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Revista Digital Coordenadas polares


Introd ucción

En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.

Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.

Autor Anderson Peña C.I. 24397944


A continuación se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo

.

COORD ENADA S POLAR


(r,

θ

) = (r,

θ

π +2n )

o como: (r,

θ

π θ ) = (-r, +(2n+1) )

θ θ siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0, ),donde es cualquier ángulo.

CAMBIO DE COORDENADAS Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y) esta 2

2

2

sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r =x + y . Además para r >0, la definición de las funciones trigonométricas implica que:

tg

θ

=

y x

θ , cos =

1. x = r cos

θ

y = r sen

θ

x r

y sen

θ

2. tg 2

y r

=

θ

y x

=

2

2

r =x + y

Ejemplo1 Cambio de coordenadas polares a rectangulares.

π

• Para el punto c = (2, ), π θ x = r cos =2 cos =-2

e

y = r sen

θ

=2 sen

π

=0


Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(-2,0).

θ

• Para el punto (r, ) = ( 3 X=

cos

π 6

=

3 2

π

3 ,

6

),

3 e

sen 3

Por tanto, las coordenadas (x, y)=

2

π 6 3

,

= 2

3 2


Soluci贸n


2

2

2

x +y =2

Ecuación rectangular.

a) La grafica de la ecuación polar

θ

=

π /3

contiene todos los puntos de la

semirrecta radial que forma un ángulo de

π /3

con el semieje x positivo.

Podemos confirmarlo usando la relación tg = ecuación rectangular y=

3x

θ = x/ y

para obtener la

Ecuación rectangular θ

b) La grafica de la ecuación polar r = sec no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relación r cos

r cos x=1

θ

θ

= x.

=1 Ecuación rectangular

Deducimos que la gráfica es una recta vertical.


NOTA: Un método para representar a mano la gráfica de r = 2 cos 3 consiste en confeccionar una tabla de valores. θ

0 π 6

r

2 0

π 3

π 2

-2 0

2π 3

2

Extendiendo la tabla y marcando los puntos, se obtendrá la curva del ejemplo 4.

θ


Solución: Comenzamos por ecuación en forma paramétrica.

3

θ

X = 2 cos 3 sen

θ

θ

cos

θ

e

escribir

la

y = 2 cos

Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar

θ

π

de 0 a , si se intenta reproducir esta

grafica encontrara que, al hacer variar π

θ

de 0 a

2 lo que ocurre realmente es que la curva se recorre dos veces.


r = sen(3q)

r = sen(2q)


r = sen(4q)

Hasta aquí hemos visto que las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0, p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r.

r=sen(5q)


r = 1- sen(q)

AquĂ­ observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.


CARICATURA DE LA SEMANA


Área en coordenad as polares.

∆θ1 = θ1 - θ i –1 Si escogemos θi en el i – ésimo subintervalo [θ i –1 , θ1 ], el área ∆θ i , de la i – ésima región se estima, mediante el área del sector circulo cuyo ángulo central es ∆θ i, y su radio es F(θ i) así ∆A i ≈ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i

Para calcular la fórmula del área de una región cuyo contorno esta determinado por una ecuación polar, necesitaremos aplicar la fórmula del área de un sector circular:

(1)

A=1r2θ 2

2 Por lo tanto 2 ∆θ i i)]

2

θ

=

1r 2

Sea R la región limitada por la curva cuya ecuación polar es r = F (θ) y los rayos θ = a y θ = b, donde F es una función positiva y continua, y 0 < b – a ≤ 2π.

A ≈ ∑ 1 [ F (θ (2) i = 1 2

Es una aproximación al área total, A, de R. La aproximación de la ecuación (2) mejora cuando ||p|| 0; ya que las sumas en esta ecuación son sumas de Riemamn de la función

en la cual, r es el radio y θ la medida del ángulo central. Esta fórmula se puede demostrar, aprovechando que el área de un sector es proporcional a su ángulo central, se modo que: A = (θ/ 2π) π r2

n

g(θ) = 1 [ F (θ )]2 , resulta 2

1 [ F (θ i)]2 ∆θ i

A≈∑ i=1

2

= ∫ 1 [ F (θ)]2 2


.

Revista anderson polares  

Trabajo tipo Revista de Coordenadas polares

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