Page 1

Concursul anual al rezolvitorilor RMI Constanța,Ediția a XII-a, mai 2013 Clasa a V-a 1.Determinați numerele de forma abc știind că a<b<c și a(b) b(a)  a(c)  c(a) b(c)  c(b) Geagatai Musa-Cerchez 2.Detreminați cifrele a și b nenule, astfel încât  a b  1 a b  b  a b  ab  1  ab  ab0ab Dana Barșai

2

3.Să se determine numărul natural ab știind că 3 2  ab  1  ab  2013 . Elena Liță

Clasa a VI-a 1.Determinați x   astfel încât : 15 x  2 și 2 x  4 să fie simultan întregi. 5x  1 2x  1

Nicolae Ivășchescu, Craiova

2.Se formează următoarele grupe de numere naturale: 1;2 ,3;4;5 ,6;7;8;9, 10;11;12;13;14,... a)Scrieți numerele din grupa a 10-a;b)Scrieți numerele din grupa a n-a;c) Din ce grupă face parte 5052? Ion Tiotioi 3.Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu m  A   90 și 2  AB  3  AC . Se ia punctul D pe (AB) astfel încât AD =AC, iar punctele E și F sunt pe dreapta AC astfel încât AE = AF = AB, ordinea pe dreaptă fiind E – A – C – F. a)Demonstrați că DE  BC ; b)Dacă BC  DF  M  , arătați că DF = BM + DM. Nicolae Jurubiță Clasa a VII-a 1.Rezolvați ecuația: x  1  x  2  x  3  ...  x  2013  x. 2012 2013  2 2013  3 2013  2013

Ivășchescu Nicolae, Craiova 2.Se consideră ∆ABC și D   BC  astfel încât triunghiul ADC să fie isoscel de bază  AC  . Suplementul unghiului BAD este dublul suplementului ADC . Dacă măsurile în grade ale ABC , respectiv BAC se exprimă prin numerele naturale b, respectiv a, determinați toate valorile lui b astfel încât b a . Olguța Angheloni, Vasile Angheloni 3.Se consideră triunghiul ABC cu lungimile laturilor AB = 16 cm, BC = 34 cm, CA = 30 cm și punctele M , respectiv N pe latura BC astfel încât BM = 4 cm șiMN = 12 cm.Calculați măsura unghiului MAN . D. M. Bătinețu-Giurgiu, Neculai Stanciu Clasa a VIII-a 1.Știind că că +

+ 16 + 92 = 0, + ∈ ℕ.

− 48 + 1088 = 0 și

2.Să se arate că dacă , , , ∈ (0; ∞) și +√ + ≥ 2√ + . √ +

− 12 − 504 = 0, unde , , ∈ ℤ, să se arate

= 1, are loc inegalitatea:

Ion Tiotioi

Simion Terchilă, Sîngeorz-Băi

3.În prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ cu latura bazei 6a și diagonala 12a, se notează cu P mijlocul lui BB’. Prin A și P se construiește planul paralel cu B’D’. Aflați: a) ;( ) ; b) ( ; ). Ionel Lincă și Simion Păsăreanu


Concursul anual al rezolvitorilor din RMI Constanța Ediția XII, 25 mai 1013 Barem de notare, clasa a V-a

ab  a ba  b ac  a ca  c bc  b cb  c . . . . . . . .2p      9 9 9 9 9 9 20a  20b  20c 20  a  b  c     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1p 9 9 9 |  a  b  c   a  b  c  9;18 . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a  1  126, 135 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a  2  234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a  3  378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a  4  468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a  5  567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

1.

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2. ab0ab  ab  1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

ab0ab  ab  7  11  13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a b  1  13  fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ab  1  11  fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a b  1  7  a b  8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a  2, b  3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p a b  ab  1  13( A), a b  ab  1  13( A) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1p

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p 2

3. 6ab  3  ab  2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p 2

6ab  ab  2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p 2 6 | 6ab , 6 | 2016  6 | ab  6ab fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ab  6k  6  6k  36k 2  2016 fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p k  k 2  56, k  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p k 1  k   56  k  7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p ab  42 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p Concursul anual al rezolvitorilor din RMI Constanța Ediția XII, 25 mai 1013 Barem de notare, clasa a VI-a 1.

15 x  2    5 x  1|15 x  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p 5x  1


5 x  1|15 x  2  5 x  1|1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1p 5 x  1| 5 x  1  5 x  1|15 x  3 5 x  1  1  x  0, 5 x  1  1  x   . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2x  4    2 x  1| 2 x  4 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p 2x  1 2 x  1| 2 x  4  2 x  1| 3  2 x  1 3; 1;1;3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2 x  1| 2 x  1 x2; 1;0;1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p Fracțiile sunt simultan întregi pentru x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p 2.Primul număr din fiecare grupă se calculează astfel:

1 2 23 3 4 ; 3 ; 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p 2 2 2 10  11  55 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Deci primul număr din grupa a 10-a este 2 Grupa a 10-a are 11 elemente: 55, 56, ..., 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1p 1

n   n  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2 n  n  1  n  n  1 n  n  1  ;  1; ...;  n  . . . . . . . . 1p Grupa a n-a este  2 2  2  b) Primul element din grupa a n-a este:

c)

n  n  1 n  n  1  5050; pt. n  100  5052   2 . . . . . . . . . . .2p 2 2

Deci 5052 face parte din grupa 100. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .1p Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p 3. a) Construcția corectă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

B  . . . . . . . . . . . . . . . 2p ADE  ACB  E  m D   90 . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. 1p m E

     m D Deci m  B      90  DE  BC . ..1p 1

2

F , E B B F  . . ..1p b) EDF is.  E M  (o.v.); BD  FC . . . . . . . . . . . . . . . .1p M 1 2 BDM  FCM  BM  MF . . . . .. . . . .1p DF  BM  DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1p


Barem de notare, clasa a VII-a I.

1p ... oficiu

2p … x 

2013 x x x x x     ...  2013  2013 2013 2013 2013  2013 ori

x   x 2 x   x  2013 x   x 1    2p…   0   2012 2013   2013  2 2013   2013  2013 2013 

1p…

2013x20132012x 2013x2013 2 2013x x 2 2013x2013 20132013x x 2013   0 2012 2013 2013 2013 3 2013 2013 2013

1p…

2  x  2013 3  x  2013 2013  x  2013  x  2013    ...  0 2012  2013 2013 2013  2 2013 2013  3 2013 2013  2013

  1 2013  0 1p…  x  2013   ...   2012  2013 2013  2013  2013   

  1 2013   >0 x  2103  0 1p…  ...   2012  2013 2013  2013  2013   

1p… x = 2013. II.

1p… oficiu

1p… figura

  DCA   x  4 x  2  supl  1p… DAC ADC

  180  4 x 1p… m BAD   180  3x  a   1p… m BAC

1p… m  ABD  2 x  b   2p… b | a  2 x  180  3x  2 x | 360  6 x  2 x | 360  x |180 1p… x  4,12,20,36


1p… b  8;24;40;72 III.

1p… oficiu

1p… figura

 , x  m MAN  , x  m NAC , 3p… x  m BAM

  90 , x  y  z  90 R.T .P. 162  302  342   m BAC

 

 

 x y 1p… BA  BN  m  ANB  m BAN

  m MAC   yz 1p… CA  CM  m AMC

1p… AMN  x  3 y  z  180 1p… 2 y  90

 1p… y  45  m MAN

Concursul anual al rezolvitorilor din RMI Constanța Ediția XII, 25 mai 1013 Barem de notare, clasa a VIII-a 1. x  y  z  12 x  16 y  48 z  676  0 . . . . . . . . . . . . . . . . .1p 2

2

2

x 2  12 x  36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p y 2  16 y  64 . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p z 2  48 z  576 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2 2 2  x  6    y  8   z  24   0 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

 x  6   0  x  6 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p  y  8  0  y  8 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p  z  24   0  z  24 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p 2

2

2

x 2  y 2  z 2  36  64  576  676  26 . . . . . . . . . . . . . . . . .1p Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2. Notăm f  A, B  

aA  bB  aB  bA  f  A, B   0

f 2  A, B   aA  bB  aB  bA  2

 aA  bB  aB  bA  . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

f 2  A, B    a  b  A  B   2 a 2 AB  b 2 AB  ( A2  B 2 )ab . . . . . . . . . . . . . . . .1p


f 2  A, B    a  b  A  B   2 AB  a 2  b 2   ab ( A2  B 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .1p A  B  2 AB  2 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p A2  B 2  2 AB  2 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p f 2  A, B    a  b   2  2 a 2  b 2  2ab  4  a  b  . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2p

f  A, B   0  f ( A, B )  2 a  b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 3. a) Fie L mijlocul lui DD’.

PL  B ' D '  BD, PL    B ' D '   ,    APC ' L  . . . .1p

   ABB '  AP AP  LC '    DCC '  LC '   APC ' L paral . . . . .1p AL  PC '

 ABB '   DCC '    ABC   d , A  d , d  BD  LP . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p CA  d , CA   ABC  , C ' A  d , C ' A   . . . . . . . . . . . .1p   ,  ABC    C ' AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p tg  ,  ABC    1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p b) AC ' LP  S  , CPLis.  CS  LP . . . . . . . . . . . . . .1p

ACC ' is.  CS  AC ', CS   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

CS = 6a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Oficiu. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Rmi mai 2013 gimnaziu  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you