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SUCCESSIONI Esercizi svolti.

1) Sia α un numero reale positivo. Dimostrare che se n ∈ N soddisfa n > [α], soddisfa anche n > α ([α] denota la parte intera di α). 2) Verificare, attraverso la definizione, che la successione an :=

2n + 3 3n − 7

converge a 23 . 3) Verificare, attraverso la definizione, che la successione n4 + 3 3n5 + 7 cos2 n + 2

an := converge a 0.

4) Dimostrare, attraverso la definizione, che la successione an :=

4 − n2 n

diverge a −∞ per n → +∞. 5) Stabilire se le seguenti successioni sono limitate: (a)

2n2 − 1 n (d)

p

(b) n2 − 2 − n

cos 2n n

(e)(−1)n

2n − 1 (c) n+5 1

 n

3 π

.


2

SUCCESSIONI

6) Per ciascune delle seguenti successioni a) (−1)n cos(πn) ;

b)

n − 23 ; 5n



c) cos

π n 2



stabilire quali delle seguenti propriet`a sono verificate definitivamente: (1) i termini sono positivi; (2) i termini sono minori di un certo M > 0; (3) i termini sono maggiori di un certo m > 0. 7) Stabilire quali fra le seguenti successioni sono monotone a) n2 sin



π n ; 2 

b)

nn n!

.

8) Calcolare i limiti delle seguenti successioni: (a)

2n3 − 1 n+5

n+1

(g) (1 + (−1)n ) · n(−1)

p

(b) n2 − 2 − n

1

(h) n[ n ]−1

10

(c)

1010 n7 + n6 + 13n5 − 59n3 + n2 + 122 19n7 + n5 − 135n4 + 12

(d)

cos 2n n

(e)(−1)n (f )(−1)n

 n 3

π  n

π 3

n  2 (i) (2n2 − π) ·  n  4 

(l) (1 + (−1)n ) · n(−1) √ M ( n2 − 1) √ (m) n+5

n


SUCCESSIONI

3

Esercizi svolti 1) Se n ∈ N soddisfa n > [α], vale allora n ≥ [α] + 1. Ricordando che per ogni x ∈ R vale x − 1 < [x] ≤ x , si ha quindi n ≥ [α] + 1 > α , da cui la tesi. 2) Osserviamo innanzitutto che la successione {an } `e definita per ogni n ∈ N. Occorre ora dimostrare che per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero naturale nε tale che

2

2n + 3 2

< ε. n > nε ⇒ an − =

− 3 3n − 7 3

Svolgendo i calcoli, si ottiene 2n + 3 2 23 − = . 3n − 7 3 3(3n − 7) Allora la condizione

an − 2 < ε

3

equivale a 23 < ε, 3 |3n − 7| cio`e ancora |3n − 7| >

(0.0)

23 . 3ε

Non `e restrittivo supporre n ≥ 3, cos`ı che (0.0) may be written as n> A questo punto, scegliamo nε =

h

23 9ε

+

7 3

i

23 7 + . 9ε 3

, dove [·] denota la parte intera. Si `e visto nell’Esercizio

1 che n > nε ⇒ n >

23 7 + , 9ε 3

e ci`o conclude la dimostrazione. 3) Osserviamo che bn `e definita per ogni n ∈ N. Dobbiamo provare che per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero intero nε tale che n > nε ⇒ |bn − 0| = |bn | < ε .


4

SUCCESSIONI

In questo caso, conviene semplificare il problema attraverso delle stime. Osserviamo che

n4 + 3 n4 + 3 n4 + 3

= ≤ .

5

3n + 7 cos2 n + 2

3n5 + 7 cos2 n + 2 3n5

cos`ı che

n4 + 3 n4 + 3

< ε ⇒

< ε.

3n5 + 7 cos2 n + 2

3n5

Ci siamo quindi ricondotti a determinare un numero intero nε tale che n > nε ⇒ Osserviamo ora che

n4 + 3 < ε. 3n5

n4 + 3 1 2 1 = + 5 ≤ , 5 3n 3n n 3n

perch`e per n ≥ 2 si ha

1 3n

>

1 . n5

A questo punto, il problema `e stato ulteriormente semplificato, ed `e sufficiente determinare un numero intero nε tale che n > nε ⇒ Scegliendo nε =

h

2 3ε

i

2 < ε. 3n

, dove [·] denota la parte intera, e ricordando che x − 1 < [x] ≤ x

per ogni x ∈ R, si ottiene infine che n > nε ⇒ n >

2 , 3ε

da cui segue la tesi. 4) Occorre dimostrare che per ogni A > 0 esiste un numero naturale nA tale che n > nA implichi an < −A. Sia A > 0. La condizione an < −A equivale a 4 − n2 < A, n cio`e n2 + An − 4 > 0 . Questa disequazione `e soddisfatta per n <

√ −A− A2 +16 2

(ma questo caso non va considerato,

perch`e non esiste nessun numero naturale siffatto) oppure per n > " # √ −A − A2 + 16 nA := , 2 si verifica allora che n > nA ⇒ an < −A.

√ −A+ A2 +16 . 2

Scegliendo


SUCCESSIONI

5

5) Ricordiamo che una successione {an } si dice limitata se esiste un numero M ≥ 0 tale che |an | ≤ M per ogni n ∈ dom({an }). 2 ` sufficiente mostrare che per (a) Dimostriamo che la successione { 2nn−1 } non `e limitata. E

ogni M > 0 esiste un indice nM ∈ N tale che anM > M . La condizione an > M equivale a

2n2 −1 n

> M , cio`e

2n2 − M n − 1 > 0 . ` allora sufficiente scegliere un numero naturale nM > E

√ M + M 2 +8 , 4

per avere anM > M .

(b) Osserviamo innanzitutto che la successione `e definita per n ≥ 2 e che per n ≥ 2 vale √ √ √ n2 − 2 ≥ 2 > 1. Posto poi an := n2 − 2 − n, razionalizzando si ottiene an = √

n2

−2 . −2+n

Poich`e |an | ≤

2 2 ≤ 1+n 3

per ogni n ≥ 2, la successione `e limitata. (c) La successione `e limitata perch`e per ogni n ∈ N vale

2n − 1 2n

n + 5 ≤ n = 2.

(d) La successione `e limitata perch`e per ogni n ≥ 1 vale

cos 2n

1

n ≤ n ≤ 1.

(e) La successione `e limitata perch`e per ogni n ≥ 0 vale

 n  n

(−1)n 3 ≤ 3 ≤ 1.

π

π

6) (a) Osserviamo che la successione an := (−1)n cos(πn) `e data, per n = 2k , k ∈ N, da a2k := (−1)2k cos(2kπ) = 1 · 1 , mentre per n = 2k + 1, k ∈ N, si ha a2k+1 := (−1)2k+1 cos((2k + 1)π) = −1 · (−1) = 1 . Allora an = 1 per ogni n ∈ N e la successione `e sempre positiva e b) e c) sono banalmente soddisfatte.


6

SUCCESSIONI

(b) Posto bn :=

n−23 5n ,

osserviamo che

n−23 5n

≥ 0 per n ≥ 23.

Inoltre si ha n − 23 n + 23 1 23 1 23 24 ≤ ≤ + ≤ + ≤ 5n 5n 5 5n 5 5 5 per ogni n ≥ 1, cos`ı che {bn } soddisfa 2) con M >

24 5 .

Infine, per n ≥ 24 {bn } `e a

termini strettamente positivi e bn =

1 23 1 1 23 − ≥ − = =: m. 5 5n 5 5 · 24 5 · 24

Quindi 3) `e soddisfatta per n ≥ 24. (c) Osserviamo che la successione π cn := cos n 2 



`e data, per n = 2k + 1 , k ∈ Z, da c2k+1 = 0 , mentre per n = 4k, k ∈ Z, si ha c4k = cos(2kπ) = 1 e per n = 4k + 2, k ∈ Z, si ha c4k+2 = cos(2kπ + π) = −1 . Allora 1) non `e soddisfatta definitivamente, perch`e c4k+2 = cos(2kπ + π) = −1 per ogni k ∈ Z; 2) `e soddisfatta per M > 1, mentre 3) non `e soddisfatta perch`e c4k+2 = −1. 7) a) La successione {n2 sin

π 2n



} non `e monotona, perch`e, posto an := n2 sin

n ∈ N pari si ha an = 0, per n dispari an vale alternativamente b) Sia ora bn :=

nn n! .

n2

o

π 2n



, per

−n2 .

Verifichiamo che la successione `e crescente, cio`e che per ogni n ≥ 1

vale bn ≤ bn+1 . Questa condizione `e equivalente a nn (n + 1)n+1 ≤ , n! (n + 1)! che si pu` o scrivere come (n + 1)! (n + 1)n+1 ≤ , n! nn cio`e ancora semplificando (n + 1) ≤

(n + 1)n+1 . nn


SUCCESSIONI

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Si ottiene infine

(n + 1)n 1≤ = nn



n+1 n

n

,

ovviamente verificata per ogni n ≥ 1. 8) (a) Raccogliendo la potenza di grado pi` u elevato al numeratore e al denominatore si ottiene

1 n3 · (2 − n13 ) 2n3 − 1 2 2 − n3 = = n · ⇒ +∞ , n+5 n(1 + n5 ) 1 + n5

dal momento che n2 → +∞ e la frazione tende a 2 per n → +∞. (b) Razionalizzando, si ottiene p

n2

−2−n=

p

=√

Poich`e l’espressione

q

1−

2 n2

n2

n2

√ n2 − 2 − n2 n2 − 2 + n =√ −2−n · √ n2 − 2 + n n2 − 2 + n 

−2 −2 q . = −2+n n· 1 − n22 + 1

+ 1 tende a 2 per n → +∞, la successione data converge a

zero. 10

(c) La successione data converge a

1010 19

per n → +∞ (si ragiona come in a)).

(d) La successione { cosn2n } tende a zero, perch`e

cos 2n

1

n ≤ n

per ogni n ≥ 1. n

e) La successione {(−1)

 n

3 π

} converge a zero, perch`e

 n  n n

(−1)n 3 ≤ 3 = 3 .

π π π

Si ricorda che la successione {αn } converge a zero se |α| < 1, diverge a +∞ se α > 1, converge a 1 se α = 1 ed `e indeterminata se α ≤ −1. In questo caso, α = π3 < 1, da cui la tesi.  n n π (f) La successione {(−1) } `e indeterminata, perch`e per n pari il termine ennesimo 3  n π n `e uguale a 3 , per n dispari a {− π3 }. (g) Poniamo n+1

an := (1 + (−1)n ) · n(−1)

.


8

SUCCESSIONI

Per n = 2k , k ∈ N, si ha a2k := 2 · (2k)−1 =

1 . k

Per n = 2k + 1 si ha invece a2k+1 = 0 · (2k + 1) = 0 per ogni k ∈ N. Poich`e a2k → 0 , la successione converge a zero per n → +∞. (h) Osserviamo che per n > 1 si ha

1 n

∈ (0, 1), da cui 1 [ ] = 0. n

Allora per n > 1 si ha 1

n[ n ]−1 = n−1 , quindi la successione data converge a zero. (i) Ricordiamo che dati n e k in N il coefficiente binomiale  n 

k

=

 n 

k

`e definito da

n! . k!(n − k)!

Allora  n 

2

n!

 n  = 2! · (n − 2)! ·

4! · (n − 4)! 4 · 3 · 2! · (n − 4)! 4·3 = = , n! 2! · (n − 2)(n − 3)(n − 4)! (n − 2)(n − 3)

4 cos`ı che (2n2 − π) ·

n 2 n 4

! ! = (2n2 − π) ·

4·3 → 24 . (n − 2)(n − 3)

(l) Poniamo n

bn := (1 + (−1)n ) · n(−1) . In questo caso, per n = 2k , k ∈ N, si ha a2k := 2 · 2k = 4k .


SUCCESSIONI

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Per n = 2k + 1 si ha invece a2k+1 = 0 · (2k + 1)−1 = 0 per ogni k ∈ N. La successione `e quindi indeterminata. (m) Ricordiamo che per ogni x ∈ R vale 0 ≤ M (x) < 1 . Allora p

0 ≤ M ( n2 − 1) < 1 per ogni n ∈ N, da cui

√ M ( n2 − 1) 1 √ 0≤ ≤√ . n+5 n+5

La successione converge quindi a zero.


successionivale