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Algebra for dummies Grupo #7

Guatemala 16 de Febrero del 2014 Universidad del Valle Guatemala


Manuel JosĂŠ Castro, 13053 Estib Soto, 13398 Erick Saucedo, 13167 Ana Fernanda Solares, 13125


Actividad 

En la siguiente sopa de letras deberás buscar las diferentes palabras, cuando las hayas encontrado deberás ver el número que corresponde a cada una para verificar el contenido de cada palabra en la revista.

1. Operaciones 2. Magnitud 3. Dirección 4. Distancia 5. Proyección 6. Propiedades 7. Normalizar 8. Producto vectorial 9. Ecuaciones 10. Distancia punto a recta 11. Distancia punto a plano 12. Distancia rectas paralelas 13. Distancia planos paralelos 14. Angulo Rectas 15. Angulo planos 16. Angulo rectas y planos


Vectores   

Definición: ES un segmento de recta dirigido que representa un desplazamiento desde un punto A (punto inicial) hasta un punto B (punto final). Notación: letra mayúscula con flecha encima  ⃑⃑⃑⃑⃑ Características:  Magnitud: longitud de la flecha.  Dirección: Ángulo en radianes que forma con el eje x positivo.  Plano Cartesiano de dos o tres coordenadas Escritura: ]  Renglón: [  Columna: [ ]

Diferentes vectores:  Iguales: misma magnitud y misma dirección.  Paralelos: son múltiplos escalares mutuos.  Ortogonales o Perpendiculares: se forman 90° entre ambos. ( ⃑⃑⃑ )( ⃑ )  Unitarios: de longitud igual a 1. ⃑

1. Operaciones  Suma

(

Resta

Multiplicación entre dos vectores ( ⃑ )( ⃑ ) ⃑

‖ ⃑⃑⃑ ‖

⃑⃑⃑

)

( ⃑) (⃑⃑⃑⃑ )(⃑⃑⃑⃑⃑⃑)

Multiplicación de un vector por un escalar ( )( ⃑ ) (⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ) ( ⃑⃑⃑⃑

(⃑⃑⃑⃑ )(⃑⃑⃑⃑ )

⃑⃑⃑⃑ )

2. Magnitud en ‖ ‖

3. Dirección en (⃑⃑ )(⃑ ) (‖⃑⃑ ‖)(‖⃑ ‖)

[(⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(⃑⃑⃑⃑ ) [(√

(⃑⃑⃑⃑⃑ )(⃑⃑⃑⃑ )] )(√

)]


4. Distancia en

(primero se realiza la resta y luego se calcula la magnitud) (⃑⃑ ⃑ )

‖⃑

⃑⃑ ‖

5. Proyección ( ) ⃑  Notación: ⃑  Vector nulo o cero: al proyectarlo [0,0]  Si 90°< < 180° es opuesto.

 Magnitud: ⃑

( ⃑ )( ⃑ ) [ ]⃑ ( ⃑ )( ⃑ )

6. Propiedades algebraicas de vectores en Nombre Conmutativa Asociativa Elemento neutro (cero) Inverso Aditivo Distributiva de escalar Distributiva de vector

Expresión ⃑⃑ ⃑⃑

(⃑

⃑ ⃑⃑⃑⃑ ) ⃑⃑

⃑ ⃑⃑⃑⃑

⃑⃑ (⃑

⃑⃑ )

⃑⃑

⃑⃑ (⃑⃑

( ⃑⃑ ) ⃑) ⃑⃑ ⃑ ⃑( ⃑ ⃑ ) ( ⃑⃑ ) ( )⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑

7. Normalizar: Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección que . ⃑

[(

‖⃑ ‖

) ( ⃑ )]


8. Producto vectorial o producto cruz  Esa definido para vectores en  El resultante es un vector ortogonal a ambos vectores

[

(⃑

]

[ ]

⃑ )

[

]

9. Ecuaciones  Vector Normal ( ⃑ ): forma 90° con otro vector.  Vector Dirección ( ⃑ ) : ( ⃑ )( ⃑ )  Punto sobre la recta ( ) : [x , y]  Vector escalar (t)  Punto fijo conocido que se encuentra en la recta ( ⃑ ): [

]

 General: si la recta pasa por el origen (c = 0) entonces existe una recta ortogonal que puede pasar a ser forma Normal. [ ] [ ]  Normal: Puede pasarse a forma General. ⃑

⃑ ⃑

 Vectorial: Puede pasarse a forma Paramétrica. ⃑ ⃑ [ ]

[ ]

[

]

 Paramétricas: Puede pasarse a forma Vectorial.


Ecuaciones  De una recta en  General 

Normal ⃑

Vectorial

Paramétricas

 De una recta en  Paramétricas

Normal

General

Vectorial

Simétrica


 De un plano en  Vectorial ⃑ 

Normal ⃑

General

10. Distancia desde un punto a una recta F

P

Encontrar ⃑⃑⃑⃑⃑

Encontrar la

Encontrar

Distancia: ‖

⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑

11. Distancia desde un punto a un plano ⃑

F

P 

Encontrar ⃑⃑⃑⃑⃑

Encontrar la

Encontrar

Distancia: ‖

⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑ ‖


12. Distancia entre rectas paralelas - Sea ⃑⃑⃑ un punto conocido de la primera recta ⃑⃑⃑⃑ - Sea ⃑⃑⃑⃑ un punto conocido de la segunda recta ⃑⃑⃑⃑ PASOS:  Encontrar ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑

Encontrar la

Encontrar ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

Distancia: ‖⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑

13. Distancia entre planos paralelos - Sea A un punto del primer plano ⃑⃑⃑ - Sea B un punto del segundo plano ⃑⃑⃑⃑ PASOS:  Encontrar ⃑⃑⃑⃑⃑  Encontrar el vector normal ⃑ que comparten ambos planos. 

Encontrar

Distancia: ‖

⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑

14. Ángulo de intersección entre rectas - Sea ⃑⃑⃑⃑ la primera recta. - Sea la segunda recta. PASOS:  Encontrar el vector dirección de ambas rectas. - Distancia de la primera recta ⃑⃑⃑⃑ - Distancia de la segunda recta ⃑⃑⃑⃑  Encontrar el ángulo: (

‖ ‖

15. Ángulo de intersección entre planos - Sea ⃑⃑⃑⃑ el vector normal del primer plano, donde será - Sea ⃑⃑⃑⃑ el vector normal del segundo plano, donde será PASOS: 

(

[ √

] √

)

) ‖


16. Ángulo de intersección entre una recta y un plano - Sea ⃑ el vector dirección de la recta, donde será - Sea ⃑ el vector normal del plano, donde será PASOS:

(

[ √

] √

)


PROBLEMAS 1. Dibuje los siguientes vectores en posición estándar en A = [3,0]

2. Calculo los vectores indicados. A. ⃑ [ ] y ⃑⃑ [ ] resolver ⃑ X = (3 + 2, 0 + 3) X = [5, 3] B. ⃑

[ ] y ⃑ [ ] resolver X = [2(3,0) + 3(-2,3)] X = [(6,0) + (-6,9)] X = (6-6,0+9) X = [0,9]

3. Simplifique la expresión vectorial dada. A. 2(a – 3b) + 3(2b + a) (2a – 6b) + (6b + 3a) (2a + 3a) + (6b – 6b) 5a B. 4(a + 2b) – 4c – 3(2c + 3a –b) (4a + 8b – 4c) + (-6c - 9a + 3b) (4a – 9a) + (8b + 3b) + (-4c – 6c) -5a + 11b – 10c

⃑⃑


4. Despeje el vector x en términos de los vectores a y b. A. X + 2a – b = 3(x + a) – 2(2a – b) X + 2a – b = 3x + 3a – 4a – 2b X + 2a – b = 3x – a – 2b 2a – b + a + 2b = 3x – x 3a + b = 2x =x 5. Encuentre el ángulo de ⃑⃑

[

[ ⃑⃑⃑⃑⃑(⃑⃑)

[

⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ]

[

] y ⃑⃑ ‖

]

=

) √

[(√

6. la distancia entre ⃑⃑ D( ⃑⃑ ⃑) = ‖ D( ⃑⃑ ⃑) = ‖ D( ⃑⃑ ⃑) = √ D( ⃑⃑ ⃑) = 5.83

] ⃑⃑ ]

[

]

7. Donde p = (2,2) ya que es el punto que al realizar el producto punto la respuesta sea 10.

 Ecuación general [ ]

[ ]

 Ecuación normal: [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

 Ecuación Vectorial: [ ]  Ecuación parámetro:

[ ]

[

]


8. Hallar el ángulo que forman los planos: ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ (

[ √

] )

9. Determine el ángulo que forma la recta y el plano - Recta: ⃑ - Plano: ⃑ ⃑ ⃑⃑ (

[ √

] )

10. Hallar el ángulo que forman la recta: - Primera recta: ⃑⃑ - Segunda recta: ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ( √

)

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