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INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C. CÁLCULO PROFA. OFELIA MERCEDES IZQUIERDO VALLADARES ALUMNO GARCIA LOPEZ ALVARO SPENCER 3 “C”

CURSO ESCOLAR 2013 – 2014


Índice: •

• • •

Limites de funciones exponenciales Razón de cambio promedio Razón de cambio instantáneo Derivada de funciones


Cuarto parcial Introducció n al cálculo integral. Trabajo de investigación INTRODUCCIÓN


Esta investigación es hecha con el fin de conocer más de las funciones, ya que como hemos visto en este curso las funciones son un tema extenso que se ve a lo largo de la misma. En esta se incluyen temas en los cuales se han puesto gráficos para su mayor entendimiento y con esto se busca tener una identificación más clara. Se pusieron definiciones muy explicitas de fuentes que considere apropiadas para este. Para los ejemplos los muestro de una manera simple, considero que estos son entendibles para alguna persona que desee conocer aún más de las funciones. Por ejemplo en el tema de máximo y mínimo de una función se muestran las diferencias, uno de otro y con todo esto se crea un conocimiento completo.

ÍNDICE •

Máximos y mínimos de una función (local y absoluto)

Ejemplos de cómo hallar puntos máximos y mínimos de una función

Puntos de inflexión y concavidad de la curva (ejemplos)


MAXIMO Y MINIMO (LOCAL Y ABSOLUTO) Los máximos y mínimos son los extremos relativos o locales de una función. Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a=0 Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b=0 Máximo y mínimo relativo o local.


Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08

b = -3.08

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 1. Si f'(a) = 0. 2. Si f''(a) ≠ 0. Máximos relativos o locales;Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple: f'(a) = 0; f''(a) < 0 Mínimos relativos o locales;Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple: f'(a) = 0; f''(a) > 0 Cálculo de máximos y mínimos 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si: f''(a) < 0 es un máximo relativo f''(a) > 0 es un mínimo relativo 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. Ejemplos: 1. f(x) = x3 − 3x + 2 f'(x) = 3x2 − 3 = 0 f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)


Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá: Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente. 2. Hallar los máximos y mínimos de:

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4) En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función. 3. f(x) = x3 − 3x + 2 f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x=−1 x=1 Candidatos a extremos: − 1 y 1. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 < 0 Máximo f''(1) = 6 > 0 Mínimo f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0) 4.


Candidatos a extremos: − 1 y 1. f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo f"(1) = − 6 < 0 Máximo f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máximo (− 1, − 2) Mínimo(1, 2) 5.

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2)4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 f(0) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13 Máximos: (− 1, − 13), (2, − 13) Mínimo (0, 3)

PUNTOS DE INFLEXION DEFINICIÓN El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. Los puntos de inflexión están caracterizados por:


TEOREMA Sea la ecuación y=f(x). Si f´´(a=0) o f´´(a) no existe l derivada f´´(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de la abscisa x=a es un punto de inflexión. Clasificación de puntos de inflexión:

Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. Ejemplo:

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava). Valores X Y 1 -2 GRAFICA


CONCAVIDAD DE LA CURVA Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, ( A∁ Df ¿ si f´(x) es creciente sobre A. Si f´(x) es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo. La función derivada f´ la que debe ser creciente o decreciente en el intervaloA.


En la siguiente representaciรณn grรกfica, una funciรณn f es cรณncava hacia arriba en el intervalo

y cรณncava hacia abajo en el intervalo

.

Alvaro spencer 3°c  

Portafolio calculo

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