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NOTA DE CLASE: TRATAMIENTO DE VARIANZAS DE VARIABLES COMPUESTAS MIXTAS (o “Compuestas Ponderadas”) Consigna del examen Final de Mayo 2009: Albatros Seguros Generales cuenta con dos carteras de riesgos independientes, donde: •

Cartera Zona Norte: El número total de daños responde a una variable aleatoria Poisson con valores medios comprendidos entre 200 y 250, de conformidad con una distribución continua uniforme, y con valores posibles de daño de $5.000, $10.000 y $15.000, con probabilidades del 60%, 30% y 10% respectivamente. Se tiene una franquicia del 10% del daño y una indemnización máxima de $10,000.

El objetivo final es llegar a la Esperanza y la Varianza de las Siniestralidad indemnizada Total de la Cartera, por lo que será necesario encontrar la varianza y la esperanza de las variables: Frecuencia e Intensidad (Costo siniestral individual, dado que hubo siniestro). Como se ve, la variable Frecuencia presenta una distribución Poisson con su parámetro Lambda ponderado uniformemente entre los valores 200 y 250. Éste parámetro ponderado podemos interpretarlo de dos maneras distintas: A) Asumiendo que es ese mismo parámetro el que fluctúa entre 200 y 250:

λ ~ U[200;250] ~

B) Asumiendo que hay una variable de ponderación “k” que está atada a un valor fijo del parámetro Lambda, la cual le genera esa fluctuación:

(λ k ) ~ U[200;250] ~

Y en el cual se asumirá que la variable de ponderación cumplirá con la propiedad:

E( k ) = 1 ~

Por lo tanto, se encuentra que el valor fijo del parámetro Lambda es:

{

}

λ = E λ ~ U[200;250] = ~

[250 + 200] = 225 2

Conociendo ésto, se puede definir el campo de fluctuación de la variable de ponderación, transformando la escala de los valores, de la siguiente forma:

Esperanza del Lambda Ponderado 200 200/225

225 225/225 = 1

250 250/225 Esperanza de la variable de ponderación K

1


Y se puede calcular su Esperanza y Varianza: 225  250 200  E (k ) =  + /2= =1  ~ 225  225 225  2

1  250 200  V (k ) =  − / 12 = = 0,004115226  ~ 243  225 225 

Ahora que ya definimos a la variable de ponderación K, podemos empezar a calcular la Esperanza y la Varianza de la Frecuencia (“N”), usando las siguientes fórmulas, propias para la Poisson: E ( N ) = E ( k ) * E[ Poisson(λ = 225)] ~

V ( N ) = E ( k ) *V [ Poisson(λ = 225)] +V ( k ) * E 2 [ Poisson(λ = 225)] ~

~

Lo importante en estas 2 fórmulas es ver que: -

No se está pidiendo la esperanza y la varianza del parámetro Lambda fijo, ya que la varianza del Lambda fijo sería igual a cero. ni la esperanza y varianza del parámetro Lambda variable. En el caso de distribución Poisson, hay que tener especial cuidado, ya que muchas veces los resultados se podrían repetir o implicar varias cosas a primera vista.

…sino que se requiere incluir en las fórmulas: “la Esperanza y la Varianza de una distribución Poisson cuyo parámetro Lambda es particularmente igual al Lambda FIJO”. Se ve claramente que: E[ Poisson (λ = 225)] = λ = 225 E 2 [ Poisson (λ = 225)] =[λ]2 =[ 225]2 =50.625 V [ Poisson (λ = 225)] = λ = 225

Entonces, reemplazando en las fórmulas de Frecuencia presentadas arriba: E ( N ) = E ( k ) * E[ Poisson(λ = 225)] ~

E ( N ) = 1* 225 = 225 V ( N ) = E ( k ) *V [ Poisson(λ = 225)] +V ( k ) * E 2 [ Poisson (λ = 225)] ~

V ( N ) = 1* 225 +

~

1 ˆ = 433,3 ˆ * 50.625 = 225 + 208,3 243

Aclaración: el desarrollo de la varianza de una variable Poisson Compuesta Mixta también se puede hacer según las fórmulas de la Varianza Total (“Esperanza de Varianzas del Proceso + Varianza de las Medias Hipotéticas”), que se ve en Actuarial 2, del libro Credibility de Herzog. Aunque el resultado que se alcanza es el mismo, mi recomendación es no aplicar ese método, a menos que sea estrictamente necesario – para las otras distribuciones- , ya que considero que requiere mayor dificultad en la identificación de conceptos, y además, no permite mostrar el efecto de la variable de ponderación asociada al parámetro a ponderar.

2


Y ahora, resta lo más sencillo, que es encontrar esperanza y varianza de la variable Costo Siniestral Individual (“X”)(en base “payment per payment”, es decir, “costo del siniestro individual dado que hubo siniestro”).

Probabilidad 60% 30% 10%

Daño (PPP) 5.000 10.000 15.000

Indemnización (PPP) 4.500 9.000 10.000

E ( X ) = 0,6 * 4.500 + 0,3 * 9.000 + 0,1*10.000 = 6.400 E ( X 2 ) = 0,6 * 4.500 2 + 0,3 * 9.000 2 + 0,1*10.000 2 = 46.450.000 V ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 46.450.000 − 6.400 2 = 5.490.000

Y finalmente, con estos datos, podemos llegar a los valores de esperanza y varianza de la Siniestralidad Total de la Cartera (“S”), aplicando estas fórmulas ya conocidas: E (S ) = E ( N ) * E ( X ) V ( S ) = E ( N ) *V ( X ) +V ( N ) * E 2 ( X )

Y los resultados son: E ( S ) = 225 * $6.400 =$1.440.000 ˆ * 6.400 2 =18.984.583.333,3 ˆ V ( S ) = 225 * 5.490.000 +433,3

Ahora, veamos el caso de una Binomial Compuesta ponderada: Consideraciones: - Como la distribución binomial tiene dos parámetros, “n” y “q”, típicamente se espera que la ponderación se produzca en uno de ellos a la vez. -

La característica de sus parámetros impide que se siga utilizando la fórmula de cálculo de varianza escrito en el recuadro de la página 2, lo que obligaría a usar la fórmula de Varianza Total.

-

Podría haber casos (infrecuentemente en los exámenes) que se mostrara una ponderación de ambos parámetros al mismo tiempo. Veamos un ejemplo:

Consigna del 2do Parcial, 27/11/2006, “El Conejo”: • La cartera I cuenta con una cartera con distribución binomial ponderada con i) un número anual máximo de siniestros de 20 y número esperado de 10 con probabilidad del 70% y ii) 24 y número esperado de 14 con probabilidad del 30%, cada siniestro solo puede tomar un valor de $5.000.- Se tiene igual cobertura de reaseguro de exceso de perdida y costo, que en el caso anterior.

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Proces o

Probabilidad Valor de "n"

A B

70% 30%

20 24

Media Hipotética

Varianza del Proceso

=n*q

=n*q*p

valor de "q"

0,5 0,583

10 14

5 5,8333

E(Frecuencia) = E(M.H.) = 0,70 * 10 + 0,30 * 14 = 11,2 E(V.P.) = 0,70 * 5 + 0,30 * 5,8333 = 5,25 E(M.H.) = 0,70 * 10 + 0,30 * 14 = 11,2 E(M.H.²) = 0,70 * 10² + 0,30 * 14² = 128,8 V(M.H.) = E(M.H.²) - E² (M.H.) = 128,8 – 11,2² = 128,8 – 125,44 = 3,36

Por lo tanto, V(Frecuencia) = E(V.P.) + V(M.H.) = 5,25 + 3,36 = 8,61 [una vez que se tiene esperanza y varianza de N, se seguiría calculando esperanza y varianza de X, para después llegar a esperanza y varianza de S; no voy a presentar esos cálculos en este resumen].

-

A diferencia de lo visto para el caso de la distribución Poisson y su parámetro Lambda, la Binomial no permite que su parámetro “n” sea ponderado de acuerdo a una distribución continua (por ejemplo, la uniforme “pura”), ya que “n” debe siempre representar números enteros. En este caso, si me dijeran que “n” se distribuye uniformemente, habría que discretizar sus valores posibles. No pasa este problema en el caso del parámetro “q”, que sí podría ser ponderado, con una distribución uniforme, entre 0 y 1.

Ejemplo: Una cartera de riesgos con una probabilidad de siniestrarse del 2%, a siniestro único, cada uno, presentará una cantidad de pólizas contratadas sujeta a una distribución uniforme (discretizada) entre 95 y 105. La intensidad individual de siniestro se distribuye de la forma (…..)

Proceso

Probabilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11 1 / 11

Valor de "q"

0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02

Valor de "n"

95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

Media Hipotética = n*q

1,9 1,92 1,94 1,96 1,98 2 2,02 2,04 2,06 2,08

Varianza del Proceso = n*p*q

1,862 1,8816 1,9012 1,9208 1,9404 1,96 1,9796 1,9992 2,0188 2,0384

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11

1 / 11

E(N)= E(MH) = 2

0,02

105

2,1

2,058

(“N” es cantidad de siniestros de la cartera compuesta)

E(VP)= 1,96 E(MH) = 2,00 E(MH²) = 4,004 V(MH)= E(MH²) - E²(MH) = 4,004 – 2² = 0,004

V(N)= E(VP) + V(MH) = 1,96 + 0,004 = 1,964

CASO POLYA Hay dos situaciones particulares de la distribución Poisson Compuesta Ponderada en las que se facilita mucho su operatoria. Estas dos son: I) II)

Una dist. Poisson cuyo parámetro Lambda se pondera siguiendo una distribución Gamma. Una dist. Poisson cuyo parámetro Lambda se pondera siguiendo una distibución Exponencial (es decir, una Gamma con α = 1).

Para el primer caso, llamado “Caso Polya”, la distribución resultante de esa Poisson con Lambda ponderado como Gamma (con cualquier valor de parámetros α y β), es decir, la distribución final de la Frecuencia, será exactamente igual a una distribución Binomial Inversa. Para el segundo caso (que es un extremo del Polya), la distribución resultante de aquella Poisson con Lambda ponderado como Exponencial (de cualquier valor de parámetro β), es decir, la distribución final de Frecuencia, será exactamente igual a una distribución Geométrica. Aclaración: estas relaciones se van a comprobar siempre que se trabaje con distribución una Gamma o Exponencial no truncada; si nos dijeran que la distribución del parámetro estuviera truncada, estas relaciones ya no se darían. No hay que confundirse con las eventuales distribuciones Gamma o Expo. que se establecieran para la variable Intensidad de Costo siniestral (son 2 cosas no relacionadas).

Estos casos particulares simplifican mucho los cálculos y la comprensión general de la frecuencia, porque: A) B)

convierten la distribución ponderada en una distribución discreta simple y conocida, que se puede calcular por unidad exacta, o, en los casos más difíciles (para valores de “n” muy grandes), aplicando el método de recurrencia de Panjer. Ya son conocidas sus fórmulas básicas de Esperanza y Varianza.

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Poisson con Lambda ponderado como Gamma

Poisson con Lambda ponderado como Exponencial Acumulación de “α” Exponenciales

Exponencial

Gamma Gamma con α=1

α =1 h=1

α=h Acumulación de “h” Geométricas

Geométrica Bin.Neg. con h=1 Dist. de Frecuencia: Geométrica

Binomial Negativa Dist. de Frecuencia: Bin. Neg.

Definición de fórmulas: Los 4 tipos de distribuciones presentadas arriba pueden encontrarse de varias maneras. Para que estas relaciones se verifiquen, se tendrá que usar las siguientes expresiones para cada una: Exponencial:

Gamma:

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f (X ) =

1

β

* e −x / β

f (X ) =

xα−1β−αe −x / β Γ(α)

M ( X ; t ) =(1 −βt ) −1

M ( X ; t ) = (1 −βt ) −α

E ( X ) =β

E ( X ) =α* β

V ( X ) =β

2

V ( X ) =α* β2

Geométrica:

Binomial Negativa:

pr ( N = n) = p * q n ≥0

 p M (N; t) = 1 − q * et  q E(N ) = p V (N ) =

 n + h −1 h n  pr ( N = n) =   * p * q n   n ≥0

n

   

q p2

Valores a reemplazar en la Geométrica: λ q= 1+λ 1 p= 1+λ

(“p” es “éxito”; en general: p < q )

 p M (N;t) =  1 − q * e t  q E(N ) = h * p q V (N ) = h * 2 p

h

   

Valores a reemplazar en la Bin. Neg.: λ α +λ α p= α +λ

q=

(“p” es “éxito”; en general: p < q )

Para Recordar: el parámetro que define “verdaderamente” a una distribución Gamma es su Alfa; el parámetro Beta funciona como una “tasa de cambio”, que no afecta la forma de la distribución, sino que sólo produce cambios de escala en el dominio. En los casos en los que el parámetro Lambda de Poisson fuera ponderado como una dist. Gamma, parecería ser que la variable de ponderación K, cuyo promedio arbitrario es igual a 1, sería en general incompatible con una distribución Gamma, pues la obligaría a presentar sus valores de Alfa y Beta como inversos; éste problema se resuelve reacomodando el Beta, dada su característica de “tasa de cambio”. Ejemplo: Poisson ponderada, con un Lambda que se distribuye como Gamma (2;8). α =2 β =8

λ =λ k ~

~

λ = E (λ ) = 2 * 8 = 16 ~

E (k ) = 1 = ~

α *β 16

Se necesita hacer una conversión del parámetro Beta (que es un factor de amplitud); la Gamma mantiene su distribución de acuerdo al parámetro Alfa.

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βm =

β

← →1 = α * βm 16 ⇒ βm = 8 / 16 = 0,5 ahora : E ( k ) = 1 = α * βm = α * ~

β 16

= 2 *8*

1 =1 16

V ( k ) = α * ( βm ) 2 = 2 * (0,5) 2 = 0,5 ~

Y llegamos a los resultados:

E ( N ) = E ( k ) * E[ Poisson(λ = 16)] = 1*16 = 16 ~

V ( N ) = E ( k ) *V [ Poi (λ = 16)] + V (k ) * E 2 [ Poi(λ = 16)] = 1*16 + 0,5 *16 2 = 16 + 128 = 144 ~

~

Por método de Polya: −

λ =16 α =2 =h β =8

La Binomial Negativa es:  n + h −1  pr ( N = n) =  * ph * qn   n   n ≥0 λ 16 8 q= = = λ + α 16 + 2 9

p=

α 2 1 = = λ + α 16 + 2 9

Aplicando las fórmulas básicas de la BN: E(N ) = h *

q 8/9 = 2* = 2 * 8 = 16 p 1/ 9

V (N ) = h *

q 8/9 8 92 = 2 * = 2 * * =144 p2 (1 / 9) 2 9 12

Llegamos a los mismos resultados. EXTRA: Comprensión de consignas de examen: -

Geométrica Truncada:

Consigna del 2do Parcial 24/11/08, “La Serenata”: • 200 riesgos son del tipo I, cada uno tiene un distribución del número de siniestros conforme con una distribución Geométrica truncada con un máximo de tres siniestros posibles y un número medio de 0,09, cada siniestro puede tomar una cuantía de $300, 600 y 900, con probabilidades del 50%, 30,% y 20% respectivamente,

Si me dicen que el número medio de esta distribución geométrica truncada es igual a 0,09, no me está diciendo que voy a poder deducir los parámetros de la misma aplicando la fórmula

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básica (que se muestra en la página 7). Va a ser necesario encontrar el parámetro que resuelva la siguiente ecuación: * E ( N Geom ) = 0,09 = 0 * pr (0) +1* pr (1) + 2 * pr (2) + 3 * [1 − F (2)] * E ( N Geom ) = 0,09 = 0 * [ p ] +1* [ pq1 ] + 2 * [ pq 2 ] + 3 * [1 − ( p + pq + pq 2 )]

Sabiendo que p = (1-q), habrá algún valor de q factible que resuelva esta ecuación; ése será el valor del parámetro de la distribución a trabajar. Para encontrar la varianza, antes se busca el momento segundo, usando ese valor de p.

E ( N 2*Geom ) = 02 * pr (0) + 12 * pr (1) + 22 * pr (2) + 32 *[1 − F (2)] E ( N 2*Geom ) = 02 *[ p] + 12 *[ pq1 ] + 22 *[ pq 2 ] + 32 *[1 − ( p + pq + pq 2 )] •

Poisson Truncada: Consigna del 2do Parcial 24/11/08, “La Flor del Plata”: 100 riesgos del tipo I, cada uno tiene un distribución del nro. de siniestros conforme con una distribución Poisson truncada con un máximo de tres siniestros posibles y un número medio de 0,09, cada siniestro puede tomar una cuantía de $300, 600 y 900, con probabilidades del 50%, 30,% y 20% respectivamente,

Se resuelve de forma muy similar al caso anterior: * E ( N Poi ) = 0,09 = 0 * pr (0) +1* pr (1) + 2 * pr ( 2) + 3 * [1 − F (2)]

  e −λ λ0 e −λ λ1 e −λ λ2   e −λ λ0   e −λ λ1   e −λ λ2  *  E ( N Poi ) = 0,09 = 0 *  + 1 * + 2 * + 3 * + + 1 −       1! 2!   0!   1!   2!    0!

…………

9


Varianzas de distribuciones compuestas mixtas