Issuu on Google+

Polinomi ed equazioni algebriche R. Notari

1


1. Radici e loro molteplicit` a . Teorema 1 (di Ruffini) Sia P (x) ∈ K[x] un polinomio. x0 ∈ K ` e una radice di P (x) se, e solo se, x − x0 divide P (x). Teorema 2 Sia P (x) ∈ K[x] un polinomio. x0 ∈ K ` e una radice di P (x) di molteplicit` a almeno m ∈ N se, e solo se, P (i)(x0) = 0, i = 0, . . . , m − 1, dove P (i)(x) ` e la derivata i−esima di P (x). x0 ∈ K ` e radice di P (x) di molteplicit` a esattamente m ∈ N se, e solo se, oltre alle condizioni precedenti si ha anche che P (m)(x0) 6= 0.

2


2. Esistenza delle radici e fattorizzazione su C. Teorema 3 [fondamentale dell’ algebra] Sia P (x) ∈ C[x] un polinomio a coefficienti complessi di grado almeno 1. Allora P (x) ha almeno una radice z ∈ C. Corollario 4 Ogni polinomio P (x) a coefficienti complessi si fattorizza completamente su C come prodotto di potenze di fattori di grado 1, ossia esiste a ∈ C tale che P (x) = a(x − z1)m1 · · · (x − zr )mr dove z1, . . . , zr sono tutte e sole le radici di P (x) di molteplicit` a m1, . . . , mr rispettivamente.

3


3. Polinomi a coefficienti reali. Osservazione 5 Ogni polinomio P (x) a coefficienti reali, pu` o anche considerarsi come un polinomio a coefficienti complessi. Possiamo allora affermare che esso ha almeno una radice complessa, ma non che esso ha almeno una radice reale. Ad esempio, si consideri il polinomio P (x) = x2 + 1 : esso non ha radici reali, ma ha le due radici complesse z1 = i, z2 = −i. Proposizione 6 Sia P (x) un polinomio a coefficienti reali e sia z ∈ C \ R una radice di P (x) di molteplicit` a m ∈ N. Allora z, complesso coniugato di z, ` e una radice di P (x) della stessa molteplicit` a m ∈ N.

4


4. Fattorizzazione su R. Osservazione 7 Sia z = a + ib un numero complesso con b = 6 0. Allora (x − z)(x − z) = x2 − 2ax + a2 + b2 ` e un polinomio a coefficienti reali di secondo grado avente discriminante ∆ = −4b2 negativo. Teorema 8 Ogni polinomio P (x) a coefficienti reali si fattorizza come prodotto di potenze di polinomi di grado ≤ 2 avendo i fattori di grado 2 discriminante ∆ negativo, ossia esiste a ∈ R tale che n

s P (x) = a(x − x1)m1 · · · (x − xr )mr p11 · · · pn s

dove x1, . . . , xr sono le radici reali di molteplicit` a m1, . . . , mr e p1, . . . , ps sono polinomi di grado 2 con ∆ < 0 e danno le radici complesse coniugate di P (x) con la relativa molteplicit` a . 5


5. Radici dei numeri complessi. Teorema 9 Sia z = ρ(cos θ + i sin θ) un numero complesso di modulo ρ > 0 ed argomento θ. Allora l’ equazione xn − z = 0 ha n radici distinte w0, . . . , wn−1 date da √ n

θ + 2iπ θ + 2iπ wi = ρ cos + i sin n n √ con i = 0, . . . , n − 1, e dove n ρ ` e l’ unico numero reale positivo che elevato alla n d` a ρ. 



Osservazione 10 I numeri w0, . . . , wn−1 sono i vertici di un poligono regolare ad n lati inscritto in una circonferenza di centro l’ origine √ del piano complesso ed avente raggio n ρ.

6


polinomi-slides