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Rette e circonferenze nel piano cartesiano R. Notari

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1. Rette. Teorema 1 Tutte e sole le rette del piano sono descritte da equazioni della forma ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ R ed a, b non entrambi nulli. Osservazione 2 Data la retta r : ax + by + → c = 0 il vettore v = (a, b) ` e ortogonale alla → retta r, mentre il vettore u = (−b, a) ` e parallelo ad r. Osservazione 3 Sia data la retta r : ax + by + c = 0. Se b 6= 0, possiamo scrivere la sua equazione come r : y = mx + q dove c a m=− e q=− . b b m ` e detto coefficiente angolare, mentre q ` e detto coefficiente di traslazione di r.

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2. Mutua posizione di due rette. Teorema 4 Siano date le due rette r : ax + by + c = 0 ed s : a0x + b0y + c0 = 0, e sia data la matrice (A|B) =

!

a b −c .

a0 b0 −c0

Le rette r ed s sono

1. coincidenti se r(A) = r(A|B) = 1;

2. parallele e distinte se r(A) = 1, r(A|B) = 2;

3. incidenti in un punto se r(A) = r(A|B) = 2.

Vale anche il viceversa delle precedenti condizioni. 3


Osservazione 5 Le rette r ed s del precedente enunciato sono parallele se, e solo se, i vettori (a, b) ed (a0, b0) sono linearmente dipendenti, ovvero se, e solo se, hanno lo stesso coefficiente angolare (ovviamente, in questo caso, assumiamo che r ed s non siano parallele all’ asse y). 3. Rette ortogonali. Proposizione 6 Siano date le due rette r : ax + by + c = 0 ed s : a0x + b0y + c0 = 0. Esse sono ortogonali se, e solo se, ` e verificata la condizione aa0 + bb0 = 0, ovvero se, e solo se, i coefficienti angolari m ed m0 verificano la condizione mm0 + 1 = 0.

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4. Distanze. Teorema 7 Sia dato il punto A(xA, yA) e la retta r : ax + by + c = 0. La distanza tra A ed r ` e uguale a d(A, r) =

|axA + byA + c| q

a2 + b2

.

Corollario 8 Siano date le rette parallele r ed s. La loro distanza ` e uguale alla distanza tra r ed A, dove A ` e un qualsiasi punto di s.

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5. Circonferenza. Teorema 9 Tutte e sole le circonferenze del piano sono descritte da equazioni della forma x2 + y 2 + ax + by + c = 0 dove a, b, c ∈ R sono tali che a2 + b2 − 4c > 0. Data un’ equazione del tipo precedente, il centro della circonferenza ha coordinate   a b − ,− 2 2 mentre il raggio ` e uguale a R = 1 2

q

a2 + b2 − 4c.

Osservazione 10 Se in un’ equazione del tipo precedente capita che a2 + b2 − 4c = 0 allora si dice che la circonferenza ` e degenere. Il solo  punto reale − 2a , − 2b verifica l’ equazione, mentre esistono infiniti punti a coordinate complesse che la verificano. Se a2 + b2 − 4c < 0 allora nessun punto del piano verifica l’ equazione, e la circonferenza si dice circonferenza immaginaria. 6


6. Mutua posizione di rette e circonferenze. Teorema 11 Sia γ la circonferenza di centro C(xC , yC ) e raggio R, e sia r : ax + by + c = 0 una retta.

1. r e γ sono secanti se d(C, r) < R;

2. r e γ sono tangenti se d(C, r) = R;

3. r e γ sono esterne se d(C, r) > R. Proposizione 12 Sia γ la circonferenza di centro C(xC , yC ) e raggio R e sia A(xA, yA) ∈ γ. La retta tangente a γ passante per A ha equazione t : (xC − xA)(x − xA) + (yC − yA)(y − yA) = 0. Se γ ` e data tramite la sua equazione allora t ha equazione t : (2xA +a)x+(2yA +b)y+axA +byA +2c = 0. 7


piana