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Integrali multipli - Esercizi proposti Integrali doppi senza cambiamento di coordinate ZZ

1. Calcolare I =

T

ZZ

2. Calcolare

E

log(xy) dx dy, dove T = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ −1/2, 4x ≤ y ≤ 1/x}.

sin(x + 2πy) dx dy, dove E `e l’unione dei due triangoli di vertici O(0, 0),

A(1, −1), B(1, 0), e O(0, 0), C(2, 0), D(1, 1), rispettivamente. ZZ

3. Calcolare ZZ

4. Calcolare

D

ZZ

5. Calcolare

D

C

x−2 e −y dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, |xy| ≤ 1}. x sin |x2 − y| dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. x2 dx dy, dove C = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ −x2 + 21 x+3, y ≥ −x2 −x, y ≥ −x2 +2x}.

Integrali doppi con e senza cambiamento di coordinate ZZ

6. Calcolare

x−y

T

e x+y dx dy, dove T = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.

ZZ

1

y(x2 + y 2 ) 2 dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}. 2 x D ZZ xy 8. Calcolare dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, y ≥ −x, 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}. 2 2 D x + 3y 7. Calcolare

ZZ

9. Calcolare I =

C

y dx dy, dove C = {(x, y) ∈ R2 : R2 ≤ x2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x},

con R ∈ [0, +∞). ZZ

10. Calcolare

B

x2 e xy dx dy, dove B = {(x, y) : x < y < 3x, xy < 3}.

Integrali multipli ed integrali iterati - scambio ordine di integrazione Integrali tripli senza cambiamento di variabili ZZZ

11. Calcolare 1}.

D

|y − 3x| dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 6, 0 ≤ z ≤

1


2

INTEGRALI MULTIPLI - ESERCIZI PROPOSTI ZZZ

12. Calcolare

D

x(y 2 + z 2 ) dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x2 ≥

y 2 + z 2 x ≥ 0}. ZZZ

13. Calcolare

z dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 − 2z ≤ 0, x2 + y 2 ≥ 2 − z}.

D

ZZZ

14. Calcolare

x dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 :

D

x2 9

+

z2 4

≤ 1, 0 ≤ x ≤

p

y 2 + z 2 }.

Integrali tripli con cambiamento di variabili ZZZ

15. Calcolare

x dx dy dz, dove D = {(x, y, z) : 2x ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, 0 ≤ x}.

D

ZZZ

16. Calcolare

D

(x2 + y 2 ) dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.

ZZZ

17. Calcolare

z 2 dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 ≤ 1}.

D

ZZZ p

18. Calcolare √ − x2 + z 2 }.

D

ZZZ

19. Calcolare

D

x2 + z 2 dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ y ≤ 1, 2(y − 1) ≤

(1 − x2 ) dx dy dz, dove D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, |x| ≤ y 2 + z 2 }.

ZZZ

20. Calcolare

D

(2x + 3y + z)2 dx dy dz, dove D = {(x, y, z) :

x2 9

+

y2 4

+

z2 36

≤ 1}.

Applicazioni 21. Calcolare il volume dei solidi seguenti: (a) A = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x − y}; (b) B = {(x, y, z) : x2 + y 2 − 2x cos z + cos2 z ≤ 1, − π2 ≤ z ≤ π2 }; (c) C = {(x, y, z) :

x2 4+y 2

≤ 1, 1 ≤ z ≤ 12 − xy};

(d) D = {(x, y, z) : x2 + y 2 − 4x ≤ 12, x ≥ 0, 2 ≤ z ≤ 5}; (e) E = {(x, y, z) : z ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1, z ≤ 3x2 − y 2 }; (f) F = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, (z + 2)2 ≥ 4(x2 + y 2 ), z ≥ 0}. 22. Siano A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} e B = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 + z 2 ≤ 32 x}. Trovare il volume di A ∩ B. 23. Trovare il volume di A = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ z 2 + x2 ≤ 9, z 2 + x2 − 9 ≤ y ≤ 0}.


INTEGRALI MULTIPLI - ESERCIZI PROPOSTI

24. Nel piano (y, z) sia A la regione descritta dalle seguenti disuguaglianze: 0 ≤ z ≤ 2y 2 ,

3

0≤

y ≤ k. Trovare k tale che il volume ottenuto ruotando A attorno all’asse z abbia volume 4π. Per tale valore di k trovare l’area totale di A.

Integrali superficiali ZZ

25. Calcolare I =

S

(x2 + y 2 ) dS, dove S `e la sfera centrata nell’origine, di raggio R.

ZZ

26. Calcolare I =

S

(x2 + y 2 ) dS, dove S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = xy, x2 + y 2 ≤ 8}.

27. Calcolare l’area di A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y 2 , (x, y) ∈ K}, dove K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. (Usare coordinate polari in K). 28. Calcolare l’area della superficie Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = r2 , (x − 2r )2 + y 2 ≤ r2 2 ,

z ≥ 0}.

Integrali di linea e di Flusso, teoremi di Gauss, Stokes e Green 29. Sia C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9, z = 2x} una curva in R3 orientata in senso antiorario. ~ Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F(x, y, z) = 2xy i + y 2 j + zx k lungo C. 30. Calcolare il flusso di ~F(x, y, z) = x i + y 2 j + z k uscente dal bordo dei solidi Ω1 = {(x, y, z) ∈

R3 : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} ed Ω2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0}, sia col calcolo diretto che utilizzando il teorema di Gauss (o della divergenza). z 31. Calcolare il flusso del campo vettoriale ~ F(x, y, z) = (2x3 − 10) i + 2y 3 j + e 2 k uscente dal

bordo del solido D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 4}, sia col calcolo diretto che utilizzando il teorema di Gauss (o della divergenza). 32. Sia Q il quadrato di vertici O(0, 0), A(3, 0), B(3, 3), C(0, 3). Calcolare il flusso del campo vettoriale ~F(x, y) = (x + y) i + y 2 j uscente dal bordo di Q. ZZ

33. Calcolare I = ed ~F(x, y, z) =

rot(~F) · ~n dS, dove S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + (z − 2)2 = 8, z ≥ 0}

S y 2 cos xz i

+ x3 eyz j − e−xyz k (sia con il calcolo diretto che con il teorema di

Stokes). √ p 34. Sia Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2 , z = 1 − x2 − y 2 }. Calcolare ~ la circuitazione dei campi vettoriali ~F(x, y, z) = (y + z) i + (z + x) j + (x + y) k e G(x, y, z) = i + j + (x + y + z) k lungo il bordo di Σ (sia con il calcolo diretto che con il teorema di Stokes).


4

INTEGRALI MULTIPLI - ESERCIZI PROPOSTI

35. Sia Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2u2 v 2 , y = u, z = v, 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1} ed ~F(x, y, z) = z j + y k. Calcolare il flusso di ~F uscente da Σ e la circuitazione di ~F lungo il bordo di Σ. 36. Verificare la formula di Green per il campo vettoriale ~F(x, y) = 3y i − 2x j e la curva C definita come l’unione delle curve C1 : y = 2e 3x , x ∈ (−2, 2); C2 : x = −2, y ∈ (0, 2e −6 ); C3 : y = 0, x ∈ (−2, 2e 6 + 2); C4 : x + y = 2 + 2e 6 , x ∈ (2, 2e 6 + 2). 37. Trovare l’area della regione piana racchiusa dalla curva r(t) = 2 cos3 t i + 3 sin3 t j, t ∈ [0, 2π]. (Utilizzare un integrale di linea). 38. Trovare l’area della regione piana racchiusa dalla curva r(t) = (t3 − 3t2 + 2t) i + (t − t3 ) j, t ∈ [0, 1]. (Utilizzare un integrale di linea).


INTEGRALI MULTIPLI - ESERCIZI PROPOSTI

SOLUZIONI

Integrali doppi senza cambiamento di coordinate 1. 5 log 2 − 3; 2. sin 1

3 + 2π sin 2 + ; (1 + 2π)(1 − 2π) 2π − 1

3. 2(cosh 1 − cosh 1/2); 4. 1 − sin 1; 5. 4.

Integrali doppi con e senza cambiamento di coordinate µ

1 1 6. e− ; 4 e √ 3( 2 − 1) 7. ; 2 8. 0; 9. 10.

√ √ √ 4 R3 − (1 − 2/2) se 0 < R ≤ 2, 8/3 − R2 + 2/6R3 se 2 < R < 2 2; 3 3 2e3 + 1 . 3

Integrali tripli senza cambiamento di variabili 11. 96; π ; 48 π 13. ; 4 12.

14.

39π . 4

Integrali tripli con cambiamento di variabili 15.

π ; 24

16.

8π ; 15

5


6

INTEGRALI MULTIPLI - ESERCIZI PROPOSTI

17.

8π ; 5

18.

4π ; 3

a2 2a3 a4 a5 19. 2π(a − − + + ), a = 2 x 4 5 20.

√ 5−1 ; 2

26 · 34 π. 5

Applicazioni √ 21. vol(A) = 2, vol(B) = π 2 , vol(C) = 22π, vol(D) = 12 3 + 32π, vol(E) =

π 3

+

√ 3 2 ,

vol(F ) =

238 75 ;

22.

19 . 48

23. 32π. 24.

√ π (353/2 − 1) + 2π + 8 2π 24

Integrali superficiali 25. 8π

R4 . 3

26. 4π

289 . 15

27.

(53/2 − 1)π . 6

28. r2 (π − 2).

Integrali di linea e di Flusso, teoremi di Gauss, Stokes e Green 29. 0. 30.

10 π. 3

31. 2π(e3 + 33). 32. 36. 33. 12π. π 34. − . 2


INTEGRALI MULTIPLI - ESERCIZI PROPOSTI

35. Flusso = −10, circuitazione = 0. 36. −10e 12 − 10/3e 6 + 10/3e −6 . 37.

9π . 4

38.

1 . 20

7


integrali_proposti