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Colegio Centro America

“En todo amar y servir”

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Nombre

: Andrea Félix Roiz Berrios

Grado

: Noveno

Sección

:C

E-mail

: Andrea997roiz@gmail.com


Conceptos:

 Sistemas de Ecuaciones Lineales: Es el conjunto de ecuaciones que contiene dos o mas incognitas.

 Conjunto Solucion Llamaremos soluciones del sistema a cada conjunto de valores asignados a las incógnitas que son solución de todas las ecuaciones del sistema. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema.


 Método de Sustitución El método analítico de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su

valor;

luego, se halla el valor de la otra incógnita.

Pasos: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


 Método de Reducción El Método de Reducción consiste en eliminar una de las incógnitas, para ello se amplifica una (o ambas) ecuaciones por ciertos factores de modo que el coeficiente de una de las incógnitas de una de las ecuaciones sea el opuesto al coeficiente de la misma incógnita en la otra ecuación. Se suman las ecuaciones y así se elimina dicha incógnita.

Pasos: 1.

Se

preparan

las

multiplicándolas

por

dos los

ecuaciones, números

que

convenga. 2.

La

restamos,

y

desaparece

una

de

las

incógnitas. 3.

Se resuelve la ecuación resultante.

4.

El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5.

Los

dos valores

obtenidos

solución del sistema.

constituyen

la


 Método de Igualación El

Método

de

Igualación

consiste

en

despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones

e

igualar

las

expresiones

obtenidas, así se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita.

Pasos: 1.

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2.

Se

igualan

las

expresiones,

con

lo

que

obtenemos una ecuación con una incógnita. 3.

Se resuelve la ecuación.

4.

El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.

Los

dos valores

obtenidos

solución del sistema.

constituyen

la


Ejemplo de un Sistema de IgualaciĂłn: 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 8 { 5đ?‘Ľ − 8đ?‘Ś = 51 Despejo x en 1 2x + 3y = 8 2đ?‘Ľ 8 − 3đ?‘Ś = 2 2

đ?‘Ľ=

8 −3đ?‘Ś 2

Despejo x en 2 5x – 8y = 51 5� 15 + 8� = 5 5

đ?‘Ľ=

15 +8đ?‘Ś 5

Igualando X=X 8 − 3đ?‘Ś 51 + 8đ?‘Ś = 2 5 5(8 − 3đ?‘Ś) = 2(51 + 8đ?‘Ś)

40 – 15y = 102 + 16y 40 – 102 = 16y + 15y −62 31

=

31đ?‘Ś 31


Y = -2 Sustituyo Y en 1

X= X=

8−3đ?‘Ś 2

8−3(−2) 2

X=

8+6

X=

14

2 2

X= 7 X= 7


Ejemplo de MĂŠtodo de SustituciĂłn: 4đ?‘Ľ + đ?‘Ś = −29 { 5đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = −45 Despejo Y en 1

Sustituyendo x en 1

4x + y = -29

y= -29-4x

y = -29-4x

y= -29-4(−6)

Sustituyendo en 2

y= -29 + 24

5x + 3y = -45

y=Y= -5-5

5x + 3(−29 − 4đ?‘Ľ ) = -45 5x – 87 – 12x = -45 -7x = -45 + 87 −7đ?‘Ľ −7

=

X=X=-6 -6

42 −7

Solucion:

(-6,-5)


Ejemplo de MĂŠtodo por ReducciĂłn

7đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 65 { 5đ?‘Ľ − 8đ?‘Ś = 3

(2)

(1)

14x + 8y = 130 5x – 8y = 3 19x = 133 19

19

X=7 Sustituye x en 1

7x + 4y

= 65

7 (7) + 4y = 65 49 + 4y = 65 4y = 65 – 49 4y = 16 4

4

Y = 4

Soluciòn (7 , 4)


 Método Determinante Un determinante es un arreglo rectangular de filas y columnas donde los elementos son los valores e los coeficientes de las ecuaciones que forman el sistema. El tamaño del determinante lo da el número de filas y columnas, así hay determinantes de 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, etc., las filas son horizontales y las columnas son las verticales.

Pasos: 1. Consideramos el arreglo que consta de los coeficientes de las variables. 2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos. 3. Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos. 4. Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.


EJEMPLO DE METODO DETERMINANTE:

−3𝑥 + 8𝑦 = 13 { 8𝑥 − 5𝑦 = −2

X=

13

8

-2

-5

-3

8

8

-5

= 13 (-5) -8 (-2) (-3) (-5) – (8) (8) = -65 + 16 = -49 15 – 64

-49

X=1

Y=

- 3

13

8

--2

-3

8

8

-5

= 6 -104 -49 = -98 -49 Y=2

Soluciòn (1,2)


M茅todo de Reducci贸n:


Sistemas de Ecuaciones Lineales