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CAMPI E FORME DIFFERENZIALI - ESERCIZI PROPOSTI

1. Verificare che la forma differenziale 2

2

ω = e−y dx + y(1 − 2xye−y )dy `e esatta e determinarne un potenziale. 2. Sia

Ã

~F(x, y) =

!

(1 − x)(1 + y 2 ) , ϕ(x)y . 1 + x2

F sia conservativo. a) Determinare ϕ(x) ∈ C 1 (R) in modo che ~ 3. Dati i seguenti campi vettoriali, scrivere le forme differenziali ω corrispondenti: (a) ~F = (3xy, x + 2y); (b) ~F = 2 sin x i + 3x cos y j; (c) ~F = ( x+y z , 3x, 5 log(zy)) 4. Determinare il dominio e la regolarit`a dei seguenti campi o forme differenziali (a) ~F =

³

´

x+y x−y , log(xy)

;

(b) ω = log(1 − x2 − y 2 )dx + sin(x + y)dy; µ

(c) ~F = (d) ω =

√ x i+ √ 2 y2 2 x2 +y 2 +z 2 x +y +z y z x yz dx + xz dy + xy dz;

j+

√ z x2 +y 2 +z 2

1

k ;


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5. Data la funzione f (x, y, z) =

3x sin z log y

scriverne il dominio e la forma differenziale df . 6. Data la funzione f (x, y, z) determinare quale tra i campi vettoriali F, G, H ha per potenziale f; (a) f (x, y, z) = y sin2 x + 3x log z, µ

1 F = 2y sin x, sin x, z µ ¶ 3x 2 G = sin x, , 2y sin x cos x + 3 log z z ¶ µ 3x 2 H = 2y sin x cos x + 3 log z, sin x, . z 2

(b) f (x, y, z) =

x log(yz) , 1 + ez ¶

µ

x log(yz) log(yz) x , , z z (1 + e )yz (1 + e z )2 yz µ1+e ¶ log(yz) x(1 + e z − ze z log(yz)) x G = , , z y(1 + e z ) z(1 + e z )2 ¶ µ1+e x x x(1 + e z − ze z log(yz)) , . H = , (1 + e z )yz 1 + e z z(1 + e z )2 F

=

7. Stabilire se la forma differenziale ω `e chiusa nel suo dominio e se `e esatta; (a) ω = (3y − 2 sin x cos x)dx + cos ydy; ³

(b) ω =

1 y

y x2

´

³

dx +

1 x

x y2

´

dy.

8. Determinare regioni di R3 in cui il campo ~F `e conservativo e calcolare Z γ

~F · dγ.

3e 3x+sin y cos y e 3x+sin y e 3x+sin y (a) ~F = i+ j− , γ(t) = (cos t, sin t, 2), t ∈ [0, 2π]. z z z2 ` possibile calcolare l’integrale di linea di ~ E F lungo γ1 (t) = (cos t, 0, sin t), per t ∈ [0, 2π]? (b) ~F =

6z z i+ j + log(x + 3y 2 ) k, γ(t) = (1, t, 2t), t ∈ [0, 1]. 2 x + 3y x + 3y 2

9. Determinare il dominio della forma differenziale ω, stabilire se `e esatta e, se possibile, calcolarne una primitiva. Calcolare inoltre

R

γ

ω.


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(a) ω = p

x 1 dx − p dy, 2 4+x −y 2 4 + x2 − y

(b) ω = 2y 2 dx + (4xy − z1 )dy +

y dz, z2

3

γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, π];

γ(t) = (t, t2 , t + 1), t ∈ [0, 1].

10. Determinare la funzione ϕ in modo che il campo vettoriale ~ F sia conservativo nel suo dominio; (a) ~F = (3y 2 + 4xy, 6xy + ϕ(x)); (b) ~F = (2xy − ϕ(z), x2 , −6x sin 3z cos 3z).


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SOLUZIONI 1. Si prova che ω `e chiusa e definita su R3 , semplicemente connesso. Quindi `e esatta. I potenziali sono della forma 2

U (x, y) = xe−y + y + c,

c ∈ R.

2. Risulta ϕ(x) = 2 arctan x − log(1 + x2 ) + c,

c ∈ R.

3. Le forme differenziali corrispondenti ai campi dati sono: (a) ω = 3xydx + (x + 2y)dy; (b) ω = 2 sin xdx + 3x cos ydy; (c) ω =

x+y z dx

+ 3xdy + 5 log(zy)dz.

4. (a) Ω = {(x, y) ∈ R2 | xy > 0, x 6= y} ed ~F ∈ C ∞ ; (b) Ω = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1} ed ~F ∈ C ∞ ; (c) Ω = R3 \ {(0, 0, 0)} ed ~F ∈ C ∞ ; (d) Ω = {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z 6= 0} ed ~ F ∈ C ∞. 5. dom(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 | y > 0, y 6= 1}, df =

3 sin z 3x sin z 3x cos z dx − dz + log y log y y log2 y

6. (a) Il campo H; (b) il campo G. 7. (a) ω ∈ C ∞ (R2 ), ma non `e chiusa e quindi non `e neanche esatta; (b) ω ∈ C ∞ (Ω), con Ω = {(x, y) ∈ R2 | xy 6= 0}, `e chiusa nel suo dominio ed `e anche esatta. Una primitiva di ω `e la funzione f (x, y) =

x y

+ xy .

8. (a) ~F `e conservativo nel suo dominio Ω = {(x, y, z) ∈ R3 | z 6= 0}; un suo potenziale `e U (x, y, z) =

e 3x+sin y . z

Pertanto l’integrale lungo l’arco chiuso γ, il cui sostegno `e

contenuto nel semispazio Ω+ = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0}, `e nullo. Non `e possibile calcolare l’integrale lungo γ1 perch´e il sostegno di γ1 non `e contenuto in Ω.


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(b) ~F non `e conservativo perch´e rot(~F) non `e nullo. Z

√ ~F · dγ = 4(log 4 − 1) + √4 arctan 3. 3 γ

9. (a) dom(ω) = {(x, y) ∈ R2 | y < x2 + 4} ed ω `e esatta. Una primitiva `e f (x, y) = p

4 + x2 − y ed

R

γ

ω = 0.

(b) dom(ω) = {(x, y, z) ∈ R3 | z 6= 0} ed ω `e esatta. Una primitiva `e f (x, y, z) = 2xy 2 − ed

10. (a) ϕ(x) = 2x2 ; (b) ϕ(z) = sin2 3z.

Z

3 ω = f (B) − f (A) = . 2 γ

y z


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