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Coni, cilindri, superfici di rotazione R. Notari

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1. Richiami di teoria. Per la definizione e la descrizione di tali superfici come superfici parametrizzate si veda il materiale su Curve e Superfici parametrizzate. In questo paragrafo, vogliamo solo ricordare alcune costruzioni utili. 2. Cilindro. →

Sia dato il vettore v = (a, b, c) non nullo, e la curva (

C:

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0.

Il cilindro avente direttrice C e generatrici → parallele a v ha equazione cartesiana che si ottiene eliminando le variabili t, x0, y0, z0 dal sistema   x = x0 + at       y = y0 + bt z = z0 + ct    f (x0, y0, z0) = 0     g(x , y , z ) = 0. 0 0 0 2


3. Cono. Sia dato il punto V (xV , yV , zV ) e la curva (

C:

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0.

Il cono di vertice V e direttrice C ha equazione parametrica che si ottiene eliminando le variabili t, x0, y0, z0 dal sistema   x = xV + (x0 − xV )t       y = yV + (y0 − yV )t z = zV + (z0 − zV )t    f (x0, y0, z0) = 0     g(x , y , z ) = 0. 0 0 0

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4. Superfici di rotazione. Siano date la retta    x = x0 + at r : y = y0 + bt   z = z + ct 0

e la curva (

C:

f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0.

La superficie descritta dalla rotazione di C attorno ad r ha equazione cartesiana che si ottiene eliminando le variabili α, β, γ dal sistema   a(x − α) + b(y − β) + c(z − γ) = 0    2 2 2    (x − x0) + (y − y0) + (z − z0) = 2 + (β − y )2 + (γ − z )2 = (α − x ) 0 0 0    f (α, β, γ) = 0     g(α, β, γ) = 0.

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