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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

Planificación y Gestión del eje “Números”, correspondiente al nivel “Tercer Año Medio Plan Común”

Autor: Andrea Illanes Lobos Marcela Navarro Zamora Profesor: Michael Yáñez Pérez Enrique Pérez Rocco Asignatura: Metodología de la Enseñanza de la Matemática y la Computación II. Carrera: Lic. en Educación Matemática y Comp. Fecha: Martes 26 de Junio de 2012


ÍNDICE Introducción............................................................................................................................ 3 Análisis didáctico de la unidad ............................................................................................... 4 Actividades Claves .................................................................................................................. 6 Fundamentación ................................................................................................................... 11 Actividad n°1: “MÁS ALLÁ DE LOS NÚMEROS REALES” Orientaciones Metodológicas ................................................................................... 19 Material del estudiante ............................................................................................ 23 Actividad n°2: “LOS LÁPICES DE MARTINA” Orientaciones Metodológicas ................................................................................... 28 Material del estudiante ............................................................................................ 32 Actividad n°3: “¿SERÁ UN ERROR?” Orientaciones Metodológicas ................................................................................... 37 Material del estudiante ............................................................................................ 40 Actividad n°4: “BUSCANDO RELACIONES” Orientaciones Metodológicas ................................................................................... 45 Material del estudiante ............................................................................................ 48 Actividad n°5: “¿QUÉ PROPIEDADES CUMPLE LA MULTIPLICACIÓN?” Orientaciones Metodológicas ................................................................................... 53 Material del estudiante ............................................................................................ 56 Actividad n°6: “RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS DE FRANCISCO” Orientaciones Metodológicas ................................................................................... 62 Material del estudiante ............................................................................................ 65 Conclusión ............................................................................................................................ 70 Bibliografía ........................................................................................................................... 71 Anexos ................................................................................................................................. 72

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INTRODUCCIÓN El presente informe tiene como objetivo principal preparar el diseño de clases para una unidad, a partir del correspondiente análisis didáctico y definición de actividades claves asociadas, todo lo anterior fortalecido de diversas estrategias de enseñanza y de integración de tecnologías de la información y comunicación. Los diseños de clases preparados pertenecen al Eje de Números, del Nivel Tercer Año de Enseñanza Media plan común, teniendo en consideración los momentos de una clase, los Mapas de Progreso, el Programa propuesto por el Ministerio de Educación (Objetivos Fundamentales, Contenidos Mínimos Obligatorios, habilidades, etc.), estrategias metodológicas y una correspondiente justificación de la elección y definición de las actividades claves asociadas al Eje. Este informe cuenta en una primera parte, con un análisis didáctico seguido de las actividades claves realizadas para el eje. Luego la Fundamentación de las actividades y por último las Orientaciones Metodológicas para cada una de las actividades claves diseñadas, seguidas cada una del Material para el Estudiante, correspondiente a 6 de las actividades expuestas. La fundamentación consiste en la investigación que se realizó, obteniendo así distintas estrategias metodológicas, y luego se justificará la elección de la o las estrategias que hicimos para abordar el eje de números de tercero medio. También se encuentra la justificación de las actividades que realizamos y la importancia de estas. En lo que se refiere a las Orientaciones Metodológicas, aquí se detalla en qué consiste cada una de las clases realizadas, incluyendo las fundamentaciones de la actividad en términos metodológicos para los momentos de la clase. Posteriormente se encuentra la sección Material para el Estudiante consiste en la Guía con la cual el estudiante trabajará en la clase, siendo un material de apoyo para el alumno que ayudara a que se refuercen contenidos, se enfrenten a una situación problemática y formalicen lo conceptos utilizados.

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ANĂ LISIS DIDĂ CTICO DE LA UNIDAD

MatemĂĄticas đ?&#x;‘đ??žđ??Ťđ??¨ Medio Plan ComĂşn Unidad: “NĂşmerosâ€? Aprendizajes Esperados 

     

Distinguir problemas que no admiten soluciĂłn en los nĂşmeros reales y que pueden ser resueltos en los nĂşmeros complejos. Representar nĂşmeros complejos en el plano de Argand, utilizando la notaciĂłn cartesiana. Comprender el valor absoluto y conjugado de un nĂşmero complejo. Extender las nociones de operaciones aritmĂŠticas de los nĂşmeros reales a los nĂşmeros complejos. Resolver ejercicios que implican utilizar las operaciones aritmĂŠticas de los nĂşmeros complejos. Verifican propiedades del conjugado y del mĂłdulo de un nĂşmero complejo. Resolver problemas que involucren nĂşmeros complejos.

Contenidos

      

ďƒ˜ NĂşmeros imaginarios Concepto. Potencia de i. ďƒ˜ NĂşmeros Complejos ExpresiĂłn binomial y cartesiana. RepresentaciĂłn grĂĄfica de nĂşmeros complejos en el plano de Argand. Valor absoluto (mĂłdulo) de nĂşmeros complejos. Conjugado de un nĂşmero complejo. Operaciones aritmĂŠticas con nĂşmeros complejos. AdiciĂłn y resta de nĂşmeros complejos. ďƒź RepresentaciĂłn algebraica y grĂĄfica. ďƒź Propiedades del conjugado y del mĂłdulo para la adiciĂłn. MultiplicaciĂłn de nĂşmeros complejos. ďƒź RepresentaciĂłn algebraica. ďƒź Potencia de un nĂşmero complejo. ďƒź Propiedades del conjugado y del mĂłdulo para la multiplicaciĂłn. DivisiĂłn de nĂşmeros complejos. ďƒź RepresentaciĂłn algebraica. ďƒź Propiedades del conjugado y del mĂłdulo para la divisiĂłn.

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Resultados del Análisis Didáctico Conceptos Claves  Números reales.  Números complejos.  Plano de Argand  Módulo  Conjugado

Sujeto Se pretender que el sujeto desarrolle:  Interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.  Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico.  Valorar el trabajo personal.  Promover una adecuada autoestima, confianza en sí mismo y perseverancia.  Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje.

Contexto Intereses, Historia

Procedimiento (Habilidad General) Procedimiento General: Reconocer a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros. Procedimientos Específicos:  Reconocer que un problema no tiene solución en los números reales, y por ello, existe la necesidad de ampliar el conjunto numérico.  Representar algebraica y gráficamente un número complejo e identificar su valor absoluto y conjugado.  Comprender la adición de números complejos a través de la relación con los números reales.  Verificar las propiedades del conjugado y del módulo para la adición, utilizando la adición de números complejos.  Comprender la multiplicación y potencia de números complejos a través de la relación con los números reales.  Conjeturar las propiedades del conjugado y del módulo para la multiplicación, utilizando la multiplicación de números complejos.  Comprender la división de números complejos a través de la relación con los números reales.  Verificar las propiedades del conjugado y del módulo para la división, utilizando la división de números complejos.  Resolver problemas que involucren la utilización de operaciones aritméticas de números complejos.

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ACTIVIDADES CLAVES Nombre de la Unidad Habilidad General (procedimiento)

NĂşmeros Tiempo 28 horas Reconocer a los nĂşmeros racionales como un conjunto numĂŠrico en el que es posible resolver problemas que no admiten soluciĂłn en los enteros.

Habilidades Cognitivas

Reconocer: que un problema no tiene soluciĂłn en los conjuntos numĂŠricos que ya conocen. Representar: la forma algebraica y grĂĄfica de un nĂşmero complejo. Identificar: el opuesto, conjugado y mĂłdulo de un nĂşmero complejo. Comprender: las operaciones aritmĂŠticas del nuevo conjunto numĂŠrico estableciendo relaciones con los ya conocidos. Verificar: propiedades del conjugado y el mĂłdulo. Conjeturar: regularidades que se cumplen al realizar las operaciones aritmĂŠticas. Resolver: ejercicios que involucren la utilizaciĂłn de las operaciones aritmĂŠticas y propiedades de los nĂşmeros complejos.

Actitudes

    

Habilidades Especificas (pasos procedimentales)  Reconocer que un problema no tiene solución en los números reales, y por ello, existe la necesidad de ampliar el conjunto numÊrico.

InterĂŠs por conocer la realidad y utilizar el conocimiento. Desarrollar el pensamiento reflexivo y metĂłdico. Valorar el trabajo personal. Promover una adecuada autoestima, confianza en sĂ­ mismo y perseverancia. Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. Actividades Clave

Tiempo

El propĂłsito de esta actividad es que los 2 horas estudiantes reconozcan la necesidad de ampliar el conjunto numĂŠrico de los reales, partiendo de las soluciones obtenidas al realizar un sistema de ecuaciones. Para lograrlo se realizarĂĄ la actividad “MĂ S ALLĂ DE LOS NĂšMEROS REALESâ€?, dentro de la cual se denotarĂĄ a đ?‘– como la unidad imaginaria y se analizarĂĄ su potencia, para luego comprender lo que son los nĂşmeros complejos. Las estrategias utilizadas son interrogaciĂłn

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didåctica y lluvia de ideas, las cuales se complementan entre sí, para lograr que los estudiantes adquieran el conocimiento. 

Representar algebraica y grĂĄficamente un nĂşmero complejo e identificar su conjugado, opuesto y valor absoluto.

Durante la primera sesiĂłn el profesor define a los 4 horas nĂşmeros complejos de forma binĂłmica y cartesiana. Establece acuerdos como que se denotarĂĄn por las letras đ?‘§ y đ?‘¤ generalmente, y luego enseĂąa la forma grĂĄfica, utilizando la forma cartesiana (đ?‘Ž, đ?‘?) para graficar en el plano de Argand, relacionĂĄndolo con ubicar un punto en el plano cartesiano. Luego los estudiantes trabajan en una guĂ­a que les entrega la profesora con respecto a lo visto durante la clase, es decir, identificar nĂşmeros complejos, cuando son puros, parte real, parte imaginaria y ubicar nĂşmeros complejos en el plano de Argand. En la segunda sesiĂłn se espera que los estudiantes, a partir de un applet realizado en GeoGebra, puedan conjeturar acerca de las diferencias y similitudes que tiene un nĂşmero complejo con su conjugado y con su opuesto, a travĂŠs de preguntas tales como ÂżQuĂŠ tienen en comĂşn y en quĂŠ se diferencian un nĂşmero complejo y su opuesto?, ÂżY cĂłmo son la parte real y la imaginaria de cada uno de ellos?, ÂżY el conjugado a un nĂşmero complejo? AdemĂĄs el profesor define el mĂłdulo o valor absoluto de un nĂşmero complejo como la distancia desde el origen hasta su ubicaciĂłn. El profesor escribe algunos ejercicios en la pizarra en donde los estudiantes deben identificar los conceptos que aprendieron durante la clase.



Comprender la adiciĂłn de nĂşmeros complejos a travĂŠs de la relaciĂłn con los nĂşmeros reales.

En la primera sesiĂłn se trabajarĂĄ en base a la 4 horas actividad “MARTINA Y SUS LĂ PICESâ€?, que tiene como propĂłsito que los estudiantes comprendan como sumar nĂşmeros complejos a partir de la relaciĂłn que existe con la suma de binomios, es decir, que comprendan que deben sumar los tĂŠrminos semejantes. AdemĂĄs aprenderĂĄn a realizar la suma geomĂŠtricamente a travĂŠs del software GeoGebra, relacionĂĄndola con la

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diagonal del paralelogramo (vector) que se obtiene al unir los complejos con la suma de ellos y el origen. Durante la segunda sesión los alumnos resolverán ejercicios que involucren la adición y sustracción de números complejos, ya sea algebraica o gráficamente, para esto el profesor entregará una lista de ejercicios. El profesor resuelve dudas. Esta actividad tiene como finalidad la puesta en práctica de lo que aprendieron en la sesión anterior. 

Verificar las propiedades del conjugado y del módulo para la adición, utilizando la adición de números complejos.

Al comienzo de la clase se entrega una guía 2 horas correspondiente a la actividad: “¿SERÁ UN ERROR?” que se realizará durante la clase. El objetivo de esta actividad es que los estudiantes a través de un problema se les presente la duda si es que el conjugado de la suma es igual a la suma de los conjugados, ellos lo deberán demostrar siguiendo los pasos que se plantean en el material entregado. Luego el profesor lo muestra gráficamente, con un applet desarrollado en GeoGebra. Una vez concluida esta parte se les planteara las otras propiedades y ellos la deberán demostrar para poder concluir al final de la clase cuales son las propiedades del conjugado y el módulo para la suma.

Comprender la multiplicación y potencia de números complejos a través de la relación con los números reales.

En la primera sesión los estudiantes trabajarán 4 horas con la actividad “BUSCANDO RELACIONES", donde deberán relacionar los números complejos con los binomios, y así podrán llegar a la forma general de la multiplicación y potencia. El profesor debe siempre ir guiando el trabajo que se propone en el material. La segunda sesión los estudiantes resolverán problemas que involucren multiplicaciones y potencias de números complejos, mientras el profesor va resolviendo dudas. Al final de la clase el profesor elige algunos estudiantes al azar, para que los resuelvan en la pizarra.

Conjeturar las propiedades del

Al comienzo de la clase el profesor le entrega a 2 horas los estudiantes la guía “¿QUÉ PROPIEDADES

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conjugado y del mĂłdulo para la multiplicaciĂłn, utilizando la multiplicaciĂłn de nĂşmeros complejos.

CUMPLE LA MULTIPLICACIĂ“N", el objetivo de esta actividad es que los estudiantes recuerden las propiedades de la suma para plantearse si estas tambiĂŠn se cumplirĂĄn para la multiplicaciĂłn, entonces ellos deberĂĄn ir probando las propiedades primero con nĂşmeros y luego de forma general. El profesor debe guiar esta propiedad realizando algunos ejercicios planteados en la guĂ­a en el pizarrĂłn.



Comprender la divisiĂłn de nĂşmeros complejos a travĂŠs de la relaciĂłn con los nĂşmeros reales.

Esta actividad tiene como propĂłsito que los 2 horas estudiantes comprendan la divisiĂłn de nĂşmeros complejos a partir de la relaciĂłn con la racionalizaciĂłn de una expresiĂłn, extendiendo la nociĂłn de divisiĂłn de nĂşmeros reales a la de nĂşmeros complejos. Para esto los estudiantes trabajarĂĄn en base a la actividad “RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS DE FRANCISCOâ€?, la cual a partir de un ejercicio propuesto debe aplicar el proceso de racionalizar una fracciĂłn cuyo denominador es un nĂşmero complejo, escrito de la forma đ?‘Ž + đ?‘? −1. Luego de la resoluciĂłn de la divisiĂłn, se formaliza para que los estudiantes puedan aplicar el procedimiento en ejercicios que se proponen en el mismo material. El profesor debe monitorear la actividad en todo momento, y en algunos casos llegar a consensos para lograr el propĂłsito de la actividad.



Verificar las propiedades del conjugado y del mĂłdulo para la divisiĂłn, utilizando la divisiĂłn de nĂşmeros complejos.

Durante esta sesiĂłn el profesor propone 2 horas igualdades para que los estudiantes las desarrollen y a partir de ello, puedan responder algunas preguntas que el docente les plantea, acerca de la veracidad de dichas igualdades. Es importante que el profesor promueva una actitud crĂ­tica en el estudiante al momento de enfrentarse a esas igualdades y durante su anĂĄlisis deben tener las actitudes de perseverancia y rigor, con la finalidad de no darse por vencido al momento de verificarlas. Una vez comprobadas, deben resolver problemas en los cuales deben utilizarlas.

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Resolver problemas que involucren la utilización de operaciones aritméticas de números complejos.

Durante las primeras dos sesiones los estudiantes 6 horas resuelven una Guía de Ejercicios que involucra la utilización de las operaciones aritméticas de los números complejos, y por lo tanto también deberán aplicar las propiedades del conjugado y módulo para cada operación. El profesor monitorea la actividad, incitando el trabajo de todos los estudiantes a través de la respuesta a sus dudas. Esta actividad tiene como fin que los alumnos puedan repasar todo lo que se vio durante la unidad, para poder aplicarlo en la prueba final y despejar sus incertidumbres antes de ella. Durante la tercera sesión se realizará una prueba de tipo sumativa, con el fin de evaluar los conocimientos que han adquirido en el desarrollo de la unidad. Esta prueba considerará que los estudiantes sean capaces de aplicar las operaciones aritméticas y las propiedades del módulo y conjugado en la resolución de ejercicios.

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FUNDAMENTACIĂ“N SegĂşn el Marco Curricular actualizaciĂłn 2009, el eje de NĂşmeros “constituye el centro del currĂ­culo matemĂĄtico para la enseĂąanza bĂĄsica y media. Incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el nĂşmero, las operaciones aritmĂŠticas, los diferentes sistemas numĂŠricos, sus propiedades y los problemas provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemĂĄtica misma. Se organiza en torno a los diferentes ĂĄmbitos y sistemas numĂŠricos. Avanza en completitud, abstracciĂłn y complejidad desde los nĂşmeros naturales hasta los nĂşmeros complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se busca que los alumnos y las alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar problemas que los precedentes dejaron sin resolver. SimultĂĄneamente, el desarrollo de los nĂşmeros acompaĂąa –y encuentra sus motivaciones–, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes. AsĂ­, la operaciĂłn inversa a la suma motiva el cero y los negativos; el cociente y la mediciĂłn, los racionales; la extracciĂłn de raĂ­z, motiva los irracionales y los reales y los nĂşmeros complejos. De este modo, se relacionan nĂşmeros, operaciones y campos de aplicaciĂłn de la matemĂĄtica, permitiendo avanzar en el sentido de la cantidad, en el razonamiento matemĂĄtico y precisar la forma en que la matemĂĄtica contribuye a la descripciĂłn y comprensiĂłn de la realidadâ€?, es decir el eje de nĂşmeros es primordial para la enseĂąanza de la matemĂĄtica, pues sin cantidades el resto de los ejes no se sustentan, pues de una u otra forma los ejes de ĂĄlgebra, geometrĂ­a y datos y azar se basan en la utilizaciĂłn de ellos. Es asĂ­ que en cada nivel, el eje de nĂşmeros tiene una importancia especial, en particular la importancia de los nĂşmeros complejos radica en la conexiĂłn con el eje de ĂĄlgebra del mismo nivel (tercer aĂąo medio), pĂşes los alumnos conocerĂĄn y analizarĂĄn las soluciones de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Es aquĂ­ donde debemos remontarnos a la historia de los nĂşmeros complejos, hasta llegar a su surgimiento ya que “cuando se estudiĂł la soluciĂłn de la ecuaciĂłn de segundo grado đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 se analizĂł el signo del discriminante đ?‘? − 4đ?‘Žđ?‘? y su relaciĂłn con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuaciĂłn no tenĂ­a raĂ­ces reales sino que las raĂ­ces eran imaginarias o complejasâ€?1, luego de 1

ExtraĂ­do de http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/archivos/Complejos.pdf

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esto se deduce que los nĂşmero complejos nacieron ante la necesidad de dar existencia a las soluciones de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica y es por esto que actualmente se encuentran dentro del curriculum nacional, pues asĂ­ los estudiantes reconocerĂĄn que una ecuaciĂłn de segundo grado siempre tiene soluciĂłn, aunque no siempre se encuentren en el conjunto de los nĂşmeros reales. SegĂşn nuestra investigaciĂłn para enseĂąar nĂşmeros complejos, trabajamos con los siguientes textos: ďƒ˜ Algebra de ArrayĂĄn (Segunda ediciĂłn, noviembre de 2002.):

En la introducciĂłn de este libro se habla de los conjuntos numĂŠricos y presenta el siguiente esquema

AquĂ­, desde el comienzo y sin dar conocimiento exacto presentan los nĂşmeros complejos, ya que en la unidad 9 reciĂŠn los enseĂąan. Luego en el capĂ­tulo 4 que es "Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado", presenta la unidad imaginaria para poder expresar las soluciones con raĂ­ces negativas. AsĂ­ lo presenta en el libro:

Resolvamos la ecuaciĂłn đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Los coeficientes en este caso son a = 1 ; b = 1 y c = 2, aplicando la fĂłrmula obtenemos: đ?‘Ľ =

−1 Âą 1 − 8 2

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đ?‘Ľ =

−1 Âą −7 2

y las soluciones son:

đ?‘Ľ1 =

−1+ −7 2

y đ?‘Ľ2 =

−1− −7 2

Nota: Si la cantidad subradical es un número negativo, entonces las soluciones son números complejos. El capítulo de números complejos estå estudiado mås adelante, pero aquí podemos definir: – 1 = � unidad imaginaria Ejemplo : – 2 = �2 – 25 =

– 1 25 = 5� .......etc.

entonces en el ejemplo anterior, las soluciones pueden ser expresadas por: đ?‘Ľ2 =

– 1+� 7 2

đ?‘Ľ2 =

– 1−đ?‘– 7 2

Es asĂ­ como luego presentan la unidad imaginaria, por la cual se pueden expresar las raĂ­ces negativas.

En el capítulo 9: Números Complejos, se presentan los siguientes temas: 

DEFINICIONES Y PROPIEDADES.



Igualdad.



RepresentaciĂłn geomĂŠtrica.



Forma canĂłnica de un complejo.

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

Operaciones con nĂşmeros complejos.



Estructura del conjunto (k , + , • ).



Potencias de i.



Conjugado y mĂłdulo de un complejo. o Conjugado de un complejo. o MĂłdulo de un complejo.



RepresentaciĂłn trigonomĂŠtrica o forma polar de un nĂşmero complejo.



DefiniciĂłn de razones trigonomĂŠtricas.



RepresentaciĂłn trigonomĂŠtrica del complejo z = a + bi.



Producto y cociente de complejos en forma polar.



PotenciaciĂłn de nĂşmeros complejos en forma polar.



RadicaciĂłn de nĂşmeros complejos en forma polar.

Para poder gestionar correctamente el eje, no nos pareciĂł bien este libro, ya que "hace aparecer" la unidad imaginaria para poder encontrar las soluciones con raĂ­ces negativas, pero no da ninguna explicaciĂłn, sino que lo impone. Luego al momento del capĂ­tulo de nĂşmeros complejos, presenta este conjunto numĂŠrico formalmente, pero ocupa muchas definiciones, y otra cosa es que trata los nĂşmeros complejos en su forma polar y segĂşn el marco curricular para el eje de nĂşmeros, tercero medio no ven esta forma. ďƒ˜ CapĂ­tulo 4 de nĂşmeros complejos2 Este texto comienza contando la historia de cĂłmo surgiĂł la necesidad de crear un nuevo conjunto numĂŠrico, lo presenta de la siguiente manera: Desde la antigĂźedad se conocĂ­a el hecho de que ecuaciones tan simples como đ?‘Ľ2 + 1 = 0 no tenĂ­an soluciĂłn entre los nĂşmeros que representaban cantidades, que eran los Ăşnicos nĂşmeros que se consideraban en aquella ĂŠpoca (nĂşmeros reales). Este tipo de ecuaciones 2

ExtraĂ­do de http://ima.ucv.cl/pdf/ag1/cap4.pdf

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no despertĂł entonces el interĂŠs de los matemĂĄticos: sencillamente no tenĂ­an soluciĂłn. Fue en Italia, durante el perĂ­odo del renacimiento, cuando por primera vez los algebristas se encuentran con expresiones formales donde aparecen raĂ­ces cuadradas de nĂşmeros negativos. Pero la motivaciĂłn principal para entender estas expresiones no viene de las ecuaciones cuadrĂĄticas sino de las ecuaciones cĂşbicas.

Es en el libro Ars Magna de

Girolamo Cardano, publicado en 1545, donde aparecen los nĂşmeros complejos por primera vez. AllĂ­ se presenta, por ejemplo, la ecuaciĂłn: đ?‘Ľ 3 = 3đ?‘?đ?‘Ľ + 2đ?‘ž y Cardano da como soluciĂłn la fĂłrmula: đ?‘Ľ=

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đ?‘ž + đ?‘ž2 − đ?‘?3 +

3

đ?‘ž − đ?‘ž2 − đ?‘?3

conocida hoy, haciendo un poco de justicia a la historia, como fĂłrmula de Scipione del Ferro- Tartaglia-Cardano. Si ponemos : đ?‘? = 2 ; đ?‘ž = 1 entonces la ecuaciĂłn: đ?‘Ľ 3 = 6đ?‘Ľ + 2 tendrĂĄ como soluciĂłn, segĂşn esta fĂłrmula: đ?‘Ľ=

3

1 + −7 +

3

1 − −7

Con un poco de paciencia, si uno sustituye este nĂşmero en la ecuaciĂłn y si se acepta que: 3

1 + −7 +

3

1 − −7

entonces efectivamente la satisface. Fue considerado Rafael Bombelli, el padre de los nĂşmeros complejos, quien desarrollĂł el ĂĄlgebra formal de este tipo de expresiones, basĂĄndose en la obra de Cardano. Sin embargo, el significado de estos nĂşmeros seguĂ­a quedando en la obscuridad. Es por eso que se los llamĂł imaginarios y fue Euler quien propuso llamar đ?‘– a la unidad imaginaria: đ?‘– = −1. Finalmente Gauss publica, en 1831, un trabajo donde expone con toda claridad las propiedades de los nĂşmeros de la forma đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–, cuya representaciĂłn grĂĄfica como puntos de un plano ya habĂ­a sido planteada en 1806 por el suizo J.Argand, por lo que dicha representaciĂłn se conoce como diagrama de Argand.

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Al ver este documento nos parece correcto introducir a los nĂşmeros complejos con la historia, ya que los estudiantes podrĂĄn entender la razĂłn del porquĂŠ se creĂł este conjunto numĂŠrico, es por esto que para introducir a los nĂşmeros complejos en nuestra primera clase utilizamos algo de historia, pero modificado para estudiantes de tercero medio(ecuaciĂłn cuadrĂĄtica)

ďƒ˜ Santillana cuarto medio (ediciĂłn 1994) En este texto la primera unidad es de nĂşmeros complejos, y se estructura consiste en presentar la unidad imaginaria mediante la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + 1, luego trabaja con la potencia de đ?‘–, para poder despuĂŠs llegar a los nĂşmeros complejos. La forma de trabajar los nĂşmeros complejos es la siguiente: Primero enseĂąa el mĂłdulo o valor absoluto y conjugado de un nĂşmero complejo, con sus respectivas representaciones grĂĄficas, de un nĂşmero complejo y finalmente presentado las operaciones, de la siguiente forma: 

Adición (y resta) o Definición de suma en los números complejos. o Propiedades 

đ?‘§ + đ?‘§ = 2â„œđ?‘’ đ?‘§



đ?‘§ − đ?‘§ = 2đ??źđ?‘š đ?‘§

 

�1 + �2 ≤ �1 + �2 �1 + �2 = �1 + �2

Cada una de las propiedades son demostradas algebraicamente y algunas de ellas son vistas geomÊtricamente. 

Multiplicación o Definición del producto de números complejos. o Propiedades. 

đ?‘§ ∙ đ?‘§ = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2

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 

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 = đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 = đ?‘§1 ∙ đ?‘§2

Cada una de las propiedades son demostradas algebraicamente. 

División o Definición del cociente de números complejos. o Propiedades.  

� �

� �

=

=

� �

,� ≠0

� �

En definitiva esta ha sido la estrategia metodolĂłgica escogida para enseĂąar nuestra unidad, ya que es interesante la idea de presentar la unidad imaginaria como introducciĂłn a los nĂşmeros complejos; ademĂĄs es pertinente, ya que a medida que ellos van aprendiendo pueden ir aplicando estas operaciones, con el propĂłsito de ir demostrando las propiedades.

Cabe destacar que en la mayorĂ­a de los textos se encuentran los nĂşmeros complejos sĂłlo con definiciones y expresados en su forma binĂłmica y polar, lo que a no nos servĂ­a para tercero medio, es por esto que escogimos los dos Ăşltimos textos para guiarnos en la planificaciĂłn del eje de nĂşmeros.

Para escoger las actividades claves que se realizarĂĄn, se hizo un anĂĄlisis a lo que propone el marco curricular, especĂ­ficamente lo que se observan en los CMO, de los cuales pudimos dar cuenta, que es importante introducir de buena manera la unidad imaginaria, para que los estudiantes puedan comprender correctamente como se compone un nĂşmero complejo, es por esto que se realizarĂĄ una actividad, con sus orientaciones

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metodológicas y material para el estudiante, con el fin de dar énfasis en el aprendizaje del nuevo conjunto numérico. El tercer CMO habla de extender las nociones de las operaciones aritméticas de los números reales hacia los números complejos, y los procedimientos de cálculo, es por esto que para cada operación aritmética se tendrán actividades con el material desarrollado minuciosamente. Los estudiantes deben comprender que los números complejos son compuestos por números reales y la unidad imaginaria, y por tanto el desarrollo de sus operaciones aritméticas deben ser distintos a los que acostumbran a realizar en los números reales. Finalmente el cuarto CMO centra su contenido en la formulación de conjeturas y la demostración de sus propiedades. Es bien sabido que los estudiantes tienen dificultades al trabajar con letras, pues la matemática la asocian con números, es por esta razón que se ha decidido hacer el material para que los estudiantes puedan analizar las propiedades que cumplen el conjugado y el módulo de un número complejo para la adición, sustracción y la multiplicación. La confección de estas actividades tienen como finalidad guiar a los estudiantes hacia la demostración de dichas propiedades, primero viendo algunos ejemplos numéricos y luego generalizándolas.

Es de real importancia advertir que la planificación y gestión del eje está elaborado para ser desarrollado antes del eje de álgebra, para que así los estudiantes al momento de enfrentarse a las soluciones de una ecuación de segundo grado ya tengan noción de que el valor encontrado existe en los números complejos.

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ACTIVIDAD N°1: “MĂ S ALLĂ DE LOS NĂšMEROS REALESâ€? Orientaciones MetodolĂłgicas

TĂ­tulo de la actividad: MĂ S ALLĂ DE LOS NĂšMEROS REALES

Conceptos clave: sistema de ecuaciones, unidad imaginaria, ecuaciones de segundo grado, raĂ­ces de ecuaciones cuadrĂĄticas, propiedades de potencia

FundamentaciĂłn de la actividad La clase a desarrollar apuntarĂĄ a lo propuesto el Marco Curricular actual y se relacionarĂĄ con el nivel de 3er aĂąo medio -plan comĂşn- en el eje de NĂşmeros. Para desarrollar la actividad es necesario que los estudiantes tengan conocimientos previos acerca de ecuaciones de segundo grado, sistema de ecuaciones, raĂ­ces de ecuaciones cuadrĂĄticas y propiedades de potencia. Esta clase se enmarca en el Objetivo Fundamental “Comprender que los nĂşmeros complejos constituyen un conjunto numĂŠrico en el que es posible resolver problemas que no tienen soluciĂłn en los nĂşmeros reales, y reconocer su relaciĂłn con los nĂşmeros naturales, nĂşmeros enteros, nĂşmeros racionales y nĂşmeros realesâ€?, y los Contenidos MĂ­nimos Obligatorios “IdentificaciĂłn de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los nĂşmeros reales a los nĂşmeros complejos, caracterizaciĂłn de estos Ăşltimos y de los problemas que permiten resolverâ€? e “IdentificaciĂłn de la unidad imaginaria como soluciĂłn de la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + 1 = 0 y su utilizaciĂłn para expresar raĂ­ces cuadradas de nĂşmeros reales negativosâ€? La finalidad de la clase es que el estudiante sienta la necesidad de encontrar un nĂşmero que multiplicado por sĂ­ mismo resulte −1 y una vez denotado de alguna forma, sea capaz de conjeturar acerca de la potencia de dicho nĂşmero, para la utilizaciĂłn en diversos contextos. Para esto es necesario utilizar las habilidades de pensamiento matemĂĄtico: calcular, analizar, comprobar, conjeturar, y utilizar segĂşn la actividad lo

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requiera. Se busca fomentar las actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemĂĄticos. Luego de realizar esta actividad los estudiantes reconocerĂĄn que toda raĂ­z negativa se puede escribir como una raĂ­z positiva multiplicada por đ?‘–, la unidad imaginaria, ademĂĄs podrĂĄn conseguir el valor de cualquier potencia de đ?‘–, analizando el resto obtenido al dividir el exponente por cuatro, y asĂ­ establecer si su valor es đ?‘–, −1, −đ?‘– đ?‘œ 1.

Es importante que el profesor monitoree la actividad para ir guiando al estudiante, haciendo que se equivoque y ocupando este error para que lleguen a lo que se desea.

DescripciĂłn en tĂŠrminos metodolĂłgicos para los momentos de la clase

La actividad “MĂ S ALLĂ DE LOS NĂšMEROS REALESâ€? se divide en tres secciones, de acuerdo a los tres momentos de la clase. El propĂłsito de esta actividad es que a partir de una situaciĂłn dada, se guie a los estudiantes a generar un acuerdo con respecto a la soluciĂłn para una raĂ­z negativa y conjeturas con respecto a la potencia de la unidad imaginaria đ?‘–. Al utilizar este formato, la estrategia utilizada en la clase es “interrogaciĂłn didĂĄcticaâ€?, ya que se introduce los conceptos a travĂŠs de preguntas respecto de las situaciones que se van presentando en la guĂ­a, siempre teniendo claro cuĂĄl es el objetivo que se quiere lograr. AdemĂĄs se utiliza el “trabajo cooperativoâ€?, pues se pedirĂĄ la cooperaciĂłn de todos mediante la “lluvia de ideasâ€? para ir respondiendo correctamente las preguntas. Al inicio de la clase se trabajarĂĄ con la secciĂłn “Retrocedamos el tiempo y ÂĄayudemos a resolver un problema!â€?, en la cual se presentarĂĄ una situaciĂłn, en donde es necesario obtener los resultados de dos valores, đ?‘Ľ e đ?‘Ś, tal que cumplan las ecuaciones presentadas. Los estudiantes deberĂĄn analizar los valores encontrados e intentar dar respuesta a las preguntas intuitivamente.

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El docente debe contar la situaciĂłn (detallada en la guĂ­a), para verificar que todos los estudiantes la han entendido, poniendo ĂŠnfasis en la pregunta nĂşmero 2, ya que asĂ­ podrĂĄn dar sentido a lo que viene posteriormente. La idea de esta secciĂłn es que el estudiante pueda dar cuenta de que no es posible en los nĂşmeros reales tener una expresiĂłn que simbolice una raĂ­z negativa, pero que son esas raĂ­ces las que dan soluciĂłn al problema inicial y que por lo tanto deben extender el conjunto de los nĂşmeros reales hacia otro, que incluya las raĂ­ces negativas. En el desarrollo de la clase se trabajarĂĄ en base a las secciones “Lleguemos a un acuerdoâ€? y “Lo logramos, pero hay mĂĄs‌â€? la primera se centra en el anĂĄlisis de una raĂ­z negativa, y de quĂŠ forma se puede descomponer como la multiplicaciĂłn de una raĂ­z negativa por una raĂ­z positiva. Para poder encontrar alguna regularidad se analizan tres raĂ­ces negativas mĂĄs, las cuales serĂĄn separadas de forma anĂĄloga, con el fin de ver la repeticiĂłn de −1. Se sugiere tener especial cuidado con la descomposiciĂłn inicial que hacen los estudiantes, pues a partir de ella se hacen las demĂĄs. En la segunda secciĂłn del desarrollo de la clase, los estudiantes se encuentran con que si podrĂ­an encontrar un nĂşmero que multiplicado por sĂ­ mismo resulta −1, sin embargo este nĂşmero no pertenece al conjunto de los nĂşmeros reales, sino que a uno nuevo. Para poder trabajar en esta secciĂłn, se denota đ?‘? = −1 , y se define como la unidad del nuevo conjunto, en la cual se hace un paralelo con la unidad de los nĂşmeros reales: 1, respecto de las potencias de ambas. Con el fin de conocer las potencias de đ?‘?, buscarĂĄn las ocho primeras, a partir de đ?‘? 1 đ?‘Ś đ?‘? 2 , utilizando los valores que han ido obteniendo, y tambiĂŠn las propiedades de las potencias que en el caso del nuevo conjunto tambiĂŠn se cumplen. La idea es que visualicen que los primeros cuatro valores son distintos, pero que en los siguientes cuatro se repetirĂĄn. Para ver si es posible generalizar la relaciĂłn, se pide los valores de los siguientes cuatro valores que no se encuentran en la tabla, se espera que se obtengan rĂĄpidamente, pues pueden descomponer la potencia. Luego los alumnos deben caracterizar los exponentes de las potencias para obtener una regla general.

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Se sugiere que el profesor ayude a obtener los primeros valores de la tabla, para que los estudiantes sepan de quĂŠ forma deben hacerlo. AdemĂĄs debe poner ĂŠnfasis en los valores que se repiten, para que los estudiantes convengan que las potencias de đ?‘? sigue una regularidad. Finalmente en el cierre de la clase se trabajarĂĄ en torno a la secciĂłn “Hemos aprendidoâ€?, en donde se formalizarĂĄ lo que se trabajĂł en la clase. Es aquĂ­ donde se presenta el nuevo conjunto numĂŠrico como el de los NĂšMEROS COMPLEJOS, cuya unidad imaginaria se denota por đ?‘–, y su valor es

−1, sin embargo el profesor debe enfatizar que la letra

asignada no tiene importancia, sino que, por generalizar se llama de esa forma. Ademås se establece una tabla la cual los alumnos deben rellenar, basåndose en la sección anterior. El profesor debe poner Ênfasis en que el número que se le suma a 4� es el resto que se obtiene al dividir el exponente de � por 4, donde � es un número natural, es decir toma los valores 0,1,2,3 ‌ Y para el caso de � 4�+4 , establece que el resto es 0, por lo que si al dividir el exponente en 4, resulta un número natural, entonces la potencia de � serå 1.

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Material del Estudiante "MĂ S ALLĂ DE LOS NĂšMEROS REALES"

Nombre:___________________________________________________ Fecha:________

Conceptos claves: sistema de ecuaciones, unidad imaginaria, ecuaciones de segundo grado, raĂ­ces de ecuaciones cuadrĂĄticas, propiedades de potencia.

Retrocedamos el tiempo y ÂĄayudemos a resolver un problema!

Imaginemos que podemos retroceder el tiempo y llegamos al aĂąo 1545, aquĂ­ nos encontramos con Cardano, quien es un conocido matemĂĄtico de esa ĂŠpoca, y estĂĄ resolviendo el siguiente problema:

“La suma de dos nĂşmeros es 10 y su producto es 40â€?

Para obtener los nĂşmeros plantea las ecuaciones đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10, đ?‘Ľđ?‘Ś = 40

1. Calculando este sistema de ecuaciones llega a que dichos nĂşmeros son:

2. ÂżQuĂŠ pasa con las raĂ­ces?

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3. Comprueba las soluciones, para ver si son correctas.

Analiza junto a tus compaĂąeros y con la ayuda de tu profesor las raĂ­ces de la ecuaciĂłn.

Lleguemos a un acuerdo

Como no podemos trabajar con las raĂ­ces negativas, ya que es imposible encontrar un nĂşmero real que al multiplicarlo por sĂ­ mismo el resultado sea un nĂşmero negativo, trabajemos todos juntos para poder ayudarlo.

1. Como el problema se presenta cuando nos encontramos con la raĂ­z negativa, descompongamos esta raĂ­z de modo que tengamos 2 raĂ­ces: una negativa y otra positiva −15 =

2. Ahora hazlo con estas raĂ­ces: −11 = −5 = −đ?‘Ž =

3. ÂżQuĂŠ tienen en comĂşn las descomposiciones de las raĂ­ces?

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Lo logramos, pero hay mås‌

Hemos encontrado un nĂşmero que multiplicado por si mismo resulta −1, sin embargo este nĂşmero no pertenece al conjunto de los nĂşmeros reales, sino a uno nuevo. Supongamos que −1 es la unidad de ese conjunto (como 1 lo es en los reales), la cual denominaremos con la letra đ?‘?. Una propiedad que cumple la unidad de los reales (1), es que al obtener su potencia siempre va a mantener su valor, asĂ­ 10 = 11 = â‹Ż = 120 = â‹Ż = 14000 = â‹Ż = 1.

1. Ahora, ÂżquĂŠ sucede con la potencia de đ?‘?? AyĂşdanos a averiguarlo, completando la siguiente tabla.

đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?3 đ?‘?4 đ?‘?5 đ?‘?6 đ?‘?7 đ?‘?8

= đ?‘? = −1 = −1 = = = = = =

Recuerda que: đ?‘Žđ?‘šđ?‘› = đ?‘Žđ?‘š đ?‘› đ?‘Žđ?‘š ∙ đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘š +đ?‘› đ?‘? = −1

2. ÂżQuĂŠ potencias tienen igual valor?

3. ÂżQuĂŠ sucede con el valor de đ?‘? 9 , đ?‘? 10 , đ?‘? 11 đ?‘’ đ?‘? 12 ?, Âżse pueden relacionar con los obtenidos en la tabla anterior?

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4. ÂżCĂłmo son las cuatro primeras potencias desde đ?‘? 1 hasta đ?‘? 4 ?

5. ÂżCada cuĂĄntas unidades se repiten las potencias?

6. ÂżDe quĂŠ manera podemos caracterizar el exponente de đ?‘? 1 , đ?‘? 5 , đ?‘? 9 , ‌ cuya potencia vale đ?‘??

7. ÂżDe quĂŠ manera podemos caracterizar el exponente de đ?‘? 2 , đ?‘? 6 , đ?‘? 10 , ‌ cuya potencia vale −1?

8. ÂżDe quĂŠ manera podemos caracterizar el exponente de đ?‘? 3 , đ?‘? 7 , đ?‘? 11 , ‌ cuya potencia vale−đ?‘??

9. ÂżDe quĂŠ manera podemos caracterizar el exponente de đ?‘? 4 , đ?‘? 8 , đ?‘? 12 , ‌ cuya potencia vale 1?

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Hemos aprendido ďƒ˜ Que existe un nuevo conjunto numĂŠrico, llamado NĂšMEROS COMPLEJOS cuya unidad, se denomina unidad imaginaria, la cual se denota por đ?‘– (por ser imaginaria) y vale −1. ďƒ˜ AsĂ­ como para la unidad real (1) se conoce su potencia, para la unidad imaginaria tambiĂŠn, y se puede sintetizar en la siguiente tabla. ComplĂŠtala utilizando las respuestas de la secciĂłn anterior.

Potencias bĂĄsicas de đ?’Š đ?‘–1 = đ?‘–

Potencia equivalente

Exponente

(đ?’? ∈ â„ž+ đ?&#x;Ž) đ?‘–(

)

MĂşltiplo de ___, mĂĄs ___ ________ /đ?‘› ∈ â„ž+ 0 = 1,5,9,13,17 ‌

đ?‘– 2 = −1

đ?‘–(

)

MĂşltiplo de ___, mĂĄs ___ ________ /đ?‘› ∈ â„ž+ 0 = 2,6,10,14 ‌

đ?‘– 3 = −đ?‘–

đ?‘–(

)

MĂşltiplo de ___, mĂĄs ___ _________ /đ?‘› ∈ â„ž+ 0 = 3,7,11,15 ‌

đ?‘–4 = 1

đ?‘–(

)

MĂşltiplo de ___, mĂĄs ___ ________ /đ?‘› ∈ â„ž+ 0 = 4,8,12,16 ‌

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ACTIVIDAD N°2: “MARTINA Y SUS LÁPICES”

Orientaciones Metodológicas Titulo de la actividad: “MARTINA Y SUS LÁPICES”

Conceptos clave: expresiones algebraicas: binomios, suma de binomios; números complejos, representación gráfica, vector, paralelogramo.

Recurso: GeoGebra

El software GeoGebra será utilizado durante esta actividad para analizar gráficamente la suma y resta de números complejos, para esto es necesario que los estudiantes sepan cómo utilizarlo, y que su utilización sea sólo para realizar los pasos que se presentan en la guía.

Fundamentación de la actividad La clase a desarrollar apuntará a lo propuesto el Marco Curricular actual y se relacionará con el nivel de 3er año medio -plan común- en el eje de Números. Para desarrollar la actividad es necesario que los estudiantes tengan conocimientos previos acerca de expresiones

algebraicas:

binomios,

suma

de

binomios;

números

complejos,

representación gráfica, opuesto de un número complejo; vector y paralelogramo.

Esta clase se enmarca en el Objetivo Fundamental “Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros, números racionales y números reales”, y el Contenido Mínimo Obligatorio “Extensión de las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y

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potencia de los números reales a los números complejos y de procedimientos de cålculo de estas operaciones�. El propósito de la clase es que el estudiante relacione la suma y resta de números complejos con la suma y resta de expresiones algebraicas, respectivamente, en este caso de binomios, con el fin de dar cuenta de que para obtener la suma de �1 y �2 se debe sumar los tÊrminos semejantes, es decir, las partes reales y por separado las partes imaginarias. Para esto es necesario utilizar las habilidades de pensamiento matemåtico: calcular, analizar, visualizar y conjeturar según la actividad lo requiera. Se busca fomentar las actitudes de perseverancia y valoración al trabajo personal.

Luego de realizar esta actividad los estudiantes podrĂĄn aplicar los procedimientos de cĂĄlculo de suma y resta de nĂşmeros complejos para cualquier contexto y ademĂĄs sabrĂĄn que significa grĂĄficamente los resultados obtenidos. De esta manera conocerĂĄn dos formas para calcular la adiciĂłn y la sustracciĂłn: algebraica y grĂĄficamente, pudiendo utilizar la que mĂĄs les acomode.

DescripciĂłn en tĂŠrminos metodolĂłgicos para los momentos de la clase La actividad “MARTINA Y SUS LĂ PICESâ€? se divide en tres secciones, de acuerdo a los tres momentos de la clase. El propĂłsito de esta actividad es que a partir de una situaciĂłn dada, se guie a los estudiantes hacia la forma algebraica de la suma y resta de nĂşmeros complejos, y luego a partir de ella hacia la forma grĂĄfica. La estrategia utilizada en la clase es la “simulaciĂłnâ€?, ya que se pretende simular la suma y resta de nĂşmeros complejos a travĂŠs de la operatoria de binomios, utilizando los tĂŠrminos semejantes. AdemĂĄs se utiliza el “documento audiovisualâ€?, que en este caso lo construyen ellos en el software GeoGebra, para visualizar que sucede con la adiciĂłn y sustracciĂłn de nĂşmeros complejos. Al inicio de la clase se trabajarĂĄ con la secciĂłn “Los lĂĄpices de Martinaâ€?, en la cual se presentarĂĄ una situaciĂłn, la cual es necesario traspasarla a lenguaje algebraico. Los

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estudiantes deberĂĄn realizar las operaciones que aparecen en los enunciados de forma algebraica, identificando si deben sumar o restar. El docente debe presentar la situaciĂłn (detallada en la guĂ­a), y verificar que todos los estudiantes la entiendan, poniendo ĂŠnfasis en las preguntas nĂşmero 3 y 5, ya que en ellas deben explicar que han hecho y de quĂŠ forma lo hicieron. Se sugiere que el profesor llegue a un consenso con los pasos que se deben realizar en cada caso, para que si algĂşn alumno no sabe quĂŠ hacer pueda entender y realizarlo. La idea de esta secciĂłn es que el estudiante recuerde que para sumar o restar dos expresiones algebraicas, en este caso binomios, sĂłlo se pueden operar entre sĂ­, si los tĂŠrminos son semejantes. En el desarrollo de la clase se trabajarĂĄ en base a las secciones â€œÂĄYa sĂŠ cuantos me regalĂł mi mamĂĄ!â€?, “Grafiquemos la sumaâ€? y “Grafiquemos la restaâ€? la primera se centra en el cambio de “letraâ€? de las expresiones obtenidas anteriormente, sin embargo a diferencia del valor đ?‘Ľ, el valor de đ?‘– es conocido. Esta modificaciĂłn a los binomios iniciales, tiene como finalidad que los estudiantes se den cuenta que los nĂşmeros complejos tambiĂŠn lo son, y por lo tanto pueden operarlos de igual forma, es decir, parte real por un lado y la parte imaginaria por otro (tĂŠrminos semejantes). Por lo mismo completaran una tabla que relaciona nĂşmeros complejos y no expresiones algebraicas con la adiciĂłn y sustracciĂłn. Se sugiere tener especial cuidado con las preguntas nĂşmero 2 y 3, pues es importante que establezcan como obtuvieron esas nuevas expresiones y que den cuenta de que son nĂşmeros complejos por ser ahora đ?‘Ľ = đ?‘– la unidad imaginaria. AdemĂĄs se debe verificar que los datos escritos en la tabla sean correctos para poder desarrollar la siguiente secciĂłn. En la segunda secciĂłn del desarrollo de la clase, los estudiantes se enfrentan al software GeoGebra, el cual tiene la finalidad de poder visualizar que sucede grĂĄficamente al sumar dos nĂşmeros complejos. Para poder desarrollar esta parte es necesario que vayan realizando uno a uno los pasos que se presentan, y analicen lentamente lo que se les pregunta en cada caso, para que asĂ­ con los dos primeros nĂşmeros ya puedan tener una idea de lo que sucede al sumarlos, y con los otros nĂşmeros reafirmen lo que creen

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sucederĂĄ. Para poder trabajar en esta secciĂłn, es necesario que el docente monitoree a los alumnos, los ayude si es necesario e intervenga si lo estima conveniente, con el fin de guiar a los alumnos a obtener alguna relaciĂłn grĂĄfica para la suma de dos nĂşmeros complejos. En la secciĂłn “Grafiquemos la restaâ€? tambiĂŠn perteneciente al desarrollo de la clase, los estudiantes continĂşan trabajando en GeoGebra, pero ahora con la finalidad de poder visualizar que sucede grĂĄficamente al restar dos nĂşmeros complejos. Primero deben seguir uno a uno los pasos que se presentan, tal como se hizo en la suma, sin embargo, para trabajar con la resta de dos nĂşmeros complejos ya no se grafican los nĂşmeros đ?‘§1 y đ?‘§2 , sino que se ubican đ?‘§1 y −đ?‘§2 , por este motivo es importante hacer hincapiĂŠ en el significado de −đ?‘§2 (pregunta n°2), que no es mĂĄs que el opuesto de đ?‘§2 , es decir, el mismo nĂşmero complejo, pero multiplicado por −1. Luego de que los alumnos ya den cuenta de su significado es importante que establezcan que al restar dos nĂşmeros complejos, estĂĄn sumando el primer nĂşmero con el opuesto del segundo y asĂ­ se cumple la misma relaciĂłn que se obtuvo en la secciĂłn anterior.

Finalmente en el cierre de la clase se trabajarĂĄ en torno a la secciĂłn “Hemos aprendidoâ€?, en donde se formalizarĂĄ lo que se trabajĂł en la clase. Es aquĂ­ donde se presentan las dos formas de abordar la suma y resta de nĂşmeros complejos: algebraica y grĂĄficamente. En el primer caso se presenta una sĂ­ntesis para cada una de las operaciones, y se exhibe una tabla la cual deben rellenar con la informaciĂłn pedida, con el fin de aplicar los procedimientos aprendidos. En el segundo caso se presenta de quĂŠ forma se puede obtener la suma y resta de nĂşmeros complejos partir del plano complejo, entregando una serie de pasos. Luego se define quĂŠ es el vector formado entre la suma de dos nĂşmeros complejos y el origen, respecto de la uniĂłn de los nĂşmeros đ?‘§1 , đ?‘§2 , (đ?‘§1 + đ?‘§2) đ?‘Ś 0 + 0đ?‘–. Se sugiere que el profesor ponga ĂŠnfasis en que dicho vector tambiĂŠn es la diagonal del paralelogramo que se forma entre đ?‘§1 , −đ?‘§2 , (đ?‘§1 − đ?‘§2 ) đ?‘Ś 0 + 0đ?‘–.

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Material del estudiante Actividad: “MARTINA Y SUS LÁPICES” Nombre:_________________________________________

Fecha:________

Conceptos claves: expresiones algebraicas: binomios, suma de binomios; números complejos, representación gráfica, opuesto de un número complejo; vector, paralelogramo. Recurso: GeoGebra Los lápices de Martina Martina está muy contenta con sus nuevos lápices. Del total, ella se compro 10 y su mamá le regalo una cantidad desconocida.

1. Si la cantidad desconocida es x. ¿Cuántos lápices tiene?

La semana siguiente volvió a pasar por la tienda y no se resistió a comprar más. Ella esta vez compro 5 y su mamá le regalo la misma cantidad que la vez pasada.

2. ¿Cuántos lápices tiene en total?

3. ¿Cómo obtuviste esa cantidad? Explica el procedimiento indicando los pasos.

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Como le gustaban tanto sus lĂĄpices los llevaba a todas partes, y un dĂ­a le faltaban 2 de los que se comprĂł ella y la mitad de los que le regalo su mamĂĄ.

4. ÂżCuĂĄntos lĂĄpices tiene ahora?

5. ÂżCĂłmo obtuviste esa cantidad? Explica el procedimiento indicando los pasos.

ÂĄYa sĂŠ cuantos me regalĂł mi mamĂĄ! Supongamos que el valor desconocido de lĂĄpices que le regalo su madre, es đ?‘–, la unidad imaginaria, que como ya conoces es −1. Entonces‌

1. ÂżCĂłmo quedarĂ­an expresados los valores de las preguntas 2 y 4 de la secciĂłn anterior?

2. ÂżQuĂŠ hiciste para obtener las expresiones?

3. ÂżQuĂŠ tipo de nĂşmero son las expresiones encontradas?

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4. Completa la siguiente tabla con los valores que ya conoces. đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;? − đ?’›đ?&#x;?

15 + 2đ?‘– 13 + đ?‘–

Grafiquemos la suma

Ahora abre el software GeoGebra y realiza lo siguiente con la tabla que hiciste en la secciĂłn anterior: i. ii. iii.

Ubica los puntos đ?‘§1 , đ?‘§2 y đ?‘§1 + đ?‘§2 de la primera fila. Dibuja los vectores para cada punto con la herramienta “Vector entre Dos Puntosâ€? Traslada đ?‘§1 respecto al vector formado por el origen y đ?‘§2 .

1. ¿QuÊ número resultó al trasladar �1 con respecto al vector formado por el origen y �2 ? Recuerda: Si en un cuadrilåtero dos lados opuestos son paralelos y congruentes entonces la figura formada es un paralelogramo.

2. ÂżQuĂŠ sucede si unes los cuatro nĂşmeros que graficaste? ÂżQuĂŠ figura se forma?

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3. ÂżQuĂŠ elemento de la figura formada es el vector entre el origen y la suma de ambos nĂşmeros?

4. Si haces lo mismo con los puntos �1 , �2 y �1 + �2 de la segunda fila ¿resulta lo mismo?

Grafiquemos la resta

Realiza lo siguiente con la tabla que hiciste en la secciĂłn dos:

i. ii. iii.

Ubica los puntos đ?‘§1 , −đ?‘§2 y đ?‘§1 − đ?‘§2 de la primera fila. Dibuja los vectores para cada punto con la herramienta “Vector entre Dos Puntosâ€? Traslada đ?‘§1 respecto al vector formado por el origen y −đ?‘§2 .

1. ÂżQuĂŠ nĂşmero resultĂł al trasladar đ?‘§1 con respecto al vector formado por el origen y −đ?‘§2 ?

2. ÂżQuĂŠ es −đ?‘§2 , respecto de đ?‘§2 ?

3. Entonces al restar un nĂşmero, ÂżquĂŠ estĂĄs haciendo?

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Hemos aprendido

1. Algebraicamente: ďƒ˜ Para sumar dos nĂşmeros complejos se realiza por una parte la suma de la parte real y por otra la parte imaginaria. Es decir se suman los tĂŠrminos semejantes como se hacen en las expresiones algebraicas. ďƒ˜ Para restar dos nĂşmeros complejos đ?‘§1 , đ?‘§2 , se realiza la suma de đ?‘§1 con el opuesto de đ?‘§2 . Entonces: đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–

đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–

2 − 4đ?‘–

−3 + 7đ?‘–

−14 + đ?‘–

−2 − 8đ?‘–

−đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;? − đ?’›đ?&#x;?

2. GrĂĄficamente: ďƒ˜ Para obtener la suma entre đ?‘§1 đ?‘Ś đ?‘§2 se trazan paralelas a los vectores formados entre los nĂşmeros y el origen, en đ?‘§1 đ?‘Ś đ?‘§2 . El punto de intersecciĂłn entre dichas rectas es đ?‘§1 + đ?‘§2 . ďƒ˜ Para obtener la resta entre đ?‘§1 đ?‘Ś đ?‘§2 , se realiza la suma entre đ?‘§1 đ?‘Ś −đ?‘§2 . ďƒ˜ El vector entre el origen y đ?‘§1 + đ?‘§2 es la diagonal del paralelogramo formado por los nĂşmeros complejos: _______, _______, _______, _______. Entonces:

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ACTIVIDAD N°3: “¿SERÁ UN ERROR?” Orientaciones metodológicas

Titulo de la actividad: ¿SERÁ UN ERROR? Conceptos clave: conjugado y módulo de un número complejo, suma y resta de números complejos, graficar suma y resta. Fundamentación de la actividad La clase a desarrollar según el ministerio de educación y el marco curricular actual se relaciona en:

Nivel: Tercer año medio.

Eje temático del sector matemática: Números.

Objetivo Fundamental: Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades. Contenido Mínimo Obligatorio: Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos. El objetivo de la actividad es que conjeturen acerca de las propiedades de la suma (y resta) y luego las demuestren utilizando lo que ya conocen acerca de este conjunto numérico. Los estudiantes luego de realizar la actividad conocerán algunas propiedades que cumplen los números complejos con la adición y tendrán la capacidad de demostrar otras propiedades de este conjunto numérico.

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La actividad supone que los estudiantes tiene los siguientes conocimientos previos: conjugado y módulo de un número complejo, operación de suma de números complejos en su forma binómica, graficar números complejos, graficar la suma y resta de números complejos. Al comienzo de la clase se utiliza la estrategia del estudio de caso, y durante la clase se utiliza la estrategia de ejercitación. Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase Inicio Para comenzar la clase se presenta una situación de colegio donde se plantea una propiedad que ellos no conocen, por lo tanto los estudiantes la resolverán con un ejemplo y se darán cuenta que es igual, pero el profesor les tiene que incentivar a ver si basta con probar con un ejemplo para decir que siempre se cumplirá. El objetivo de esta primera parte de la clase es que los estudiantes deben comprobar un "supuesto error" y se darán cuenta que no es error, entonces aquí es importante que el profesor ayude a los estudiantes para que lleguen a probar para cualquier par de números complejos. Se sugiere al profesor que si ve que los estudiantes todavía les cuesta realizar las suma de números complejos, realice otro ejemplo para probar si se cumple también para otros números, para que así practiquen más esta operación y no les cueste realizar la demostración. Desarrollo En la guía se presenta la primera parte de la demostración y el estudiante es quien debe resolver la otra parte, ellos sólo deberán aplicar lo que saben de la suma de números complejos. Se sugiere que el profesor deje que los estudiantes hagan esta parte solos, pero siempre mirando que ellos la resuelvan, y si es que llegan a tener problemas para hacerlo, el profesor los ayuda resolviéndolo con ellos en la pizarra.

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Luego de que los estudiantes demuestren la propiedad, el profesor la muestra grĂĄficamente (hecho en Geogebra), enfatizando como se ve grĂĄficamente que se cumple que đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘§1 + đ?‘§2 . Luego en la guĂ­a se les plantea que quĂŠ pasa si se suma un nĂşmero con su conjugado, y para eso deberĂĄn completar una tabla donde los estudiantes con unas preguntas que estĂĄn planteadas en el material, deberĂĄn concluir que es 2 veces la parte real. Se sugiere al profesor que cuando los estudiantes estĂŠn respondiendo las preguntas, el profesor enfatice lo que pasa con la parte real, para que puedan ver la relaciĂłn que existe. Luego para terminar el estudiante deberĂĄ graficar para que les quede mĂĄs clara esta propiedad. Cuando todos hayan terminado de graficar el profesor proyecta el grĂĄfico para que los estudiantes verifiquen si lo hicieron correctamente. Se sugiere que el profesor utilice el grafico para finalizar demostraciĂłn de la propiedad. DespuĂŠs se les muestra geomĂŠtricamente la resta de un nĂşmero por su conjugado y ellos deben identificar que es lo que pasa analizando la grĂĄfica. Se recomienda al profesor que proyecte el grĂĄfico de la resta, para que todos visualicen y lo analicen todos juntos. Cierre El profesor, una vez terminada toda la actividad, resume las propiedades vistas en la clase, mientras que los estudiantes deben escribirlas en la guĂ­a para que no se les olvide, y lee el cuadro que dice Para la casa, donde se les dice que existen otras propiedades que son đ?‘§1 + đ?‘§2 ≤ đ?‘§1 + đ?‘§2 y đ?‘§1 − đ?‘§2 ≼ đ?‘§1 − đ?‘§2 , y se les pide que busquen como es la demostraciĂłn. No se demuestra en la clase ya que esta propiedad se ve en forma polar, y los estudiantes de enseĂąanza media no ven esta forma, pero es importante que ellos la conozcan.

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Material del estudiante Actividad: â€œÂżSERĂ UN ERROR?â€? Nombre:_________________________________________

Fecha:________

Conceptos claves: numero complejo, conjugado de un nĂşmero complejo, suma y producto de nĂşmeros complejos, demostrar propiedades del conjugado. Recurso: Geogebra. Martina estaba en la clase de matemĂĄtica, cuando la profesora pregunta cĂłmo se resuelve el siguiente ejercicio 2 + 3đ?‘– + 3 − 4đ?‘– Martina responde: "se suman los complejos y luego se calcula el conjugado" Entonces AndrĂŠs, un compaĂąero le dice que se equivocĂł y lo Recuerda que: Si đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– entonces đ?‘§ = đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘–

resuelve en la pizarra de la siguiente manera: 2 + 3đ?‘– + 3 − 4đ?‘– = 2 − 3đ?‘– + 3 + 4đ?‘– = 5 + đ?‘–

1. ÂżCuĂĄl crees que esta correcto? AyĂşdalos y resuĂŠlvelo de la forma que dice Martina.

2 + 3đ?‘– + 3 − 4đ?‘– =

2. ÂżQuien tenĂ­a razĂłn?

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3. ÂżEsto se cumplirĂĄ siempre?

Veamos si se cumple para todo‌ Martina y AndrĂŠs deciden demostrar para ver si se cumple siempre, dĂĄndose los siguientes nĂşmeros complejos: đ?’›đ?&#x;? = đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š y đ?’›đ?&#x;? = đ?’„ + đ?’…đ?’Š , donde đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ nĂşmeros reales. Ellos comienzan con esta parte đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘Ž + đ?‘? + (đ?‘? + đ?‘‘)đ?‘– đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘Ž + đ?‘? − (đ?‘? + đ?‘‘)đ?‘– Resuelve la otra parte de la igualdad para ver si siempre se cumple đ?‘§1 = _____________ y đ?‘§2 = _____________ Entonces: đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? =

1. ÂżSe cumple? Concluye lo realizado

2. Lo que acabas de demostrar para la suma tambiĂŠn se cumple para la resta, compruĂŠbalo đ?‘§1 − đ?‘§2 = đ?‘§1 − đ?‘§2 =

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Ahora veĂĄmoslo geomĂŠtricamente‌. Pon atenciĂłn a lo que tu profesor te mostrarĂĄ ÂĄAcabas de demostrar la propiedad đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? = đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? de manera algebraica y geomĂŠtrica!

ÂżHabrĂĄn mĂĄs propiedades? Luego que Martina y AndrĂŠs se dieron cuenta que era lo mismo lo que discutieron al comienzo de la clase, ellos se preguntan que si el conjugado tendrĂĄ otra propiedad con la suma, entonces se les ocurriĂł sumar un nĂşmero complejo con su conjugado. Para esto realizan una tabla con la suma de estos nĂşmeros. AyĂşdalos completando la tabla.

đ?’›

đ?’›+đ?’›

P. real de đ?’›+đ?’›

P. imaginaria de đ?’› + đ?’›

đ?&#x;’ + đ?&#x;•đ?’Š −đ?&#x;“ − đ?&#x;–đ?’Š đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;—đ?’Š đ?&#x;?+đ?’Š −đ?&#x;‘ + đ?&#x;?đ?’Š

1. ¿QuÊ pasa con la parte imaginaria de � + � ?

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2. ÂżQuĂŠ relaciĂłn hay entre la parte real del resultado de la suma y la parte real del nĂşmero inicial?

3. Ahora realĂ­zalo para đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– y luego grafĂ­calo. Concluye que es lo que se obtiene al realizar đ?‘§ + đ?‘§ .

Mientras Martina y AndrĂŠs estaban concluyendo cuanto es la suma de un nĂşmero y su conjugado, otro compaĂąero dibujo como serĂ­a la resta de un nĂşmero con su conjugado, obsĂŠrvalo y responde la siguiente pregunta.

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4. ÂżQuĂŠ es lo que puedes concluir de la resta mirando el grĂĄfico?

Para finalizar‌ En esta clase hemos demostrado algunas de las propiedades la suma y resta. ¥Escríbelas!: Propiedad

Suma

Resta

Para tu casa: OtrasACTIVIDAD propiedades para la adiciĂłn son: N°4: “BUSCANDO RELACIONESâ€? đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? ≤ đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? y đ?’›đ?&#x;? − đ?’›đ?&#x;? ≼ đ?’›đ?&#x;? − đ?’›đ?&#x;? . ÂĄInvestiga las metodolĂłgicas. demostraciones! Orientaciones

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ACTIVIDAD N°4: “BUSCANDO RELACIONES” Orientaciones Metodológicas Conceptos clave: número real, ecuación de segundo grado, raíces de una ecuación de segundo grado. Fundamentación de la actividad

La clase a desarrollar según el ministerio de educación y el marco curricular actual se relaciona en: 

Nivel: Tercer año medio.

Eje temático del sector matemática: Números.

Objetivo Fundamental: Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades. Contenido Mínimo Obligatorio: Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos. El objetivo de esta actividad es que los estudiantes conjeturen acerca de la multiplicación de complejos a partir de los números reales, por lo que llegaran a la fórmula para resolver el producto de este conjunto numérico, otro objetivo es que ya conociendo la operación del producto puedan demostrar las propiedades del conjugado y del valor absoluto, sabiendo que estas propiedades se cumplen para la suma de números complejos. Los estudiantes luego de realizar la actividad podrán multiplicar dos números complejos, y conocerán las propiedades del conjugado y valor absoluto La actividad supone que los estudiantes tiene los siguientes conocimientos previos: números complejos, conjugado y valor absoluto de un número complejo.

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La estrategia que predomina en esta actividad es la de ejercitaciĂłn, ya que los estudiantes para poder encontrar la fĂłrmula de la multiplicaciĂłn y potencia deben resolver este tipo de ejercicios como producto y potencia de binomios. Y al final de la clase deben resolver distintos ejercicios aplicando lo que aprendieron en la clase. DescripciĂłn en tĂŠrminos metodolĂłgicos para los momentos de la clase Inicio Para comenzar la clase el profesor entrega el material del estudiante, y les consulta como resolverĂ­an una multiplicaciĂłn de 2 nĂşmeros complejos, preguntĂĄndoles si les recuerda a algo que hayan estudiado anteriormente. Los estudiantes responden en la guĂ­a que se les entrego. Luego deben resolver la multiplicaciĂłn de dos binomios, con el fin de dar cuenta que los nĂşmeros complejos tambiĂŠn los son y esa es la forma correcta de resolver la multiplicaciĂłn. Se recomienda que el profesor ponga ĂŠnfasis en la nube que se presenta al final de la secciĂłn, pues asĂ­ podrĂĄn resolver lo siguiente. Si los estudiantes no entienden cĂłmo resolver la multiplicaciĂłn, el profesor puede escribir en la pizarra una multiplicaciĂłn de 2 binomios y luego la de dos nĂşmeros complejos con el fin de que los alumnos puedan asimilar estos dos conceptos. Desarrollo Cuando ya todos se hayan dado cuenta que la multiplicaciĂłn de dos nĂşmeros complejos se puede resolver como multiplicaciĂłn de dos binomios, los estudiantes deben completar la tabla

donde

se

les

pide

que

identifiquen

los

tĂŠrminos

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? y đ?‘‘ de los nĂşmeros entregados en la primera columna, y tambiĂŠn se les pide que resuelven đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ y đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘? con la finalidad de que visualicen que los tĂŠrminos que obtuvieron al resolver la multiplicaciĂłn son đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ y đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?, donde đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ es la parte real del nĂşmero resultante y đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘? es la parte imaginaria. Para que ellos logren descubrir esto, deben ir respondiendo las preguntas que se presentan en la guĂ­a y se sugiere al profesor que vaya enfatizando las similitudes que los estudiantes van descubriendo hasta llegar que đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ + đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘? đ?‘– es la “fĂłrmulaâ€? de cĂłmo se resuelva la multiplicaciĂłn de nĂşmeros complejos.

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En la parte Veamos qué pasa con las potencias los estudiantes deben analizar como resolverían las potencias de números complejos, comparando como lo hicieron con el producto. Para esto en el material del estudiante se encuentra la relación que existe entre la multiplicación y las potencias. Se recomienda al profesor que cuando en la guía aparece un ejemplo de cómo resolver una potencia él la realice en la pizarra por si existe alguna duda de los pasos que se realizaron. También se sugiere que si los estudiantes no recuerdan bien los productos notables se realicen ejemplos en la pizarra. Es importante que el profesor aquí enfatice la relación para que a los estudiantes les quede bien claro y puedan resolver sin ninguna dificultad ya que todo esto ya es materia conocida. Cierre El profesor aquí formaliza todo lo que hicieron en la clase, y enfatizando que como en los complejos se utiliza una letra para representar −1, las operaciones se relacionan con las operaciones de los binomios. Y para que los estudiantes refuercen más este concepto deben resolver los ejercicios que aparecen en la guía. Se sugiere que el profesor les dé tiempo para que resuelvan estos ejercicios individualmente y cuando queden 20 minutos para finalizar la clase salgan algunos estudiantes a resolver los ejercicios en la pizarra.

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Material del estudiante Actividad: “BUSCANDO RELACIONES� Nombre:_________________________________________

Fecha:________

Conceptos claves: nĂşmeros complejos, nĂşmeros reales, potencias, multiplicaciĂłn, productos notables. ÂżCĂłmo lo harĂ­as?

1. ÂżCĂłmo resolverĂ­as (2 + 3đ?‘–) ∙ (5 − 6đ?‘–)? Âż A quĂŠ te recuerda este ejercicio?

2. ÂżPuedes resolver (3đ?‘Ľ + 2) ∙ (−6đ?‘Ľ + 5)? Recuerda que la multiplicaciĂłn de binomios es tĂŠrmino a tĂŠrmino.

3. ÂżObtienes el mismo valor si resuelves (2 + 3đ?‘Ľ) ∙ (5 − 6đ?‘Ľ)?

Como x es una incĂłgnita podemos darle cualquier nombre, entonces reemplacemos la x por đ?‘–, quedando de la siguiente forma: 2 + 3đ?‘– ∙ (5 − 6đ?‘–) ÂĄAhora nos queda expresado como el ejercicio 1. ! Entonces ya puedes resolver una multiplicaciĂłn de nĂşmeros complejos, recordando la multiplicaciĂłn de binomios.

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Ahora resuelve‌

1. Si expresamos los nĂşmeros complejos de la siguiente forma: (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) ∙ (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–). Resuelve la multiplicaciĂłn de los nĂşmeros complejos como aprendiste anteriormente y luego identifica sus componentes.

ResoluciĂłn.

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘

đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?

6 + 2đ?‘– ∙ 1 − 3đ?‘– =

(1 + 2đ?‘–) ∙ (5 + 7đ?‘–) =

(4 + 9đ?‘–) ∙ 7 − đ?‘– =

(3 − 7đ?‘–) ∙ 1 + 3đ?‘– =

2. ÂżQue relaciĂłn puedes observar con respecto a (đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘) đ?‘Ś (đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?) respecto del valor obtenido al resolver la multiplicaciĂłn tĂŠrmino a tĂŠrmino?

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Veamos que pasa con las potencias

1. Y ahora que ya sabes multilplicar, ÂżcĂłmo resolverĂ­as la potencia de un nĂşmero complejo?

2. Como tu ya sabes 1 + 3đ?‘– 2 = 1 + 3đ?‘– ∙ (1 + 3đ?‘–). Ahora lo puedes resolver como multiplicaciĂłn. Recuerda: đ?‘– 2 = −1

3. ÂżY si tuvieras que resolver la potencia 3 de un nĂşmero complejo? ÂżCĂłmo lo harias? ÂżSerĂĄ muy largo el proceso?

Si las multiplicaciones las pudiste resolver como binomios, la potencia de los nĂşmeros complejos la puedes realizar como potencias de binomios.

ÂżTe acuerdas de los productos notables?

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Recuerda: (đ?’‚ + đ?’ƒ)đ?&#x;? = đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’‚đ?’ƒ + đ?’ƒđ?&#x;? (đ?’‚ − đ?’ƒ)đ?&#x;? = đ?’‚đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‚đ?’ƒ + đ?’ƒđ?&#x;? (đ?’‚ + đ?’ƒ)đ?&#x;‘ = đ?’‚đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒ + đ?&#x;‘đ?’‚đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;‘ (đ?’‚ − đ?’ƒ)đ?&#x;‘ = đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒ + đ?&#x;‘đ?’‚đ?’ƒđ?&#x;? − đ?’ƒđ?&#x;‘ ÂĄEsto te servirĂĄ para resolver mĂĄs rĂĄpido las potencias!.

AquĂ­ hay un ejemplo de cĂłmo se resuelve la potencia 2 de un nĂşmero complejo: 5 + 4đ?‘– 2 2= 5 2 2+ 2 ∙ 5 ∙ 4đ?‘– + 4đ?‘– 2 2 5 + 4đ?‘– = 5 + 2 ∙ 5 ∙ 4đ?‘– + 4đ?‘– 5 + 4đ?‘– 2 2= 25 + 40đ?‘– + 16 ∙ đ?‘– 2 2 5 + 4đ?‘– = 25 + 40đ?‘– + 16 ∙ đ?‘– 5 + 4đ?‘– 2 2= 25 + 40đ?‘– + 16 ∙ −1 5 + 4đ?‘– = 25 + 40đ?‘– + 16 ∙ −1 5 + 4đ?‘– 2 2= 25 + 40đ?‘– − 16 5 + 4đ?‘– = 25 + 40đ?‘– − 16 5 + 4đ?‘– 2 = 9 + 40đ?‘–

4. ÂĄAhora intentalo tĂş! 2 + 5đ?‘–

3

=

5. ÂżPuedes obtener 2 + 5đ?‘– 3 (4 − đ?‘–)2 ?

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Formalizando

Lo que aprendimos en esta clase es la forma como se multiplican los nĂşmeros complejos y como se resuelven las potencias, por lo tanto ahora puedes realizar estas operaciones mucho mas rĂĄpido. Resuelve las siguientes operaciones usando la fĂłrmula el producto:

(2 + 8đ?‘–) ∙ 6 + đ?‘– =

(5 + 21đ?‘–) ∙ 13 − 15đ?‘– =

(16 − 3đ?‘–) ∙ −1 − đ?‘– =

(4 + 9đ?‘–) ∙ 7 − đ?‘– =

(−1 + 3đ?‘–)5 =

(1 − đ?‘–)2 =

(2 + 6đ?‘–)3 =

1 − 2đ?‘– 2

4

=

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ACTIVIDAD N°5: “¿QUÉ PROPIEDADES CUMPLE LA MULTIPLICACIÓN?” Orientaciones metodológicas Titulo de la actividad: “¿QUÉ PROPIEDADES CUMPLE LA MULTIPLICACIÓN?”

Conceptos clave: conjugado y módulo de un número complejo, multiplicación de números complejos, demostrar propiedades. Fundamentación de la actividad La clase a desarrollar según el ministerio de educación y el marco curricular actual se relaciona en:

Nivel: Tercer año medio.

Eje temático del sector matemática: Números.

Objetivo Fundamental: Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades. Contenido Mínimo Obligatorio: Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos. El objetivo de la actividad es que conjeturen acerca de las propiedades de la suma (y resta) y luego las demuestren utilizando lo que ya conocen acerca de este conjunto numérico. Los estudiantes luego de realizar la actividad conocerán algunas propiedades que cumplen los números complejos con la multiplicación y tendrán la capacidad de demostrar otras propiedades de este conjunto numérico.

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La actividad supone que los estudiantes tiene los siguientes conocimientos previos: conjugado y mĂłdulo de un nĂşmero complejo, operaciones de nĂşmeros complejos en su forma binĂłmica (suma y multiplicaciĂłn). La estrategia utilizada en esta actividad es la de recuperaciĂłn, evocaciĂłn y utilizaciĂłn de la informaciĂłn, ya que para resolver todo el material el estudiante debe recordar lo que se hizo para la demostraciĂłn de la adiciĂłn. DescripciĂłn en tĂŠrminos metodolĂłgicos para los momentos de la clase Inicio La actividad comienza recordando que una clase anterior demostraron las siguientes propiedades đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘§1 + đ?‘§2 , đ?‘§ + đ?‘§ = 2 â„œđ?‘’(đ?‘§),

�1 + �2 ≤ �1 + �2 , entonces se

les plantea que quĂŠ pasara con la multiplicaciĂłn. Entonces los estudiantes primero ven que pasa con el conjugado de la multiplicaciĂłn con un ejemplo, luego que lo hallan resuelto se van a dar cuenta que es lo mismo, si es que algĂşn estudiante no lo resuelve correctamente, se recomienda al profesor que lo realice en la pizarra. Luego en la guĂ­a se explica que no basta probarlo con un ejemplo, sino que hay que probarlo para unos nĂşmeros mas generales. Es importante que el profesor enfatize la realizacion de las demostraciones, ya que asĂ­ podrĂĄn entender la razĂłn de las relaciones matemĂĄticas y no las vean como una imposiciĂłn.

Desarrollo AquĂ­ los estudiantes deben demostrar la propiedad, se sugiere al profesor que si a los estudiantes tienen dificultad al realizarlo, ĂŠl la realice en la pizarra con la ayuda de los estudiantes. Una vez ya demostrado y que todos los estudiantes la comprendieron, se les pide que conjeturen acerca de la multiplicaciĂłn de un nĂşmero por su conjugado, pidiĂŠndoles que lo relacionen con algo que ellos conocen. El profesor debe ayudar a los estudiantes a hacer dicha relaciĂłn, si es que ellos no pueden realizarla sola. Luego que hayan conjeturado, deberĂĄn completar una tabla con cinco ejercicios de este tipo para que puedan comparar los resultados con su conjetura.

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Luego deberán analizar qué es lo que pasa con el módulo de la multiplicación, se recomienda al profesor que recuerde que es lo que ocurre con el módulo de la suma, para que los estudiantes se planteen si sucederá lo mismo, luego deberán realizar dos ejercicios, donde en ambos calcularán el módulo de la multiplicación y la multiplicación de los módulos. En un tercer ejercicio se le presenta ya hecha una parte y se les pregunta si es necesario calcular la siguiente, o pueden saber antes cual es el resultado, aquí lo más probable es que los estudiantes predigan el resultado, lo importante es que el profesor vuelva a insistir que aunque ellos vean que les dará lo mismo, sólo son conjeturas, porque para que ellos tengan la certeza de lo que resultará es necesario demostrarlo, es por esto que luego los estudiantes lo demuestran. Se sugiere al profesor les dé tiempo a los alumnos para que las conjeturas y demostraciones lo realicen solos, pero siempre que vea que hay dificultad lo ayude realizándolo en la pizarra. Cierre Para finalizar el profesor resume las propiedades vistas en clase, y los estudiantes deben completar una tabla con dichas propiedades. En esta parte el profesor debe decir a sus estudiantes, que estas propiedades junto con las que vieron la otra clase,( propiedades de la suma), no son las únicas, para que así los estudiantes se motiven a querer saber más. Es por esto que se les pide que investiguen las otras propiedades que cumplen los números complejos. El profesor la clase siguiente debe revisar que los estudiantes hayan buscado las propiedades y se sugiere que elija a algunos estudiantes al azar para que se las presenten a sus compañeros.

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Material del estudiante Actividad: â€œÂżQUÉ PROPIEDADES CUMPLE LA MULTIPLICACIĂ“N?â€? Nombre:_________________________________________

Fecha:________

Conceptos claves: nĂşmero complejo, nĂşmero real, conjugado, mĂłdulo, demostrar propiedades.

Recordemos‌

Recordemos que la clase anterior vimos que đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘§1 + đ?‘§2 y đ?‘§ + đ?‘§ = 2 â„œđ?‘’đ?‘Žđ?‘™(đ?‘§) đ?‘§1 + đ?‘§2 ≤ đ?‘§1 + đ?‘§2

ÂżSe cumplirĂĄ igual para la multiplicaciĂłn? Primero veamos para el conjugado.

1. Resuelve y ve si se cumple la igualdad

Recuerda que: đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∙ đ?‘? + đ?‘‘đ?‘– = đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ + đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘? đ?‘–

2 + 5đ?‘– ∙ (1 + 2đ?‘–)

2 + 5đ?‘– ∙ 1 + 2đ?‘–

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2. ÂżSe cumple? Concluye lo realizado.

Como no basta con probar

sĂłlo un ejemplo, podrĂ­amos demostrarlo para muchos

nĂşmeros mĂĄs, pero aĂşn asĂ­ no podrĂ­as decir que se cumple la igualdad, entonces hay que probarlo para cualquier nĂşmero complejo: PruĂŠbalo para cualquier nĂşmero complejo. Sean los nĂşmeros complejos: đ?’›đ?&#x;? = đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š y đ?’›đ?&#x;? = đ?’„ + đ?’…đ?’Š,

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ ∈ â„?

3. Completa las tablas y ve si se cumple para la multiplicaciĂłn.

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 =

đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∙ (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–)

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 =

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 =

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 =

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 =

đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 =

(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) ∙ (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–)

4. ÂżSe cumple? Concluye lo realizado

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Si đ?’› + đ?’› es una propiedad...

1. ÂżQuĂŠ crees que da como resultado si multiplicas un nĂşmero con su conjugado?, Âżcon que operaciĂłn conocida la puedes relacionar?

2. Prueba con los nĂşmeros NĂşmero

Desarrollo de (đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š) ∙ (đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š).

Resultado.

đ?&#x;‘ + đ?&#x;–đ?’Š đ?&#x;? − đ?&#x;“đ?’Š đ?&#x;’ + đ?&#x;—đ?’Š −đ?&#x;? + đ?’Š

3. ÂżQuĂŠ puedes concluir con respecto al resultado que obtuviste de cada multiplicaciĂłn?ÂżQue relaciĂłn tienen los tĂŠrminos del resultado con respecto a los del nĂşmero complejo?

ÂĄEntonces ahora encontraste otra propiedad que cumple el conjugado de los nĂşmeros complejos!, la cual es đ?’› ∙ đ?’› = __________

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Ahora ve que pasa con el valor absoluto de la multiplicaciĂłn

1. ÂżCrees que đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 ≤ đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 ?

2. Comprueba con los siguientes nĂşmeros * Aproxima con dos decimales. Recuerda que si: đ?‘§ = đ?‘Ž + +đ?‘?đ?‘–, entonces đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– =

đ?‘Ž2 + đ?‘?2

a) (11 − 2đ?‘–) ∙ −1 + 7đ?‘–

=

(11 − 2đ?‘–) ∙ −1 + 7đ?‘–

=

b) (8 + 9đ?‘–) ∙ 7 − đ?‘–

=

(8 + 9đ?‘–) ∙ 7 − đ?‘–

=

Y por Ăşltimo, si esta resuelta la primera parte del siguiente ejercicio, ÂżpodrĂ­as asegurar cuanto es la segunda sin tener que resolverla?

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c) (5 + 3đ?‘–) ∙ −2 − 7đ?‘–

=

(5 + 3đ?‘–) ∙ −2 − 7đ?‘–

=

(5 + 3đ?‘–) ∙ −2 − 7đ?‘–

=

−10 + 21 + −35 − 6 đ?‘– = 11 − 41đ?‘– = 112 + 412 = 121 + 1681 = 121 + 1681 = 1802 = 42,45

3. ÂżQuĂŠ pasa con los resultados?, podemos generalizar con estos ejercicios?

Ya que no basta con probar con nĂşmeros, porque no terminarĂ­amos nunca, entonces ahora pruebalo para đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– y đ?‘§2 = đ?‘? + đ?‘‘đ?‘– ;

(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) ∙ đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ ∈ â„?

(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) ∙ đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–

=

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4. ¿Son iguales?

Formalicemos…. Lo que acabas de realizar es demostrar las propiedades del conjugado y del módulo con respecto a la multiplicación. Ahora ya conoces todas las propiedades, por lo tanto estas son:

Propiedades

Conjugado de un Número complejo

Módulo de un número complejo

Suma Producto

Ahora

que

ya

conoces

estas

propiedades, para la próxima clase investiga

que

otras

propiedades

cumplen los números complejos.

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ACTIVIDAD N°6: “RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS DE FRANCISCOâ€? Orientaciones MetodolĂłgicas Titulo de la actividad: “RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS DE FRANCISCOâ€? Conceptos clave: racionalizaciĂłn de radicales, raĂ­ces, multiplicaciĂłn de binomios; nĂşmero complejo: conjugado, multiplicaciĂłn, mĂłdulo, potencias de đ?‘–. FundamentaciĂłn de la actividad La clase a desarrollar apuntarĂĄ a lo propuesto el Marco Curricular actual y se relacionarĂĄ con el nivel de 3er aĂąo medio -plan comĂşn- en el eje de NĂşmeros. Para desarrollar la actividad es necesario que los estudiantes tengan conocimientos previos acerca de racionalizaciĂłn de radicales, raĂ­ces, multiplicaciĂłn de binomios; nĂşmero complejo: conjugado, multiplicaciĂłn, mĂłdulo, potencias de đ?‘–.

Esta clase se enmarca en los Objetivos Fundamentales “Comprender que los nĂşmeros complejos constituyen un conjunto numĂŠrico en el que es posible resolver problemas que no tienen soluciĂłn en los nĂşmeros reales, y reconocer su relaciĂłn con los nĂşmeros naturales, nĂşmeros enteros, nĂşmeros racionales y nĂşmeros realesâ€? y “Aplicar procedimientos de cĂĄlculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de nĂşmeros complejos, formular conjeturas acerca de esos cĂĄlculos y demostrar algunas de sus propiedadesâ€? y los Contenidos MĂ­nimos Obligatorios “ExtensiĂłn de las nociones de adiciĂłn, sustracciĂłn, multiplicaciĂłn, divisiĂłn y potencia de los nĂşmeros reales a los nĂşmeros complejos y de procedimientos de cĂĄlculo de estas operacionesâ€? y “FormulaciĂłn de conjeturas y demostraciĂłn de propiedades relativas a los nĂşmeros complejos, en situaciones tales como: producto entre un nĂşmero complejo y su conjugado; operaciones de adiciĂłn, sustracciĂłn, multiplicaciĂłn, divisiĂłn y elevaciĂłn a potencia con exponente racional de nĂşmeros complejosâ€?

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El propósito de la clase es que el estudiante relacione la división de números complejos con la racionalización de números reales, con el fin de dar cuenta de que para obtener la división entre �1 y �2 se debe multiplicar el dividendo y el divisor por �2 . Para esto es necesario utilizar las habilidades de pensamiento matemåtico: analizar, justificar, conjeturar y calcular según la actividad lo requiera. Se busca fomentar las actitudes de perseverancia y valoración al trabajo personal.

Luego de realizar esta actividad los estudiantes podrĂĄn aplicar el procedimiento de cĂĄlculo para la divisiĂłn de nĂşmeros complejos para cualquier contexto. DescripciĂłn en tĂŠrminos metodolĂłgicos para los momentos de la clase La actividad “RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS DE FRANCISCOâ€? se divide en tres secciones, de acuerdo a los tres momentos de la clase. El propĂłsito de esta actividad es que a partir de una situaciĂłn dada, se guie a los estudiantes hacia la forma de dividir dos nĂşmeros complejos. La estrategia utilizada en la clase es la “simulaciĂłnâ€?, ya que se pretende simular la divisiĂłn de nĂşmeros complejos a travĂŠs de la racionalizaciĂłn, es decir, utilizando el conjugado. Al inicio de la clase se trabajarĂĄ con la secciĂłn â€œÂĄNo recuerdo cĂłmo hacerlo!â€?, en la cual se presentarĂĄ una situaciĂłn, la cual se debe resolver. Los estudiantes deben racionalizarla para obtener el valor que les estĂĄ pidiendo. El docente debe presentar la situaciĂłn (detallada en la guĂ­a), y verificar que todos los estudiantes la entiendan, poniendo ĂŠnfasis en las preguntas nĂşmero 1 y 3, ya que en ellas deben explicar que van a hacer y de quĂŠ forma lo hicieron. Se sugiere que el profesor llegue a un consenso con los pasos que se deben realizar en cada caso, para que si algĂşn alumno no sabe quĂŠ hacer pueda entender y realizarlo. La idea de esta secciĂłn es que el estudiante recuerde que para racionalizar una expresiĂłn algebraica fraccionaria, deben multiplicar el divisor por la misma expresiĂłn pero con el signo cambiado (conjugado).

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En el desarrollo de la clase se trabajarĂĄ en base a la secciĂłn “Parece que lo conocemosâ€?, la cual se centra en racionalizar una nueva expresiĂłn fraccionaria, la cual contiene la −1. La presentaciĂłn de este desafĂ­o tiene como finalidad que los estudiantes comprendan que un nĂşmero complejo se puede racionalizar, y ese proceso es el que se hace para dividir dos nĂşmeros complejos, es decir, que para dividir dos nĂşmeros complejos se debe realizar un proceso similar al de la racionalizaciĂłn. Luego de dar cuenta de eso, es importante que los estudiantes puedan establecer que quedarĂĄ en el numerador, y que en el denominador. Se sugiere tener especial cuidado con las preguntas nĂşmero 2, 3 y 5, pues es importante que establezcan se den cuenta de que lo que estĂĄn haciendo es dividir dos nĂşmeros complejos. AdemĂĄs es importante que la profesora ponga ĂŠnfasis en cĂłmo responden las preguntas 6, 7 y 8, ya que de esa forma pondrĂĄn comprender la formalizaciĂłn de la divisiĂłn. Finalmente en el cierre de la clase se trabajarĂĄ en torno a las secciones “Hemos aprendidoâ€? y “Apliquemos lo aprendidoâ€?, en la primera se formalizarĂĄ lo que se trabajĂł en la clase. Es aquĂ­ donde se presentan la forma de abordar la divisiĂłn de dos nĂşmeros complejos, primero que deben encontrar el conjugado del nĂşmero complejo y multiplicar tanto arriba como abajo, la idea es que los estudiantes lo escriban a partir de la descripciĂłn. Segundo deben escribir como quedarĂ­a finalmente la divisiĂłn, es decir: en el numerador la multiplicaciĂłn entre đ?‘§1 đ?‘Ś đ?‘§2 , y en el denominador el mĂłdulo al cuadrado de đ?‘§2 . Durante la segunda secciĂłn los estudiantes tendrĂĄn que utilizar el procedimiento de cĂĄlculo encontrado, en diversos ejercicios. Cada ejercicio tiene una tabla con el fin de que los estudiantes identifiquen los elementos que deben conocer para poder calcular la divisiĂłn de dos nĂşmeros complejos.

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Material del estudiante Actividad: “RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS DE FRANCISCO� Nombre:_________________________________________

Fecha:________

Conceptos claves: racionalizaciĂłn de radicales, raĂ­ces, multiplicaciĂłn de binomios; nĂşmero complejo: conjugado, multiplicaciĂłn, mĂłdulo, potencias de đ?‘–.

ÂĄNo recuerdo cĂłmo hacerlo! ÂĄHola!, soy Francisco y tengo que resolver algunos ejercicios para el colegio, el primero es: 5 = 4+ 5

Al verlo, Francisco no sabe quĂŠ mĂĄs puede hacer en dicho ejercicio.

1. ÂżQuĂŠ mĂĄs puede hacer ahĂ­, para no tener 5 en el denominador?

2. ÂżCuĂĄnto quedarĂ­a si la racionalizo?

3. ÂżQuĂŠ pasos hiciste, para obtener ese valor?

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Parece que lo conocemos El segundo ejercicio que le dieron es el siguiente: 2 − −1 = 5 + −1

1. Racionalízalo y obtén su valor.

2. ¿Qué número conoces, cuyo valor es −1?

3. Entonces, ¿qué tipo de números son el numerador y el denominador de la fracción dada?

4. Escribe la fracción reemplazando −1 por el número que conoces. 2− 5+

=

5. ¿Qué operación aritmética estamos realizando?

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6. Resuelve la divisiĂłn de forma similar a como lo hiciste racionalizando en la pregunta 1.

7. ÂżPor quĂŠ nĂşmero se multiplica la divisiĂłn tanto en el numerador como el denominador?

8. ÂżQuĂŠ resulta al multiplicar un nĂşmero complejo con su conjugado?

Hemos aprendido Para dividir nĂşmeros complejos, lo que hacemos es el mismo proceso que realizamos al đ?‘Ž+ đ?‘?

racionalizar fracciones del tipo đ?‘?+

đ?‘‘

con đ?‘?, đ?‘‘ ∈ â„?+ .

Es decir para dividir dos nĂşmeros complejos đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– y đ?‘§2 = đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–. 1. Se multiplica đ?‘§1 y đ?‘§2 por el _______________ de đ?‘§2 . đ?‘§1 đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– = = đ?‘§2 đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–

=

2. Finalmente la división de �1 y �2 es la multiplicación del �1 con el conjugado de �2 y dividido por el ____________ al cuadrado de �2 . �1 = �2

=

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Apliquemos lo aprendido

Divide los siguientes nĂşmeros complejos, para ello completa la tabla y obtĂŠn el valor final.

đ?&#x;•âˆ’đ?&#x;?đ?’Š

1. Se tiene đ?&#x;“+đ?&#x;’đ?’Š đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?’›đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;?

Entonces 7−2đ?‘– 5+4đ?‘–

=

đ?&#x;•âˆ’đ?&#x;?đ?’Š

2. Se tiene đ?&#x;“+đ?&#x;’đ?’Š đ?’›đ?&#x;?

Entonces 7−2đ?‘– 5+4đ?‘–

=

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−𝟓𝒊

3. Se tiene −𝟖−𝒊 𝒛𝟏

𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝟐

𝒛𝟏 𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝟐

𝒛𝟏 𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝒛𝟐

𝟐

𝒛𝟏 𝒛𝟐

Entonces −𝟓𝒊 −𝟖−𝒊

=

4. Se tiene

−3𝑖 2 (1−2𝑖) 2+2𝑖

𝒛𝟏

Entonces −3𝑖 2 (1−2𝑖) 2+2𝑖

5. Se tiene 𝒛𝟏

=

−3+5𝑖 −𝑖

Entonces −3+5𝑖 −𝑖

=

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CONCLUSIÓN Después de la investigación efectuada para realizar la gestión del eje, nos pudimos dar cuenta que hay muy poco de números complejos aplicados para la enseñanza media, ya que lo que se encuentra de conceptos aplicables, es por ejemplo, para el ámbito de electricidad, pero no se puede adaptar para enseñanza media ya que los contenidos son muy enfocados en la especialidad. Lo que más se encuentra es la parte conceptual de este contenido, entonces uno debe adaptar esto de una manera que llame la atención a los estudiantes, con problemas contextualizados, que ellos descubran el conocimiento ya que así se logrará un aprendizaje significativo. El trabajo realizado ha resultado ser satisfactorio en vista y consideración que los objetivos propuestos desde un principio fueron logrados correctamente. La planificación del eje (previo análisis didáctico) ha sido fundamental al momento de diseñar y gestionar las seis actividades. Se intentó con estas últimas lograr un aprendizaje en que el estudiante a modo de exploración pueda ir adquiriendo nuevos conceptos matemáticos o reconociendo patrones en ciertos procesos y procedimientos que le ayuden a institucionalizarlo mediante la sistematización. La enseñanza de la matemática no puede parecer árida y poco interesante, esto sólo provoca en los alumnos un desencanto por aprender y por consiguiente no explotan sus reales potenciales simplemente porque no se sienten desafiados a hacerlo. El rol del profesor es precisamente propiciar instancias de aprendizaje significativo en los estudiantes, motivarlos, desafiarlos, hacerles saber de lo que son capaces (esto muy pocas veces sucede e incluso en ocasiones algunos docentes apocan al alumno, coartando su calidad de aprendizaje) y ayudarlos en la tarea de construir la matemática. La integración curricular de las TICs a las aulas de clases juega un papel fundamental en la educación, la que continuamente se enfrenta a un proceso de adaptación al medio, la sociedad, la ideología, la tecnología y a la globalización. Finalmente el material confeccionado puede resultar en un buen aporte a la labor del docente, si se es asertivo en su utilización.

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BIBLIOGRAFÍA  Gobierno de Chile, Ministerio de educación. (Actualización 2009). Curriculum, objetivos fundamentales y contenidos mínimos obligatorios de la educación básica y media. Santiago.

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http://ima.ucv.cl/pdf/ag1/cap4.pdf

 Osés, Jorge. (2004) Los números complejos. Bogotá, Colombia: Departamento de Matemáticas

-

Universidad

de

los

Andes.

[Documento

WWW].

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http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/archivos/Complejos.pdf

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ANEXOS

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andrea  

ajsjadbadhasbdhdbd

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