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Matrici R. Notari

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1. Propriet` a della somma di matrici

1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C ∈ Mat(m, n; K).

2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B ∈ Mat(m, n; K).

3. Sia O la matrice di tipo m×n le cui entrate sono tutte nulle (matrice nulla). Allora A+O =A qualunque sia A ∈ Mat(m, n; K).

4. Sia A una matrice di tipo m × n su K. La matrice −A di tipo m × n le cui entrate sono opposte a quelle di A, posizione per posizione (matrice opposta), ` e l’ unica matrice di tipo m × n per cui A + (−A) = O. 2


2. Propriet` a del prodotto scalare-matrice

1. x(yA) = y(xA) = (xy)A qualunque siano x, y ∈ K e qualunque sia A ∈ Mat(m, n; K).

2. 1A = A qualunque sia A ∈ Mat(m, n; K).

3. x(A + B) = xA + xB qualunque sia x ∈ K e qualunque siano A, B ∈ Mat(m, n; K).

4. (x+y)A = xA+yA qualunque siano x, y ∈ K e qualunque sia A ∈ Mat(m, n; K).

Vale la Legga di Annullamento del prodotto scalare-matrice. Infatti abbiamo Proposizione 1 Sia x ∈ K, e sia A una matrice di tipo m × n su K. Se O ` e la matrice nulla di tipo m × n allora xA = O se, e solo se, x = 0 o A = O. 3


3. Propriet` a della trasposizione 1. t(tA) = A per ogni A ∈ Mat(m, n; K). 2. t(A+B) = tA+ tB qualunque siano A, B ∈ Mat(m, n; K). 3. t(xA) = x tA qualunque sia x ∈ K, e qualunque sia A ∈ Mat(m, n; K).

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4. Matrici simmetriche ed antisimmetriche Teorema 2 L’ unica matrice quadrata di ordine n che ` e sia simmetrica sia antisimmetrica ` e la matrice nulla. Inoltre, data una matrice M quadrata di ordine n, esistono un’ unica matrice quadrata S di ordine n simmetrica ed un’ unica matrice A quadrata di ordine n antisimmetrica che verificano l’ uguaglianza M = S + A.

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5. Propriet` a del prodotto di matrici

1. Siano A, B, C tre matrici qualsiasi su K di tipo m × n, n × p, p × q, rispettivamente. Allora (AB)C = A(BC).

2. Sia Ip la matrice identica di ordine p. Allora, qualunque sia A ∈ Mat(m, n; K) si ha ImA = AIn = A. 3. Siano A, B ∈ Mat(m, n; K) e siano C, D ∈ Mat(n, p; K). Valgono le uguaglianze (A + B)C = AC + BC e A(C + D) = AC + AD.

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4. Siano A, B matrici su K di tipo m×n, n×p, rispettivamente, e sia x ∈ K. Allora si ha x(AB) = (xA)B = A(xB).

5. Siano A, B matrici su K di tipo m×n, n×p, rispettivamente. Allora abbiamo t(AB)

= tB tA.

Non valgono la propriet` a commutativa e la Legge di Annullamento del Prodotto di due matrici.

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6. Operazioni elementari e rango Teorema 3 Data una matrice A su K di tipo m × n, esiste una successione finita di operazioni elementari sulle righe che trasforma A in una matrice A0 di tipo m × n ridotta per righe. Lemma 4 Sia A una matrice su K di tipo m × n, e sia B una matrice ridotta per righe ottenuta da A con operazioni elementari sulle righe, ma senza usare scambi di righe. Allora la riga t−esima di B ` e nulla se, e solo se, la riga t−esima di A ` e combinazione lineare delle righe 1, . . . , t − 1 di A. Teorema 5 Sia A una matrice su K di tipo m×n, e siano B, C matrici di tipo m×n ridotte per righe trasformando A con successioni diverse di operazioni elementari sulle righe di A. B e C hanno lo stesso numero di righe non nulle. 8


7. Teoremi sui determinanti Teorema 6 (di Laplace) Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora

1. Qualunque sia la riga i di A si ha ai1Ai1 + · · · + ainAin = det(A). 2. Qualunque sia la colonna j di A si ha a1j A1j + · · · + anj Anj = det(A). 3. Scelte le due righe distinte i ed h di A si ha ai1Ah1 + · · · + ainAhn = 0. 4. Scelte le due colonne distinte j e k di A si ha a1j A1k + · · · + anj Ank = 0. 9


Corollario 7 Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora det(tA) = det(A). Teorema 8 (di Binet) Siano A e B matrici quadrate di ordine n su K. Allora det(AB) = det(A) det(B). Corollario 9 Sia x ∈ K e sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora det(xA) = xn det(A).

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8. Determinante ed operazioni elementari Teorema 10 Sia A una matrice quadrata di ordine n su K, e siano A1, A2, A3 le matrici ottenute da A effettuando l’ operazione elementare Ri ↔ Rh, Ri → aRi, Rh → Rh + aRi, rispettivamente. Allora abbiamo det(A1) = − det(A), det(A2) = a det(A), ed infine det(A3) = det(A).

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9. Determinante e rango Teorema 11 (di Kronecker) Sia A una matrice su K di tipo m Ă— n. Allora r(A) = p se, e solo se, esiste un minore di A di ordine p non nullo e tutti i minori di A di ordine p + 1 sono nulli, ossia, p ` e il massimo ordine di un minore non nullo di A. Corollario 12 Sia A una matrice quadrata di ordine n su K. Abbiamo che r(A) = n se, e solo se, det(A) 6= 0. Inoltre, se r(A) = n, allora, detta A0 una matrice ridotta per righe ottenuta da A con sole operazioni elementari di tipo E1 ed E3, abbiamo che det(A) ` e uguale, a meno del segno, al prodotto degli elementi speciali di A0.

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