verdad de esta funciĂłn es la que aparece en la derecha.

A

B

C

A¡B

F = A¡B + C

Para “observarâ€? el comportamiento de la funciĂłn F vamos a montar un circuito electrĂłnico, en el que el encendido de un L.E.D. (convenientemente protegido) indicarĂĄ un “1â€? de dicha funciĂłn. Si el L.E.D. estĂĄ apagado tendremos un “0â€? de la funciĂłn.

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

En la funciĂłn F tenemos dos operaciones: un producto y una suma lĂłgicos. Por tanto, necesitaremos un C.I. con puertas AND y otro con puertas OR. Vamos a elegir circuitos de tecnologĂ­a TTL. Respectivamente, tendremos que usar el 7408 (AND) y el 7432 (OR)

1 1 0 1 1 Para simular las variables A, B y C, emplearemos pulsadores 1 1 1 1 1 normalmente abiertos (NA) con esos nombres, y seguiremos el convenio utilizado hasta ahora: 0 = desactivado, 1 = activado. Conectaremos resistencias en serie con ellos para que nos den los valores de tensión deseados en el momento oportuno (resistencias pull-down). Conectamos las salidas de los pulsadores A y B, respectivamente, a las patillas 1 y 2 del 7408. Esto efectúa el producto lógico de ambas variables. La salida de esta puerta lógica (patilla 3) se conecta a una puerta del circuito 7432, por ejemplo, en su patilla 2. A la otra entrada (patilla 1) conectamos el pulsador C. Con esto, se efectúa la suma de A¡B y C, la cual tenemos disponible a la salida de la puerta OR correspondiente (patilla 3). No hay que olvidar conectar las correspondientes alimentaciones (VCC) y masas (GND).

Puedes ver la simulaciĂłn del circuito en el enlace: https://www.tinkercad.com/things/edSXtIKZMq1 El objetivo de todo diseĂąador de circuitos lĂłgicos debe ser el conseguir un circuito empleando el menor nĂşmero de puertas lĂłgicas posibles y, con ello, el menor nĂşmero de circuitos integrados posible. Es muy comĂşn, sin embargo, emplear sĂłlo puertas NAND (C.I. 7400) o NOR (C.I. 7402), para lo que hay que transformar la funciĂłn lĂłgica del sistema mediante procedimientos del Ă lgebra de Boole (ver apĂŠndice II).

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APÉNDICE I: MÉTODO DE KARNAUGH PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS Cuando las funciones lógicas tienen una expresión grande, el procedimiento algebraico de simplificación nos puede llevar a cometer errores (además de que, en nuestro nivel, es muy exigente), porque se convierte en algo pesado. Se utiliza entonces el procedimiento de los diagramas o mapas de Karnaugh. Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el número de variables de la función. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando únicamente una variable, ya sea en forma negada o directa.

MAPAS DE KARNAUGH PARA DOS, TRES Y CUATRO VARIABLES 2 VARIABLES

3 VARIABLES

4 VARIABLES

Se numera cada celda con el número decimal correspondiente al término binario que contiene, para facilitar el trabajo a la hora de colocar la función. Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se seguirán los siguientes pasos: 1º)

Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos que valen 1 en la función.

2º)

Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas: a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en el estado de una sola variable (¡OJO!: las de los extremos son adyacentes, ya que puedes imaginar que el diagrama es flexible y se “enrolla” sobre sí mismo) b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible, siempre que dicho número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.) c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes. d) Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el mayor número de unos posible.

3º)

La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama. Cada término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo.

Vamos a ver todo el proceso con una función que nos sirve de ejemplo:

F A·B· C  D  C·B  D·A

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En primer lugar, obtenemos la tabla de verdad de la función. Fíjate bien cómo se hace: vamos haciendo los productos o sumas más sencillos, y de ahí vamos pasando a las operaciones más complicadas:

A B C D A C

D A·B C  D A·B· C  D

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

C·B D·A C·B  D·A

F

A continuación, escribimos el cuadrado. Una vez hecho esto, en las casillas que corresponda hay que poner los “1” de la función F. Así, la primera combinación que hace que la función F valga uno es precisamente la 0000 (correspondiente al 0 decimal), por lo que en la casilla numerada con el cero decimal habrá que colocar un uno (como valor de la función). Sucede esto también con las casillas numeradas con 2, 4, 6, 7, 12, 13, 14 y 15. El siguiente paso es hacer lazos de 8, 4, 2 ó 1 “1” que estén adyacentes. Para eso, te puedes imaginar que el cuadrado es flexible y que, enrollándolo sobre sí mismo, tocaría el lado izquierdo con el derecho, o la parte superior con la parte inferior. Como es evidente, no encontramos ningún lazo que contenga ocho “1” adyacentes. Pasamos, entonces, a buscar lazos de cuatro “1”. Encontramos uno formado por las casillas 12, 13, 14 y 15. Tenemos otro formado por las casillas 6, 7, 14 y 15 (no importa que haya casillas que ya hayan entrado en otro lazo: buscamos siempre el más grande posible). Por último, encontramos el lazo formado por las casillas 0, 2, 4 y 6, que son adyacentes por lo que hemos dicho más arriba. Pasamos a buscar lazos de dos “1”, y no encontramos. Tampoco encontramos lazos que contengan “1” aislados.

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Así pues, los lazos que hemos localizado son los siguientes: {12,13,14,15} {6, 7, 14, 15}

{0, 2, 4, 6}

Ahora llega el momento de escribir los términos de la función simplificada. Como hay tres grupos, la función simplificada tendrá tres términos. Los términos de 4 (22) “1” van a contener 2 variables. Los términos de 2 ( 21) “1” contienen 3 variables. Los términos con un único “1” contienen las cuatro variables. Hay que tener en cuenta que, dentro de un lazo, la variable que cambie de valor, desaparecerá del grupo de cuatro variables. Así pues: En el grupo {6, 7, 14, 15}, cambian de valor A y D, que se eliminan, y el término correspondiente debe escribirse B·C, dado que A y B valen 1 dentro de ese lazo. En el grupo {12, 13, 14, 15}, cambian de valor C y D, que deben eliminarse, y el término correspondiente puede escribirse A·B, porque A y B valen 1 dentro del lazo. En el grupo {0, 2, 4, 6} las variables que cambian de valor son B y C, que deben eliminarse. Entonces, el término correspondiente puede escribirse A·D . Las variables A y D aparecen negada porque dentro del lazo, su valor es cero. Por tanto, la función puede escribirse entonces como: F  A·B  A·D  B·C Un dato importante es que esta función tiene una expresión más reducida que la de partida, lo que quiere decir que esta última no estaba simplificada del todo, como sí lo está la expresión que hemos obtenido, ya que eso es lo que nos garantiza el procedimiento de Karnaugh. Puedes manejar el algoritmo en diversas webs, como: http://www.32x8.com/ o utilizando algunas aplicaciones en tu smartphone (te dejo los enlaces a Google Play; si los necesitas, existen aplicaciones análogas en la AppStore de Apple):

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APÉNDICE II IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS SÓLO CON PUERTAS NAND O NOR Como decíamos al final del apartado 5, es muy habitual (ademås de pråctico, porque sólo necesitaríamos un solo tipo de circuito integrado), implementar las funciones lógicas de nuestros problemas sólo con puertas NAND o sólo con puertas NOR. Para ello, basta con utilizar adecuadamente los teoremas del à lgebra de Boole que hemos estudiado a lo largo de la Unidad. Ademås, deberås darte cuenta que necesitarås en ocasiones hacer la negación de una variable o un resultado. Para ello, comprueba que tanto la puerta NAND como la puerta NOR, cortocircuitadas con la misma entrada, producen la negación de la misma:

A

A

A

A

Veamos quĂŠ se puede hacer con nuestra funciĂłn: F = A¡B + C ImplementaciĂłn sĂłlo con puertas NAND. Manipulamos algebraicamente la expresiĂłn de F: đ??š = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś , y ahora aplicamos la Primera Ley de De Morgan, con lo que queda: đ??š = đ??´ ¡ đ??ľ ¡ đ??śĚ… Si te das cuenta A¡C y B ya tienen la forma adecuada para ser implementadas con puertas NAND. El paso final lo verĂĄs mĂĄs claro si hacemos lo que se llama un cambio de variable. Por ejemplo, llamamos đ?‘‹ = đ??´ ¡ đ??ľ e đ?‘Œ = đ??śĚ… Entonces, la expresiĂłn de F nos queda đ??š = đ?‘‹ ¡ đ?‘Œ, que es justamente la forma que puede ser implementada por otra puerta NAND, con lo cual ya habrĂ­amos terminado, y el resultado serĂ­a el siguiente:

Como vemos, ahorramos bastante, ya que sĂłlo hemos empleado un C.I., el 7400., mientras que en el apartado 5 habĂ­amos necesitado dos (un 7408 y un 7432). IntroducciĂłn a la electrĂłnica digital

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ImplementaciĂłn sĂłlo con puertas NOR. Procederemos igualmente, manipulando la expresiĂłn de la funciĂłn F, pero ahora utilizando la Segunda Ley de De Morgan: đ??š = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś = đ??´Ě… + đ??ľ + đ??ś = đ??´Ě… + đ??ľ + đ??ś que, implementado, nos quedarĂĄ asĂ­:

Es por ello que conviene explorar las tres posibles implementaciones: con puertas cualesquiera, sĂłlo con puertas NAND y sĂłlo con puertas NOR, para elegir aquĂŠlla que resulte mĂĄs econĂłmica. En nuestro caso, elegirĂ­amos la implementaciĂłn sĂłlo con puertas NAND, que precisa Ăşnicamente de un circuito integrado 7400.

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APÉNDICE III PRIMERA Y SEGUNDA FORMA CANĂ“NICAS Consideremos la funciĂłn lĂłgica đ??š = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś cuya tabla de verdad tenemos aquĂ­ a la derecha. Vamos a ver que se puede escribir de dos formas diferentes, a las que vamos a llamar formas canĂłnicas. Para ello, primero vamos a definir dos conceptos:  Minterm o minitĂŠrmino: producto de n variables (n, en nuestro ejemplo, es 3), con sus valores negados o no. Por ejemplo un minterm es: đ??´Ě… ¡ đ??ľ ¡ đ??ś.  Maxterm o maxitĂŠrmino: suma de n variables, con sus correspondientes valores, negados o no. Por ejemplo: đ??´ + đ??ľ + đ??śĚ…

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Para una funciĂłn booleana con n variables, hay 2n minitĂŠrminos y 2n maxitĂŠrminos. Los minitĂŠrminos y maxitĂŠrminos acostumbran a etiquetarse segĂşn el valor decimal que representan las combinaciones de sus variables. AsĂ­, el tĂŠrmino 011 se etiquetarĂ­a como {3} (observa la Ăşltima columna de la tabla). Si es un minitĂŠrmino se escribirĂ­a m3, y si es un maxitĂŠrmino se escribirĂ­a M3. PRIMERA FORMA CANĂ“NICA: se obtiene haciendo la suma de todos los minitĂŠrminos cuyo valor es 1. En nuestro caso, la expresiĂłn en primera forma canĂłnica de nuestra funciĂłn serĂ­a: đ??š = đ??´Ě… ¡ đ??ľ ¡ đ??śĚ… + đ??´Ě… ¡ đ??ľ ¡ đ??ś + đ??´ ¡ đ??ľ ¡ đ??ś + đ??´ ¡ đ??ľ ¡ đ??śĚ… + đ??´ ¡ đ??ľ ¡ đ??ś que tambiĂŠn puede escribirse asĂ­ de fĂĄcil: F = m(2,3,5,6,7) leyĂŠndose esto como que F serĂ­a igual a la suma de los minitĂŠrminos 2, 3, 5, 6 y 7. SEGUNDA FORMA CANĂ“NICA: se obtiene haciendo el producto de todos los maxitĂŠrminos cuyo valor es cero. En nuestro caso, la expresiĂłn de la funciĂłn F como segunda forma canĂłnica serĂ­a: đ??š = (đ??´Ě… + đ??ľ + đ??śĚ… ) ¡ (đ??´Ě… + đ??ľ + đ??ś) ¡ (đ??´ + đ??ľ + đ??śĚ… ) que tambiĂŠn puede escribirse de esta otra forma: F = M(0,1,4) leyĂŠndose esto como que F serĂ­a igual al producto de los maxitĂŠrminos 0,1 y 4. Ambas expresiones representan a la misma funciĂłn. Simplemente cambia el modo en que se representan, y siempre nos da una idea de la complementariedad que hay en el ĂĄlgebra de Boole entre una variable o funciĂłn y su negaciĂłn (recuerda las dos leyes de De Morgan). Una muestra de esta complementariedad es, precisamente, que los minitĂŠrminos que faltan en la primera forma canĂłnica son los maxitĂŠrminos que aparecen en la segunda.

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APÉNDICE IV ENTRADAS DIGITALES CON PULSADORES: RESISTENCIAS PULL-UP Y PULL-DOWN En Electrónica Digital es totalmente necesario saber cuándo un pulsador está conduciendo o no la corriente eléctrica. Un pulsador normalmente abierto que no pulsamos, nos indicará un estado de "OFF", que asociaremos a un 0 lógico. Si lo pulsamos, nos indicará un estado de "ON", que asociaremos a un 1 lógico. Bueno, pues esto no sucede cuando colocamos sólo el pulsador. Necesitamos añadir una resistencia en serie, que puede colocarse bien delante o bien detrás del pulsador. Dependiendo de ello, tenemos las siguientes configuraciones o montajes: Montaje pull-up Si colocamos el pulsador entre la resistencia y masa, tendremos la configuración que se conoce como pull-up. En estado de reposo del pulsador SW1, la intensidad que atraviesa la resistencia es nula. Por tanto, el terminal inferior de la resistencia (o el superior del voltímetro) se encuentra a 5 V. Por su parte, el terminal inferior del voltímetro se encuentra conectado a masa, es decir, a 0 V. Es por ello que la lectura del voltímetro será de 5 V ("1 lógico") Cuando se pulsa SW1, el terminal inferior de la resistencia se coloca a masa, y la lectura del voltímetro, lógicamente, es de 0 V ("0 lógico"). Echa un vistazo al vídeo para profundizar: https://youtu.be/fu1YtQs8Ut4 Montaje pull-down Si colocamos el pulsador entre la alimentación y la resistencia, tendremos la configuración que se conoce como pull-down. Hemos colocado un voltímetro para que entiendas lo que sucede. Cuando el pulsador (NA) no se activa, no pasa corriente por la resistencia. En tal caso, aplicando la ley de Ohm, tendremos que la lectura del voltímetro será 0 V. Esto lo asociaremos a un "0 lógico". En cambio, al pulsar SW1, ya pasará corriente por la resistencia, cuyo extremo superior se habrá colocado a la tensión de alimentación (5 V), y el inferior a masa, por lo que la lectura del voltímetro será de 5 V. Esto lo asociaremos a un "1 lógico". Echa un vistazo al vídeo para profundizar: https://youtu.be/D0HWm__pN5c

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APÉNDICE V APPS PARA SMARTPHONE KMAP DYNAMIC

Boolean TT

SMART LOGIC SIMULATOR

BOOLEAN LAB

LOGIC SIMULATOR PRO

ELECTRÓNICA DIGITAL

LOGIC BOARD

LOGIC GATES: ELECTRONIC SIMULATOR AND LEARNING

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MY CIRCUITS (LOGIC)

CIRCSIM: CIRCUIT SIMULATOR

CIRCUIT SCRAMBLE (JUEGO)

LOGIC GATES: ELECTRONIC SIMULATOR PLAY & LEARNING

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APÉNDICE VI FPGANDO EN LA E.S.O. Aunque el concepto de F.P.G.A. (Field Programmable Gate Array, o matriz de puertas programable) excede con creces el nivel de 4Âş de E.S.O., podemos utilizar la FPGA modelo IceZum Alhambra (o la mĂĄs moderna Alhambra II) que tenemos disponible en nuestro Departamento para simular sistemas electrĂłnicos digitales sin necesidad de montar ningĂşn circuito fĂ­sicamente. Ello abarata los costes y reduce los tiempos de espera, tanto del profesorado, como del alumnado. AdemĂĄs, facilita el ĂŠxito en la observaciĂłn del funcionamiento del circuito lĂłgico, algo que no siempre sucede cuando estamos montando el circuito en una placa protoboard (donde siempre queda algĂşn cable por conectar, o no hace contacto, etc). Para simular, basta con tener un esquema del circuito, y llevarlo a la herramienta de programaciĂłn grĂĄfica asociada a la placa, que es IceStudio. Mira cĂłmo queda el ejemplo de la funciĂłn đ??š = đ??´ ¡ đ??ľ + đ??ś A, B y C los podemos implementar sencillamente: pulsadores en pulldown, con resistencias de 1K, conectados a las entradas digitales D0, D1 y D2 de la placa. El LED que vemos como salida serĂ­a uno de los ocho ledes disponibles en la placa. En este repositorio de GitHub: https://github.com/angelmicelti/FPGAndopor-la-E.S.O.., al que he llamado “FPGAndo por la E.S.O.â€? os he subido material para que pasĂŠis buenos ratos delante de la Alhambra y veĂĄis lo emocionante y sencilla que puede llegar a ser la ElectrĂłnica Digital. Mira en la foto de la derecha cĂłmo queda un montaje con cuatro pulsadores (cada uno de los cuales podrĂ­a actuar como una variable lĂłgica, ya sabes, como la que hemos visto en los problemas).

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Profile for angel micelti

Unidad Didáctica: Electrónica Digital  

Unidad Didáctica sobre Electrónica Digital, que puede impartirse en 4º de E.S.O.

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