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UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO" SISTEMA INTERACTIVO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. SAIA. ESCUELA DE INGENIERÍA

COOERDENADAS POLARES

Nombre: Ángel Andueza C.I: 11.233.079 Asignatura: Matemática II


Emplear el sistema de coordenadas polares: Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente utilizados en física y trigonométrica, de manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa. Las coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, x e y. Por tanto, la ecuación de cualquier lugar geométrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano, contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuación de esta clase la ecuación rectangular del lugar geométrico. Las coordenadas polares (r, Ѳ) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, r y Ѳ, de manera que la ecuación de cualquier lugar geométrico en el plano coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no otras. Tal ecuación se llama, de acuerdo con esto, la ecuación polar del lugar geométrico. Así, la ecuación Ѳ = -π/4 y r = cos Ѳ son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos planos. Para un lugar geométrico determinado, conviene, frecuentemente, saber transformar la ecuación polar en la ecuación rectangular, y recíprocamente. Para efectuar tal Y transformación debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto, X, A del lugar geométrico. Se obtienen Y relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r,Ѳ) Entonces se deducen inmediatamente las relaciones x = r cos Ѳ


y = r sen Ѳ X²+ y² = r² Ѳ = arc tg y/x r = ± √x²+y² sen Ѳ = ± y/√x²+y² cos Ѳ = ± x/√x²+y² En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.

Obtener las gráficas de las ecuaciones en coordenadas polares. Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la grafica de una función . Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.


Circunferencia

Un círculo con ecuación

(θ) = 1.

La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio

es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

Línea Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación


Rosa polar

Una rosa polar con ecuación

(θ) = 2 sin 4θ.

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si kes par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa. Si

tomamos

intervalo

sólo para

valores

positivos

para r y

valores

el

, la gráfica de la ecuación:

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si gráfica es una circunferencia de radio

Espiral de Arquímedes

en

, la


Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto.

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:


donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio . Calcular el área de una región plana en coordenadas polares.

Dado un punto ,

,

hay un único par de números

y que verifican las igualdades

llaman coordenadas polares del punto

tales que

. Dichos números se

y vienen dados por

, si , y en otro caso. El número θ se llama ángulo polar del vector y el número ρ es la norma euclídea de dicho vector. La función "polares[{x,y}]" proporciona las coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas . La función "cartesianas[{ρ,θ}]" proporciona las coordenadas cartesianas del punto de coordenadas polares . Practica un poco con estos comandos y observa cómo la función "ArcTan[x,y]" tiene en cuenta el cuadrante donde está el punto .

Es importante advertir que en la definición anterior el intervalo ] ] se puede sustituir por cualquier intervalo semiabierto I de longitud 2π lo que, naturalmente, implica modificar la definición de θ sumando o restando, según proceda, un múltiplo conveniente de 2π de manera que el ángulo polar esté en dicho intervalo I. Es frecuente considerar valores del ángulo polar en el intervalo [ [. Salvo que se especifique otra cosa, entenderemos que el ángulo polar está en el intervalo ] ]. La función "PolarPlot[f[θ],{θ, α, β}]" representa la curva cuya ecuación en coordenadas polares es . Es decir, representa el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas polares son cuando .


Coordenadas polares