Page 1

NÚMEROS ENTEROS SESION 1: INTRODUCCIÓN: Los números enteros surgen de la necesidad de representar cantidades con relaciones a apuestas como el ganar y el perder dinero (ganar B/. 100 se representa por +100 y a su vez una deuda de B/. 500 por -500). Otras de las bondades del tema son sus conexiones intra-matemáticas y con otras materias; como por ejemplo en los conceptos trigonométricos como los ángulos positivos y negativos, el plano cartesiano para la localización de puntos que no es más que dos rectas numéricas una horizontal y otra vertical que tienen en común la posición cero.

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Donde enteros negativos

es el conjunto de todos los

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.


SESION 2: ORDEN DE LOS NUMEROS ENTEROS Y LA RECTA NUMERICA ORDEN: Al comparar dos números enteros sobre la recta numérica es mayor aquel que se encuentre a la derecha del otro.

El símbolo

se lee “Es menor que” también se usan los símbolos siguientes:

, que se lee “Es mayor que” , que se lee “Es mayor o igual que” , que se lee “Es menor o igual que” Para todo i.

que pertenecen al conjunto de los números enteros se tiene:

Orden de tricotomía: Una y una de las siguientes posibilidades se cumple: Ó

ii. iii. iv. v.

Ó

Orden transitivo: sí y Orden de adición: sí Orden multiplicativo: sí y Cancelativa de la multiplicación: Sí

y

Ejemplos: i.

Sean los números números

y

determine la relación de orden entre estos

Nota: cualquier entero negativo siempre será menor que un entero positivo Por lo tanto ii. iii. iv.

Sí Sí Sí

Definición: i.

y se lee -5 es menor que 10 y entonces entonces y entonces

es positivo. es negativo.

puesto que


ii. Ejemplo:

ó

entonces

es positivo; puesto que

y

es negativo; puesto que RECTA NUMÉRICA DE Utilizando el concepto de orden, que dice los números enteros positivos se ubican a la derecha y los números enteros negativos a la izquierda del cero

Enteros Negativos

Enteros Positivos

Ejemplo:

Entonces

Representación grafica

Ubica en la recta numérica los números enteros: a) 6, 1, -6, 2, -2


TEMA 3:

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ejemplos: –

( sumo y conservo el signo) ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo). Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo). 5 + – 51 = – 46 (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto) – 14 + 34 =

20

Importante: Los números con signos iguales se suman y el resultado lleva el mismo signo de los números mientras que los números con signos diferentes se restan y el resultado lleva el signo del número mayor. Propiedades de la suma de números enteros 1. Interna: Si

entonces entonces

2. Asociativa:

, pues,


(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)] 5 − 5 = 2 + (− 2) 0=0 3. Conmutativa: 2 + (− 5) = (− 5) + 2 −3=−3 4. Elemento neutro: (−5) + 0 = − 5 5. Elemento opuesto: 5 + (−5) = 0

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

7−5=2 7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros 1. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero. Si

entonces entonces

2. No es Conmutativa:

, pues, – 5–2 ≠ 2−5


TEMA 4: MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos

2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Interna Si

entonces

2. Asociativa: (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] 6 · (−5) = 2 · (−15) -30 = -30 3. Conmutativa: 2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10 4. Elemento neutro: (−5)· 1 = (−5)


5. Distributiva: (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 (−2)· 8 =- 6 - 10 -16 = -16

6. Sacar factor común: (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

7. Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:

Ejemplo:

TEMA 5: DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CONCEPTO Es la operacion inversa de la multiplicación que consiste: “Dados dos números enteros llamados Dividendo y divisor (diferente de cero) Hallar


un tercer numero llamado cociente, que multiplicado por el divisor resulte el dividendo”

La división de a por b se puede indicar de las siguientes formas: ,

ó

La división de un numero por cero no esta definido, por tanto:

Regla de los signos

Ejemplo: 10 ÷ 5 = 2 (−10) ÷ (−5) = 2 10÷ (−5) = − 2 (−10) ÷5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna: Si

entonces

¿Si

entonces

?

Veamos pero en

por tanto la división no es una operación

interna


2. No es Conmutativo:

6 ÷ (−2) ≠ (−2) ÷6

3. Propiedad Distributiva: Ejemplo:

4. Propiedad Elemento Neutro: Ejemplo: a) b) 5. Propiedad Elemento absorbente: El cero es absorbente por la izquierda, ya que dividido por cualquier número diferente de cero, siempre da cero. No por la derecha, ya que la división por cero, es imposible.

Ejemplo:

a) b) 6. Propiedad de Monotonía: Si el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplican o dividen por un mismo número diferente de cero el cociente no varía

Ejemplo: a) Si


b) Si

7. Si el dividendo lo multiplicamos o lo dividimos por cualquier numero entero sin alterar el divisor; el cociente quedará multiplicado o dividido por dicho numero entero.

Ejemplo: a) Si

b) Si

TEMA 6: POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:


1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades: i.

a0 = 1 Ejemplo:  

ii. Ejemplo:  

iii. Ejemplo: (−2)5 · (−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

iv. Ejemplo:

v. Ejemplo: [(−2)3]2 = (−2)6 = 64

vi.


Ejemplo:

(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216

vii. Ejemplo:

viii.

Potencias de exponente entero negativo donde Ejemplo:

TEMA 7: RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO En estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado.


Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación de extraer la raíz a partir del número determinado y se ejecuta utilizando el símbolo , que se llama radical. Por ello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a operaciones para trabajar con raíces. Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la potenciación, así como la suma es la operación inversa de la resta y viceversa, y la multiplicación es la operación contraria de la división y viceversa. Para graficarlo de algún modo: Potencia

Raíz

Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática son: X: Base de la potencia

X: Valor de la raíz

n: Exponente de la potencia

n: Índice de raíz

a: Valor de la potencia

a: Cantidad subradical (o radicando)

La raíz consiste en encontrar la base de la potencia conociendo el exponente (que en la raíz se llama índice) y la cantidad subradical.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. no tiene solución

Cuando el índice de la raíz es 2 (raíz cuadrada), no se acostumbra por convención a colocarlo, se subentiende que es 2.

Para encontrar el valor de una raíz cuadrada se debe hacer la siguiente pregunta: ¿Qué número elevado a 2 (al cuadrado) da como resultado 64? La respuesta es 8, porque 82 = 64 ¿Qué número elevado a 2 da como resultado 100?


La respuesta es 10, porque 102 = 100 En general, para encontrar el valor de una raíz se debe hacer la siguiente pregunta: ¿Qué número elevado al índice de la raíz da como resultado la cantidad subradical (o radicando)? Propiedades de las raíces Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces: 1) Multiplicación de raíces de igual índice:

Se multiplican las bases y se conserva el índice.

2) División de raíces de igual índice:

Se dividen las bases y se conserva el índice. Ejemplo

3) Raíz de raíz:

Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base. Ejemplo


4) Raíz de una potencia cuyo exponente es diferente al índice:

Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical y la base queda aislada. Ejemplo:

5) Propiedad de amplificación:

Tanto el índice como el exponente de la potencia pueden amplificarse por un mismo valor.

6) Ingreso de un factor dentro de una raíz:

(con la restricción que a>0 si n es par) Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores. TEMA 8: VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.


Criterios para hallar valor absoluto i. Todo número negativo es menor que cero.

ii.Todo número positivo es mayor que cero.

Ejemplo:

Si

determine el valor de la siguiente expresión:

Paso 1: Primero debemos saber si las expresión dentro del valor absoluto son positivos o negativos:  

Como Como

entonces entonces

Paso 2: Sabiendo el valor de la expresión dentro del valor absoluto se reemplaza teniendo en cuenta la definición del valor absoluto Como

entonces

Como

entonces

Ahora:

TEMA 9: ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA DEFINICIÓN La ecuación se define como una igualdad de dos expresiones matemáticas generalmente de variable , que se va a verificar para algún conjunto particular de valores que tome la variable (que también se le conoce con nombre de incógnita) o tal vez nunca se verifique.


Las ecuaciones lineales con una incógnita son ecuaciones de la forma:

ó cualquier otra equivalente a ella. Ejemplo:

Para: (falso)

(falso)

(verdadero) Entonces es el único valor que verifica la igualdad por eso se dice que tiene solución única.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Las ecuaciones de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo. Dada la ecuación:

Transposición Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−x a la izquierda); y si está restando (como el −4 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+ a la derecha) La ecuación quedará entonces así:

Simplificación


El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Realizamos la simplificación del primer miembro:

Y simplificamos el segundo miembro:

La ecuación simplificada será:

Despeje Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía. En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo. Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que está multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica. En la ecuación debemos entonces pasar el número 3 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número Sin embargo, debemos simplificar. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal Por tanto, simplificando, la solución es:


TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.

Ejemplo: Sea el sistema de ecuación

Es una solución del Sistema anterior

4 3( MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de sustitución Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes

1. Despejamos la

de la primera ecuación:

2. Sustituimos en la otra ecuación:

3. Resolvemos la ecuación resultante:

ó


4. Para averiguar el valor de

sustituimos el valor de expresi贸n obtenida en el paso 1

M茅todo de igualaci贸n

1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones.

2. Igualamos las dos expresiones anteriores

3. Resolvemos la ecuaci贸n resultante

en la


4. Para calcular el valor de x sustituimos expresiones obtenidas en el paso 1

en cualquiera de las

Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. En el siguiente sistema de ecuación: para eso lo identificamos a las ecuaciones con letras griegas … …

1. Vamos a eliminar . Para ello multiplico la ecuación ecuación resultante llamaremos :

por 2, esta

… 2. Sumando ambas ecuaciones

y

+ de donde

para eliminar

así hallar el valor de


3. Para calcular sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda

Profile for Anakin Diaz Quispe

Numeros Entetos  

Es un conjunto de numeros .......

Numeros Entetos  

Es un conjunto de numeros .......

Advertisement