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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Las ecuaciones trigonométricas, es decir, as ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, se llaman: a) Ecuaciones idénticas o identidades. Si se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos, cuyas funciones están definidos. b) Ecuaciones condicionales, o simplemente, ecuaciones. Si solo se satisfacen en ciertos valores de los ángulos desconocidos. Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las cuales la incógnita aparece como un ángulo de funciones trigonométricas cuyas soluciones pertenecen al intervalo 0° ≤ x ≤ 360º. No existe un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se recomienda, transformar toda la ecuación de manera que quede expresada en términos de una sola función trigonométrica y luego resolverla como una ecuación algebraica cualquiera. Muchas veces, se obtienen soluciones extrañas, por lo tanto se deben comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Además hay que recordar que las funciones trigonométricas repiten sus valores en los cuatro cuadrantes del plano de coordinadas rectangulares, siendo positivas en dos de ellos y negativa en los otros dos, es decir, hay dos cuadrantes en las que el valor de un ángulo de función trigonométricas tiene el mismo valor y signo. EJEMPLOS: 1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas. a) Sen x = Sen 80º Para que se cumpla la igualdad, la medida del ángulo x debe ser igual a 80º x = 80º b) Cos x = Cos (60º - x) para que la expresión se cumpla, es necesario que: x = 60º - x x + x = 60º 2 x = 60º


x=

60º 2

x = 30º

c)  Tag x = Tag  

π 2

 - 2x  

 180º  Tag x = Tag  - 2x  2   Tag x = Tag ( 90º - 2 x

)

x = 90º - 2x x + 2 x = 90º

3 x = 90º x =

90º 3

x = 30º

c) 2 Sen x = 1 Sen x =

1 2

El seno de un ángulo es

1 2

, cuando dicho ángulo es 30º, además el seno es

positivo también en el segundo cuadrante, por lo tanto, para encontrar el otro ángulo, se toma: α + β = 180º α = 180º - b = 180º - 30º = 150º x = 30º, 150º e) 2 Cos x = Ctg x


Cos x Sen x

2 Cos x =

2 Cos x . Sen x = Cos x Cos x Cos x

2 Sen x =

2 Sen x = 1 Sen x =

1 2

Las soluciones son las del ejercicio d) x = 30º, 150º f) Csc x = Sec x 1 Sen x

Cos x Sen x

=

1 Cos x

=1

Ctg x = 1

Por ser positivo el resultado, las soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrante, en donde la Ctg x es positiva. En el primer cuadrante x = 45º Para el tercer cuadrante: α − β = 180º α = 180º + 45º = 225º


Soluciones:

IC  x = 45º    IIIC  x = 180º + 45º = 225º

g) − 1 =0

2 Cos x . Tag x

2 Cos x .

Sen x Cos x

- 1 =0

2 Sen x - 1 = 0 2 Sen x = 1 Sen x =

1 2

Las Soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrantes, por ser el resultado positivo

IC  x = 30º  Soluciones:   II c  x = 180º - 30º = 150º h) 4 Cos2 x = 3 – 4 Cos x 4 Cos2 x + 4 Cos x – 3 = 0 Esta ecuación se resuelve aplicando la resolvente por ser un una ecuación de 2º grado: a = 4, b = 4 y c = - 3


- b ±

Cos x =

Cos x =

b2 - 4 . a . c 2.a

- 4 ±

=

42 - 4 ( 4 ) . ( - 3 2.( 4 )

)

=

- 4 ±

14 + 48 8

=

- 4 ± 8 8 - 4 + 8 8

Cos x 1 =

Cos x 2 =

=

- 4 - 8 8

4 8

=

=-

12 8

1 2 =-

3 2

(esta solución es extraña

pregúntale al profesor) La solución es Cos x 1 =

Soluciones:

g)

1 2

IC  x = 60º    IVc  x = 360º - 60º = 300º

3 + 3 cos x = sen2 x 3 + 3 Cos x = 1 – Cos2 x

por ser una ecuación cuadrática, se debe igualar a cero y además el polinomio de la ecuación se ordena en forma decreciente Cos2 x + 2 Cos x + 3 – 1 = 0 Cos2 x + 3 Cos x + 2 = 0 a = 1; b = 3 y c = 2

Cos x =

Cos x =

- b ±

b2 - 4 . a . c 2.a

- 3 ± 1 2

=

- 3 ±

32 - 4 . ( 1 ) . ( 2 2 .1

)

=

- 3 ±

9 - 8 2


h)

Cos x 1 =

- 3 + 1 2

=-

2 2

=- 1

Cos x 2 =

- 3 - 1 2

=-

4 2

= - 2 (Solución extraña) ¿Por qué?

Cos x + 2 Sen2 x = 1 Cos x + 2(1 – Cos2 x ) = 1 Cos x + 2 – 2 Cos2 x = 1 - 2 Cos2 x + Cos x + 2 – 1 = 0 - 2 Cos2 x + Cos x + 1 = 0 a = - 2; b = 1 y c = 1

- b ±

Cos x =

Cos x =

b2 - 4 . a . c 2.a

=

- 1 ±

12 - 4 ( - 2 2.( - 2 )

).( 1 )

=

- 1 ±

- 1 ± 3 −4

Cos x 1 =

- 1 + 3 −4

2 4

=-

=-

1 2

(solución negativa, los ángulos

que dan solución a la ecuación pertenecen a los cuadrantes: II C y III C ) .

Cos x 2 =

- 1 - 3 −4

=

- 4 -4

= + 1 = 1 (Solución

positiva,

ángulos que solucionan a la ecuación se ubican en los cuadrantes: I C y IVc ).

los

1 + 8 −4


I c  x = 0º  II c   x = 180º - 6 0º = 120º soluciones :  IIIc  x = 190º + 60º = 240º  IVc x = 360º 

ecuaciones trigonometricas  

resolucion de ecuaciones trigonometricas ejemplos

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