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MATRICI E SISTEMI

RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell’inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan).

Esercizio 1 Ridurre per righe la matrice 

 1 2 3 4 A = 5 6 7 8 . 9 10 11 12

Esercizio 2 Ridurre le seguenti matrici: 

−1 1 −1 0  2 A = 3 4 1, B =   1 2 5 1 0 

4 0 0 0

0 −1 0 1

   0 1 030  1 , C =  −1 1 1 0  0 k 011 0

dove k `e un parametro reale. Esercizio 3 Calcolare il rango delle matrici 

 0 1 A = 1 1  0 −1

1 2 e B= 3 4

5 6 7 8

 9 10  . 11  12

Esercizio 4 Calcolare il rango delle seguenti matrici, al variare del parametro k reale:       123 k 1 1 k −k 0 1 A =  k 1 4  , B =  1 k 1  , C =  1 −2 −1 0  . 437 1 1k 0 1 k 1 Esercizio 5 Calcolare, se possibile, l’inversa delle seguenti matrici:      1   135 123  −1 12 A= , B = 0 1 7, C = 2 5 3, D =   1 13 001 108 2 Esercizio 6 Siano date le matrici A=



2 1 −1 10 3



 1 3 e B =  2 −3  . 0 1

Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) det(A) = 0;

−1 0 −2 −1

2 1 5 1

 1 2  . 4  −1


MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango

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(ii) non `e possibile effettuare il prodotto AB; (iii) il rango di A `e 2;   4 (iv) AB = . 1 Esercizio 7 Data la matrice A =



 h −2 , stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere 2 h

e quali false: (i) ρ(A) = 2 per ogni valore di h ∈ R; (ii) ρ(A) = 2 per ogni valore di h ∈ C; (iii) det A = −4 per h = 0; (iv) ρ(A) = 4 perch´e A non `e la matrice nulla. Esercizio 8 Data una matrice quadrata A di ordine 2, stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) A + At `e una matrice simmetrica; (ii) se A ha rango massimo, anche A + At ha rango massimo; (iii) se det A = 1, allora det(2A) = 2; (iv) se det A = 1, allora det(AB) = det B per ogni matrice B quadrata di ordine 2.


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SVOLGIMENTI

Esercizio 1 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Usiamo a11 = 1 per annullare a21 e a31 :       R2 →R2 −5R1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 R →R3 −9R1  0 6 − 10 7 − 15 8 − 20  =  0 −4 −8 −12  . A =  5 6 7 8  3 −→ 0 −8 −16 −24 9 10 11 12 0 10 − 18 11 − 27 12 − 36 Usiamo a22 = −4 per annullare a32 :     1 2 3 4 1 2 3 4 R →R3 −2R2  0 −4 −8 −12  A −→  0 −4 −8 −12  3 −→ 0 −8 −16 −24 0 0 0 0 (ma uno qualsiasi tra −4, −8, −12 pu`o essere scelto come elemento speciale). Ogni riga non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione `e conclusa.

Esercizio 2 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. • Poich´e la prima riga di A ha gi` a un elemento nullo, conviene ridurre per colonne. Usiamo a11 = 1 per annullare a12 :     1 −1 0 100 C →C2 +C1 3 7 1. A =  3 4 1  2 −→ 2 5 1 2 71 Usiamo ora a22 = 7 per annullare a23 :     1 0 0 1 0 0 C →C − 1 C 2 3 3 −→ 7  3 7 0  A −→  3 7 1  2 7 0 2 71 (ma anche a32 = 7 pu`o essere scelto come elemento speciale). Ogni colonna non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione `e conclusa. • La matrice B `e gi` a ridotta per righe (su ogni riga non nulla c’`e almeno un elemento speciale):   −1 4 0 0  2 0 −1 1   B=  1 0 0 0 . 0 0 1 0 • Riduciamo per righe la matrice C. Guardando l’ultima colonna, si vede che lo scambio R1 ↔ R3 fa gi` a apparire un elemento speciale sulla prima riga, dopodich´e procediamo come al solito:       1 030 k 011 k 011 R1 ↔R3 3 +R2  −1 1 1 0  R3 →R  −1 1 1 0  . C =  −1 1 1 0  −→ −→ k 011 1 03 0 0 14 0 Ogni riga non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione `e conclusa.


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MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango

Esercizio 3 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Poich´e le trasformazioni elementari non cambiano il rango di una matrice, procediamo alla riduzione in modo da leggere poi facilmente il rango sulla matrice ridotta. Siccome le matrici hanno pi` u righe che colonne, conviene ridurre per colonne. • Circa la matrice A, si ha 

   0 1 1 0 C ↔C 1 2  A =  1 1  −→ 1 1 0 −1 −1 0 dove la seconda matrice `e ridotta per colonne (ogni colonna non nulla ha almeno un elemento speciale), quindi il suo rango `e immediatamente dato dal numero di colonne non nulle, cio`e 2. Dunque ρ(A) = 2. • Per la matrice B, si ottiene   15 9 C2 →C2 −5C1  2 6 10  C 3 →C3 −9C1   B= −→ 3 7 11  4 8 12

 1 0 0  2 −4 −8  C3 →C3 −2C2   −→  3 −8 −16  4 −12 −24

1 2  3 4

0 −4 −8 −12

 0 0 , 0 0

dove tutte le matrici scritte hanno lo stesso rango e la matrice finale `e ridotta per colonne con 2 colonne non nulle. Dunque ρ(B) = 2.

Esercizio 4 La matrici contengono un parametro k da discutere, quindi, volendo procedere tramite riduzione, conviene che gli elementi contenenti k siano coinvolti nel processo il pi` u tardi possibile. Si tenga anche presente che, per matrici quadrate, il rango `e massimo se e solo se il determinante non si annulla; imponendo tale condizione si trovano quindi i valori del parametro per cui il rango `e pari all’ordine della matrice, dopodich´e restano da considerare solo i valori di k del per cui il rango non `e massimo, che tipicamente sono in numero finito e possono essere studiati direttamente. • Si ha 

     R →R − 3 R   1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2 →R2 − 21 R1 123 3 2 1 R2 ↔R3 3 −R2  4 0 5/2   5/2 0 5/2  R3 →R  4 3 7  3 −→ −→ A =  k 1 4  −→ k−3 0 0 k − 1/2 0 5/2 k 14 437

dove l’ultima matrice `e ridotta per righe ed ha 2 oppure 3 righe non nulle a seconda che sia k = 3 oppure k 6= 3, rispettivamente. Dunque  2 se k = 3 ρ(A) = 3 se k 6= 3. • Nel caso della matrice B, che presenta tanti elementi contenenti il parametro, ricorriamo al determinante. Si ha

k 1 1

k 1 1 1 1 k



= k k2 − 1 − 2k + 2

+

det B = 1 k 1 = k

11 1k 1k

1 1 k

 = k (k − 1) (k + 1) − 2 (k − 1) = (k − 1) k2 + k − 2 = (k − 1)2 (k + 2)


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MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango

e dunque det B = 0 ⇔ k = 1, −2. Ci`o significa che ρ(B) = 3 per ogni k 6= 1, −2. Studiamo ora i casi restanti. Se k = 1, allora si ha     1 1 1 R2 →R2 −R1 1 1 1 R →R3 −R1 0 0 0 B =  1 1 1  3 −→ 000 111 e dunque ρ(B) = 1. Se k = −2, allora si ha       R2 →R2 −R1 −2 1 1 −2 1 1 −2 1 1 R3 →R3 +2R1 R3 →R3 +R2  3 −3 0   3 −3 0  B =  1 −2 1  −→ −→ 1 1 −2 −3 3 0 0 0 0 e dunque ρ(B) = 2. In definitiva   1 se k = 1 ρ(B) = 2 se k = −2  3 altrimenti. • Per la matrice C, si ottiene       k −k 0 1 k −k 0 1 k −k 0 1 R →R3 −R1  R →R3 +kR2  C =  1 −2 −1 0  3 −→ 1 −2 −1 0  3 −→ 1 −2 −1 0  0 1 k 1 −k 1 + k k 0 0 1−k 0 0 (si ricordi che la trasformazione Ri → Ri + λRj `e ammessa anche se λ = 0) e dunque  2 se k = 1 ρ(C) = 3 se k 6= 1.

Esercizio 5 • Poich´e

1 2

= 1 6= 0,

det A =

1 3

l’inversa A−1 esiste. Procediamo al suo calcolo sia mediante l’algoritmo di Gauss-Jordan che tramite complementi algebrici. Mediante algoritmo di Gauss-Jordan, si ottiene

       1 2

1 0 R2 →R2 −R1 1 2

1 0 R1 →R1 −2R2 1 0

3 −2 −→ = I | A−1 −→ (A | I) =

0 1 −1 1 0 1 −1 1 13 01

e dunque

A

−1

=



3 −2 −1 1



.

Procedendo tramite complementi algebrici, si tratta di calcolare il complemento algebrico Aij di ciascun elemento aij di A e scrivere la cosiddetta matrice aggiunta di A, cio`e (Aji ); dopodich´e A−1 =

1 (Aji ) . det A


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Si ha A11 = (−1)1+1 3 = 3, A12 = (−1)1+2 1 = −1, A21 = (−1)2+1 2 = −2, A22 = (−1)2+2 1 = 1, e quindi (Aji ) = (Aij )T =



3 −2 −1 1



.

Essendo det A = 1, si ottiene finalmente A

−1

= (Aji ) =



3 −2 −1 1



.

• Anche per la matrice B, procediamo al calcolo di B −1 (che esisite perch´e det B = 1 6= 0, come si vede subito moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale di B, che `e triangolare) sia mediante l’algoritmo di Gauss-Jordan che tramite complementi algebrici. Mediante algoritmo di Gauss-Jordan (particolarmente semplice perch´e B `e gi`a triangolare), si ottiene

    1 3 5

1 0 0 R1 →R1 −5R3 1 3 0

1 0 −5 R →R2 −7R3  0 1 0

0 1 −7  (B | I) =  0 1 7

0 1 0  2 −→

0 0 1 0 0 1 001 001

  1 0 0

1 −3 16  R1 →R1 −3R2  −→ 0 1 0

0 1 −7  = I | B −1 0 0 1 0 0 1 e dunque

B −1

 1 −3 16 =  0 1 −7  . 0 0 1

Procedendo tramite complementi algebrici, si ha

1+3 0 1

1+2 0 7

1+1 1 7

B11 = (−1)

0 0 = 0,

0 1 = 0, B13 = (−1)

0 1 = 1, B12 = (−1)

3 5

= −3, B22 = (−1)2+2 1 5 = 1, B23 = (−1)2+3 1 3 = 0, B21 = (−1)2+1

0 0

01 01

3+1 3 5

3+2 1 5

3+3 1 3

B31 = (−1)

1 7 = 16, B32 = (−1)

0 7 = −7, B33 = (−1)

0 1 = 1

e quindi

 1 −3 16 (Bji ) = (Bij )T =  0 1 −7  . 0 0 1 Essendo det B = 1, si ottiene finalmente B −1

 1 −3 16 = (Bji ) =  0 1 −7  . 0 0 1 


7

MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango

• Poich´e

1 2 3

det C =

2 5 3

= −1 6= 0,

1 0 8

l’inversa C −1 esiste. Procedendo con uno dei metodi gi`a usati ai punti precendenti, si ottiene   −40 16 9 C −1 =  13 −5 −3  . 5 −2 −1 • Poich´e

1

−1 det D =

1

2

l’inversa della matrice D non esiste.

−1 0 −2 −1

2 1 5 1

1

2

= 0, 4

−1

Esercizio 6 La (i) `e falsa, o meglio non ha senso, perch´e A non `e quadrata. La (ii) `e falsa, perch´e A `e di tipo m × n e B `e di tipo n × p, per cui il prodotto AB esiste (ed `e di tipo m × p). La (iii) `e vera, ad esempio perch´e A possiede il minore non nullo

2 1

1 0 = −1, che ha ordine 2. La (iv) `e senz’altro falsa, perch´e A `e di tipo 2 × 3 e B `e di tipo 3 × 2, per cui AB deve essere di tipo 2 × 2.

Esercizio 7 Si ha ρ(A) = 2 ⇔ det A 6= 0 (perch´e A `e quadrata di ordine 2) e risulta

h −2

= h2 + 4.

det A =

2 h

Quindi la (i) `e vera, perch´e h2 + 4 6= 0 per ogni h ∈ R, mentre la (ii) e la (iii) sono false, perch´e h2 + 4 = 0 per h = ±2i e det A = 4 se h = 0. La (iv) `e falsa, perch´e il rango di una matrice non pu`o superare nessuna delle sue dimensioni e quindi deve essere ρ(A) ≤ 2 in ogni caso.

Esercizio 8

(i) Vera. Infatti risulta         a b a b a c 2a b + c T A= ⇒ A+A = + = c d c d b d c + b 2d

dove b + c = c + b (il risultato `e vero anche per matrici quadrate di ordine maggiore; infatti, se A = (aij ) allora AT = (aji ) ed A + AT = (aij + aji ), dove bij = aij + aji `e tale che bij = aij + aji = aji + aij = bji , essendo la somma aij + aji commutativa).


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(ii) Falsa. Ad esempio         1/2 1 1/2 1 1/2 0 11 A= ⇒ A + AT = + = 0 1/2 0 1/2 1 1/2 11  dove risulta det A + AT = 0 pur essendo det A = 1/4 6= 0.

(iii) Falsa. Infatti, se det A = 1, allora risulta det (2A) = 22 det A = 4 (si ricordi che per ogni matrice A ∈ Kn,n e per ogni λ ∈ K risulta det (λA) = λn det A). (iv) Vera. Infatti, per ogni B ∈ K2,2 , il prodotto AB `e ben definito e risulta det (AB) = det A det B (teorema di Binet).

Matrici&Sisitemi_RIDUZIONE  

k11 1k1 11k 1 030 −1110 k 011 123 k14 437 135 017 001 123 253 108 15 9 2610 3711 4812  .  .  . 1 −12 1 −1 0 1 2 1 −25 4 2 −11−1 k−k 0...

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