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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g SOLUÇÃO – MATAMÁTICA BÁSICA EXERCÍCIOS PROPOSTOS NÍVEL 1 E1. SOLUÇÃO: a = 2300 mm = 2300 ∙ 10-3 m = 2,3 m; b = 160 cm = 1,6 m. Logo, em metros, a = 2,3 e b = 1,6. RESPOSTA: LETRA B. E2. SOLUÇÃO: I – Podemos fazer uma operação em ambos os lados, sem alterar a desigualdade. 3 2000 =(3²)1000 = 91000 e 23000 = (23)1000 = 81000 . E 91000 > 81000. Logo, a alternativa é falsa. II – Todo número negativo elevado a um expoente par, torna-se positivo. Como todo número positivo é maior do que um negativo, a alternativa é verdadeira. III –2/3 < (2/3)²  2/3 < 4/9  0,66.. < 0,44.. . Falso, pois 0,66 > 0, 44. Isso se deve ao fato de a fração 2/3 ser menor que 1, logo quando elevada ao quadrado se tornará ainda menor. I – Podemos fazer uma operação em ambos os lados, sem alterar a desigualdade. 32000 =(3²)1000 = 91000 e 23000 = (23)1000 = 81000 . E 91000 > 81000. Logo, a alternativa é falsa. II – Todo número negativo elevado a um expoente par, torna-se positivo. Como todo número positivo é maior do que um negativo, a alternativa é verdadeira. III –2/3 < (2/3)²  2/3 < 4/9  0,66.. < 0,44.. . Falso, pois 0,66 > 0, 44. Isso se deve ao fato de a fração 2/3 ser menor que 1, logo quando elevada ao quadrado se tornará ainda menor. RESPOSTA: LETRA B. E3. SOLUÇÃO: Se ele possui 40 divisores inteiros, então ele possui 20 divisores positivos e 20 negativos. Lembre-se que quando utilizamos a fórmula da quantidade de divisores, calculamos apenas os positivos. Como o número K já esta na forma fatorada, para saber a quantidade de divisores basta somar 1 ao expoente de cada primo, e multiplicá-los. (3+1)(x+1) = 20 x + 1 =5 x = 4, que é um quadrado perfeito. RESPOSTA: LETRA D. E4. SOLUÇÃO: 111 da base 2 para a base 10, será igual a: 1∙2² + 1∙2¹ + 1∙20 = 4 + 2 + 1 = 7. RESPOSTA: LETRA A. E5. SOLUÇÃO: Se o numero é divisível por 20, então é divisível por 10, pois 20 = 2∙10. De acordo com a regra de divisibilidade, para ser divisível por 10 tem que terminar em 0. Logo, k = 0. RESPOSTA: LETRA E. E6. SOLUÇÃO: Para encontra a metade desse número, basta dividi-lo por 2. Transformando 4 em uma potência de 2, teremos:

RESPOSTA: LETRA A.

E7. SOLUÇÃO: Fatorando 168, teremos: D(168) = (3+1)(1+1)(1+1) = 4.2.2. = 16.

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. Logo, a quantidade de divisores positivos de 168 será:

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: 16. E8. SOLUÇÃO: Para encontrar o menor número possível, devemos fazer algumas suposições: ele não poderá ser formado por um único primo do tipo , pois o expoente teria que ser: x + 1 = 15, x = 14. Teríamos 2, ou 3, ou 5, ou qualquer outro primo elevado a 14, o que seria um número muito grande. Se ele for formado por 2 primos, esses deverão ser os menores possíveis. Sendo assim, o número é formado por 2 e 3. Perceba que se trocarmos um desses por qualquer outro primo, o resultado será um número maior, e como queremos o menor, faz sentido escolhermos apenas esses dois. Com essas premissas, chegamos à conclusão de que o número é do tipo: e esse numero possui 15 divisores, assim teremos que: (x+1)(y+1) = 15 = 3x5. Queremos que esse número seja o menor possível, logo ele deve ter maior expoente no menor fator, que é o 2. Então x + 1 = 5  x = 4 e y + 1 = 3  y = 2. Nosso número será . RESPOSTA: 144. E9. SOLUÇÃO: Antes, cada pessoa iria pagar 750/ 15 = 50 reais. Mas como 3 pessoas saíram, ele terão que pagar 750/12 = 62,50 reais. Fazendo uma regra de três, temos: 50 reais – 100% 62,5 reais – x%  x = 6250/50 = 125%. Logo, cada pessoa pagou 25% a mais. RESPOSTA: LETRA C. E10. SOLUÇÃO: I – Verdadeiro. Por definição de inequação modular. II – Falso. Se z for um número negativo inverte-se a desigualdade. III – Verdadeiro. Por definição de módulo. IV – Falso. Um contra exemplo seria x = 2 e y = - 2, que elevados ao quadrado têm o mesmo resultado, igual a 4. RESPOSTA: LETRA D. E11. SOLUÇÃO: De acordo com a questão, temos duas situações. Vamos escrevê-las e encontrar alguma

relação entre elas. Perceba que não temos a quantidade de salas iniciais, sendo assim vamos chamar essa quantidade de “x”. Então: Situação 1: x salas 30 cadeiras por sala Logo teremos 30x cadeiras no total. Mas uma das salas possui 20 carteiras vazias, então a quantidade de alunos é 30x – 20. Situação 2: x – 4 salas 40 cadeiras por sala 40(x-4) = 40x – 160 cadeiras no total, e nessa situação a quantidade de cadeiras é igual a quantidade de alunos. Como ambas as situações retratam a quantidade de alunos, podemos igualá-las: 30x – 20 = 40x – 160 10x = 140 x = 14. Substituindo x em qualquer uma das expressões: 30∙14 – 20 = 240 – 20 = 400. Logo, a quantidade de alunos é igual a 400. RESPOSTA: LETRA C.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g E12. SOLUÇÃO: Uma forma de descobrir se um número é divisível por 11, é somar os algarismos de ordem ímpar e subtrair pela soma dos algarismos de ordem par. Se a diferença for um múltiplo de 11, é porque o número é divisível por 11. Por exemplo, o número xywz, onde x, y, w e z são algarismos, será divisível por 11 se (z + y) – (w + x) for um múltiplo de 11. Logo, o número abcabc será sempre divisível por 11, pois (c + a + b) – (b + c + a) = 0, que é múltiplo de 11. RESPOSTA: LETRA A. E13. SOLUÇÃO: O produto de 4 números consecutivos pode ser escrito como: n(n+1)(n+2)(n+3), perceba agora que em 4 números consecutivos sempre teremos um múltiplo de 2, de 3 e de 4, pois encontramos esses números respectivamente de 2 em 2, de 3 em 3 e de 4 em 4. Se o número é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo, a soma dos seus dígitos deve ser divisível por 3 e os últimos dois números deve ser um número divisível por 4, a única opção que contém um número que satisfaz essa condição é o 1680, 1+6+8 = 15 que é divisível por 3 e 80 que são os últimos dois números é divisível por 4. Para comprovar, fatoramos 1680: 24∙3∙5∙7 = 5∙ (2∙3)∙7∙2³ = 5∙6∙7∙8. RESPOSTA: LETRA E. E14. SOLUÇÃO: Como se trata do produto das idades, vamos fatorar o número para chegarmos a uma conclusão: 16555 = 5.7.11.43 Sendo assim, as filhas terão as idades 5, 7 e 11 e a mãe terá a idade de 43 anos. A idade da filha maior subtraída da menor será igual a 11- 5 = 6. RESPOSTA: LETRA C. E15. SOLUÇÃO: Para resolver essa questão devemos verificar quanto uma grandeza equivale em relação a outra, para isso vamos começar do fim e chegar no começo por regras de três encontrando assim quantidades equivalentes de moeda, teremos: 360 negroponte – 240 corfu 666 negroponte – x De tal forma que x = 444 corfu, encontramos 666 negropontes em corfu 180 veneza – 150 corfu y Veneza – 444 corfu De tal forma que y = 532,8 venezas, encontramos 666 negropones em venezas 100 modernas – 115 venezas z modernas – 532,8 venezas De tal forma que z = 463,3 modernas Sendo assim o valor que mais se aproxima é de 666 liras de negroponte é 463 liras modernas. RESPOSTA: LETRA E. E16. SOLUÇÃO: 1111 na base 2 para a base 10, será: 1.2³ + 1.2² + 1.2 + 1. = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 RESPOSTA: LETRA C. E17. SOLUÇÃO: Decompondo o número 1200 em fatores primos, temos: 1200 = 24∙3∙5² = 2³∙2¹∙3¹∙5². Para que 1200∙x seja um cubo perfeito, quando o decompomos em fatores primos, os expoentes devem ser múltiplos de 3. Então x = 2²∙3²∙5, pois 1200∙x = 2³∙2¹∙3¹∙5²∙2²∙3²∙5 = 2³∙2³∙3³∙5². Logo, x = 4∙9∙5 = 180. RESPOSTA: LETRA C. E18. SOLUÇÃO: Sendo x o alcance, em metros, do primeiro salto, devemos ter: x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4  3x – 3,9 = 17,4  3x = 21,3  x = 7,1. Assim, o alcance no primeiro salto deve estar em ter 7,0 m e 8,0 m. RESPOSTA: LETRA D.

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NÍVEL 2 E19. SOLUÇÃO: Para descobrir sobre a quantidade de divisores de 17640, que por sua vez são divisíveis por 3, primeiramente devemos fatorá-lo: 17640 = . Pela fórmula da quantidade de divisores, sempre iremos somar 1 ao expoente de cada potencia e multiplicá-los. Somar 1 se deve ao fato de que o número pode aparecer tais vezes, OU NÃO APARECER. Então se queremos que o número sempre seja múltiplo de 3, devemos NÃO SOMAR 1 para a potência de 3. Fazendo isso, teremos certeza de que sempre teremos ou um 3 ou dois 3 compondo o número. Assim, a quantidade de divisores de 17640 que são divisíveis por 3 é: (3+1)(2)(1+1)(2+1) = 4.2.2.3 = 48. RESPOSTA: LETRA C. E20. SOLUÇÃO: Para m² - 2 dividir 2004, deve ser um de seus divisores, então fatoramos 2004 e igualamos m² - 2 aos seus divisores, que são: 1,2,3,4,12, 167, 501,668, 1002 e 2004. Logo, para m² - 2 ser igual a todos esses resultados, vamos somar 2 em cada parcela e ver os que possuem raiz quadrada inteira. Fazendo a verificação, constatamos que apenas 167 + 2 = 169 e 2 + 2 = 4 têm raiz quadrada, assim m = 2 ou m = 13 são as únicas soluções para esse problema. RESPOSTA: LETRA B. E21. SOLUÇÃO: De acordo com as informações, e passando ambos os números para a base 10, temos que: 1∙a1 + 3∙a0 = 1∙b1 + 3∙b0 a + 3 = 3b + 1 3b = a + 2  b = (a + 2)/ 3. RESPOSTA: LETRA B. E22. SOLUÇÃO: Para o digito das unidades teremos 3.b = _1. O único produto por 3 que a unidade é igual a 1 é o 7 (3 ∙7 = 21), assim b = 7. Então:

Para o digito das dezenas, teremos 3∙a + 9 (que veio do 7∙7 = 49) + 2 (que veio 2 do produto 3∙7 das unidades), logo 3a + 9 + 2 = 3a + 11 = _0. Para que essa soma tenha digito das unidades 0, devemos somar 9 ao 1, então 3a deve terminar em 9, logo a = 3. Tendo a = 3 e b = 7, e efetuando o produto, temos que c = 0 e a soma de a + b + c= 3 + 7 + 0 = 10. RESPOSTA: 10. E23. SOLUÇÃO: Moldando essa expressão, podemos dizer que: logo precisaremos de 2 + 97 = 99 dígitos para expressar essa conta. (1600000...0) RESPOSTA: LETRA D. E24. SOLUÇÃO: Calculando x², obtemos:

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x² = x² = 4  x = ±2. Porém, vemos que é a subtração do maior termo pelo menor termo, então x = 2, que é um inteiro positivo. RESPOSTA: LETRA D. E25. SOLUÇÃO: N = ab, onde ab são DÍGITOS, pode ser escrito como: N = 10a + b. Temos que a + b = 7, logo b = 7 – a. Substituindo, temos que N = 10a + 7 – a = 9a + 7. Dessa forma, N -1 que é divisível por 7, é igual a 9a + 7 -1 = (9a – 1) + 7. Se N – 1 = (9a – 1) + 7 é divisível por 7, então 9a – 1 deve ser um múltiplo de 7 (pois o 7 já é). Para que 9a – 1 seja um múltiplo de 7, a única solução é se a = 4, pois, 9∙4 – 1 = 35. Sendo assim, a = 4 e b = 3, e por conseqüência N = 43. Queremos agora saber sobre N+ 1 = 43 + 1 = 44. N+1 será então um múltiplo de 11. RESPOSTA: LETRA A. E26. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão, temos que: a + b = 34 a + c = 33 Subtraindo as duas equações: b – c = 1. Se “b” e “c” são números primos, a única solução de primos cuja diferença seja igual a 1 é se b = 3 e c = 2 (pois 2 é o único primo par). Substituindo “b” ou “c”, temos que a = 31. E assim, a soma de a + b + c = 31 + 3 + 2 = 36. RESPOSTA: 36. E27. SOLUÇÃO: Perceba que temos a soma de dois números elevados ao quadrado, e sabemos que todo número elevado ao quadrado é sempre maior ou igual a 0. Sendo assim, se ele for maior que zero, teremos dois números positivos somados, e a soma de dois números positivos nunca será igual a zero. Então, a única chance desse resultado ser zero é se as duas parcelas forem iguais a zero, assim teremos: Isolando x na primeira equação, temos que x = y². Substituindo x por y² na segunda, teremos: y² - y – 2 = 0 Cujas soluções são y = -1 ou y = 2. Se y = -1, então x = 1 e se y = 2, x = 4. As duas soluções são os dois pares (x,y) são: (1,-1), (4,2). RESPOSTA: LETRA C. E28. SOLUÇÃO: Simplificando a expressão 15m = 20n, teremos: 3m = 4n e a solução mais simples para isso é se m = 4 e n = 3. Sendo assim m.n = 4.3 = 12. E sempre teremos m∙n como um múltiplo de 12, pois m = 4x e n = 3x é a solução geral, sendo assim m∙n = 4x.3x=12x², que sempre será um múltiplo de 12. RESPOSTA: LETRA C. E29. SOLUÇÃO: Decompondo o número 17640 em fatores primos, temos: 17640 = 2³∙3²∙5∙7². Para que o número 17640∙k seja um quadrado perfeito, os expoentes de seus fatores primos precisam ser par. Assim, k = 2∙5, pois 17640∙k = 2³∙3²∙5∙7²∙ 2∙5 = 24∙3²∙5². Portanto, k = 2∙5 = 10. RESPOSTA: LETRA D. E30. SOLUÇÃO: Sejam x e y esses dois números. Então x + y = 10 e x³ + y³ = 370. Sabemos que x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²). Então 370 = 10 ∙ (x² - xy + y²)  x² - xy + y² = 37 (I).

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g Por x + y = 10 temos que y = 10 – x. Substituindo em (I): x² - x(10 – x) + (10 – x)² = 37 x² - 10x + x² + 100 – 20x + x² = 37  3x² - 30x + 63 = 0  x² - 10x + 21 = 0. Soma das raízes: -b/a = 10; Produto das raízes: c/a = 21. Logo, as raízes são x = 3 ou x = 10. Ou seja, os dois números são 3 e 7, sendo portanto, 7 o maior deles. RESPOSTA: LETRA C. E31. SOLUÇÃO: Para que um número seja divisível por 99, é necessário que seja divisível por 9 e por 11. Para ser divisível por 9, a soma de seus algarismos tem que ser um número múltiplo de 9. Assim: n = 3∙105 + k∙104 + 4∙10³ + 5∙10² + f∙10 + 8 = 3k45f8, onde k e f são algarismos. Logo, 3 + 4 + 4 + 5 + f + 8 é um múltiplo de 9, ou seja, k + f + 20 é múltiplo de 9. Depois de 20, os múltiplos de 9 são os números 27 e 36. Assim k + k + 20 = 27  k + f = 7 (i) ou k + f + 20 = 36  k + f = 16 (ii). (esse é o valor máximo, pois fazendo k + f + 20 = 45  k + f = 25 seria impossível com k e f sendo algarismos). Para que 3k45f8 seja divisível por 11, temos: (8 + 5 + k) – (f + 4 + 3) é um múltiplo de 11, ou seja, k – f + 6 é múltiplo de 11. Depois de 6, os primeiros múltiplo de 11 são os números 11 e 22. Então k – f + 6 = 11  k – f = 5 ou k – f + 6 = 22  k – f = 16 (esse valor não é possível para k e f sendo algarismos). Logo, k – f = 5. Vamos estudar as duas situações possíveis: (i) k – f = 5 e k + f = 7  Somando as equações, 2k = 12  k = 6 e f = 1. (ii) k – f = 5 e k + f = 16  Somando as equações, 2k = 21  k = 10,5, o que não é possível, pois k é um algarismo. Logo, k + f = 7. RESPOSTA: LETRA E. E32. SOLUÇÃO: Sendo x, 2x e z três algarismos, onde 2x é o dobro de x, temos: Como o cheque deveria ter sido preenchido: x 2x z. Como realmente foi preenchido: 2x x z. Segundo o enunciado, 2x x z - x 2x z = 180, ou seja:

z-z = 0;  Como x < 2x, procedemos como numa subtração normal, de modo que: 10 + x – 2x = 8 (I) 2x – 1 –x = 1 (II) Tanto por (I) quanto por (II) vemos que x = 2. Logo, o cheque que era pra ser de R$ 24z,00 foi preenchido como R$42z,00, onde z pode ser qualquer algarismo. Logo, o algarismo das dezenas no cheque é 2. RESPOSTA: LETRA E. E33. SOLUÇÃO: Dentre os valores dados (68,21 ; 68,102 ; 68,001 ; 68,02 ; 68,012) o que mais se aproxima de 68 é 68,001. RESPOSTA: LETRA E. E34. SOLUÇÃO: Para saber qual a potência de 7 que divide tal produto, temos que contar a quantidade de ‘7’ que existe no produto 1∙2∙3... ∙1000 (1000!). Percebe-se que de 1 a 1000, temos múltiplos de 7, de 7² = 49 e de 7³ = 243. Para saber quantas potências de 7 estão aí, basta dividir 1000 por 7, 49 e por 243. Temos: 1000 dividido por 7 tem quociente igual a 142, sendo assim temos 142 múltiplos de 7 de 1 a 1000; 1000 dividido por 49 tem quociente igual a 20, logo temos 20 múltiplos de 49 de 1 a 1000; 1000 dividido por 243 tem quociente 2, ou seja, há 2 múltiplos de 243 de 1 a 1000. Portanto, k = 142 + 20 + 2 = 164. RESPOSTA: 164. E35. SOLUÇÃO: Se m é divisível por 45, então é divisível por 9 e por 5. Para ser divisível por 9, a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9. Então 4 + 8 + 8 + a + 9 + b = múlt. 9  29 + a + b = múlt. 9. Depois de 29, os primeiros múltiplos de 9 são 36 e 45. Assim, 29 + a + b = 36  a + b = 7 ou 29 + a + b = 45  a + b = 16. Para ser divisível por 5, o número precisa ter como algarismo das unidades ou 0 ou 5. Assim, b = 0 ou b = 5. Logo, a soma a + b = 16 não é possível, pois com b = 0 ou b = 5, a = 16 ou a = 11, e a é um algarismo. Portanto, a + b = 7.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: LETRA B. E36. SOLUÇÃO: Considerando N = (Du) a representação decimal dos algarismos de N, em que d, d ≠ 0, representa o algarismo das dezenas e u o algarismo das unidades. Do enunciado, temos: N = x + y, onde x = d + u e y = d∙u Então 100 + u = d + u + d∙u  9d = d∙u  u = 9. Logo, o algarismo das unidades de N é 9. RESPOSTA: LETRA E. E37. SOLUÇÃO: Sempre que houver os fatores primos 2 e 5 entre os fatores de um número decomposto, o produto terá como algarismo das unidades o 0, pois 2∙5 = 10, e sabemos que o produto de 10 por qualquer número inteiro ‘acrescenta’ um 0 a esse número. A partir de 5!, sempre haverá os fatores 2 e 5, logo sempre terminará em 0. Assim, vamos calcular 1! + 2! + 3! + 4! para descobrir qual o algarismo das unidades dessa soma: 1 + 4 + 6 + 24 = 35. Portanto, a soma 1! + 2! + 3! + .... + (1010)! terá como resultado um número cujo algarismo das unidades é 5. Logo, é um múltiplo de 5 e o resto da divisão por ele é 0. RESPOSTA: LETRA A. E38. SOLUÇÃO: Para sabermos quantos zeros tem o número, temos que encontrar quantos fatores (2∙5) ele possui. Como em 1000! há mais fatores 2 que 5, vamos contar apenas a quantidade de 5. De 1 a 1000 existem fatores de 5, 5², 5³ e 54: 1000/5 = 200 fatores de 5¹; 1000/5² = 1000/25 = 40 fatores de 5²; 1000/5³ = 1000/125 = 8 fatores de 5³; 1000/54 = 1000/625 tem quociente 1, ou seja, apenas 1 fator de 54 de 1 a 1000. Sendo assim, o 1000! possui 200 + 40 + 8 + 1 = 249 fatores de 5. 9 e 48 não possui nenhum fator 5. Logo, o produto 9 ∙ 48 ∙ 1000! tem 249 fatores de 5 (e bem mais fatores de 2), portanto possui 249 zeros. RESPOSTA: LETRA D. E39. SOLUÇÃO: 1/5¹² = (1/5)¹² = (0,2)¹² = (2 ∙ 10-1)¹² = 2¹² ∙ 10-12 = 4096 ∙ 10-12 = 0,000000004096. Logo, o primeiro dígito não nulo após a vírgula é o 4. RESPOSTA: LETRA C. E40. SOLUÇÃO: Sendo x o número de embalagens compradas de 20 L, y as de 10 L e n as de 2 L, temos: 10x + 6y + 3n = 65 (I) 20x + 10y + 2n = 94 (II) y = 2x (III) Substituindo (III) em (I) e (II), temos: 22x + 3n = 65 (i) e 40x + 2n = 94 (ii). Fazendo 3(ii) – 2(i), temos: 76x = 152  x = 2. Logo, y = 2 ∙ 2 = 4. Então 2∙20 + 4∙10 + n∙2 = 94  40 + 40 + 2n = 94  2n = 14  n = 7. Dentre as alternativas abaixo, a única que apresenta um valor o qual o número 7 é divisor é a da letra C (77 = 7 ∙ 11). RESPOSTA: LETRA C. QUESTÕES DE PERNAMBUCO

P1. SOLUÇÃO: Letra C está incorreta. Um contra-exemplo seria o número 23, que tem soma dos dígitos igual a 5 (2 +3), mas não é divisível por 5. Um número natural é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. RESPOSTA: LETRA C. P2. SOLUÇÃO: Resolvendo por partes teremos que:  Para o digito das unidades teremos: 3+7+z tem como digito das unidades igual a 6, sendo assim z só poderá ser 6 pois 3 + 7 = 10 e 0 z < 10.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g  Para o dígito das dezenas teremos: Sabemos que temos uma dezena vinda das unidades sendo assim teremos que: x + 8 + 7 + 1 tem digito das unidades igual a 9. Logo, x só poderá ser igual a 3, pois teremos como soma x + 16 com terminação 9, lembrando que 0 x < 10.  Para o dígito das centenas: Perceba que também veio uma unidade do resultado da soma das dezenas, sendo assim teremos: 8 + y + 5 + 1 = 22  14 + y = 22, de forma que y = 8. No final temos: x = 3, y = 8 e z = 6, cuja soma tem por resultado 17 (3 + 8 + 6). RESPOSTA: LETRA A. P3. SOLUÇÃO: Vamos contar, e depois verificamos a ordem de grandeza da quantidade de batidas. Queremos a quantidade de vezes de um coração que bate 70 vezes por minuto durante 1 ano. 1 ano = 365 dias = 365 ∙ 24 horas = 365 ∙ 24 ∙ 60 minutos. Agora, com uma regra de três simples, temos: 70 vezes – 1 minuto x vezes – 365 ∙ 24 ∙ 60 minutos De forma que x = 365 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 70 vezes = 36792000 vezes

.

RESPOSTA: LETRA B.

P4. SOLUÇÃO: Para saber algo sobre as idades, precisamos fatorar 4080 ,e a partir daí, chegar a alguma conclusão. . Se as idades estão entre 12 e 19 anos, a única combinação entre esses números que dará 3 idades será: 15 = 3∙5, 16 =

e 17, sendo assim a soma das idades é 15 + 16 + 17 = 48.

RESPOSTA: LETRA A. P5. SOLUÇÃO: Para saber qual a potência de 3 que divide tal produto, temos que contar a quantidade de ‘3’ que existe no produto 1∙2∙3...20 (20!). Percebe-se que de 1 a 20, temos múltiplos de 3 e de 9 = 3² e para saber a quantidade desses basta dividir o 20 por 3 e por 9. Temos: 20 dividido por 3 tem quociente igual a 6, sendo assim temos 6 múltiplos de 3 de 1 a 20 que serão: 3, 6, 9, 12, 15 e 18. 20 dividido por 9 tem quociente igual a 2, correspondente aos números 9 e 18. Sendo assim temos 6 + 2 = 8, que é a quantidade de ‘3’ de 1 a 20, logo k = 8. Uma outra maneira seria contar quantas potências de 3, considerando apenas seus múltiplos de 1 a 20, que são: 3∙6∙9∙12∙15∙18 = 3∙2∙3∙3²∙2²∙3∙3∙5∙2∙3². Considerando apenas as potências de 3, temos: 3∙3∙3²∙3∙3∙3² = 38. Logo, k = 8. RESPOSTA: LETRA C. P6. SOLUÇÃO: Temos em 400 anos: 400/4 = 100 anos múltiplos de 4; 400/100 = 4 anos múltiplos de 100; 400/400 = 1 ano múltiplo de 400; Sendo assim, temos uma quantidade de anos bissextos igual a 100 – 4 + 1= 97. E por conseqüência, uma quantidade de 400 – 97 = 303 anos não bissextos. Teremos uma quantidade de dias igual a 303 ∙ 365 + 97 ∙ 366 = 110595 + 35502 = 146097 dias. E assim, teremos uma quantidade de 146097 / 7 = 20871 semanas completas. RESPOSTA: LETRA A. P7. SOLUÇÃO: 1010111 da base 2 para a base 10, será igual a: 1∙26 + 0∙25 + 1∙24 + 0∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹ + 1∙20 = 87. RESPOSTA: LETRA A. P8. SOLUÇÃO: O número 230 – 1 = (215 + 1)∙(215 – 1), dentre outras forma que podemos fatorá-lo. Portanto, ele não é primo. RESPOSTA: LETRA E.

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P9. SOLUÇÃO: Vamos fazer algumas manipulações para chegar à resposta: Idade da filha atualmente = x Idade da mãe atualmente = x + 28 Depois de 10 anos, a idade da mãe será igual ao dobro da idade da filha, sendo assim: (x + 28 + 10) = 2(x + 10) x + 38 = 2x + 20 x = 18. (Idade da filha hoje). Então, a idade da mãe hoje é 18 + 28 = 46. A soma das idades hoje será 18 + 46 = 64. RESPOSTA: LETRA D. P10. SOLUÇÃO: Perceba que temos em todas as alternativas potencias de 3. Representando todos como potências de 3, teremos os seguintes números, respectivamente: (35)6 = 330 , (33)10 = 330 , (32)15 = 330 , 331 , 327. Analisando os expoentes (30, 30, 30, 31 e 27), verificamos que o maior número é o que se encontra na letra D, pois possui o maior expoente. RESPOSTA: LETRA D.

P11. SOLUÇÃO: Se as 15 pessoas fossem pagar a conta de R$157,50, cada um pagaria

= 10,50 reais. Como as

moças não pagaram, cada rapaz desembolsou R$12,00 a mais do que pagaria, ou seja, 10,50 + 12,00 = 22,50. Para saber quantos rapazes havia, basta dividir o total da conta por quanto cada rapaz pagou:

= 7. Logo, havia 7 rapazes. Se eram 15 pessoas, então estavam presentes 8 moças (15 – 7). Analisando as alternativas:

a)

INCORRETO. Havia mais mulheres que homens na mesa (8 > 7).

b)

CORRETO. 8 = 7 – 1.

c)

INCORRETO. Cada homem na mesa desembolsou exatamente R$22,50 para pagar a conta.

d)

INCORRETO. Como havia mais mulheres que homem, se a conta fosse dividida igualmente, a parte paga por elas seria maior que a parte paga pelos homens.

e)

INCORRETO. 10,50 ∙ 2 = 21 ≠ 22,50.

RESPOSTA: LETRA B. P12. SOLUÇÃO: Resolução por lógica, qualquer número ímpar multiplicado por 5 sempre tem como digito das unidades o número 5. RESPOSTA: LETRA B.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g P13. SOLUÇÃO: Para descobrirmos a quantidade de divisores, devemos ter o numero fatorado, assim teremos: . Perceba que temos 240 divisores inteiros e positivos, então teremos 240 divisores naturais. Sabemos que a quantidade de divisores naturais de um número, é igual ao produto dos expoentes somados com 1 dos números fatorados. Logo: Qtd de divisores = (7+1)(3+x+1)(4+x+1) = 240 8∙(4+x)(5+x) = 240 (4+x)(5+x) = 30 20 + 4x + 5x + x² = 30 x² + 9x – 10 = 0 Resolvendo a equação, encontramos as soluções: x = 1 e x = -10. Mas nesse caso, x só pode ser positivo, logo x = 1. RESPOSTA: 01. P14. SOLUÇÃO: Números primos: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19,... Então π(11) = 5 (2, 3, 7 e 11); π(10) = 4; π(20) = 8; π(3) = 3... Então π(20) – π(10) = 2 π(3)  8 – 4 = 2∙2  4 = 4. π(x + 1) > π(x) apenas quando x + 1 é primo. Assim, π(100) = π(99), pois sem não é primo. RESPOSTA: LETRA B. P15. SOLUÇÃO: (0)(0) VERDADEIRO, pois independente se n ser par ou ímpar, dois dos fatores dessa multiplicação são números pares, já que são consecutivos, e para um número ser par basta que um de seus fatores seja par. (1)(1) VERDADEIRO. Em 4 números consecutivos sempre teremos um múltiplo de 3 e de 4, sendo assim o (2)(2) é VERDADEIRO também. (3)(3) FALSO, para ser múltiplo de 9, é preciso que tenha dois múltiplos de 3, pois 9 = 3². Mas isso só ocorrerá quando n+1 for múltiplo de 3, pois n + 4 também será, mas isso não ocorre para todo natural n. Um exemplo disso é para n = 1. (4)(4) VERDADEIRO. Perceba que em 4 números consecutivos teremos dois números pares, sendo um deles divisível por 4, e dois números impares, sendo um deles divisível por 3. Portanto, K é divisível por 2∙3∙4, logo, é divisível por 4!. RESPOSTA: VVVFV. P16.

SOLUÇÃO:

Para

descobrir

a

quantidade

de

divisores,

devemos

primeiramente

fatorar

o

número.

. Assim, para descobrir a quantidade de divisores naturais (inteiros e positivos) de um número, basta multiplicar os expoentes somados com 1. Então, teremos que: (3n+2+1)(2+1) = 90 (3n+3) ∙3 = 90 3n + 3 = 30  3n = 27  n = 9. RESPOSTA: LETRA C. P17. SOLUÇÃO: Perceba que temos uma quantidade de pratos servindo 2, 3, 4 e 5 pessoas, sendo assim se usamos uma quantidade de pratos para servir todas as pessoas, essa quantidade de pessoas deverá ser divisível por 2, 3, 4 e por 5 de tal forma que o 1º número a ser divisível será o MMC de 2, 3, 4 e 5 que é igual a 60. Prova real: Perceba que com 60 pessoas temos 60/2 = 30 pratos servindo arroz, 60/3 = 20 pratos servindo maionese, 60/4 = 15 pratos servindo carne e 60/5 = 12 servindo doce, num total de 30 + 20 + 15 + 12 = 77 pratos. Então havia 60 pessoas na festa. RESPOSTA: LETRA D. P18. SOLUÇÃO: Para sabermos em quantas vezes podemos dividir o cubo, basta acharmos o número de divisores que tem sua aresta: 2³∙3². Sabemos que o número de divisores de um número é o produto dos expoentes de seus fatores primos acrescidos de 1. Logo 2³∙2² possui (3+1)∙(2+1) = 4 ∙ 3 = 12 divisores. Porém, um desses divisores é o número 1. Dividir o cubo em 1 seria o próprio cubo inteiro, e a pergunta do enunciado se trata de divisão em mais de um cubo. Logo, isso pode ser feito de 12 – 1 = 11 maneiras. RESPOSTA: LETRA C.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g P19. SOLUÇÃO: Perceba que se você aplicar a propriedade da questão, a única opção que não se encaixa é a da letra C, pois: a*1 = (a/1)-1 e 1*a = (1/a)-1 Isso só é verdadeiro se a= ±1, e não para todos os reais diferentes de 0. RESPOSTA: LETRA C. P20. SOLUÇÃO: N = a + √a N = 100 + √100 = 100 + 10 = 110. RESPOSTA: LETRA D. NÍVEL 2 P21. SOLUÇÃO: O conjunto dado possui 11 elementos (uma maneira de contar é observando a quantidade de zeros em cada número: o primeiro elemento possui 1 zero, o segundo 2 zeros e assim por diante, até o último elemento que possui 11 zeros). Para um número ser múltiplo de 11, a diferença das somas de seus algarismos alternadamente tem que ser um múltiplo de 11 (não esqueça que 0 também é múltiplo de 11). O primeiro elemento do conjunto, 101, não é, pois (1+1) – 0 = 2 – 0 = 2 não é múltiplo de 11. Já o segundo elemento é, pois 1001  (1 + 0) – (1 + 0) = 1 – 1 = 0. Como podemos observar, isso vai ocorrer de maneira sucessiva, pois a posição do primeiro número 1 de cada número varia de ordem em ordem. Assim, os múltiplos de 11 desse conjunto serão o 2º, o 4º, o 6º, o 8º e o 10º elemento. Ou seja, 5 números. RESPOSTA: LETRA D. P22. SOLUÇÃO: Seja um numero abc de três dígitos na primeira situação teremos: abc – cba, podemos escrever isso de uma outra maneira tendo em vista que cada algarismo encontra-se numa potencia de 10. abc = 100a + 10b + c, cba = 100c + 10b + a abc – cba = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = 100(a-c) + (c-a) Perceba que a > c, sendo assim teremos que o digito das unidades (c-a) será negativo o que não pode acontecer, não termos um número do tipo 231 de três algarismos por exemplo, sendo assim devemos “pedir” emprestado das dezenas, mas a dezenas é igual a zero, então pediremos às centenas. (a – c – 1)100 + 100 + (c – a) = (a – c – 1)100 + 90 + (10 + c – a) Esse será o número de três algarismos da tal diferença. Num segundo momento ele diz que vamos somar esse número com o número obtido trocando as unidades e as centenas. Teremos: (a – c – 1)100 + 90 + (10 + c – a) + (10 + c – a)100 + 90 + (a – c – 1) ____________________________ (90)100 + 180 + 9 = 1089 E sempre vamos obter 1089? Não! Essa “mágica” matemática é falha quando “c” é nulo, por isso que no início da questão diz que “c” deve ser diferente de zero. Motivo: se c é igual a zero, quando permutarmos o dígito das unidades e das centenas o número não será de três dígitos, ex: 900 se trocarmos unidade por centena teremos 009 e assim a “mágica” seria falha. Poderíamos resolver essa questão de uma maneira mais simples, escolhendo um número qualquer dentro das condições estabelecidas e calculando o resultado pedido. Por exemplo: 621, onde 6 . 1 E 1≠0.  621 – 126 = 495. 495 + 594 = 1089. RESPOSTA: LETRA A. P23. SOLUÇÃO: Perceba que será bem mais difícil tentar resolver essa questão de forma literária ou por verificação. Sendo assim, vamos atribuir valores. É informado que o número pode ser escrito na forma n(8n + 1)(29n + 1). Substituindo “n” (para descobrir algo), temos: Para n = 1  1(9)(30) = 270, que se encontras nas alternativas, logo já é a resposta. RESPOSTA: LETRA B.

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P24. SOLUÇÃO: Se um número é divisível por 99 ele é divisível por 9x11, ou seja, por 9 e por 11 ao mesmo tempo. Se ele é divisível por 9, a soma dos seus dígitos é divisível por 9; e se ele é divisível por 11, a quantidade de dígitos deve ser par, tendo em vista que a soma dos alternados subtraído pela outra soma dos alterados deve ser divisível por 11. Se a quantidade for par, a subtração é igual a 0, e se for impar será igual a 7 (que não é divisível por 11). Temos então que a quantidade de 7 deve ser múltiplo de 9 e deve ser par. Logo, o menor número que atende a essas exigências é 18. RESPOSTA: LETRA D. P25. SOLUÇÃO: Vamos fazer um sistema de equações para chegarmos à resposta. Seja “x” a quantidade de reais gastos para comprar os chocolates, “y” a quantidade de chocolates, temos por conseqüência que “x/y” será o preço de cada chocolate. Analisando as situações: 1 – Se o preço do chocolate fosse 0,05 mais caro, então daria pra comprar 4 chocolates a menos Vamos usar a seguinte expressão: PREÇO x QUANTIDADE = QUANTIA TOTAL (x/y + 0,05)(y – 4) = x, resolvendo a expressão teremos: x – 4(x/y) + 0,05y – 0,2 = x e simplificando teremos: x/y = (0,05y – 0,2)/4 2 – Se o preço do chocolate fosse 0,05 mais barato então daria pra comprar 4 chocolates a mais Com a mesma expressão teremos: (x/y – 0,05) (y + 6) = x, resolvendo e simplificando teremos: x + 6(x/y) – 0,05y – 0,3 = x x/y = (0,05y + 0,3)/6 O aluno pode se perguntar por que Tanaka resolveu deixar de um lado x/y? Pelo devido fato de que estamos trabalhando com duas incógnitas e precisamos de alguma equação com apenas 1 incógnita, caso contrário o sistema ficará indeterminado, ou seja, não saberemos qual será a solução, apesar de ela existir. Agora como temos x/y como duas igualdades, basta igualar as partes, de modo que teremos: (0,05y – 0,2)/ 4 = (0,05y + 0,3)/ 6 x(12) 3(0,05y – 0,2) = 2(0,05y + 0,3) 0,15y – 0,6 = 0,1y + 0,6 0,05y = 1,2 y = 24 chocolates Se y = 24 então substituindo em qualquer uma das equações teremos: x/24 = (0,05.24 – 0,2)/4 x = 24.(1,2 – 0,2= / 4 = 6 x = 6 reais RESPOSTA: LETRA A. P26. SOLUÇÃO: É mais difícil resolver essa questão por tentativa do que pelo método formal. Para chegar à solução, devemos antes modificar a forma que a equação se mostra, da seguinte forma:

Chegamos ao resultado que simplifica a nossa conta. (n – 7) deve ser um divisor de 22, e 22 tem como divisores: 1, 2, 11 e 22. Então (n – 7) deve ser igual a esses resultados. Logo, teremos para “n” as seguintes soluções: n = 8, 9, 18, 29 e todos são números naturais. Portanto, existem 4 soluções. RESPOSTA: LETRA C. P27. SOLUÇÃO: Um número de dois algarismos pode ser escrito da seguinte forma: ab = 10a + b. Logo, 10a + b = 5(a+b) 10a + b = 5a + 5b  5a = 4b. Se “a” e “b” são dígitos de 0 a 9, então a única solução para essa igualdade será: a = 4 e b = 5. Portanto, o número procurado é 45. Número gerado pela troca dos dígitos: 54. Sendo x o fator que multiplica a soma dos dígitos, temos: 54 = (5+4).x  54 = 9x  x = 6.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: LETRA C. P28. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão, teremos para o satélite: 1 volta é completada em “x” horas e 0 < x < 24 Ele dará 11 voltas e o relógio marcará 17 horas. Isso significa que o relógio “zerou” várias vezes e parou no 17. Vamos dizer que o relógio zerou “y” vezes, então teremos a seguinte expressão: 11x = 24y + 17. Isolando “x”, teremos: x = (24y + 17)/11. Perceba que a quantidade de horas de 1 volta, deve ser um número inteiro (dito na questão), sendo assim 24y + 17 deve ser um número divisível por 11. Fazendo uma rápida verificação por tentativa, descobrimos que a única solução será: y = 8, onde x = (24∙8 + 17)/11 = (192 + 17)/11 = 209/11 = 19. Logo, são necessárias 19 horas para o satélite completar uma volta em torno da Terra. RESPOSTA: 19. P29. SOLUÇÃO: (0)(0) VERDADEIRO. Perceba que o número escrito não é divisível por nenhum dos primos anteriores, logo ele só será divisível por números primos maiores dos que foram usados. (1)(1) VERDADEIRO. Perceba que podemos sempre por algum número em evidencia, sendo assim o número não é primo, ou seja, é composto. (2)(2) FALSO. 11 elevado a qualquer número sempre terá digito das unidade igual a 1, e se somarmos 1 teremos o digito das unidade igual a 2. (3)(3) FALSO. Para sabermos se 2 elevado a 98 divide 100!, devemos contar a quantidade de 2 que existem de 1 a 100. Para fazer essa contagem, basta dividir 100 pelas potencias de 2 menores que 100 e pegar a parte inteira do quociente, assim teremos uma quantidade igual a: 100/2 = 50 100/4 = 25 100/8 = 12 100/16 = 6 100/32 = 3 100/64 = 1 Somando essas quantidades teremos um total de 50+25+12+6+3+1 = 97, ou seja, no máximo teríamos 2 elevado a 97 dividindo 100!. (4)(4) VERDADEIRO. Conclusão lógica: vamos ver 2 elevado a expoentes impares somados com 1, e assim por diante, todos serão divisíveis por 3. Essa alternativa se prova pelo princípio da indução finita ou por fatoração de , em que “n” é um número ímpar. Observação: perceba que os itens 0 e 4 foram resolvidos com alguma dedução lógica, o que deve ter sido o objetivo de quem fez a questão, pois a resolução formal requer matemática de nível superior. RESPOSTA: VVFFV. P30. SOLUÇÃO: Perceba que o número KFKF pode ser escrito como: 1000K + 100F + 10K + F = 1010K + 101F = 101(10K + F), logo sempre podemos dividir KFKF por 101. RESPOSTA: LETRA D. P31. SOLUÇÃO: Se os primos dividem n e 100n³ + 8n² + 5n + 420, os primos devem dividir obrigatoriamente 420, pois temos “n” em todas as outras parcelas do polinômio. Se n divide 420, vamos fatorar e verificar os primos. 420 = , logo os primos serão 2,3,5 e 7, cuja soma é 17. RESPOSTA: 17. P32. SOLUÇÃO: Para saber em quantos zeros termina 50!, precisamos descobrir a quantidade de 2 e 5 que existem de 1 a 50, pois pra “formar um zero” precisamos de uma multiplicação por 10 = 2∙5. Assim, por intuição, sabemos que existem mais múltiplos de 2 do que de 5, vamos então contar a quantidade de 5 que existe, e assim teremos a quantidade de zeros. Para calcular a quantidade de 5, basta dividir 50 pelas potencias de 5 menores que 50 e considerar a parte inteira do quociente, assim: 50/5 = 10 50/25 = 2 Só teremos 10 + 2 = 12 cincos, então o número 50! terá 12 zeros.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: 12. P33. SOLUÇÃO: Decompondo 171, temos: 171 = 3² ∙ 19. Sendo escrito como o produto de 2 números, 171 = 9 ∙ 19, 171 = 3 ∙ 57 ou 171 = 1 ∙ 171. a² - b² = 171  (a + b)∙(a- b) = 171. Então temos 3 possibilidades:  a + b = 19 e a – b = 9, resultando em a = 14 e b = 5. Então a ∙ b = 14 ∙ 5 = 70.  a + b = 57 e a – b = 3, resultando em a = 30 e b = 27. Então a ∙ b = 30 ∙ 57 = 1710.  a + b = 171 e a – b = 1, resultando em a = 86 e b = 85. Então a ∙ b = 86 ∙ 85 = 7310. Dentre as possibilidades, aquela que se encontra nas alternativas dadas é a ∙ b = 70, na letra C. RESPOSTA: LETRA C. P34. SOLUÇÃO: Para ser divisível por 72, o número tem que ser divisível por 8 e por 9. O critério de divisibilidade por 8 é que os 3 últimos algarismos formem um número divisível por 8, ou seja, 33_ é divisível por 8. Assim, o último algarismo é 6, pois 336 = 8 ∙ 42. O critério de divisibilidade por 9 é que a soma dos algarismos seja um múltiplo de 9, assim: _1336  _ + 1 + 3 + 3 + 6 = múlt. 9  _ + 13 = múlt. 9. Depois de 13, os primeiros múltiplos de 9 são 18 e 27. Porém só consideraremos o 18, pois sendo 27 o outro algarismo seria 14, o que não é possível pois trata-se de apenas 1 algarismo. Assim, _ + 13 = 18  _ = 5. Logo, o primeiro algarismo é 5, sendo R$ 513,36 o preço pago. O produto dos números ilegíveis é 5 ∙ 6 = 30. RESPOSTA: 30. P35. SOLUÇÃO: Seja “x” a quantidade de picolés de cajá e “y” a quantidade de picolés de goiaba. Com as duas situações, podemos expressar a quantidade que ele possui de duas maneiras: 1 – 0,47x 2 – 0,25y + 0,01 Se ambas as quantias representam o total que Júnior possui, então são iguais. Logo: 0,47x = 0,25y + 0,01 Se essa quantia está entre 3 e 4 reais, podemos dizer que: i) 3 < 0,47x < 4 ou ii) 300 < 0,25y + 0,01 < 400. Dividindo a inequação i) por 0,47 , teremos: 6,38.. < x < 8,51.. Logo x = 7 ou 8 (pois é um número inteiro). Voltando pra igualdade, temos dois casos: 1) Se x = 7: 0,47.7 = 0,25y + 0,01 y = 13,12 Não pode ser solução, pois não é uma quantidade inteira de picolés. 2) Se x = 8: 0,47.8 = 0,25y + 0,01 y = 15. Então temos como solução x = 8 e y = 15. E para saber a quantia que ele possui e que ultrapassa 3 reais, basta calcular o quanto ele tem substituindo x ou y na 1ª ou na 2ª expressão: 0,47∙8 = 3,76, excedendo os 3 reais em 76 centavos. RESPOSTA: 76.

P36. SOLUÇÃO: Antes de verificar as alternativas, vamos decompor assim descobrirmos algo mais concreto sobre essa expressão.

na sua forma mais fatorada possível para

(0)(0) VERDADEIRO. Perceba que temos o produto de três números consecutivos (n-1)(n)(n+1), logo, um deles será obrigatoriamente múltiplo de 3. (1)(1) FALSO. Se n = 6, 7, 8, por exemplo, teremos que fn será um múltiplo de 7. (2)(2) VERDADEIRO. Já conseguimos decompor esse número como o produto de 4 outros números, portanto ele nunca será primo. (3)(3) VERDADEIRO. Faça uma pequena indução substituindo n por 0,1,2 e 3. Perceba que sempre teremos nas partes fatoradas um múltiplo de 2, de 3 e de 5, sendo assim fn sempre é um número múltiplo de 30 = 2x3x5. (4)(4) FALSO. Se n = 2, por exemplo, fn = 30 que não é múltiplo de 4.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: VFVVF. P37. SOLUÇÃO: 1) Os naturais que deixam resto 2 quando divididos por 3 são 2, 5, 8, 13...  (múltiplo de 3) + 2 2) Os naturais que deixam resto 3 quando divididos por 5 são 8, 13, 18, 23..  terminam em 3 ou 8 3) Os naturais que deixam resto 5 quando divididos por 7 são 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68.. Devemos encontrar o primeiro número em comum nos três grupos. Sabemos que ele deve terminar em 3 ou 8. Eliminando as possibilidades no 3º grupo, temos: 33, 68.. Vamos checar qual deles de encaixa no 1º grupo: 33 não se encaixa, pois é um múltiplo de 3 e deixaria resto 0. Logo, 68 = 3∙22 + 2 se encaixa nos 3 grupos. RESPOSTA: 68. P38. SOLUÇÃO: Sejam x, y e N a quantidade de ingressos para a geral, arquibancada e cadeiras respectivamente, temos que a quantidade de ingressos para a geral é igual a para as arquibancadas somado com 1000, sendo assim temos que: x = y + 1000. Então: x + y + N = 25000 5x + 10y + 20N = 275000 Mas x = y + 1000, substituindo: y + 1000 + y + N = 25000  2y + N = 24000 5(y+1000) + 10y + 20N = 275000  15y + 20N = 270000 Resolvendo esse sistema temos que N = 7200. 7200/100 = 72. RESPOSTA: 72. P39. SOLUÇÃO: Se Antônio nasceu no século XX, então ele nasceu no período de 1901 a 2000. Como seu pai é apenas 30 anos mais velho, então ele nasceu ou no século XX ou no final do século XIX. Como no ano x² ele tinha x anos, devemos encontrar um valor que ao quadrado esteja mais ou menos no século XIX. 40² = 1600; 50² = 2500. Esse valor está entre 40 e 50. 43² = 1849; 44² = 1936; 45² = 2025. Dentre os 3 valores testados, o único possível é 44², pois se o pai de Antônio nasceu em 1849 Antônio teria nascido em 1879, o que ainda é século XIX. E 45² já é no século XXI. Logo, em 1936 o pai de Antônio tinha 44 anos. Isso significa que ele nasceu no ano de 1936 – 44 = 1892, ou seja, no século XIX. Já Antônio, que nasceu 30 anos depois do pai, nasceu no ano de 1892 + 30 = 1922. RESPOSTA: FFVVF. P40. SOLUÇÃO: Vamos fazer um sistema para chegar a solução. Seja x, y e z as quantidades de pinhas, melões e abacaxis, respectivamente, teremos: x + y + z = 20 0,3x + 0,7y + 0,8z = 10 Alterando as equações: multiplicar a primeira linha por -7 e multiplicar a segunda linha por 10, obtemos: -7x -7y – 7z = -140 3x + 7y + 8z = 100 Somando as duas linhas: -4x + z = -40 4x = z + 40 x = (z + 40) / 4 = z/4 + 10. Perceba que z deve ser um múltiplo de 4 para x seja inteiro. Sendo assim, z pode ser 4, 8 , 12, 16 ... Mas lembre que x + y + z = 20. Com essa restrição, teremos: Se z = 4  x = 11 e y = 5, e se z = 8  x = 12 e y = 0 e a partir daí teremos valores negativos para y Como foi informado que ele comprou os três tipos de fruta, então a solução correta é a primeira. Logo, a quantidade de pinhas “x” é igual a 11. RESPOSTA: LETRA D. APROFUNDAMENTO A1. SOLUÇÃO: Se n é um cubo perfeito, podemos dizer que n = a³, logo o próximo numero que será um cubo perfeito é (a+1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1. Perceba que se , e assim teremos: (a + 1)³ =

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: LETRA A.

A2. SOLUÇÃO: Como

100 100 n n é inteiro então também é inteiro. Assim − = 1, segue que se 100 − n 100 − n 100 − n 100 − n

basta procurarmos pelos divisores inteiros de 100, pois para cada divisor d, teremos n = 100 – d como solução. Decompondo 100 em fatores primos, temos: 100 = 2²∙5². Logo, possui (2+1) ∙(2+1) = 3∙3 = 9 divisores naturais, ou 18 divisores inteiros. Portanto, para 18 inteiros n o número n/(100 – n) é também inteiro. RESPOSTA: LETRA D.

A3. SOLUÇÃO: Até que eles se encontrem, teremos que dar n voltas com o ângulo de 35 e m voltas de 360 graus. Sendo assim, queremos uma solução para o seguinte sistema: 35n = 360m. Dividindo por 5, teremos: 7n = 72m Uma solução para esse sistema (a menor solução) é se n = 72 e m = 7. Logo, se começa do 1 e anda 72 vezes, ele vai parar no 73 até voltar para a posição inicial. RESPOSTA: LETRA B. A4. SOLUÇÃO: Faca uma pequena indução sobre os dígitos do 10 elevado a n subtraído de 94.

Perceba que sempre aparece “o expoente menos dois” como quantidade de 9, e sempre aparece o 6 no final. Logo, (soma dos dígitos). Se n = 94, temos que a soma dos dígitos será (94-2)9 + 6 = 92∙9 + 6 = 828 + 6 = 834. RESPOSTA: LETRA D. A5. SOLUÇÃO: Perceba que para que o armário fique aberto, devem passar uma quantidade ímpar de alunos. Ex: 3 – 1º abre, 2º fecha, 3º abre. Sendo assim, isso só ocorrá se o número for um quadrado perfeito, pois a quantidade de divisores de um número que é quadrado perfeito é sempre ímpar, e todos os outros números possuem quantidade par de divisores. Ex.: 4 tem 3 divisores, 25 tem 3 divisores, 36 tem 9 divisores. Basta então descobrir qual é o último quadrado perfeito menor do que 1000. Para encontrá-lo, basta calcular a raiz quadrada de 1000, e pegar a parte inteira do número. , ou seja, existem 31 quadrados perfeitos antes de 1000, e o último será 31∙31 = 961. RESPOSTA: 961. A6. SOLUÇÃO: Faça uma pequena indução a respeito de 10n – 111:

Perceba que sempre temos uma quantidade de 9 igual ao “expoente menos dois” e sempre temos 2 oitos. Sendo assim, nossa fórmula geral para a soma dos dígitos será: Então, para n = 111 teremos: 9(111-2) + 2∙8 = 9(109)+16 = 981 + 16 = 997. Soma dos dígitos: 9 + 9 + 7 = 25. RESPOSTA: 25.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g A7. SOLUÇÃO: Se um número é divisível por 3,4 e 5 e é um quadrado perfeito, ele é múltiplo de 3x3 = 9, 4 já é um quadrado perfeito e 5x5 = 25, e o MMC(4,9,25) = 900. O primeiro múltiplo de 900 depois de 40000 será 400000/900 = 44,44...  45.900 = 40500. O último número será 640000/900 = 711,111 711∙900 = 639900. Queremos os quadrados perfeitos entre 900∙45 e 900∙711. Como 900 já é um quadrado perfeito, basta que o outro número multiplicado também seja. Depois de 900∙45, temos 900∙49 = 900.7² e antes de 900∙711 temos 900∙676 = 900∙26². Sendo assim, podemos escolher de 7² até 26², teremos então 26 – 7 + 1 = 20 quadrados perfeitos entre 40000 e 640000. RESPOSTA: 20. A8. SOLUÇÃO: Perceba que se o número começa por 3, segue a mesma propriedade e terá como seqüência: 391391391... Como eles se repetem de 3 em 3 e são 100 dígitos, teremos 33 agrupamentos de 3 em 3 (391)  33x3 = 99 dígitos. Sobra apenas 1 dígito, que seguindo a sequência é o 3. Sendo assim, os dois últimos dígitos serão 13. RESPOSTA: 13. A9. SOLUÇÃO: Para descobrir o maior primo que compõe 2010, basta fatorá-lo, assim teremos: 2010 = 2.3.5.67 67 é o maior primo que divide 2010. Queremos descobrir agora o menor inteiro maior do que 2010 e que seja divisível por 67. Vamos fazer uma dedução de lógica, se 2010/ 67 = 30, então o número menor possível e maior do que 2010 é 67∙31 = 2077. Sobre esse número é correto afirmar que é um número composto pelo produto de dois primos distintos. (2077 = 67∙31). RESPOSTA: LETRA C.

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Exercícios Propostos resolvidos CAP. 06 (Matemática Básica)