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ECUACIONES DIFERENCIALES TEORÍA Y PRACTICA Andres Barrios C.I. 21.170.219


Introducción A Las Ecuaciones Diferenciales 1.1

Definición De Una Ecuación Diferencial Definición:  

 

1.2

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra las derivadas de una función “desconocida” (o variable dependiente) con respecto de una o más variables (variables independientes).

Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo con lo siguiente •Si la función desconocida depende de una sola variable entonces la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo •Si la función desconocida depende de más de una variable entonces la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. •Ejemplos Ecuación Definición:  

dy  = 2 x + y dx

Variable Tipo diferencial Variable Dependiente Una ecuación es una ecuación que involucra las Independiente derivadas de una función “desconocida” (o variable dependiente) con respecto de una o más variables Ordinaria y (variables independientes). x

∂ 2v ∂ 2v +2 2 =v ∂x 2 ∂y

Parcial

v

x, y

y´´´+2( y´´) + y´= Cosx

Ordinaria

y

x

∂u ∂v =− ∂y ∂x

Parcial

u, v

x, y

2


Orden De Una Ecuación Diferencial Definición:

El orden de una ecuación diferencial es el indicado por el índice que aparece en la derivada más alta.

 

Ejemplos 3

d2y  dy  Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, con variable dependiente y, + 5  − 4 y = e x 2 dx y variable independiente x.  dx 

∂ 2v ∂ 3v +4 3 =v ∂x 2 ∂y

Ecuación diferencial parcial de tercer orden, con variable dependiente v, y variable independiente x, y.

Grado De Una Ecuación Diferencial Ejemplos Definición:  

El grado de una ecuación diferencial (que puede escribirse como un polinomio con respecto a las derivadas), es la potencia que aparece en la derivada más alta en la ecuación.

( y´´)2 + ( y´)3 + 3 y = x 2 2

4

 d 2 w   dw   2  +   +w=v  dv   dv 

∴ Es una ecuación diferencial de segundo grado. ∴ Es una ecuación diferencial de segundo grado.


Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria De Orden n Definición:    

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n, es una ecuación que se puede escribir en la forma   dny d n −1 y dy a n ( x) ≠ 0 a n ( x) n + a n −1 ( x ) n −1 +  + a1 ( x ) + a 0 ( x ) y = g ( x )  (1) ; dx dx dx   a n ( x), a n −1 ( x ), , a1 ( x,),son a o ( xfunciones ) donde g(x) y los coeficientes dadas de x.

Solución De Una Ecuación Diferencial Definición:  

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función ó relación que satisface la ecuación, dicho en otras palabras, la reduce a una identidad.

Soluciones Explícitas Definición:  

Una función o relación que satisface a una ecuación diferencial y en su estructura la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la(s) variable(s) independiente(s) y constante(s) se llama solución explicita.

Soluciones Implícitas Definición:  

Una función ó relación que satisface a una ecuación diferencial y que involucra en su estructura tanto variables dependientes como independientes decimos que es una solución implícita de la ecuación diferencial dada.


ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE 1º ORDEN Recordamos la definición de función homogénea: Una función f(x,y) es homogénea de grado ‘m’ si se verifica la siguiente igualdad: F(λx,λy) = λ f(x,y) λЄR   A partir de ahora nos interesaran únicamente las funciones homogéneas de grado cero. Estas funciones poseen una característica especial: siempre es posible expresarlas como una función del cociente y/x o x/y.


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1º ORDEN de la forma: a2(x).y’+a1(x).y = a0(x)  Son   Se llaman lineales pues y e y’ son de 1º grado A2(x), a1(x) y a0(x) son funciones continuas conocidas; a2(x)≠0   Dividimos por a2(x) en ambos miembros y reducimos:   Y’+ a1(x)/a2(x).y = a0(x)/a2(x) llamando P(x)=a1(x)/a2(x) y Q(x)=a0(x)/a2(x)   Sustitución: y=u.v y’=u.v’ + u’v   Reemplazamos: u.v’ + u’.v + P(x).u.v=Q(x) u.v’ + v(u’+P(x).u)=Q(x) (2) Buscamos una función tal que u’+P(x).u=0, entonces resolvemos esto:   du/dx=-P(x).u ∫du/u=-∫P(x)dx Ln u = -∫P(x)dx  


-∫P(x) dx U= e (3)   Reemplazamos con (3) en (2), para despejar v:   -∫P(x)dx e .v’+v(u’+P(x).u)=Q(x) donde el termino entre paréntesis es igual a cero   Entonces: -∫P(x)dx e .v’ = Q(x)   -∫P(x)dx dv/dx= Q(x)/ e ∫P(x)dx dv= Q(x).e dx ∫P(x)dx v=∫[Q(x).e ]dx + C   como y=u(x).v(x), entonces: -∫P(x)dx ∫P(x)dx y= e [∫[Q(x).e ]dx + C


ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A LINEALES (BERNOULLI) de la forma a2(x).y’+a1(x).y=a0(x).yⁿ nЄQ (racionales)  Son   A2(x), a1(x), a0(x) son funciones continuas con a2(x)≠ 0   Para llevarla a una ecuación diferencial lineal, dividimos ambos miembros por yⁿ y también dividimos por el coeficiente de y’ (a2(x)):   y’/ yⁿ + (a1(x)/a2(x)).y/yⁿ = a0(x)/a2(x) (1)   Donde llamamos p(x)= a1(x)/a2(x) y q(x)= a0(x)/a2(x) -n 1-n Entonces: y’.y +p(x).y = q(x)   Si n=0 → es ecuación lineal   Si n=1 → y’ + p(x).y = q(x).y y’=[q(x)-p(x)].y dy/y =[q(x)-p(x)]dx → ec diferencial a variables separadas   Si n≠0 y n≠1 → es reductible a lineal (Bernoulli)  


Retomamos la ecuación: -n 1-n y’.y +p(x).y =q(x)   Sustituimos: 1-n y = Z(x) (2) Derivamos usando la regla de la cadena: 1-n-1 (1-n).y .y’= Z’ donde (1-n)≠ 0 pues n≠1 -n -n Z’=(1-n).y .y’ → y .y’ = Z’/(1-n) (3)   Sustituimos (2) y (3) en (1):   Z’/(1-n)+ p(x).Z = q(x)   Multiplicamos por (1-n) miembro a miembro:   Z’+(1-n).p(x).Z = (1-n).q(x)  


Obtenemos una ecuación diferencial lineal en Z(x), con P(x)=(1-n).p(x) y Q(x)=(1-n).q(x). Para resolver según lo visto anteriormente sustituimos:   Z(x)=u(x).v(x) Z’(x)=u(x).v’(x)+u’(x).v(x) Y continuamos con el desarrollo para ecuaciones diferenciales lineales. La solución general es: -∫(1-n)p(x)dx ∫(1-n)p(x)dx Z(x)= e [∫(1-n).q(x).e dx + C ] 1-n Vuelvo a la variable y (Z(x)=y ): (1-n) -∫(1-n)p(x)dx ∫(1-n)p(x)dx Y =e [∫(1-n).q(x).e dx + C ]  


MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS Para resolver a2y′′ + ay′ + ay = g(x), primero se halla la función complementaria yc = C1y1 + C2y2, y después se calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y′′ + Py′ + Qy = f(x) para hallar f(x). Se determina u1 y u2 integrando, respectivamente u1 = W1/W y u2 = W2/W, donde se define W1 y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es Yp = u1y1 +u2y2, la solución general de al ecuación es, por consiguiente, y = yc + yp.


METODO ANULADOR El método de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador, y por consiguiente antes de pasar a resolver E.D.L.N.H.C.C estudiaremos el concepto de operador anulador, es decir, estudiaremos tres casos de operadores anuladores, a saber: Caso A. 2 3 n −1  Si f ( x ) = K , x, x , x ,..........; x

; con K-constante o bien, si f(x) es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a f(x) n es: D

 Caso B. f ( x ) = K , xeα x , x 2 eα x , x3eα x ,.........., x n −1eα x  Si , o bien es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a f(x) n es: ( D − α )  Caso C. f ( x ) = K , xeα x sen β x, x 2eα x sen β x, x 3eα x sen β x,.........., x n −1eα x sen β x  Si , o bien f ( x ) = K , xeα x cos β x, x 2eα x cos β x, x 3eα x cos β x,.........., x n −1eα x cos β x ; o bien si f(x) es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a  D 2 − 2α D + ( α 2 + β 2 )  n es:    


EJERCICIOS

RESUELTOS



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