Issuu on Google+

INTEGRALI DI LINEA Esercizi

1. Calcolare l’integrale di linea dei seguenti campi lungo le curve indicate: a) b) c) d) e)

F (x, y) = (2 − y, x) F (x, y, z) = x2(2x,1,4z) +y+2z 2 +1 F (x, y, z) = (2x2 y, xz, −x), F (x, y, z) = (y, z, x) F (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y)

γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π] γ(t) = (t, t3 , t2 ), t ∈ [0, 2] γ(t) = (1 + cos t, sin t, −2 sin2 t), t ∈ [0, 2π] γ(t) = (A cos t, A sin t, B), t ∈ [0, 2π], A, B > 0 γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π], a, b > 0

2. Calcolare l’integrale del campo F (x, y) = (y 2 , x2 ) lungo la curva γ data dall’insieme di punti {(x, y) : y ≥ 0, a12 x2 + b12 y 2 = 1}, percorso in senso antirorario. 3. Determinare per quali valori a ∈ R si annulla e γ(t) = (cos t, sin t), con t ∈ [0, 2π].

R γ

F · dP , dove F (x, y) = (2x2 + y 2 , axy)

4. Calcolare γ F · dP , dove F (x, y) = (0, x) e γ `e una parametrizzazione del triangolo di vertici (0, 0), A(2, 0), B(1, 3) percorso in senso antiorario. R

Svolgimento 1. a) γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π] γ 0 (t) = (1 − cos t, sin t) F (γ(t)) · γ 0 (t) = (1 + cos t, t − sin t) · (1 − cos t, sin t) = t sin t Ne risulta quindi che: Z

F · dP =

γ

Z 0

t sin t dt = [−t cos t + sin t]2π 0 = −2π.

b) γ(t) = (t, t3 , t2 ), t ∈ [0, 2] F (γ(t)) · γ 0 (t) = Z γ

F · dP =

Z 0

2

γ 0 (t) = (1, 3t2 , 2t)

(2t, 1, 4t2 ) 2t + 3t2 + 8t3 2 · (1, 3t , 2t) = t2 + t3 + 2t4 + 1 t2 + t3 + 2t4 + 1

i2 2t + 3t2 + 8t3 2 3 4 dt = log(t + t + 2t + 1) = log 45 0 t2 + t3 + 2t4 + 1

1


c) γ(t) = (1 + cos t, sin t, −2 sin2 t), t ∈ [0, 2π] γ 0 (t) = (− sin t, cos t, −4 sin t cos t) F (γ(t)) · γ 0 (t) = −2 sin2 t − 6 sin2 t cos t − 4 sin2 t cos2 t + 4 cos t sin t = g(t) Dato che −4 sin2 t cos2 t = −4 sin2 t(1 − sin2 t) = −4 sin2 t + 4 sin4 t, g(t) = −6 sin2 t cos t + 4 sin t cos t − 6 sin2 t + 4 sin4 t Calcoliamo gli integrali dei singoli addendi: R 2π 0

R 2π 0

R 2π 0

R 2π 0

4 cos t sin t dt = 4

h

−6 sin2 t cos t dt = sin2 t dt = sin4 t dt =

h 1 4

1 (t 2

h

i2π sin2 t =0 2 h 0 3 i2π −6 sin3 t 0 i2π

=0

− sin t cos t)

− sin3 t cos t

+3

0 i2π 0

R 2π 0



sin2 t dt = 32 π.

d) γ(t) = (A cos t, A sin t, B), t ∈ [0, 2π] γ 0 (t) = (−A sin t, B cos t, 0) F (γ(t)) · γ 0 (t) = −A2 sin2 t + AB cos t Z

F · dP =

γ

Z

0

2π

t − sin t cos t −A sin t + AB cos t dt = −A · + AB sin t 2 2



2

2

= −A2 π.

0

e) γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π] γ 0 (t) = (−a sin t, a cos t, b) F (γ(t)) · γ 0 (t) = abt sin t + abt cos t + ab cos t − ab sin t − a2 = g(t) Z

F · dP =

Z

γ

g(t)dt = −2πa2 − 2πab = −2πa(a + b).

0

2. Il semiellisse di semiassi a, b si parametrizza in senso antiorario come (a cos t, b sin t), con t ∈ [0, π]. In questo modo risulta quindi parametrizzata la curva Z −γ(t), percorsa Z F · dP = −

in senso opposto a quello richiesto. Ricordando che

−γ

F · dP , potremo

γ

procedere come negli esercizi precedenti. −γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, π] −γ 0 (t) = (−a sin t, a cos t) 2 3 0 2 2 2 2 2 3 F Z (γ(t)) · (−γ (t)) Z = (b sin t, a cos t) · (−a sin t, b cos t) = −ab sin t + a b cos t π

F · dP = −

γ

(−ab2 sin3 t + a2 b cos3 t) dt

0

= −ab2

Z

π

(1 − cos2 t) sin t dt − a2 b

0

Z 0

2

π

2 (1 − sin2 t) cos t dt = ab2 . 3


3. γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] γ 0 (t) = (− sin t, cos t) F (γ(t)) · γ 0 (t) = (cos2 t + 1, a cos t sin t) · (− sin t, cos t) = (a − 1) cos2 t sin t − sin t Z γ

Z

F · dP =

((a − 1) cos2 t sin t − sin t) dt

"0

#2π

cos3 t + cos t = −(a − 1) 3

∀a ∈ R.

= 0, 0

4. Il triangolo di vertici O(0, 0), A(2, 0), B(1, 3) pu`o essere decomposto in tre segmenti: OA : AB : OB :

γ10 (t) = (1, 0) γ20 (t) = (−1, 3) γ30 (t) = (1, 3)

t ∈ [0, 2] t ∈ [0, 1] t ∈ [0, 1]

γ1 (t) = (t, 0) γ2 (t) = (−t + 2, 3t) γ3 (t) = (t, 3t)

Affinch´e il triangolo sia percorso in senso antiorario, OA va percorso da O verso A, AB va percorso da A verso B, mentre OB va percorso da B verso O. Ne segue che la terza curva `e orientata in senso opposto a quello richiesto. Dunque avremo che γ pu`o essere scritta come somma in queto modo: γ = γ1 + γ2 − γ3 . Nel calcolo dell’integrale, ne terremo conto. Z Zγ1 Zγ2

F · dP = F · dP = F · dP =

γ3

Z

2

Z01 Z01

(0, t) · (1, 0)dt = 0 (0, −t + 2) · (−1, 3)dt = (0, t) · (1, 3)dt =

0

Z

Z

1

(−3t + 6)dt =

0

1

3t dt =

0

3 2

Mettendo insieme i vari calcoli, abbiamo che: Z γ

F · dP =

Z

F · dP +

γ1

Z γ2

3

F · dP −

Z γ3

F · dP = 3.

9 2


integrali_linea_svolti