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Universidad Fermín Toro Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Análisis de Problemas y Toma de Decisiones

Técnicas y herramientas para la toma de decisiones

Alumno Alfredo Perez. Barquisimeto- Lara.


Introducción. Al momento de tomar decisiones debemos tener muy clara cuál es la problemática a solucionar ya que existen una serie de modelos los cuales son de gran ayuda debido a que están elaborados para resolver problemas específicos y nos ayudan a disminuir las desviaciones y acercarnos más a la realidad, entre ellos tenemos: los Determinanticos , probabilísticos e híbridos que son una combinación de los anteriores los cuales están explicados a continuación.


Un modelo determinista: Es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Entre ellos; Programación Lineal y Método SIMPLEX La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

Este considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad. Ejemplo: Problema de Dimensionamiento de Lotes: (Wagner y Whitin, 1958). Consiste en hallar una polìtica óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar los costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de recursos escasos. Considere que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información: Demanda Costo de Costo Prod. Periodo s Inventario s (US$/unidad) (unidades) (US$/unidad) 1

130

6

2

2

80

4

1

3

125

8

2.5


4

195

9

3

Adicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del período. Variables de Decisión: Xt: Unidades elaboradas en el período t (Con t =1,2,3,4) It: Unidades en inventario al final del período t (Con t =1,2,3,4) Función Objetivo: (Minimizar los Costos de Producción e Inventarios) Min 6X1 + 4X2 + 8X3 + 9X4 + 2I1 + 1I2 + 2,5I3+ 3I4 Restricciones: Capacidad de Producción por Período: Xt <= 150 (Con t =1,2,3,4) Satisfacer Demanda Período 1: X1 + I0 - I1 = 130 (I0 = 15) Satisfacer Demanda Período 2: X2 + I1 - I2 = 80 Satisfacer Demanda Período 3: X3 + I2 - I3 = 125 Satisfacer Demanda Período 4: X4 + I3 - I4 = 195 No Negatividad: Xt >=0, It >=0 Solucion X1=115,X2=150, X3=100, X4=150, I1=0, I2=70, I3=45, I4=0. Óptimo V(P)=3.622,5

Valor

El método Simplex Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.


Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases. Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: Maximiza Z= f(x,y)= 3x + 2y r sujeto a:

2x + y 18 2x + 3y 42 3x + y 24 x0 , y 0

Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24 2. Igualar la función objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: Tabla I . Iteración nº 1


Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución x

y

h

s

d

h

2

1

1

0

0

18

s

2

3

0

1

0

42

d

3

1

0

0

1

24

Z

-3

-2

0

0

0

0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado). Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.


El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado). Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3. 5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. Métodos Probabilísticos. Es la forma que pueden tomar un conjunto de datos obtenidos de muestreos de datos con comportamiento que se supone aleatorio.

Metodo bayesiano: es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre «bayesiana» proviene de uso frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia. El teorema de Bayes se ha derivado del trabajo realizado por el reverendo Thomas Bayes.


Teoría de los juegos: La teoría de juegos es una rama de la economía que estudia las decisiones en las que para que un individuo tenga éxito tiene que tener en cuenta las decisiones tomadas por el resto de los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en biología. En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer, tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo que pensamos que harán los demás, ellos actuarán pensando según crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos ha sido utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o incluso para ganar jugando al póker. La teoría de juegos es nuestro Concepto de esta semana Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de decisión como herramientas para comprender mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se pueden resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante sofisticadas como para entrar en profundidad. Ejemplo:


El dilema de Monty Hall es uno en el que el presentador de un programa de televisión ofrece al concursante elegir un premio que se encuentra tras una de las tres puertas. Dos de ellas contienen cabras y una de ellas un automóvil. El jugador elige una puerta, supongamos la primera y el presentador (Monty) abre la puerta número tres enseñando una cabra. Acto seguido nos ofrece cambiar la puerta ¿qué es mejor teniendo en cuenta que el presentador sabe que hay detrás de cada puerta? La respuesta es que es mejor cambiar de puerta. Guiándonos por la estadística el presentador al abrir una puerta cerrada ha incrementado las posibilidades que tenemos de llevarnos el premio, pasamos de jugar con 33% de posibilidades al 66% porque en realidad el presentador aumenta nuestras posibilidades al 66% si cambiamos de puerta. Si permanecemos con la elegida nuestras posibilidades se mantienen en un 66%33%.

Métodos Híbridos Método de transporte: Es un caso especial simplificado de método simplex. Recibe su nombre de su aplicación a problemas que tienen que ver con el transporte de productos desde diversos puntos de origen hasta diversos destinos. Los dos objetivos comunes de estos problemas son: Minimizar el costo de enviar n unidades hasta m destinos; o Maximizar las utilidades de enviara n unidades a m destinos. Para resolver problemas de trasportes se deben seguir tres pasos generales. Cada uno se examinará en el contexto de un ejemplo sencillo . Este consiste en enviar las unidades de la fábricas a los almacenes mas cercanos buscando siempre minizar los costos en función de la disponibilidad y demanda de los centros que intervienen en el proceso de transporte. Podemos decir que las variables mas importantes que intervienen en este método de programación lineal, es que busca minimizar los costos de una unidad de producción a otra, es decir es un método de minimización de los costos. Es decir con el este método se pretende desarrollar la mejor distribución de las unidades en función a las variables mas importantes, como son el costo, disponibilidad, demanda y la distancia entre los centros de consumo.


Ejemplo: (Modelo de transporte con equilibrio)

En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.

La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Denver

Miami

Los Ángeles

80

215

1 000

Detroit

100

108

1 300

Nueva Orleáns

102

68

1 200

Planta ficticia

0

0

200


De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.

Denver

Miami

Destino Ficticio

Los Ángeles

80

215

0

1 000

Detroit

100

108

0

1 500

Nueva Orleans

102

68

0

1 200

La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)

Una compañía construye una planta maestra para la producción de un articulo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:

1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior. 2.

Producción en el mes actual.


3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.

El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente:

Sistema de Transporte

Sistema de Producción

1. Fuente i

1. Periodo de producción i

2. Destino j

2. Periodo de demanda j

3. Oferta en la fuente i

3. Capacidad de producción del periodo i

4. Demanda en el destino j

4. Demanda del periodo j

5. Costo de transporte de la fuente i al5. Costo de producto e inventario del destino j periodo ial j

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:

Periodo 1

2

3

4

Capacidad


Demanda 1

4

4.5

5

5.5

50

2

6

4

4.5

5

180

3

8

6

4

4.5

280

4

10

8

6

4

270

200

180

300

Demanda: 100

El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:

Costo de producción en i,

Cij=

i=j

Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j

Costo de producción en i / costo de penalización en i a j

i<j

i>

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.


. Tecnica de Montecarlo: l método de Monte Carlo1 es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. Ejemplo: Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.


Conclusión

La utilización de estos métodos para llegar a la toma de deciones hace que se pueda elegir la mejor alternativa que favorezca a las organizaciones, el manejo de estos métodos es indispensable en la formación de un gerente ya que la elegir decisiones será usual en el ejercicio de este puesto..


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