Issuu on Google+

La formula di Taylor: esercizi proposti Esercizio 1. Calcolare lo sviluppo di Taylor con il resto di Peano delle seguenti funzioni arrestato all’ordine n nel punto x0 : (a)

f (x) = 2x

(n = 4, x0 = 0)

  1 1 1 f (x) = 1 + x log 2 + x2 log2 2 + x3 log3 2 + x4 log4 2 + o x4 , 2 6 24





(b)

f (x) = log (4 − x2 )

x→0

(n = 3, x0 = 1)

5 26 2 f (x) = log 3 − (x − 1) − (x − 1)2 − (x − 1)3 + o((x − 1)3 ), 3 9 81





(c)

f (x) = sin2 x − sin x2

x→1

(n = 4, x0 = 0)   1 f (x) = − x4 + o x4 , 3



(d)

f (x) = sin x "

(d)

n = 4, x0 =

π 2

1 π f (x) = 1 − x− 2 2 



x→0

 2

1 π + x− 24 2 

4



+o

π x− 2

4 !

,

n = 2 , x0 = π3 . " √   √     ! 3 1 π 3 π 2 π 2 f (x) = + x− − x− +o x− , 2 2 3 4 3 3

π x→ 2

#

π x→ 3

#



f (x) = sin x

Esercizio 2. Calcolare la parte principale dei seguenti infinitesimi: (a)

1 x

sin

f (x) = e − e

1 x



,

x → +∞

1

1 1 , 6 x3



x → +∞


2

La formula di Taylor: esercizi proposti



(b)

f (x) = sin (sin x) − x cos x,

x→0

(c)

f (x) = sin x(cos 2x + sin 2x − 1),

(d)

f (x) = sin x(x − log(1 + x)),

x→0

h



x → 0.

1 3 x , 6



x→0

i

2x2 ,

x→0

1 3 x , 2

x→0



Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti utilizzando gli sviluppi di Taylor: 2

(a)

ex − cos x − 32 x2 lim x→0 x4

(b)

sin2 x − sin x2 lim 2 x→0 x log (cos x)

(c)

51+tan x − 5 lim x→0 1 − cos x

(d)

(1 + x) x − e lim x→0 x

(e)

lim



11 24



2 3

 

2

[10 log 5]

1

 x→0

sin x x

lim

x→+∞

1 x2

h

1 x − x log 1 + sin x



(f )



2



(g)

ex − 1 + log (1 − x) x→0 tan x − x

(h)

1 lim x→0 x

lim



e − 2



1

i



1 1 − . sin x x 

e− 6

1 2



 



1 2 1 6



 


prop-taylor