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Funzioni derivabili Esercizi proposti 1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 7 a(x) = 4x3 − x2 + 4x + 5 2



q(x) = arctan 1 + e2x

x2 − 3x + 1 x+1 √ c(x) = 3 1 + x b(x) =

r(x) = log (1 + arctan2 x) s(x) = log (x +

d(x) = sin x − cos x

p

1 + x2 )

t(x) = arctan x + arctan

e(x) = x sin x u(x) = x arctan x −

f (x) = log x2

3

i(x) =

1 x

1 log (1 + x2 ) 2

x 2x + 1 √ 1− x √ w(x) = arcsin 1+ x

v(x) = x − log

g(x) = tan 2x h(x) = x 2 − 6e5x



4

p

1 + x2

j(x) = etan x

y(x) = log |1 − e−2x | +

3

1 e−2x

+1

2 log x − 3 log x − 2

k(x) = x arctan x

z(x) = x

l(x) = log (log x)

α(x) = 2 log |1 − x| + 3 log2 |1 − x|

m(x) = 2sin x

β(x) = log

n(x) = xx γ(x) =

sin x

e−x + 3ex 4

q

1 + log (2 − x2 )

o(x) = x

δ(x) = log

log (sin x)

p(x) = x

1

1 1 − 1 + cos x 1 + cos x


2

Funzioni derivabili

s r

ε(x) =

1 − x2 + e−x2 6

λ(x) =

sin x − cos x x

η(x) = arctan2 x · log (arccos x)

ϕ(x) = (x2 − 9)e−|x|

ϑ(x) = [1 + log (x − sin x)] e2 sin x

ψ(x) =

xe2x . |x| − 2

2) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ciascuna delle seguenti funzioni nel punto x0 indicato a fianco: a)f (x) = 4x3 (x0 = −1)

b)f (x) = x2 +

1 (x0 = 1) x

d)f (x) = e−x (x0 = 0).

c)f (x) = x2 − 2x (x0 = 1) 3) Discutere la derivabilit`a di f (x) = |x3 − x2 |.

4) Determinare per quali valori della x le seguenti funzioni sono crescenti oppure decrescenti:

a) f (x) = 3x2 − 5x − 7

c) f (x) = 2ex − 1

b) f (x) = x(x − 1)2

d) f (x) =

x−

x 2

e) f (x) = ex − x. .

5) Determinare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni sul loro dominio: a)f (x) = x3 − 12x + 7 c)f (x) =

2 x−3

b)f (x) = −x2 + 2x + 3 √ d)f (x) = x x + 1

1 − log x . x √ 6) Determinare massimi e minimi relativi di f (x) = sin x sull’intervallo [0, π]. e)f (x) = 2 −

7) Determinare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti della funzione f (x) = x2 − 3|x − 1| + 2 su [−2, 3]. 8) Determinare il numero di radici reali della equazione x45 + 7x + 5 = 0.


Funzioni derivabili

3

2

9) Sia f (x) = (x − 1)ex + arctan(log x) + 2. Dimostrare che f `e invertibile sul suo dominio e determinare Im(f ). 10) Calcolare f 0 e f 00 per le seguenti funzioni: x 2 − x2 1 (b) f (x) = arctan x (c) f (x) = cos(sin x)



(a) f (x) = √

(d) f (x) = 1 +

1 x

x

1 1 + sin x √x (f ) f (x) = arcsin 1 − x2 . (e) f (x) =

11) Determinare gli eventuali asintoti delle funzioni: a) f (x) =

3x + 1 x−1

b) f (x) =

d) f (x) =

ex ex − 1

√ 3

x−1

c) f (x) =

x2 − 25 x+1

4

e) f (x) = x 3 − 3.

12) Determinare l’asintoto destro della funzione f (x) =

x3 |x − 2| + sin x . x3 − 3

13) Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l’Hopital: (x + 1)4 − 1 x→0 x

b) lim

tan x x→0 1 − cos x

e) lim

a) lim

d) lim

ex − e−x x→0 sin x

g) lim

sin 3x + sin3 x x→0 sin x

x4 − 6x2 + 8x − 3 x→1 x2 − 3x + 2

c) lim

sin2 x x→0 (1 − cos x) cos x

h) limπ x→ 2

1 − sin x + cos x sin 2x − cos x

f ) limπ x→ 2

i) lim

x→0

etan x − ex . x→0 x2

l) lim

14) Determinare i valori del parametro α ∈ R per cui la funzione x2 + αx − 2 f (x) = arcsin x2 + 2 `e definita su tutto R. 15) Data la funzione (

f (x) =

x3 + 3x2 + 2x

se x < 0

ln (x2 + 2x + 1) + k se x ≥ 0, a) determinare i valori di k tali che f sia continua su R; b) determinare fino a quale ordine f `e derivabile su R.

!

x2

(1 − sin x)2 cos x sin x + sin2 x


4

Funzioni derivabili

16) Stabilire quali fra le sequenti funzioni soddisfano le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo [−1, 2]: 1 b)f (x) = |x − | 2

a)f (x) = x2

c)f (x) =

 2 x   

se x ∈ [−1, 0] se x ∈ (0, 1]

0

  

(x − 1)2

d)f (x) =

  

se x ∈ (1, 2]

e) f (x) =

 1      

 −x   

se x ∈ [−1, 0]

0

se x ∈ (0, 1]

x−1

se x ∈ (1, 2]

se x ∈ [−1, 12 )

0

se x =

1

se x ∈

1 2 ( 12 , 2].

17) Determinare l’immagine della funzione f (x) = arctan x + arctan

1 , x

x 6= 0 .

18) Utilizzando il Teorema di Rolle si dimostri che la derivata della funzione f definita da (

f (x) =

x sin πx

se x > 0

0 se x = 0 si annulla in infiniti punti dell’intervallo (0, 1). 19) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione arctan(ax) = x al variare di a > 0.

20) Data la funzione f (x) = 2x + cos x a) verificare che f `e invertibile; b) detta g l’inversa di f , calcolare g 0 (1).

21) Dimostrare la disuguaglianza 1− per ogni x ∈ R.

x2 ≤ cos x 2


Funzioni derivabili

5

Soluzioni degli esercizi proposti

1) Si ha: • a0 (x) = 12x2 − 7x + 4 b0 (x) =

x2 + 2x − 4 (x + 1)2

1 c0 (x) = p 3 3 (1 + x)2

r0 (x) =

2 arctan x (1 + + arctan2 x)



g 0 (x) = 2 1 + tan2 2x =

2 cos2 2x

v 0 (x) = 1 −

1 x(2x + 1)

w0 (x) = −

1 √

2(1 +

3 1 4 h0 (x) = x 2 − 120x3 e5x 2

j 0 (x)

x 1 + x2 2 tan x3

= 3x e



k 0 (x) = arctan x + l0 (x) =

2

3

1 + tan x



x 1 + x2

1 x log x

m0 (x) = 2sin x cos x log 2

o0 (x) = xsin x

sin x cos x log x + x

2e−2x 2e−2x + 1 − e−2x (e−2x + 1)2

z 0 (x) =

2 log2 x − 7 log x + 5 (log x − 2)2

α0 (x) =

6 log |1 − x| + 2 x−1

β 0 (x) =

−e−x + 3ex e−x + 3ex

γ 0 (x) = −

p0 (x) = xlog sin x η 0 (x) = arctan x





δ 0 (x) =



cos x log sin x log x + sin x x



3

x) x 4

y 0 (x) =

n0 (x) = xx (log x + 1) 

1 1 + x2

u0 (x) = arctan x

2 x

i0 (x) = √

x2 )(1

t0 (x) = 0

e0 (x) = sin x + x cos x



2e2x 1 + (1 + e2x )2

s0 (x) = √

d0 (x) = cos x + sin x

f 0 (x) =

q 0 (x) =

ε0 (x)

2 log (arccos x) arctan x √ − 2 1+x arccos x 1 − x2

(2 −

x 1 + log (2 − x2 )

p

x2 )

sin x cos x (1 + cos x)2 − 31 x − 2xe−x

2

= q 2 − 16 x2 + e−x2 


6

Funzioni derivabili

ϑ0 (x)

2 sin x

=e

λ0 (x) =

1 2

r

(

ϕ0 (x)

ψ 0 (x)



=

=

1 − cos x + 2 cos x (1 + log (x − sin x)) x − sin x



x (x + 1) cos x + (x − 1) sin x sin x − cos x x2

e−x (−x2 + 2x + 9)

se x > 0

ex (x2 + 2x − 9)

se x < 0

  2x     2e

x2 − 2x − 1 x2 − 4x + 4

!

    x+1 2  2x   −2e

x+2

se x ≥ 0 , x 6= 2 . se x < 0 , x 6= −2

2) a) Occorre innanzitutto calcolare la derivata della funzione f in x0 = −1: si ha f 0 (−1) = 12. y = 12x + 8. b) y = x + 1. c) y = −1 ( si osservi che nel punto x0 = 1 la retta tangente `e orizzontale). d) y = 1 − x ( si osservi che nel punto x0 = 0 la retta tangente `e inclinata verso il basso).

3) Dal momento che risulta f (x) = x2 |x − 1|, f `e derivabile in R \ {1}.

4) a) Crescente per x > 56 , decrescente per x < 56 . b) Crescente per x <

1 3

e x > 1, decrescente per

1 3

< x < 1.

c) Crescente per ogni valore della x. d) Crescente per 0 < x < 1, decrescente per x > 1. e) Crescente per x > 0, decrescente per x < 0.

5) a) f ha massimo in x = −2 e minimo in x = 2. b) f ha massimo in x = 1. c) f non ha n`e massimi n`e minimi. d) f ha minimo in x = − 23 . e) f ha massimo in x = 1.


Funzioni derivabili

7

6) f ha massimo in x =

π 2

e ha minimo in x = 0, π. 



7) f ha un punto di minimo assoluto in x = − 32 , con f − 32 = − 13 4 . f ha un punto di massimo assoluto in x = 3, con f (3) = 5. x = 1 e x = −2 sono punti di massimo relativo (si ha, rispettivamente, f (1) = 3 e f (−2) = −3). Infine, f ha un punto di minimo relativo in x = 23 , con f

  3 2

=

11 4 .

8) L’equazione ammette un’unica soluzione reale.

9) La funzione f `e strettamente crescente su (0, +∞) (infatti f 0 (x) > 0), quindi invertibile su

R. Inoltre Im(f ) = (1 − π2 , +∞).

10) (a) f 0 (x) =

(b) f 0 (x) = −

2 (2 −

3

x2 ) 2



1 f (x) = 1 + x 

(f ) f (x) =

1 x

x (



x 



2x arctan x + 2 ; (1 + x2 )2 arctan3 x

√ 1 1−x2

se x < 0



1 , 1+x 

1 − 1+x

2

1 − x(1 + x)2



00

,

se x > 0



1 x

2 1 f (x) = 3 1 + cos x x



 1  − √1−x2 



log 1 +

1 log 1 + x

1 1 (e) f (x) = − 2 1 + cos x x

0

f 00 (x) =

;

5

(2 − x2 ) 2

f 00 (x) = − cos (sin x) cos2 x + sin (sin x) sin x ;

(d) f 0 (x) = 1 +

0

,

x2 ) arctan2 x

(c) f 0 (x) = − sin (sin x) cos x ,

00

f 00 (x) =

1 (1 +

6x

,

,

00

f (x) =



 x   − (1−x2 ) 32 x

 

3 (1−x2 ) 2

)

;

1 1 sin ; 4 x x

se x > 0 se x < 0

.


8

Funzioni derivabili

11) a) x = 1 `e asintoto verticale, y = 3 orizzontale. b) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine inferiore a 1. c) x = −1 `e asintoto verticale, y = x − 1 asintoto obliquo. d) x = 0 `e asintoto verticale, y = 0 `e asintoto orizzontale sinistro, y = 1 `e asintoto destro. e) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine superiore a 1.

12) y = x − 2.

13) a) 4 e) 2

f) 0

b) 0 g) 2

c) 3 h) 1

d) lim f (x) = ±∞ x→0±

i) lim f (x) = ±∞ x→0±

l) 0 .

14) La funzione `e definita su tutto R per α = 0 . 15) 1) f `e continua se k = 0. 2) f 0 esiste su tutto R e vale f (x) = 3x2 + 6x + 2 se x < 0 e f (x) = ln 0. Calcolando i limiti del rapporto incrementale di f 0 per x → 0+

2 se x ≥ (x+1) − e x → 0 , si ottiene

(D2 f )+ (0) = −2 e (D2 f )− (0) = 6, quindi f `e derivabile fino al primo ordine su R.

16) a) No (f (−1) 6= f (2)) b) No (f non `e derivabile) c) S`ı d) No (f non `e derivabile) e) No (f non `e continua).

17) Risulta Im f = {− π2 , π2 }. 1 18) Poich`e f ( n1 ) = 0 per ogni n, le ipotesi del Teorema di Rolle sono soddisfatte in [ n+1 , n1 ] per

ogni n ≥ 1, cio`e in infiniti intervalli.


Funzioni derivabili

9

19) Se 0 < a < 1 vi `e una sola soluzione. Se a ≥ 1 ci sono tre soluzioni.

20) a) Poich`e f 0 (x) = 2 − sin x per ogni x ∈ R, f `e strettamente crescente e quindi invertibile. b) Cerchiamo x0 tale che f (x0 = 1. Si trova x0 = 0, da cui g 0 (1) = 12 . 21) Posto f (x) = cos x − 1 + f 00 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R,

x2 0 2 , si ha f (x) f 0 `e crescente.

= − sin x + x e f 00 (x) = − cos x + 1. Poich`e Osserviamo ora che f 0 (0) = 0, quindi f 0 (x) ≤ 0

per x ≤ 0 e f 0 (x) ≥ 0 per x ≥ 0. Pertanto f `e decrescente in (−∞, 0], crescente in [0, +∞) e f (x) ≥ f (0) = 0.


derivateproposti