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Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Mérida Escuela de Ingeniería Química


ELABORADO POR: YAGUARE ANA KARINA C.I. 26.371.602 UNIVERSIDAD SANTIAGO MARIÑO ESCUELA: 49 ING. QUIMICA MÉRIDA – VENEZUELA ACTUALIZADO 2017


PAG VECTORES EN R2

5

VECTORES EQUIPOLENTES

6

VECTORES LIBRES

6

VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE COORDENADAS

7

COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO

7

MÓDULO DE UN VECTOR

7

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

8

VECTOR UNITARIO

8

SUMA DE VECTORES

8

REGLA DEL PARALELOGRAMO

9

RESTA DE VECTORES

9

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

10


PAG COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

10

CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS

11

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

12

COORDENADAS DEL BARICENTRO

12

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA

13

VECTORES EN R3

13

VECTOR EN EL ESPACIO

14

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

14

MÓDULO DE UN VECTOR

15

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

16

VECTOR UNITARIO

17

SUMA Y RESTA DE VECTORES

17

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

17

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR

18

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

18


VECTORES EN R2 Los vectores en R2 son aquellos que estรกn ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.

Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Mรณdulo del vector Es la longitud del segmento AB, se representa por

.

Direcciรณn del vector Es la direcciรณn de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector El que va del origen A al extremo B.


VECTORES EQUIPOLENTES

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

VECTOR LIBRE

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.


VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE COORDENADAS El vector

que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

MÓDULO DE UN VECTOR Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector

Si tenemos las componentes de un vector:

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual al mรณdulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

VECTOR UNITARIO Los vectores unitarios tienen de mรณdulo la unidad.

SUMA DE VECTORES Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.


REGLA DEL PARALELOGRAMO Se toman como representantes dos vectores con el origen en comĂşn, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniĂŠndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

RESTA DE VECTORES Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.


PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El producto de un número k por un vector es otro vector: De igual dirección que el vector

.

Del mismo sentido que el vector

si k es positivo.

De sentido contrario del vector

si k es negativo.

De módulo Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.


CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

tengan la misma dirección. Esto


COORDENADAS DEL BARICENTRO

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas. Las coordenadas del baricentro son:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:


Vectores en R3 Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.


VECTOR EN EL ESPACIO

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector del extremo menos las coordenadas del origen.

son las coordenadas


Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

MÓDULO DE UN VECTOR El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores

y

, hallar los módulos de

y

·


Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).


VECTOR UNITARIO Un vector unitario tiene de m贸dulo la unidad. La normalizaci贸n de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma direcci贸n y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su m贸dulo.

SUMA Y RESTA DE VECTORES Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3) u - v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3)

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w Conmutativa u + v = v + u Elemento neutro u + 0 = u


Elemento opuesto u + (-u) = 0

PRODUCTO DE UN NĂšMERO REAL POR UN VECTOR El producto de un nĂşmero real k ∈â„? por un vector đ?‘˘ es otro vector: De igual direcciĂłn que el vector đ?‘˘. Del mismo sentido que el vector đ?‘˘ si k es positivo. De sentido contrario del vector đ?‘˘ si k es negativo. De mĂłdulo |k|.|u| Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.k.u = (ku1, ku2, ku3)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NĂšMERO POR UN VECTOR Asociativak.(k'.u) = (k.k').u Distributiva respecto a la suma de vectores k.(u+v) = k.u + k.v Distributiva respecto a los escalares (k+k').u = k.u + k'u Elemento neutro 1.u = u


ESPERANDO QUE SEA DE UTILIDAD PARA “APRENDER HACIENDO” Y QUE PRODUZCA EN TI “APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS”

VECTORES EN R2 Y R3  

YAGUARE ANA KARINA C.I. 26371602 ESC: 49

VECTORES EN R2 Y R3  

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