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“En CONTROL II ”

Edición Nº 1.Diciembre 2011


“En CONTROL II ”

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“En CONTROL II ” Apreciados y Apreciadas lectoras. DOS (2) soñadora le dan la más cordial bienvenida a la primera edición de su revista digital “AMANPAO En CONTROL II, TRANSFORMADA Z que pone en sus manos el futuro de control para aplicarlo en lo que deseen. Contiene: Una gama de artículos que tratan de exponer la mejor manera de convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. Esperemos que sea de su agrado para cumplir con las expectativas de nuestros apreciados lectores. Los editores. Universidad Fermín Toro (UFT) . Inspiración en la Ing. Prof. Bárbara Vásquez Transformada Z. Control II.

Directorio General Directora: Amanda M. Luque Méndez

Fundada: 19 de Octubre del 2011 Colaboradores: Equipo . Comentarios: amanpaocontrol2uft@hotmail.es

Equipo Editorial: Paola D` Lucas. Agradecimiento: A la Ing. Prof. Bárbara Vásquez Ilustraciones: El equipo. Portada: Amanda Luque Fotografías: Archivo personal y Google.


“En CONTROL II ”

http://imageshack.us/photo/my-images/820/desparramado.gif/


“En CONTROL II ”

Es

aquella que convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El

nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo

La

transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformación es unitaria ó sea cuando |Z| = 1 .

TRANFORMADA


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• La transformada Z BILATERAL de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:

donde Z es una variable compleja. • Transformada Z UNILATERAL para la sumatoria es Z( X[n] ). Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en :

La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el análisis de sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo.


“Pila en E.D �

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1. Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces: Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z] siendo a1 y a2 constantes arbitrarias. 2. Desplazamiento temporal. Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :

Simultáneamente se puede demostrar que:

3. Multiplicación por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n] está dada por X[a-1Z]. Demostración


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4. Diferenciación con respecto a Z. Si se deriva la expresión

que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:

De la expresión anterior se deduce que:

Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:


“En CONTROL II ” 5. Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n] se tiene que

Desarrollando la sumatoria, se tiene que X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto,

6. Teorema del Valor fina. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:

siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.


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6. Convolución: La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z] En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que: Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z] Donde H[Z] es la transformada de h[n]. Para obtener la salida y[n] bastará hallar la transformada inversa de y[Z] .


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1. Impulso unitario (delta de Kronecker). Definiendo la secuencia impulso unitario para , su transformada se determina de la siguiente forma: ∆ ( z ) = Z [δ ( k ) ] =

∑ δ (k ) z

−k

= δ (0) + δ (1) z − 1 + δ (2) z − 2 + .....

k =0

∴∆( z ) = 1

2) Retraso

f ( k ) = δ ( k − m) F ( z ) = Z [δ ( k − m) ] = z − m

3) Escalón unitario Definido por

u (k ) = −1k ∞

La transformada es: U(z) =∑u(k)z−k =u(0) +u(1)z−1 +u(2)z−2 +...+u(k)z−k +... k=0

U ( z ) = lim

N → ∞

∴U ( z ) =

N −1

∑z k =0

1 1 − z −1

−k

1− z−N = lim ∑ ( z ) = lim N → ∞ N → ∞ 1 − z −1 k =0 N −1

para

−1 k

z f1


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4) Serie geométrica −1

Z  a f (k )  = F (a z ) k

a −1 z f (k ) = a ↔ −1 a z −1

f (k ) = a k

k = 0, 1, 2, 3, ... , n.

Si se tiene una serie divergente y Si se tiene una magnitud unitaria y Si se tiene una serie convergente a cero y

k

Multiplicando y dividiendo por a 5) Rampa discreta unitaria Multiplicando la ecuación anterior por y considerando , se obtiene : ∞

∑ kz

−k

=

k =0

F (z) =

z ( z − 1) 2

∑ kz

z f1

−k

k =0

Para una secuencia geométrica se tiene: ∞

∑ ak z −k = k =0

z z−a

d ∞ k −k d z ( z − a) − z −a a z = = = ∑ dz k =0 dz z − a ( z − a)2 ( z − a)2

Derivando con respecto a z:


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La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada Z inversa. La notación para la transformada Z inversa será Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n]. Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán: 1. Residuos: El teorema de Cauchy establece que :

Los residuos de q, vienen dados por:

y para polos simples ( q=1)

En

para polos z=a de orden


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2. Desarrollo en serie de potencias Ya que X(z) es analítica en la región de convergencia, se puede desarrollar una serie de Tailor en la función z-1. Al tener la transformada z la misma forma, los coeficientes de desarrollo se pueden identificar como los valores de x(k) 3. División polinómica Se puede expresar X(z) como cociente de polinomios, se puede obtener la transformada inversa por decisión polinómica sucesiva. Los coeficientes del polinomio cociente son los valores de las muestras de la señal temporal. Este método además tiene la ventaja de ser fácilmente programable. A cambio , el resultado que se obtiene es numérico, no analítico. 4. Fraciones Parciales Si X(z) es un cociente de polinomios, también se puede expresar de la forma

siendo P(z) de grado M y Q(z) de grado N. Si M<N. es S(z) =0. Si M>N el grado de S(z) es M-N descomponiendo en fracciones simples:


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Una vez efectuada la descomposición se puede recurrir a realizar la transformada inversa de cada una de las fracciones, teniendo en cuenta la propiedad de linealidad ( utilización de tablas)


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Dada una ecuación en diferencias de orden n, utilizamos las propiedades de la transformada Z, en especial las de linealidad y desplazamiento, para transformarla en una ecuación algebraica. La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas secuencias, usando la propiedad de desplazamiento. Función Discreta X[n+4]

Transformada Z Z4X[Z]-Z4X[0]-Z3[1]Z2X[2]-ZX[3]

X[n+3]

Z3X[Z]-Z3X[0]-Z2X[1]-ZX[2]

X[n+2]

Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]

X[n+1]

ZX[Z]-ZX[0]

X[n]

X[Z]

X[n-1]

Z-1X[Z]

X[n-2]

Z-2X[Z]

X[n-3]

Z-3X[Z]

X[n-4]

Z-4X[Z]


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1. Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condición inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n³0. Solución Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y usando la propiedad de desplazamiento temporal, se tiene: Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]y[-1]Z)=1 Por tanto,

Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n 2. Halle la transformada Z de X[n]=anU[n]. Solución Como la Trasformada de U[n] es es decir entonces


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1. Dada X[Z] como,

Halle X(Z) Solución:

Si se hacen los siguientes cambios de variables: n = -m en la primera sumatoria n = 2m en la segunda sumatoria n = 2m + 1 en la tercera sumatoria se tiene :


“En CONTROL II ” Se trata de tres serie geométricas que convergen sí: |1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3 |1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3 |1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2 El intervalo de convergencia de X[Z] será la intersección de los tres intervalos anteriores, o sea 1/2 < |Z| < 3.

por tato:


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2. Halle la transformada Z de:

Siendo a una constante. Solución

converge si |aZ-1| o sea si |Z| > a.


INFOTECNO | 9

transformadaZuft  

Todo de transformda z Integrantes: Luque Amanda Paolo D` Lucas

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