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Richiami di teoria: numeri complessi Ricordiamo che un numero complesso z pu`o essere rappresentato in forma cartesiana (o algebrica) z = a + ib , in forma esponenziale z = ρ eiθ o in forma polare (o trigonometrica) z = ρ (cos θ + i sin θ) . Le relazioni che legano queste diverse espressioni sono ρ=

p

a2 + b2 ,

cos θ = √

a = ρ cos θ ,

a , + b2

a2

sin θ = √

b , + b2

a2

b = ρ sin θ ,

ove a `e la parte reale di z (denotata anche con <ez), b la parte immaginaria di z (denotata anche con =mz), ρ il modulo (o valore assoluto) di z, θ l’argomento di z e i rappresenta l’unit` a immaginaria. I numeri reali con parte reale nulla si dicono immaginari puri. Dato z = a + ib, con a, b ∈ R, si dice complesso coniugato di z il numero complesso z = a − ib. (0.1) Proposizione Valgono le seguenti propriet` a: a) z + w = z + w b) z · w = z · w c) z = z 1


2 numeri complessi

Richiami di teoria:

d) z + z = 2<ez e) z − z = 2i=mz f ) z · z = |z|2 g) |z| = |z| per ogni z, w ∈ C.

Potenze di numeri complessi Dato z = ρeiθ , vale z n = ρn einθ ,

n ∈ N.

In particolare, quando ρ = 1 si ottiene la cosiddetta formula di De Moivre (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ ,

n ∈ N.

Radici ennesime di numeri complessi Ricordiamo che in campo complesso ogni numero z ha n radici n-ime distinte, che costituiscono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza con centro nell’origine e di raggio pari a

p n

|z|. In particolare, se z = ρ (cos θ + i sin θ) = ρeiθ ,

allora le radici ennesime di z sono date da √ n



ρ cos



θ + 2kπ n





+ i sin

θ + 2kπ n



=

√ n

ρ ei

θ+2kπ n

, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 .

Richiamiamo infine il cosiddetto Teorema fondamentale dell’algebra. (0.2) Teorema Un polinomio P (z) ∈ C[z] di grado n ≥ 1 ha n radici complesse, contate ciascuna con la sua molteplicit` a.

richiami_teoria_numcompl  

Datoz=a+ib,cona,b∈ R ,sidicecomplessoconiugatodizilnumerocomplesso a=ρcosθ, b=ρsinθ, c)z=z b)z·w=z·w oinformapolare(otrigonometrica) (0.1)P...

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