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1

ESERCIZI PROPOSTI CON RISULTATI Esercizio 1 Determinare il dominio delle seguenti funzioni. Determinarne quindi i punti estremi e gli intervalli di monotonia. Nel caso che una di esse risulti limitata superiormente o inferiormente, determinare inoltre estremo superiore o inferiore dell’immagine. Studiare infine il comportamento per x → ±∞. f (x) = e1/x ,

f (x) =

|x2 − 1| , x2

f (x) = ex − x

Esercizio 2 Determinare massimi e minimi relativi e assoluti di f (x) = x2 − 3|x − 1| + 2 per x ∈ [−2, 3]. Esercizio 3 Determinare dominio, asintoti, punti di massimo e di minimo locale e assoluto, intervalli di monotonia e disegnare un grafico qualitativo delle seguenti funzioni (inoltre per le funzioni b) , d) , e) , f ), determinare anche i punti di flesso e gli intervalli di concavit` a e convessit` a). x3 − x x2 − 4 log x (b) f (x) = x p (c) f (x) = 2x + x2 − 1 (a) f (x) =

(d) f (x) =

1 + | log x| 1 + log x

(e) f (x) = x2 +

q

|x2 − 1|

(f ) f (x) = (x2 − 4)e−|x| .

Esercizio 4 Sia data la funzione

f (x) =

(

5+x2 1−x 5−x3 1−x

x≤0

x > 0.

(a) Dire se la funzione `e continua e derivabile nel suo dominio; (b) determinare gli eventuali asintoti di f ; (c) determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti; (d) disegnare un grafico qualitativo di f ; (e) determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = k al variare di k ∈ R. Esercizio 5 Indicare se fra le risposte proposte, ve ne sono di corrette. La funzione f (x) = x + |x| in x = 0 ha: A una discontinuit` a di tipo salto. B un punto angoloso. C una cuspide. D un punto di minimo assoluto. Esercizio 6 Sia data la funzione f (x) =



−x − 2 2−x

Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni.

−1 ≤ x ≤ 0 0 < x ≤ 1.


2 A A f (x) `e possibile applicare il teorema degli zeri, e concludere che ha almeno uno zero in (−1, 1). B f (x) ha un massimo assoluto in [−1, 1]. C f (x) ha un minimo assoluto in [−1, 1]. D f (x) `e monotona decrescente in [−1, 1] Esercizio 7 Sia data una funzione f (x) continua in (−1, +∞), strettamente crescente in (−1, 1) e strettamente decrescente in (1, +∞). Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni. A f ha un massimo in x = 1 e f ′ (1) = 0. p 3 B f (x) ha un massimo in x = 1. 1 C Se f (x) 6= 0, f (x) ha un minimo in x = 1. D

ef (x) `e decrescente in (2, +∞).

Esercizio 8 Sono date le funzioni: f (x) = arctan ex

g(x) = |x| + arctan ex .

a) Studiare dominio, eventuali asintoti e intervalli di monotonia di f , e disegnarne un grafico qualitativo. b) Studiare dominio ed eventuali asintoti di g. c) Determinare gli eventuali punti di non derivabilit` a, gli eventuali punti di massimo e di minimo locali e globali di g, e calcolare l’immagine di g. d) Disegnare un grafico qualitativo di g. Esercizio 9 Si consideri la funzione p

f (x) = log (x − 2) + log (x + 2) − 4 x2 − 4. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f . b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . c) Disegnare un grafico qualitativo di f . Esercizio 10 Sia data la funzione: 1 f (x) = 2x + 3 

2

3

2

2

e−x .

a) Studiare dominio e eventuali asintoti di f . b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti di f , e determinare l’immagine di f . c) Disegnare un grafico qualitativo di f . d) Calcolare il numero delle soluzioni dell’equazione f (x) = k, al variare di k ∈ R.


3 Esercizio 11 Sia data la funzione: f (x) =

1 . log |1 − x|

a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuit` a, comportamento agli estremi del dominio e eventuali asintoti di f . Dimostrare che f `e prolungabile per continit` a in x = 1. b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti di f . Detto f˜ il prolungamento continuit` a di f , determinare massimi e minimi locali e assoluti di f˜. c) Disegnare un grafico qualitativo di f . Esercizio 12 Sia data la funzione: f (x) =

(

1 log |1−x| 4 2 3 log 2 (x

x> x≤

− 1)

1 2 1 2

a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuit` a e eventuali asintoti di f . b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti, ed eventuali punti di non derivabilit` a di f . c) Disegnare un grafico qualitativo di f . Esercizio 13 Sia data la funzione: f (x) =



1√− x2 3 x3 − x

x≤0 x>0

a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuit` a e eventuali asintoti di f . b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti, ed eventuali punti di non derivabilit` a di f . c) Disegnare un grafico qualitativo di f . Esercizio 14 Studiare la funzione (dominio, asintoti, estremi locali e assoluti, flessi): f (x) = log(log x) − log x. Determinare k ∈ R in modo che l’equazione f (x) = k abbia un’unica soluzione. Esercizio 15 Per k ≥ 0, `e data la funzione: f (x) =

1 + |ex − 1| . k − ex

a) Esistono dei valori di k per cui f (x) `e derivabile in x = 0? Se s`ı, calcolarli. b) Studiare la funzione per k = 0, 1, 2, 3. Esercizio 16 Dimostrare che arctan x + arctan arctan x + arctan

π 1 = , x 2

1 π =− , x 2

per x > 0, per x < 0.


4 Esercizio 17 Dimostrare che per x ≤ 0, la funzione arcsin

x2 − 1 + 2 arctan x x2 + 1

`e costante, e determinarne il valore. Esercizio 18 Date due funzioni f e g derivabili in R, e tali che a) f (0) = 0, g(0) = 1, b) f ′ = g, g′ = −f , dimostrare che f e g hanno derivate di ogni ordine, e che f 2 + g2 = 1.


5 SOLUZIONI Esercizio ??. La prima funzione non `e definita per x = 0 ed ha un asintoto verticale destro in x = 0. Ha inoltre un asintoto orizzontale completo (y = 1). Anche la seconda funzione ha un asintoto orizzontale completo (y = 1), e un asintoto verticale a x = 0. I due minimi si hanno per x = ±1 (punti angolosi). La terza funzione ha un asintoto obliquo per x → −∞, y = −x. I grafici sono mostrati nella Figura ??. Esercizio ??. La funzione presenta due minimi (per x = ±3/2) e tre massimi (per x = −2, x = 1, x = 3). In x = 1 non `e derivabile. Il grafico `e mostrato in Figura ??. Esercizio ??. (a) Sia f (x) =

x3 −x x2 −4 .

dom (f ) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞). f `e dispari. Le rette x = ±2 sono √

q

q

asintoti verticali e la retta y = x `e asintoto obliquo. Posto x1 = 11−2 105 e x2 = 11+2 105 , f `e crescente in (−∞, −x2 ] , [−x1 , x1 ] e [x2 , +∞) ed `e decrescente in [−x2 , −2) , (−2, −x1 ] , [x1 , 2) e (2, x2 ] .

I punti −x2 e x1 sono di massimo relativo e i punti −x1 e x2 sono di minimo relativo. Inoltre calcolando la derivata seconda di f si ha che x = 0 `e un punto di flesso per f . (b) Sia f (x) = logx x . dom (f ) = (0, +∞). La retta x = 0 `e asintoto verticale e la retta y = 0 `e asintoto orizzontale destro. f `e crescente in (0, e] e decrescente in [e, +∞) Il punto e `e h 3 x= 3 2 2 di massimo assoluto. Il punto x = e `e un punto di flesso per f . f `e convessa in e , +∞ e 

3

i

concava in 0, e 2 .

√ obliquo (c) Sia f (x) = 2x + x2 − 1. dom (f ) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞). La retta y = 3x `e asintoto i  destro mentre la retta y = x `e asintoto obliquo sinistro. f `e crescente in −∞, − √23 e i

h

[1, +∞), decrescente in − √23 , −1 . Il punto x = − √23 `e di massimo relativo. I punti x = ±1 



sono di minimo relativo. Dal grafico si deduce che f ha un punto di flesso in −∞, − √23 .

(d) Sia f (x) =

1+| log x| 1+logx .





dom (f ) = 0, 1e ∪ 



i



1 e , +∞



. La retta x =

1 e

`e un asintoto verticale. f

`e decrescente in 0, 1e e 1e , 1 ed `e costantemente uguale a 1 in [1, +∞) . Il punto x = e−3     `e un punto di flesso per f . f `e convessa in 0, e−3 e in e−1 , 1 e concava in e−3 , e−1 . Nell’intervallo [1, +∞) essendo f costante, f `e contemporaneamente convessa e concava. (e) Sia f (x) = x2 +

p

h

|x2 − 1|. dom (f ) = R. f `e pari. f `e crescente in −1, − h

[1, +∞) ed `e decrescente in (−∞, −1] , −

i

3 2 ,0

e

h√

i

3 2 ,1

. I punti x = ± q

relativo e i punti x = ±1, 0 sono di minimo assoluto. I punti x = ± 1 ± 

q

so per f . f `e convessa in −∞, − 1 − cava h

1,

q

in 1+

1 √ 3 4

i

.

h q

− 1−

i

1 √ 3 , −1 4

,

1 √ 3 4

i h q

1 √ 3 , q 4

, − 1+ h

−1, − 1 +

q

1−

1 √ 3 4

i

,

1 √ 3 4

3 2

1 √ 3 4

i hq

,

1

3 2

i h

, 0,

√ i 3 2

e

sono di massimo

sono punti di fles1 √ 3 , +∞ 4 i √ − 31 , 1 , 4

1+

hq



e con-


6 √ √ 5] (f ) Sia f (x) = (x2 − 4)e−|x| . dom (f ) = R. f ` e pari. f ` e crescente in (−∞, −1 − 5] e [0, 1 + √ √ √ + 5) sono di massimo ed `e decrescente in [−1 − 5, 0] e [1 + 5, +∞) . I punti x = ±(1 √ assoluto e il punto x = 0 `e di minimo √ I punti x = ±(2 + 6) sono √ punti di flesso √ √ assoluto. per f . f `e convessa in (−∞, −2 − 6] e [2 + 6, +∞) e concava in [−2 − 6, 0] e [0, 2 + 6]. Esercizio ??. Il dominio `e R \ {1}. Si ha un asintoto verticale completo per x = 1 e un asintoto obliquo y = −x − 1 per x → −∞. La funzione `e continua e derivabile in ogni punto del dominio. In particolare, per x = 0 si ha lim f (x) = lim+ f (x) = f (0) = 5

x→0−

x→0

lim f ′ (x) = lim+ f ′ (x) = 5 .

e

x→0−

x→0

√ Vi `e un unico punto di minimo (relativo) per x = 1 − 6. Per quanto riguarda la domanda e), si ha √ 12−2 √ 6 6 √ 12−2 √ 6 6 √ 12−2 √ 6. 6

(i) una sola soluzione per k < (ii) due soluzioni per k = (iii) tre soluzioni per k >

Per il grafico, si veda la Figura ??. Esercizio ??. La funzione f ha un asintoto orizzontale sinistro (y = 0) e un asintoto orizzontale destro (y = π/2). La funzione g ha un asintoto obliquo a sinistra (y = −x) e un asintoto obliquo a destra (y = x + π2 ). Nel punto x = 0 la funzione g `e continua ma non derivabile. Nello stesso punto, la funzione presenta un punto di minimo (assoluto). Inoltre, im g = [ π4 , +∞). Per i grafici, vedere la Figura ??. Esercizio ??. a) Si ha che dom f = (2, +∞). Si ha lim f (x) = −∞,

lim f (x) = −∞.

x→+∞

x→2+

La funzione non ammette asintoto obliquo per x → +∞. b) Si ha f ′ (x) = e quindi ′

Quindi f `e crescente in

h√

  √ 2x 1 − 2 x2 − 4

x2 − 4

f (x) = 0

⇐⇒

f ′ (x) > 0

⇐⇒

17 2 , +∞



17 , 2 √ 17 . x> 2 x=



√ i √ 17 17 . Inoltre x = 2  √2  17 = −2 − log 4. 2

mentre f `e decrescente in 2,

punto di massimo assoluto per f e il massimo assoluto di f `e f

`e un


7 La Figura ?? mostra il grafico. √ Esercizio ??. La funzione `e pari: i punti di massimo (assoluto) si trovano per x = ±2/ 3. Per 3 4 x = 0 si ha un minimo (relativo). Inoltre, im f = (0, 3 2 e 3 ]. La retta y = 0 `e asintoto orizzontale completo. Le soluzioni dell’equazione f (x) = k sono: 3

(i) due per 0 < k < 3− 2 3

(ii) tre soluzioni per k = 3− 2 3

3

4

(iii) quattro soluzioni per 3− 2 < k < 3 2 e 3 3

4

(iv) due soluzioni per k = 3 2 e 3 . Altrimenti, non ci sono soluzioni. Il grafico `e presentato nella Figura ??. Esercizio ??. Si hanno asintoti verticali completi per x = 0, x = 2. Si ha anche asintoto orizzontale completo (asse delle ascisse). La funzione non `e definita per x = 1. Il prolungamento per continuit`a si ottiene ponendo f˜(0) = 0 e f˜(x) = f (x) se x 6= 0. La funzione f non ha n´e massimi n´e minimi, mentre il suo prolungamento f˜ ha un massimo (relativo) per x = 0. Il grafico `e visualizzato nella Figura ??. Esercizio ??. Si ha un asintoto verticale completo per x = 2 e un asintoto orizzontale destro per y = 0. La funzione non `e definita per x = 1, e non `e derivabile per x = 1/2. Vi `e un punto di minimo (relativo) per x = 0. Il grafico `e presentato nella Figura ??. Esercizio √ ??. La funzione presenta asintoto obliquo a destra (y = x). C’`e un minimo per x = 1/ 3 e un massimo per x = 0. Il punto x = 1 `e un punto di flesso a tangente verticale. Per il grafico, si veda la Figura ??. Esercizio ??. La funzione ha asintoto verticale destro per x = 1 e massimo assoluto per x = e. Per avere una e una sola soluzione dell’equazione f (x) = k, deve essere k = −1. Il grafico `e mostrato nella Figura ??. Esercizio ??. In tutti i casi considerati, la retta y = −1 funge da asintoto orizzontale destro. Per k = 1, 2, 3 si ha anche l’asintoto orizzontale sinistro (y = 1). Nel caso k = 1 si ha asintoto verticale per x = 0. Per k = 2 l’asintoto verticale si trova in x = log 2 e per k = 3 si trova in x = log 3. Non esiste nessun valore di k per cui la funzione `e derivabile in x = 0. I grafici sono visualizzati, nei vari casi, nella Figura ??.


8

Prima funzione

Seconda funzione

4

4

2

2

0

0

-2

-2

-4 -4

-2

0

2

4

2

4

-4 -4

-2

0

Terza funzione 4 2 0 -2 -4 -4

-2

0

Figura 1: Esercizio 1

y=f(x) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -3

-2

-1

0

1

2

Figura 2: Esercizio 2

3

2

4


9

y=f(x) 8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8 -6

-4

-2

0

2

4

6

Figura 3: Esercizio 4

y=f(x) 4 2 0 -2 -4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1

2

3

4

y=g(x) 4 2 0 -2 -4 -4

-3

-2

-1

0

Figura 4: Esercizio 8


10

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

Figura 5: Esercizio 9

y=f(x) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 6: Esercizio 10

y=f(x) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figura 7: Esercizio 11

5


11

y=f(x) 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Figura 8: Esercizio 12

y=f(x) 3

2

1

0

-1

-2

-3 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 9: Esercizio 13

y=f(x) 1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Figura 10: Esercizio 14

6


12

k=0

k=1

4

4

2

2

0

0

-2

-2

-4 -4

-2

0

2

4

-4 -4

-2

k=2 4

2

2

0

0

-2

-2

-2

0

2

4

2

4

k=3

4

-4 -4

0

2

4

-4 -4

-2

Figura 11: Esercizio 15

0


sdf2