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¿Problemas al visualizar los planos que forman los vectores?

¡¡NO TE FRUSTES MÁS!!

Te presentamos los nuevos anteojos VECTOR-VISION Con estos novedosos anteojos veras la forma de cualquier conjunto de vectores de forma holográfica.

Todos van a querer probarlos…


1.1 y 1.2 VECTORES VECTOR Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A a otro punto B. NotaciĂłn:  MinĂşscula+ flecha encima/negrita  Punto inicial y punto final con flecha encima  Se usan [x,y] con los componentes Se ubican en un plano cartesiano=R^2 “Un vector se puede trasladar de una ubicaciĂłn a otra siempre que no cambien su magnitud ni su direcciĂłnâ€?. SUMA DE VECTORES Sean u=[a,b] y v=[c,d] u+v=[a+c,b+d]

MULTIPLICACIĂ“N POR UN ESCALAR Escalarďƒ nĂşmero real ej.:C C*u=C[a,b]=[C*a,C*b] PROPIEDADES DE LOS VECTORES EN lRn Sean ⃑⃑⃑ đ?‘˘, đ?‘Ł , đ?‘¤ ⃑⃑ ∈ đ?‘… đ?‘› y c, d escalares: 1. Asociatividad: đ?‘˘ ⃑ + (đ?‘Ł + đ?‘¤ ⃑⃑ ) = (đ?‘˘ ⃑ + đ?‘Ł) + đ?‘¤ ⃑⃑ 2. Conmutatividad: đ?‘˘ ⃑ +đ?‘Ł =đ?‘Ł+ đ?‘˘ ⃑


3. Neutro aditivo: đ?‘˘ ⃑ +đ?‘œ =đ?‘˘ ⃑ 4. Inverso aditivo: đ?‘˘ ⃑ + (−đ?‘˘ ⃑ )= đ?‘œ 5. Distributividad a. De escalar c/respecto a la suma de vectores: c(đ?‘˘ ⃑ + đ?‘Ł ) = đ?‘?đ?‘˘ ⃑ + đ?‘?đ?‘Ł b. Del vector multiplicado por la suma de escalares: (c+d) đ?‘˘ ⃑ = đ?‘?đ?‘˘ ⃑ + đ?‘‘đ?‘˘ ⃑ 6. c(d đ?‘˘ ⃑ )=(c*d) đ?‘˘ ⃑ 7. 1* đ?‘˘ ⃑=đ?‘˘ ⃑

⃑ đ??˜đ?? ⃑⃑ se puede calcular: Dados 2 vectores en lRn đ??€ Ă NGULO ENTRE VECTORES

DISTANCIA ENTRE VECTORES

‖a⃑ − ⃑b‖ = √v12 + ‌ + vn2

PROYECCIĂ“N DE UN VECTOR SOBRE OTRO

đ?‘ƒâƒ‘đ?‘¤ ⃑⃑ (đ?‘Ł ) = PRODUCTO PUNTO (ESCALAR)

a⃑ ∗ ⃑b = a1 ∗ b1 + a2 ∗ b2

đ?‘Łâˆ—đ?‘¤ ⃑⃑ ∗đ?‘Ł ‖đ?‘¤ ⃑⃑ ‖2


Da como resultado un escalar LONGITUD (NORMA) De un vector v en Rn es el escalar no neagtivo ‖đ?’—‖definido por: ‖đ?’—‖ = √đ?‘Ł ∗ đ?‘Ł = √đ?‘Ł12 + đ?‘Ł22 + â‹Ż + đ?‘Łđ?‘›2 Sean v y u vectores en Rn y c un escalar. Entonces: ‖đ?’—‖ = 0 si y sĂłlo si v=0 ‖đ?‘?đ?’—‖ = |đ?‘?|‖đ?‘Łâ€– |đ?’– ∗ đ?’—| ≤ ‖đ?’–‖‖đ?’—‖ ‖đ?’– + đ?’—‖ ≤ ‖đ?’–‖ + ‖đ?’—‖ VECTORES ORTOGONALES (ĂĄngulo recto entre ellos) Dos vectores v y u en Rn son mutuamente ortogonales si u*v=0

1.3 RECTAS Y PLANOS Forma normal de la ecuaciĂłn de una recta â„“ en lR2, en donde: -

“P� es el punto especifico n ≠0 es un vector normal a ℓ

Forma general de la ecuaciĂłn de â„“

đ?‘› ∗ (đ?‘Ľ − đ?‘?) = 0 đ?‘›âˆ—đ?‘Ľ =đ?‘›âˆ—đ?‘? đ?&#x;“ đ?’™ đ?&#x;“ −đ?&#x;‘ [ ]∗ [ ]= [ ]∗ [ ] đ?&#x;” đ?’š đ?&#x;” đ?&#x;? đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘? đ?&#x;”đ?’™ + đ?&#x;“đ?’š = −đ?&#x;?đ?&#x;‘

Forma vectorial de la ecuaciĂłn de una recta â„“ en lR2 o en lR3, en donde: -

“P� es un punto especifico sobre ℓ d ≠0 vector director para ℓ

La ecuaciĂłn paramĂŠtrica corresponde a los componentes de la forma vectorial de la ecuaciĂłn.

đ?‘Ľ =đ?‘?+đ?‘Ąđ?‘‘ đ?’™ −đ?&#x;‘ −đ?&#x;“ [ ]= [ ]+ [ ] đ?’• đ?’š đ?&#x;? đ?&#x;” đ?’™ = −đ?&#x;‘ − đ?&#x;“đ?’• đ?’š=đ?&#x;?+đ?&#x;”đ?’•


Mientras más grande sea la dimensión del objeto, menos ecuaciones se necesitan. Con la información anterior se puede encontrar la distancia desde un punto hasta una recta o plano.

B V – prod(V)

V

d A

P Proyd (v)

PRODUCTO CRUZ -

-

-

También es conocido como producto vectorial Solo puede calcularse entre los vectores de lR3 El resultado es un vector ortogonal a ambos vectores al mismo tiempo. Como se puede observar en la figura El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual a un vector nulo.

Producto cruz dibujado sobre un plano.

Aplicación Puede ser utilizado para hallar el área de un paralelogramo o un triángulo formado por dos vectores al obtener la magnitud de su producto vectorial y en el caso del triangulo ingresándolo dentro de la fórmula del área.

1.


2.

Propiedades 1. Anti conmutativa:

2. Homogénea : 3. Distributiva:

1.4 CÓDIGO BINARIO Es un conjunto de vectores binarios (de la misma longitud) llamados vectores código. Se trabaja en Z2 es decir {0,1}. El vector de verificación es c ⃗ = [1, 1, 1,…..1]


a manera que v⃗∙ c⃗=0

-

El proceso de convertir un mensaje en vectores código se llama codificación. El proceso inverso a la codificación se llama decodificación.

Código UPC (Código Universal de producto) -

Se trabaja en Z10 Su vector de verificación es

c ⃗ = [….3, 1, 3,…..1] Empezando de atrás hacia delante, a manera que v⃗∙ c⃗=0

ISBN (Número internacional para libros) -

Se trabaja en Z11 y es conocido como ISBN-10 ya que contiene 10 dígitos.

-

Existe des 2007 el código ISBN-13 que contiene 13 dígitos.

-

Su vector de verificación es c ⃗ = [….5, 4, 3, 2, 1]

2.1 Métodos Directos para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales 

Ecuaciones Lineales  Sistema lineal consistente es el que tiene solución. Ya sea única o infinitas soluciones.  Sistema lineal inconsistente es el que NO tiene solución.  Sistemas equivalentes son los que tienen la misma solución.


Rectas que se cruzan. Hay una soluciĂłn.

Rectas paralelas. No hay soluciĂłn.

Rectas que coinciden. Hay infinitas soluciones.

*Ademås puede consultarse este link: http://www.youtube.com/watch?v=0mHCQYQGu04 

Matriz Es un arreglo rectangular de nĂşmeros llamados “entradasâ€?.

Tiene dos renglones ( cuatro columnas ( )

)y

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como producto de una matriz y un vector e igualarlo a otro vector formado por los tĂŠrminos constantes:

đ??´đ?‘Ľâƒ— = đ?‘?⃑⃗


EJEMPLO: đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ =4 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 9 −2đ?‘Ľ + 3đ?‘§ = −7 1

1

1

4

2

3

4

9

-2

0

3

-7

Matriz de coeficientes

Vector de tĂŠrminos constantes

Matriz aumentada asociada al sistema

Los mĂŠtodos para resolver una matriz son: ďƒź EliminaciĂłn Gaussiana ďƒź EliminaciĂłn de Gauss-Jordan Las cuales convierten un sistema de ecuaciones dado en otro sistema EQUIVALENTE que sea mĂĄs sencillo de resolver. 

Operaciones de RenglĂłn 1. Ri Rj (intercambiar renglones) 2. KRi (multiplicar un renglĂłn por un escalar K) 3. Ri + KRj (sumarle a un renglĂłn el mĂşltiplo de otro, siendo Ri el renglĂłn que se desea modificar)



Entrada Principal Es el primer nĂşmero distinto de cero que aparece en un renglĂłn. Esa entrada principal en cada columna se utiliza como referencia (pivote) para convertir en ceros todas las entradas debajo de ella.



Matriz en Forma Escalonada Cuando debajo de cada “entrada principal� de la matriz hay cero.


PIVOTE

Se trabaja de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

Eliminación Gaussiana Es el proceso mediante el cual se convierte la matriz aumentada asociada a un sistema lineal dado en una matriz ESCALONADA para encontrar la solución de un sistema lineal equivalente. *Consultar el link: http://www.youtube.com/watch?v=6yayFt5xL28 

Eliminación Gauss-Jordan Es el proceso mediante el cual se convierte la matriz aumentada asociada a un sistema lineal dado a una matriz en FORMA ESCALONADA REDUCIDA en la cual todos los pivotes son 1 y todas las demás entradas son cero.

*Consultar el link: http://www.youtube.com/watch?v=n9Zr1b1NK4c 

Sistemas en Zp En algún Zp es máximo de soluciones que se tendrá es p. (puede ser posible que se descarte alguna o todas). Por ejemplo: Z2 = 2 soluciones Z3 = 3 soluciones Z4 = 4 soluciones


Patrones para saber la cantidad de soluciones que tuene un sistema de ecuaciones lineales:

2.3 CONJUNTOS GENERADORES E INDEPENDENCIA LINEAL 1. Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A l b] es consistente si y sólo si b es una combinación lineal de las columnas de A. 2. si S={v1,v2,…,vk} es un conjunto de vectores en Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1,v2,..,vk se llama el generador de v1,v2,..,vk y se denota gen(v1,v2,..,vk) o gen(S). 3. Un conjunto de vectores es linealmente INDEPENDENCIA/DEPENDENCIA LINEAL dependiente si y sólo si : Un conjunto de vectores es linealmente dependiente -Al menos uno de los vectores puede si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los expresarse como una combinación lineal de los otros. cuales no es cero, tales que: -El sistema lineal homogéneo con matriz c1v1+c2v2+….ckvk=0 aumentada [Al0] tiene una solución no trivial.


un conjunto de vectores que NO es linealmente dependiente se llama linealmente independiente. Para saber más sobre los temas visite: http://www.youtube.com/watch?v=Pu8LTSSxdzw http://www.youtube.com/watch?v=W4hJIA7DAW8

Ahora vamos a reír un poco! 1. ¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario. 2. ¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas. 3. Dos rectas paralelas se interceptan siempre y cuando el punto de intersección sea lo suficientemente gordo 4. ¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas? -No hijo, no estaría bien. -Bueno, inténtalo de todas formas 5. Se abre el telón. Aparecen tres vectores linealmente independientes. Se baja el telón. ¿Cómo se llama la película? Rango 3

Revista Grupo 2