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¿Qué es un Vector? ●

Un vector, es un segmento de recta dirigido que representa un desplazamiento desde un punto “A”, llamado Punto inicial y un punto “B” llamado punto terminal.

Un vector se escribe principalmente de dos formas: ○ con una letra minúscula con una flecha o raya encima. ○ con una letra minúscula en negrilla.

También, posee coordenadas expresadas en el plano cartesiano (x, y, z) donde cada posición “x”, “y” y “z” son llamadas las componentes del vector. Un vector se puede representar en varias dimesiones, no solamente en x, y, z. sin embargo para representarlos normalmente se utilizan solamente 3 dimensiones Vector Renglón: [x, y.z] Vector Columna:

● ● ●

Para expresar en cuantos ejes el vector es representado se escribe como de componentes que tendra el vector.

donde n es el numero

¿Qué características tiene un Vector? ● Un vector tiene Magnitud: la longitud del Vector, que es un número no negativo. ● Un Vector tiene dirección: el ángulo que forma la representación en el eje x positivo. ● La dirección siempre se da en Radianes.


Vectores en “R2” ●

En un plano , que tiene dos componentes (x, y), un vector cuyo punto inicial este en la coordenada (0, 0) se dice que es un vector en posición estándar.

Operaciones con Vectores Suma de vectores ●

Un vector se suma como la suma de cada uno de sus componentes individuales: ○ a = [x1,y1] y b = [x2, y2] ○ Entonces, a+b=[ x1+ x2 , y1+ y2] ■ La suma de Vectores Geométricamente se ve así:


Resta de Vectores ● a-b = a + (-v) ● Geométricamente:

¿Cuáles son las propiedades con las que cumple la suma de Vectores? a) b) c) d) e) f) g) h)

a+b = b+a (a+b) + w = a + (b+w) a+0 = a a+(-a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c+d) = cu + du c(da)=(cd)a 1a = a


Magnitud de un Vector ● ●

La Magnitud de un vectores la longitud del mismo. ○ En R2: Notación: ||v||

||v|| = √

○ En Rn, resulta sencillo encontrar su magnitud. En un vector con Rn Componentes, su magnitud es la suma del cuadrado de sus componentes.

Vectores en “R3” ●

En un plano R3un vector es representado en términos de tres componentes (x, y, z).


Dirección de un Vector ●

La dirección de un vector la define el ángulo que tienen con respecto a su posicion estándar.

Producto Punto o Producto Escalar ●

u1v1 + u2v2

● Propiedades del Producto Punto ○

Ley Conmutativa

c

○ ○

cLey Distributiva

n

; siendo m cualquier

escalar

Proyecciones ● Si a y b son vectores y u es distinto de 0, entonces la proyección de b sobre a es el vector proyab es: Proy

Ángulo entre Vectores cos

a

a a a a


Combinación lineal de vectores Dados dos vectores u y v, y dos escalares a y b, y el nuevo vector w = au+bv es una combinación lineal de u y v. Si se quiere sumar mas de dos vectores, es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escales. a v a v an vn Por ejemplo, dados dos vectores u =(1,2) y v = (3,-1), hallar la el vector combinacional w = 2u + 3v. Solución: el vector w se puede expresar como:

Vectores unitarios estándar Un vector unitario es un vector con longitud 1. Un ejemplo un vector unitario es u , debido a que √ u

√( )

( )

i

√a Sea u = ai +bj un vector unitario. Entonces u , de manera que a y u se puede representar por un punto en el círculo unitario (observe la figura de a abajo). Si es la dirección de u, entonces es claro que a cos y sen . Así cualquier vector unitario u se puede escribir en la forma u donde

es la dirección u.

cos

sen


(Stanley I. Grossman, 2003)

Desigualdad del tri谩ngulo Para todos los vectores u y v en

n

, u

v

u

v

Para demostrar esta desigualdad se observa que ambos lados no son negativos, el lado izquierdo de la ecuaci贸n es menor o igual que el lado derecho de la misma. u v u v u v u u u v v v u u v v u u v v u v Producto cruz o producto vectorial Sea u a i c yv a i c . Entonces el producto de u y v, se denota como u x v, el cual es un nuevo vector definido como: u

v

c c

Ejemplo de producto cruz de dos vectores:

i

c a a c

a

a


Sean u = i - j +2k y v = 2i + 2j -4k, calcule w = u x v. Usando la fórmula anterior se obtiene [

]i

[

]

[

]

i

ECUACIONES DE LA RECTA EN R *en donde L es una recta

FORMA VECTORIAL x p td x=vector [x,y] p=punto específico sobre la recta L d= vector director en donde este no es igual a cero t=es un escalar cualquiera en Ejemplo 1: Encuentre la ecuación vectorial de la recta en paralela al vector [3,1] .

que pasa por el punto (2,1) y es

Solución p=[2,1] d=[3,1] < ya que la recta es paralela a este vector, entonces su vector director es igual a este. La forma vectorial es [x y]

[

]

t[

]

ECUACIONES PARAMÉTRICAS * son las ecuaciones que corresponde a las componentes de la FORMA VECTORIAL de la forma: x p td y p td Ejemplo 2: Encuentre la ecuación paramétrica para el Ejemplo 1


Solución: Lla forma paramétrica es: x = 2 + 3t y = 2+ t

FORMA NORMAL n x-p ó n x n p n=es un vector normal a L (por lo que es perpendicular al vector director) *n p=punto específico sobre la recta L x=vector [x,y] Ejemplo 3: Encuentre la ecuación normal del Ejemplo 1 Solución: para encontrar el vector normal, hay que encontrar un vector que sea perpendicular a [3,1] [3,1] [a,b]=0 Entonces: 3a+b=0 Todo valor en a y b que corresponda a la ecuación, dan como resultado el vector normal para esta recta. Para este ejemplo se tomarán los valores de [1,-3] La forma normal es [1,-3] [x,y]=[1,-3] [2,1]

FORMA GENERAL *Producto punto de los vectoreS en la FORMA NORMAL De la forma: ax y c Ejemplo 4: Encuentre la ecuación general del Ejemplo 1.


Solución: Producto punto de la forma normal (1*x) + (-3*y) = (1*2)+(-3*1) la ecuación general es x - 3y = -1 ECUACIONES DE UNA RECTA EN R es la intersección de dos planos, en donde su forma normal y general debe darse por ecuaciones que corresponden a dos planos.

FORMA GENERAL a1 x + b1 y +c1 z = d1 a2 x + b2 y +c2 z = d2

FORMA VECTORIAL x = p + t d (3 componentes)

FORMA NORMAL n1 . x1 = n1 . p1 (P1 ) n2 . x2 = n2 . p2 (P2 )

ECUACIONES SIMÉTRICAS x – p1 / d1 = y – p2 /d2 = z – p3 / d3

ECUACIONES PARAMETRICAS x = p1 + t d1 y = p2 + t d2 z= p3 + t d3

Ejemplo de aplicación: encontrar todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3, -1, 2 ) y B ( 1, 2, 4)


Encontramos el vector director AB Elegimos el punto A = ( 3, -1, 2 )

VECTORIAL

( -2, 3. 2 )

( x, y, z ) = ( 3, -1, 2 ) + t ( -2, 3. 2 )

PARAMÉTRICA x = 3 + t -2 y = 1+ t 3 z = 2+ t 2

SIMÉTRICA x – 3 / -2 = y – (-1 ) /3 = z – 2 / 2

GENERAL: resolvemos las igualdades y ordenamos x – 3 / -2 = y – (-1 ) /3 = 3x - 9 = -2y - 2 = 3x +2y - 7 = 0 x – 3 / -2 = z – 2 / 2 = 2x - 6 = -2z + 4 = 2x - 2z + 10 = 0 ecuación

3x + 2y - 7 = 0 2x - 2z + 10 = 0

ECUACIONES DE UN PLANO EN R FORMA NORMAL n x

n p

n= es el vector normal al plano x= son valores [x,y,z] en el plano p= un punto en el plano Ejemplo 1: Encuentre la forma normal de la ecuación de un plano que contiene el punto p=(2,7,3) y tiene un vector normal n=[2,3,4]. Solución: La ecuación normal es: [2,3,4] [x,y,z]=[2,3,4] [2,7,3]


FORMA GENERAL * Es la operación del producto punto de la forma normal. ax y cz d Ejemplo 2: Encuentre la forma general del Ejemplo 1. operación del producto punto de la forma normal (2*x)+(3*y)+(4*z)=(2*2)+(3*7)+(4*3) la ecuación general es 2x +3y + 4z = 37 FORMA VECTORIAL x p su tv x = vector [x,y,z] p = un punto en el plano. u y v = son los dos vectores directores del plano, los cuales no deben de ser paralelos entre sí, pero perpendiculares a una mismo vector normal. s y t = cualquier valor escalar en

en el plano.

Ejemplo 3 Encuentre la forma vectorial para el Ejemplo 1. Como los vectores directores son perpendiculares al mismo vector normal, sacaremos producto punto del vector normal. [2,3,4] [a,b,c]=0 2a+3b+4c=0 Dos vectores que cumplan con la condición dada: [0,4,-3] y [3,-2,0] La ecuación vectorial es [x y z]

[

]

s[

]

t[

]


ÁREA DE DESTREZAS Esta sección está diseñada para que pongas en práctica las destrezas adquiridas sobre vectores. 1. Crucigrama vectorial

HORIZONTAL 1. ¿Qué nombre recibe la cantidad física? 4. ¿Cuál es la medida del vector? VERTICAL 2. ¿Cómo se le llama a la inclinación del vector? 3. ¿Qué nombre recibe la flecha del vector que lo identifica como tal? 5. ¿Tiene medida y unidad, pero no dirección? 6. ¿Cómo se le llama el punto de partida de un vector en forma estándar?


Solucion al crucigrama 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Vectorial Direcci贸n Sentido Magnitud Escalar Origen



Algebralineal