Teorema 1.2.26. Teorema de corre¸ca ˜o para L∨ `L∨ α ⇒ J |= α Dem.: : Por indu¸ca˜o no comprimento da deriva¸ca˜o formal de α, α 1 , ..., αn De novo, para o fragmento puramente implicativo de L∨ , ver Teorema 1.2.8. Caso 1.2.26.1. Seja n = 1 Ent˜ao α ´e qualquer elemento do conjunto Ax1∨ -4∨ e devemos verificar atrav´es da tabela-verdade que ´e v´alida. Escolhemos Ax∨ 2 (os outros casos s˜ao provados analogamente). δ 0 0 0 0 1 1 1 1
β γ θ η (δ ∨ β) 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
λ η → λ θ → (η → λ) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
Com δ → γ = θ, β → γ = η, (δ ∨ β) → γ = λ. Ent˜ao J |= α Caso 1.2.26.2. Seja n 6= 1 Se α ´e um axioma, a demonstra¸ca˜o ´e como acima. Caso contr´ario, existem 1 ≤ i, j < n tais que αj = αi → α e αn = α. Supomos (por hip´otese de indu¸ca˜o) que h00 (αi ) = e h00 (αi → α) = , mas, pela defini¸ca˜o de f , h00 (α) = , isto ´e J |= α, e acaba a indu¸ca˜o ¥. Teorema 1.2.27. Teorema de Completude para L∨ J |= α ⇒ `L∨ α. Dem.: : A prova ´e an´aloga a 1.2.9, onde agora utilizamos o resultado de 1.2.25¥. Para LY , basta estabelecer os axiomas que introduzem o novo conectivo, desde que as demonstra¸co˜es dos teoremas de corre¸ca˜o e completude s˜ao 27