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Revista Digital Coordenadas polares


Introducción En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.

Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.

Autor Anderson Peña C.I. 24397944


COORDENADAS POLARES Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r,0), como sigue.

coordinas rectangulares, cada . Enr =distancia dirigida de 0a P punto y) tiene una representación θ (x, =ángulo dirigido, en sentido única. Esto no ocurre en coordenadas antihorario, del eje polar al segmento 0P polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ ) y (r,2 π + θ ) representan un mismo punto. A si mismo como r es una distancia dirigida, las coordenadas El lector puede comprobar que si r<0, se verifican las (r, θ ) y (-r, θ + π ) representan un mismas relaciones. mismo punto. En general, el punto (r, θ ) se puede expresar como: A continuación se muestran tres puntos Cambio de coordenadas π )coordenadas polares. θ el (r,en ) = sistema (r, θ +2nde Las coordenadas polares (r, θ ) de un punto están Observemos que, en le sistema, relacionados es con sus coordenadas rectangulares (x, o conveniente como: localizar los puntos respecto y) por: a un retículo de circunferencias θ ) = (-r, θ +(2n+1) (r,concéntricas ) y rectasπradiales que pasan por el polo siendo n un entero. Además, el polo y esta representado por (0, θ ),donde θ 1. x = r cos θ 2. tg θ = x es cualquier ángulo. y = r sen θ r 2 =x 2 + y 2

CAMBIO DE COORDENADAS Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y) esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r 2 =x 2 + y 2 . Además para r >0, la definición de las funciones trigonométricas implica que: y y x tg θ = , cos θ = y sen θ = x r r

Ejemplo1 Cambio de coordenadas polares a rectangulares. Para el punto c = (2, π ), x = r cos θ =2 cos π =-2 e y = r sen θ =2 sen π =0 Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(-2,0). •

Para el punto (r, θ ) = ( X=

3 cos

π 6

=

3 2

e

3 ,π

6 ),

3 sen

π

Por tanto, las coordenadas (x, y)= 3 , 3

2

6

2

=

3 2


Solución GRAFICAS EN POLARES Una forma de representar la gráfica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares y después dibujar la gráfica de la ecuación rectangular. • Ejemplo 3 REPRESEN TACION GRAFICA DE ECUACIONES POLARES Describir la gráfica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular. a)

r=2

c) r = sec θ

b) θ =

π 3


r = sec θ

a) La grafica de la ecuación polar r=2 está formada por todos los puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la gráfica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo usando la relación r 2 = x 2 + y para obtener la ecuación rectangular.

Ecuación polar r cos θ = 1 x=1 rectangular

Ecuación

Deducimos que la gráfica es una recta vertical.

2

x + y = 2 2

2

2

Ecuación rectangular. b) La grafica de la ecuación polar θ = π / 3 contiene todos los puntos de la semirrecta radial que forma un ángulo de π / 3 con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg = θ = x / y para obtener la ecuación rectangular y = 3x Ecuación rectangular c) La grafica de la ecuación polar r = sec θ no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relación r θ cos = x.

NOTA: Un método para representar a mano la gráfica de r = 2 cos 3 θ consiste en confeccionar una tabla de valores. θ 0

π π π 6

r

3

2

2π 3

2 0 -2 0 2 Extendiendo la tabla y marcando los puntos, se obtendrá la curva del ejemplo 4.


• Ejemplo 4. REPRESENTACION DE UNA GRAFICA EN POLARES Representar la gráfica de r = 2 cos 3θ Solución: Comenzamos por escribir la ecuación en forma paramétrica. X = 2 cos 3 θ cos θ y = 2 cos 3 θ sen θ

e

Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar θ de 0 a π , si se intenta reproducir esta grafica encontrara que, al hacer variar θ de 0 a 2 π lo que ocurre realmente es que la curva se recorre dos veces.


π 2

≤θ ≤

2π 3

2π 5π ≤ θ ≤ 3 6

5π ≤θ ≤ 6

r = sen(2q)

π

r = sen(3q)


r = sen(4q)

r=sen(5q)

Hasta aquí hemos visto que las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0, p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r.


r = 1- sen(q)

AquĂ­ observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

CARICATURA DE LA SEMANA


Ă rea en coordenadas polares.


Para calcular la fórmula del área de una región cuyo contorno esta determinado por una ecuación polar, necesitaremos aplicar la fórmula del área de un sector circular: A=1r2θ (1) 2 en la cual, r es el radio y θ la medida del ángulo central. Esta fórmula se puede demostrar, aprovechando que el área de un sector es proporcional a su ángulo central, se modo que: = 1r2θ 2 Sea R la región limitada por la curva cuya ecuación polar es r = F (θ) y los rayos. θ = a y θ = b, donde F es una función positiva y continua, y 0 < b – a ≤ 2π. Sea P una participación del intervalo [a,b] mediante los números θ1, y a = θ0 < θ1 ... θn = b. Entonces, los rayos θ = θ1 dividen a R en n regiones menores cuyos ángulos centrales son

∆θ1 = θ1 - θ i –1 Si escogemos θi en el i – ésimo subintervalo [θ i –1 , θ1 ], el área ∆θ i , de la i – ésima región se estima, mediante el área del sector circulo cuyo ángulo central es ∆θ i, y su radio es F(θ i) así ∆A i ≈ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i 2 n Por lo tanto A ≈ ∑ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i (2) i = 1 2 Es una aproximación al área total, A, de R. La aproximación de la ecuación (2) mejora cuando ||p|| 0; ya que las sumas en esta ecuación son sumas de Riemamn de la función g(θ) = 1 [ F (θ )]2 , resulta 2

A = (θ/ 2π) π r2

A≈∑ i=1

1 [ F (θ i)]2 ∆θ i 2 = ∫ 1 [ F (θ)]2 dθ 2

Por consiguiente, la formula para calcular el área de la región R en ecuaciones es: b

A = ∫ 1 [ F (θ)]2 dθ a 2



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