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O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB


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Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte Tópicos

Objectivos(extractos)

1º ciclo: Reflexão

• Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º anos) • Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e identificar simetrias (3º e 4º anos). Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação, reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta)

2º ciclo: Reflexão,

Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e rosáceas; construir frisos e rosáceas.

rotação e translação Noção e propriedades; simetrias axial e rotacional

3º ciclo: Isometrias Translação associada a um vector; propriedades das isometrias

• Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 2


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Que imagens têm ou não têm simetria?

Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 3


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Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos?

Afinal, de que falamos quando falamos em simetria? Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 4


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Simetria: Que significado?  A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl)

A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70)

 Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993)

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Simetria: Estabilizando um significado  Falar de simetria é falar de simetria de uma figura. Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,...

(Bastos, 2006)

 Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas...

... embora possa perguntar-se se a boneca tem simetria.

(uma figura)

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Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Focando-nos nas figuras do plano  Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006)

 Invariante significa globalmente invariante Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182)

 Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 7


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Revisitando isometrias a propósito de simetria  Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante  Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais.  Quatro tipos fundamentais de isometrias: — Rotação — Translação — Reflexão

— Reflexão deslizante Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 8


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Revisitando isometrias a propósito de simetria .O

Rotação

75º

O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus.

Rotação de centro O e amplitude 750 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 9


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Revisitando isometrias a propósito de simetria .O

Rotação

75º

Centro de rotação: pode ser um ponto da figura

Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura

.O 2700 750 .O

1800 (meia volta)

.O

.O

3600

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Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: •qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); •a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α.

Rotação de centro O e amplitude 900

F

F

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Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação

Translação associada ao vector v

Translação associada ao vector u

 v



u



Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância.



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Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação

 u

Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’  (imagem de O) em que O’ = O + u

 u  Translação da figura F associada  ao vector u

F

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Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão

Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s)

eixo de reflexão

Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”... Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 14


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Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão

Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que: •a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou s é a mediatriz de [O O’]; •se O pertence a s, a sua imagem coincide com O.

F

 Reflexão da figura F de de eixo s s Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 15


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Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão deslizante

Transformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s.

F

 u s

O’’ imagem de O através da reflexão  deslizante associada a s e ao vector u

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Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305) — Simetria de reflexão (ou simetria axial) — Simetria de rotação (ou simetria rotacional)

—Simetria de translação —Simetria de reflexão deslizante

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Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses...  Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente;  Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda;  Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);  ... Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 18


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Simetria de reflexão de uma figura  Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305)

Eixo de simetria?

1 eixo de simetria

? eixos de simetria

? eixos de simetria

? eixos de simetria

? eixos de simetria

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Simetria de reflexão de uma figura

Eixo de simetria?

1 eixo de simetria

2 eixos de simetria

6 eixos de simetria

0 eixos de simetria

4 eixos de simetria

Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 20


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Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00 e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600.

Como a reconhecemos? Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.

Figura com simetria rotacional

Figura sem simetria rotacional (ou qualquer outro tipo de simetria)

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Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”)

C

Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura.

Um quarto de volta (90º)

Meia volta (180º)

Três quartos de volta (270º)

Uma volta inteira (360º)

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Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos?  Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original  Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

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Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos?  Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original.  Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

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Em busca de simetrias de figuras Potencialidades O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...) O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…) A análise de objectos artísticos ou de cristais através das suas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...)

Conhecimento matemático Resolução de problemas

Conhecimento matemático Comunicação e raciocínio

Conexões matemáticas

(Bastos, 2006, p. 11) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 25


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Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado?

D

A

C

B

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Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? 

Simetrias de reflexão

4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos 

90º

Simetrias rotacionais

4

D

C

Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600. B

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Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos

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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas

Rosáceas  Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 3600 e a medida desta amplitude é exacta.  Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura).  Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.

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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas?

Identificar

• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas?

Identificar

• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

 Simetria de reflexão e simetria rotacional  Só simetria rotacional  Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado  Simetria rotacional R rotação de 1800 R2 rotação de 3600 (identidade)

R rotação de 600 R2 rotação de 1200 R3 rotação de 1800 R4 rotação de 2400 R5 rotação de 3000 R6 rotação de 3600 (identidade)

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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch

Motivo simples

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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch

Motivo simples

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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Exemplos de frisos

Friso  Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção.

 No friso, o grupo de simetria fixa uma recta.  Pode haver outras simetrias para além das de translação

As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 34


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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso?

Identificar Nomenclatura adoptada

recta horizontal recta vertical

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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso?

 u

Identificar Nomenclatura adoptada

recta horizontal recta vertical

v  De translação. Por exemplo, translações associadas aos  vectores u e v .

 De reflexão de eixo horizontal



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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso?

Identificar

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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso?

Identificar

 De reflexão de eixo horizontal  De reflexão de eixos verticais

 De translação da figura

 u

associadas a vectores com a direcção de u e comprimento múltiplo do deste vector. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 38


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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias

Construir

r

A’

B’ C’ D’

Motivo simples

[A´, B’, C’, D’] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r.

Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo

A’

A’’

B’ C’ D’

B’’ C’’ D’’

[A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de [A´, B’, C’, D’] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r).

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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação)

Através de translações sucessivas da figura

Obtém-se o friso

Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 40


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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que tipos de frisos há?

Investigar

Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202)

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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples

Investigar

Tipo 1: gerado por translação

Motivo composto

Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 42


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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples

Investigar

Motivo composto

Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação

Motivo4: composto Tipo gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 43


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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples

Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação

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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Motivo simples

Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 45


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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar

Motivo simples

Motivo composto

Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação

Há apenas sete tipos de frisos... Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 46


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(Alcazar, Adaptação conferência por Anaharmonia, Maria Boavida nobeleza... Encontro BragançaMat 11 (AbrilSevilha) 2011) 47 Simetria: A da busca deapresentada equilíbrio,


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Bibliografia e outros materiais consultados Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM – Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11. Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, 23-27. Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions. Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora. Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications. Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage.

Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall. Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta. Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press.

Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28. Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 48


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Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010).

Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) . Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011). Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009).

Sites http://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html http://www.atm.org.uk/resources/ http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.html http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168 http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 49


15º EREPM, 30/4/2011- Bragança

O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB

Ana Maria Roque Boavida ana.boavida@ese.ips.pt

O mundo da simetria reflectindo sobre desafios do pmeb  
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