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ESPIRALES MATEMATICAS

Andrea Albalate Pérez


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ÍNDICE

Introducción…………………………………………………………………….…5 Tipos de espirales.……………………………………………………………..…6 Elaboración de espirales con geogebra: espiral de Arquímedes…………………………………………………………………..…...9 Elaboración de espirales con geogebra: espiral hiperbólica…………………………………………………………….…….……12 Bibliografía………………………………………………………………………..14

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INTRODUCCIÓN

Para introducirnos en el mundo de las espirales debemos conocer antes su definición que, según la Real Academia Española, es la siguiente:

“Curva plana que da indefinidamente vueltas alrededor de un punto, aleján dose de él más en cada una de ellas.” Ejemplos:

Una sabemos esto, ya podemos sumergirnos de pleno en las espirales

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TIPOS DE ESPIRALES

1. Espiral de Arquímedes→ Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a velocidad angular constante. ORIGEN: Alrededor del año 225 a.C., Arquímedes se centró en estudiar una espiral que le llamaba la atención, la que se obtiene al unir el recorrido que sigue un punto que tiene un giro a velocidad angular constante y cuyo radio también crece de forma constante. No obstante, Arquímedes no fue el primero en estudiar esta espiral, ya que antes que él ya lo había hecho su amigo Conon. Aun así esta espiral se quedó con el nombre de “espiral de Arquímedes”. CARACTERÍSTICAS:  Su ecuación en coordenadas polares es:

r (θ)= a*θ 

2.

Por tanto, esta espiral va creciendo de manera constante, es decir, las vueltas sucesivas que da tienen distancias de separación constantes.

Espiral logarítmica→ clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de su ecuación, ya que el ángulo de giro es proporcional al logaritmo del radio y esto se puede averiguar despejando θ. ORIGEN: El origen del estudio de esta espiral tiene que ver con la navegación. A lo largo de los siglos XVI y XVII miles de barcos surcaban los océanos. Los navegantes querían encontrar la manera de saber la distancia más corta entre dos puntos. Estos rumbos que querían averiguar dibujaban en la esfera terrestre una curva llamada loxodrómica. La proyección de la esfera terrestre sobre un plano (sobre el cual ellos navegaban) convierte a la loxodrómica en una espiral equiangular o logarítmica. CARACTERÍSTICAS:  Su ecuación en coordenadas polares es:

r = a*bθ 

Se distingue de la espiral de Arquímedes porque las distancias entre sus brazos se incrementan en progresión geométrica.

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TIPOS DE ESPIRALES 3. Espiral áurea o de Durero→ espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado. La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada. ORIGEN: Esta espiral está asociada a la proporción áurea, que nació alrededor del 310 a.C. La primera definición de proporción áurea o de Phi de la historia de la humanidad, definida por Euclides de Alejandría es: “Se dice que una recta está dividida en media razón y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor”. CARACTERÍSTICAS:  Su ecuación polar es:

r = a*eb*θ 

4.

Esta espiral está presente en la naturaleza en numerosos casos.

Espiral clotoide→ curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito. ORIGEN: Las primeras carreteras y vías férreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. Los ingenieros comenzaron a buscar una solución, y la encontraron en las matemáticas y la física con la curva clotoide.

CARACTERÍSTICAS: 

La ecuación de esta espiral es:

ρ*s = C2 Siendo: ρ → radio de la curvatura s → desarrollo o arco C → constante de la espiral 7


TIPOS DE ESPIRALES

5.

Espiral parabĂłlica o de Fermat→ caso especial de la Espiral de ArquĂ­medes. Su ecuaciĂłn tiene una raĂ­z cuadrada, por lo que cada caso tiene dos soluciones. Es decir, a cada valor del ĂĄngulo le corresponden dos valores del radio, uno de ellos positivo y el otro negativo. ORIGEN: Esta espiral recibe el nombre de “espiral de Fermatâ€? en honor a Pierre de Fermat, el matemĂĄtico que la descubriĂł. Este aplicĂł a la espiral de ArquĂ­medes otra fĂłrmula que le sirviĂł para sacar tambiĂŠn su inversa y que resultara la espiral parabĂłlica. CARACTERĂ?STICAS:  Esta espiral tiene como ecuaciĂłn:

r = ¹θ1/2 

Es muy difĂ­cil de encontrar en la naturaleza

6. Espiral hiperbólica→ es una curva plana trascendental, tambiÊn conocida como espiral recíproca. ORIGEN: Pierre Varignon estudió por primera vez esta espiral en el siglo XVIII. Mås tarde, Johann Bernoulli y Roger Cotes tambiÊn trabajaron en ella. CARACTER�STICAS:  Su ecuación polar es: �

r=đ?œƒ

A continuaciĂłn, se explicarĂĄ paso a paso cĂłmo hacer dos de estas espirales en el software matemĂĄtico GeoGebra.

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CONSTRUCCIÓN DE ESPIRALES CON GEOGEBRA

Espiral de Arquímedes 1. Lo primero que debemos hacer es meternos en el menú, que se abre con un clic en el botón derecho, y apretar ‘vista gráfica’.

2. A continuación, habilitamos en las pestañas “Eje X” y “Eje Y” el campo ‘distancia’ y elegimos π/2.

3. En la pestaña “Cuadrícula” debemos elegir la opción ‘Polar’ como tipo de cuadrícula.

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CONSTRUCCIÓN DE ESPIRALES CON GEOGEBRA

4. Lo siguiente que debemos hacer es crear un deslizador, que se llamará a. Le pondremos como incremento 0,01.

5. A continuación, creamos la recta r que nos servirá para construir la espiral, escribiendo en ‘entrada’ la ecuación de esta recta, r(θ) = a*θ.

6. Ahora creamos la curva que nos permitirá hacer la espiral. Para ello elegimos la opción siguiente:


CONSTRUCCIร“N DE ESPIRALES CON GEOGEBRA

7. Escribimos los siguientes parรกmetros en los diferentes campos de esta ecuaciรณn, respectivamente:

3 4

1 2 5

Y con esto ya tenemos la espiral, que podemos regular de longitud con el deslizador.

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CONSTRUCCIÓN DE ESPIRALES CON GEOGEBRA Espiral Hiperbólica 1. Primero creamos los dos deslizadores, a y c, que tendrá esta espiral.

2. Ahora creamos la recta que nos servirá para construir la espiral, que tiene por ecuación r(θ) = a/θ:

3. Ahora escogemos la siguiente expresión en la casilla ‘entrada’ para crear la curva que nos permitirá construir la espiral.

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CONSTRUCCIÓN DE ESPIRALES CON GEOGEBRA 4. Escribimos en cada parámetro de la ecuación las siguientes expresiones, respectivamente:

1 2

3 4 5

Una vez hecho esto… YA TENEMOS NUESTRA ESPIRAL HIPERBÓLICA

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BIBLIOGRAFĂ?A

https://matematica.laguia2000.com/general/la-espiral-de-arquimedes http://www.proporcionaurea.com/phi-2/historia-de-la-proporcion-aurea/ http://cifrasyteclas.com/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-yferrocarriles/

http://www.wikipedia.org

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Espirales matemáticas con geogebra  
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