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TASA EFECTIVA, TASA NOMINAL Y TASAS EQUIVALENTES

1. -

Definiciones

Tasa efectiva: es la que actúa sobre el capital generando intereses. Si se dice, por ejemplo, que un capital se le aplica el 3% mensual, ésta tasa es efectiva. Hasta el momento siempre se ha trabajado con tasa efectiva. Tasa nominal: en contraposición a efectiva, es una tasa de referencia o base y no es la que real y directamente se aplica al capital. Por ejemplo, si una operación se conviene al 12% capitalizable semestralmente, el 12% es una tasa nominal porque al haber capitalizaciones dentro del año, la tasa efectivamente ganada en el año es superior (ya que dentro del año se ganaron intereses sobre intereses). Entre la tasa nominal y efectiva existen relaciones que deduciremos más adelante. Sin embargo, es necesario plantear aquí una primera relación convencional que enunciaremos como: REGLA º 1: “La tasa efectiva para un subperíodo del año se encuentra dividiendo la tasa nominal (anual) por el número de capitalizaciones dentro del año”.

i efectiva subperíodo

=

j m

donde: j = tasa nominal m = Nº de capitalizaciones En la ilustración anterior: j = 0,12 y m= 2. Luego: i semestral = 0,12 = 0,06 = 6% semestral 2 Ilustremos los conceptos anteriores con un ejemplo. Ejemplo: Se depositan $100 al 12% con capitalización semestral. a) Determine el monto acumulado al cabo de 1 año. b) Determine el interés ganado. c) Determine la tasa de interés efectiva. R: a) C = 100 j = 0,12 m=2 i = 0,12 = 0,06 semestral 2 n = 2 semestres


El monto retirado al cabo de 2 semestres se encuentra con la fórmula base del interés compuesto M = C(1+ i)n M = 100 (1+0,06)2 = $112,36 b) El interés ganado en el año : I= M - C I = 112,36 – 100 = $ 12,36 c) La tasa de interés efectiva del año es: c.1) el cuociente entre el interés ganado y el capital depositado, esto es: i = 12,36 = 0,1236 = 12,36% 100 o c.2) tasa interes efectiva anual = (1+0,06)2 - 1 = 0,1236 = 12.36% Como se observa, la tasa efectiva del año : 12,36%, es superior a la tasa nominal anual 12%. Supongamos que Ud. dispone de un capital de $100 y se le ofrecieron las dos alternativas ya explicadas: a)12% con capitalización semestral o, b)12,36% anual (o capitalización anual), ¿Cuál elegiría y por qué?. Indudablemente que le daría lo mismo. Estará indiferente porque en ambos casos obtendrá una ganancia de $12,36 por concepto de interés o, en ambos casos, retirará $112,36 al completar un año. En suma, ambas tasas son equivalentes. Tasas equivalentes: son aquellas que en condiciones diferentes producen un mismo efecto o resultado (interés efectivo o monto acumulado). En el ejemplo anterior la tasa nominal del 12% con capitalización semestral es equivalente al 12,36% efectivo anual. En símbolos: j2 = 0,12 es equivalente a i = 0,1236.


El monto o valor futuro se puede encontrar en función de la tasa nominal a través de la siguiente fórmula, la cual no requiere mayor explicación.

M = C(1 +

donde

j_ m

)m*n

m = N° de capitalización en el año n = N° de años m* n = N° de períodos de capitalización.

Ejemplo: Un capital de $100 se deposita durante 3 años el 12% con capitalización semestral. Determine el monto acumulado. R:

C = 100 n = 3 años m=2 M = 100(1+0,12)2x3 = 141,85 j = 0,12 2 M=?

Ejemplo Encuentre el monto acumulado del capital del ejemplo anterior, utilizando la tasa efectiva anual R:

2.

C = 100 i = 0,12 = 0,06 semestral 2 M = 100(1+0,06)6 = 141,85 n = 6 semestres

Tasa efectiva y nominal equivalentes.

De acuerdo a las definiciones y a las ilustraciones anteriores, es evidente que el monto se puede determinar indistintamente, en función de la tasa nominal “j” o de la tasa efectiva “i”. Este será el nexo que nos permitirá encontrar la relación matemática entre ambas tasas. Los montos respectivos en función de la tasa efectiva y de la tasa nominal, son los siguientes: M = C (1+i)n

M = C(1+ j ) m*n m


Como ya vimos, cuando las tasas son equivalentes producen un mismo monto. Por lo tanto, podemos igualar ambos montos de la siguiente forma: C (1+i)n = C (1 + j ) m*n m

simplificando por C y extrayendo raíz enésima, se tiene:

(1+ i )

= (1 + j )m m

iefectiva anual = (1 + j )m -1 m

Esta fórmula sirve para encontrar la tasa de interés efectiva “i”, equivalente a una tasa nominal “j” con “m” capitalizaciones (jm). Ejemplo ¿Cuál es la tasa de interés efectiva equivalente al 12% con capitalización semestral?. i = (1 + j )m 1 = (1+0,12)2 –1 = 0,1236 = 12,36%

m

2

Debiera estar claro a esta altura, que cuando se habla de una tasa con capitalización, se trata de una tasa nominal. De la fórmula anterior se puede deducir aquélla que sirva para determinar la tasa nominal “j” con “m” capitalizaciones equivalentes a una tasa efectiva i.

jm = m

m

1+i –1


Ejemplo Encuentre la tasa nominal con capitalización semestral equivalente a la tasa efectiva anual del 12,36%.

j2 = 2

2

1+0,1236 – 1

= 0,12 = 12%

La fórmula anterior, se puede deducir también siguiendo el siguiente razonamiento: $1 a la tasa de interés efectiva i, se transforma en un monto igual a 1+i. $1 a la tasa de interés nominal j con m capitalizaciones se transforma en un monto igual a (1+ j )m m Las tasas i y j son equivalentes si igualamos los montos obtenidos al cabo de un año. Luego: 1+i = (1 + j )m , expresión igual a la fórmula anterior. m La deducción anterior se ilustrará con números arbitrariamente elegidos. $1 al 12,36% efectivo se transforma en un monto igual a 1+0,1236 = $1,1236. $1 al 12% con capitalización semestral se transforma en un monto igual a: (1+0,12)2 = $ 1,1236 2 En consecuencia, el 12,36% efectivo es equivalente al 12% con capitalización semestral, porque ambas originan el mismo interés anual ($0,1236) o el mismo monto ($1,1236). De lo expuesto anteriormente se desprende que si no se producen capitalizaciones dentro del año, la tasa es efectiva anual es equivalente a la tasa nominal con capitalización anual.


3.

Tasa nominal anual y tasa efectiva para un subperíodo del año.

La relación entre la tasa de interés nominal anual y la tasa de interés efectiva para un subperíodo del año, descrita al comienzo de esta sección (Regla N° 1) será ilustrada con los siguientes ejemplos: Ejemplo Dada la tasa nominal j = 0,12, determine. a) la tasa efectiva mensual; b) la tasa efectiva trimestral y c) la tasa efectiva semestral. a) i = 0,12 = 0,01 = 1% mensual 12 b) i = 0,12 = 0,03 = 3% trimestral 4 c) i = 0,12 = 0,06 = 6% semestral 2

R:

Ejemplo a) Si la tasa efectiva mensual es 2%, encuentre la tasa nominal, b) Si la tasa efectiva semestral es 5%, encuentre la tasa nominal. R:

a) j12 = 0,02 x 12 = 0,24 = 24% b) j2 = 0,05 x 2 = 0,10 = 10%

4.

Tasa efectiva anual y tasa efectiva para un subperíodo del año.

Efectuando un simple cambio aritmético en la última fórmula entregada, se tiene: j m Como

j

m

=

m

1+i

-1

= tasa de interés efectiva de un subperído del año, de la expresión anterior se deduce la siguiente:


Regla N° 2: “Para obtener la tasa efectiva de un subperíodo del año a partir de la tasa efectiva anual sume 1 a ésta, extraiga raíz enésima y al resultado réstele 1”. Ejemplo: Si la tasa efectiva anual es 12,36% encuentre: a) la tasa efectiva semestral, b) la tasa efectiva trimestral y c) la tasa efectiva mensual. R:

a) is =

2

1+0,1236

-1 = 0,06% semestral

b) iT =

4

1+0,1236

-1 = 0,0296 = 2,96% trimestral

c) im =

12

1+0,1236 -1 = 0,00976 = 0,976% mensual

Efectuando el proceso aritmético inverso se tiene: Regla N° 3: “Para obtener la tasa efectiva anual a partir de la tasa efectiva de un subperíodo, sume 1 a ésta, eleve el resultado a m y réstele 1”. Ejemplo Determine la tasa efectiva anual si: a) Si la tasa efectiva semestral es 6% b) Si la tasa efectiva trimestral es 2,96% y c) Si la tasa efectiva mensual es 0,976%. a) i = (1+0,06)2

–1 = 0,1236 = 12,36%

b) i = (1+0,0296)4 – 1 = 0,1236 = 12,36% c) i = (1+0,00976)12 –1 = 0,1236 = 12,36%

Ejercicio: ¿Qué prefiere Ud.: a) Depositar al 9% semestral compuesto o anual?.

b) al 18,81%

R: Indudablemente que una respuesta correcta exige plantear él supuesto que el depósito se mantendrá un año. En este caso, da lo mismo cualquier alternativa porque el 9% semestral al capitalizarlo se transforma en el 18,81% anual.


Ejemplo Dado el 18% capitalizable trimestralmente, encuentre: a) La tasa de interés efectiva trimestral. b) La tasa de interés efectiva equivalente. R: a) j= 0,18 Aplicando Regla N° 1: m= 4 i = 0,18 = 0,045 = 4,5% trimestral 4 b) i = (1+0,18)4 – 1 = 0,1925 = 19,25% 4 5.

Tasa efectiva y tasa nominal para período base distinto del año.

Hasta el momento el período base ha sido, por convención siempre un año. Por esta razón, toda tasa sin especificación del período, se ha debido entender como anual. Todos los conceptos explicados en este capítulo, tanto fórmulas como reglas se pueden aplicar a cualquier período base. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para efectuar la adaptación. A continuación presentamos 3 ejemplos donde el período base es 1 semestre. Ejemplo Dada la tasa del 18% SEMESTRAL capitalizable trimestralmente. Encuentre: a) b) c) d)

La tasa efectiva trimestral. La tasa efectiva mensual. La tasa efectiva semestral. La tasa anual efectiva. a) j= 0,18 aplicando Regla N ° 1: m=2 iT = 0,18 = 0,09 = 9% trimestral 2 b) Aplicando Regla N° 2: im = 3 1+0,09 - 1 = 0,0291 = 2,91% mensual


c) La tasa efectiva semestral se puede determinar a partir de la mensual o trimestral antes calculadas, aplicando Regla N° 3. A partir de la mensual: Is = (1+0,02914)6 – 1 = 0,1881 = 18,81% semestral d) La tasa efectiva anual puede obtenerse indistintamente a partir de la efectiva mensual, trimestral o semestral antes calculadas, aplicando Regla N° 3. A partir de la mensual: i = (1+0,02914)12 – 1 = 0,4116 = 41,16% A partir de la trimestral: i = (1+0.09)4 –1 A partir de la semestral: i = (1+0,1881)2 –1

= 0,4116 = 41,16%

= 0,4116 = 41,16%

Ejemplo Dada la tasa del 18% SEMESTRAL capitalizable mensualmente, determine: a) b) c)

Tasa efectiva mensual. Tasa efectiva semestral. Tasa efectiva anual. a) Aplicando Regla N° 1: im = 0,18 = 0,03 = 3% mensual 6 b) Aplicando Regla N° 3: is = (1+0,03)6 –1 = 0,1941 = 19,41% c) aplicando Regla N° 3, y A partir de la tasa efectiva mensual: i = (1+0,03)12 –1 = 0,4258 = 42,58% A partir de la tasa efectiva semestral: i = (1+0,19405)2 –1 = 0,4258 = 42,58%


Ejemplo Dada la tasa del 15,56% efectiva semestral, encuentre: a) b) c) d)

La tasa de interés efectiva mensual. La tasa de interés semestral nominal con capitalización mensual equivalente a la tasa efectiva semestral. La tasa de interés efectiva anual. La tasa de interés nominal anual con capitalización mensual equivalente al 15,56% efectiva semestral. R: a) i= 0,1556 m=6 Aplicando Regla N° 2: im = 6 1+0.1556 –1 = 0,024396 = 2,4396% mensual b) i = 0,1556 j6 = ? m=6

j6 = 6

6

1+0,1556 – 1 = 0,1464 = 14,64% semestral

c) La tasa de interés efectiva anual se puede determinar indistintamente a partir a partir de la efectiva mensual o efectiva semestral aplicando Regla N° 3. A partir de la efectiva mensual: i = (1+0,024396)12 -1 = 0,3354 = 33,54% A partir de la efectiva semestral: i = (1+0,1556)2 – 1 = 0,3354 = 33,54% d) La tasa nominal anual con capitalizacion mensual equivalente, o sea, j12 es: i = 0,3354 j=? m = 12

j12 = 12

12

1+0,3354 – 1 = 0,2927 = 29,27%

Tasa efectiva nominal equivalente  

Guía de Tasa efectivas y nominales

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