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SUPLEMENTO

CLAVEMAT Publicación oficial de la Escuela Politécnica Nacional

Quito - Diciembre de 2014

Ambientes de aprendizaje de la matemática: algunos ejemplos En el suplemento del mes de septiembre presentamos brevemente los seis ambientes de aprendizaje que se generan al combinar los dos modos de organizar una clase de matemática (ejercicio tradicional o escenarios de investigación) y sus tres posibles referentes de significado (matemáticas puras, semi-realidad o realidad). En esta ocasión ponemos a consideración de las lectoras y los lectores algunos ejemplos de los seis ambientes mencionados para la enseñanza de las Probabilidades y la Estadística en la Secundaria. Ambiente 1: Ejercicio tradicional + matemáticas puras En este ambiente, las actividades en el aula se organizan a través del planteo, la solución, la corrección y la discusión de ejercicios que versan única y exclusivamente de contenidos matemáticos. En el aprendizaje de las Probabilidades y de la Estadística, es necesario que las y los estudiantes tengan un dominio básico de las fracciones y de los conceptos de proporcionalidad. Una clase -o una parte de ella- puede ser organizada a través de la resolución de una colección de ejercicios sobre fracciones, sin ningún referente a los significados de dichas fracciones. El único objetivo podría ser que las y los estudiantes adquieran un dominio operativo de los algoritmos para operar con fracciones y proporciones. Por ejemplo:

Ambiente 2: Escenarios de investigación + matemáticas puras. En este ambiente, los contenidos a trabajar en el aula son matemáticos, pero, en lugar de plantear ejercicios cuyas respuestas ya están dadas de antemano, se plantean problemas cuyo objetivo es provocar que las y los estudiantes realicen indagaciones, preguntas y ensayos de respuestas, utilicen las tecnologías a las que tienen acceso para tratar de entender el problema que se les plantea, y valoren positiva o negativamente su uso. Una diferencia esencial con el ambiente 1 es que no solo no hay respuestas predeterminadas, sino que podría no haber respuestas. Además, hay un grado de incertidumbre de los resultados. Por ejemplo, para que las y los estudiantes aprendan las técnicas de conteo, se puede realizar la siguiente actividad que la hemos denominado Aprendiendo a contar:  Las y los estudiantes se dividen en grupos. Cada grupo dispone de una bolsa con 5 bolas, cada una marcada con un número (1, 2, 3, 4 o 5).  Cada grupo debe extraer 2 bolas de la bolsa de la siguiente manera: a) extrae la primera bola y registra su número en el papel; no devuelve la bola seleccionada; y b) saca la segunda bola y registra su número a continuación del número registrado en el paso anterior, separando ambos registros por una coma. Cada grupo realiza este procedimiento 5 veces.

Simplifique la expresión  La o el docente formula la siguiente pregunta: ¿Cuántos registros diferentes podrían haber si extraemos 2 bolas, sin devolución y con orden de registro?

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1, 2

2, 1

1, 3

2, 3

1, 4

2, 4

1, 5

2, 5

4

4

3, 1

4, 1

5, 1

4

4

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Gráfico 1 - Aprendiendo a contar

 Las y los jóvenes ensayan varias formas de contar los registros valiéndose de distintas estrategias, como la sugerida en el gráfico 1.

por la o el docente, es decir, a semi-realidades. Un problema típico en este ambiente de aprendizaje imagina una situación como la siguiente:

 El resultado de este primer conteo es que las y los estudiantes toman conciencia de la importancia de tener un método de conteo sistemático.

En una calle de Quito, un comerciante parquea su camión lleno de mangos cosechados de su finca para venderlos a los transeúntes. El camión contiene 10.000 mangos, de los cuales, 8500 están en buen estado, 500 están próximos a podrirse, 650 están muy golpeados y 350 están aún verdes. Supongamos que tú eres un comprador y seleccionas al azar 3 mangos. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 sean verdes?

 La o el docente formula una nueva pregunta: ¿Cuántos registros diferentes podrían haber si extraemos 3 bolas, sin devolución y con orden?  Nuevamente, las y los estudiantes ensayan diversas maneras de contar, y descubren que no es necesario desplegar todos los registros posibles para contar cuántos hay.  La o el docente formula dos nuevas preguntas: ¿Cuántos registros diferentes podrían haber si extraemos 4 bolas, sin devolución y con orden de registro? ¿Cuántos si son 5? Las y los estudiantes, por sí mismas y por sí mismos, identificarán ciertos patrones que les llevarán a descubrir al menos un procedimiento general de conteo. Y a partir de sus “hallazgos”, la o el docente introducirá los elementos necesarios (conceptos y actividades guiadas) para establecer las fórmulas generales de conteo.

Ambiente 3: Ejercicio + semi-realidad Al igual que en el ambiente 1, las actividades están organizadas a través de la resolución de ejercicios o problemas cuya validación ha sido realizada ya de antemano y cuya única respuesta servirá como medida de valoración del avance en el aprendizaje. La diferencia está en que los contenidos matemáticos hacen referencia a hechos de la vida real pero con datos inventados

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Este problema se sustenta en hechos de la vida real pero con datos inventados por la o el docente. Las y los estudiantes deben limitarse a resolverlo con fórmulas y procedimientos previamente introducidos. Obviamente, no hay cabida para formular preguntas como: ¿qué volumen ocupan los mangos? ¿en qué tiempo se pudren los mangos cuando se los cosecha verdes? ¿hay sanciones por la venta de mangos podridos? Etcétera.

Ambiente 4: Escenarios de investigación + semi-realidad Este ambiente plantea actividades de indagación, formulación de preguntas y ensayo de respuestas a partir de una semi-realidad. El mecanismo de trabajo en el aula es el mismo que se realiza en el ambiente 2, pero ahora el objetivo ya no es únicamente aprender y comprender contenidos matemáticos, sino las actividades de indagación y reflexión que se llevan a cabo para la comprensión del contenido matemático. Hay una variedad de proyectos que podrían llevarse a cabo para generar este ambiente; sin embargo, la elección del tema podría apoyar o generar un ambiente en el que puedan discutirse aspectos del contexto de las y los estudiantes, o situaciones del mundo que no son


ajenas a las estudiantes, como la situación de guerra en una región que está muy lejos del contexto escolar. El siguiente ejemplo, que ha sido tomado del libro Edu-

cación matemática crítica. Una visión sociopolítica del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas de Ole Skovsmose y Paola Valero (2012), da una idea de este tipo de ambiente de aprendizaje. En Dinamarca, hacia el año 2002, se presentaron numerosos casos de personas infectadas con salmonela, debido al consumo de huevos portadores de la bacteria. Tomando en cuenta esta problemática real, un docente pidió a sus estudiantes que, organizados en grupos, llevasen 500 envases de película fotográfica. Dichos envases simulaban ser huevos. Dentro de 450 envases las y los jóvenes colocaron piezas de plástico de color amarillo en representación de yemas sanas, y en los 50 envases restantes colocaron piezas de color azul en representación de yemas infectadas por salmonela. Cada grupo de estudiantes eligió 10 “huevos” al azar y verificó cuántos estaban contaminados. En la mayoría de grupos ningún “huevo” salió infectado. Ello les condujo a formular varios interrogantes, por ejemplo: ¿Estaban los huevos lo suficientemente mezclados para que la selección sea, realmente, al azar? Una encuesta realizada a una parte de la población, ¿es un mecanismo idóneo para adosar una característica a toda la población? Este ambiente se presta para que las y los estudiantes reflexionen sobre los conceptos y métodos matemáticos que se utilizan en el control de calidad -cómo se elige la muestra, cómo se realizan los cálculos y en qué se basan o se sustentan estos cálculos para ofrecer confiabilidad- y, desde un punto de vista ético, en los procesos inherentes en dicho control, por ejemplo: si soy un empresario o un productor, ¿cuánto debo invertir o gastar en el control de calidad de mis productos? ¿Los parámetros que se han fijado para los tamaños de las muestras “garantizan” la confiabilidad de la inferencia y no únicamente minimizan los costos? ¿Qué normativas son aprobadas por los gobiernos para el control de calidad de alimentos, por ejemplo? ¿Defienden esas políticas de los gobiernos al consumidor o favorecen al productor? Etcétera.

tos o situaciones totalmente reales para resolver ejercicios con respuestas únicas, a fin de evidenciar la aplicabilidad de la matemática en la vida cotidiana. En el caso del estudio de las Probabilidades y la Estadística, las situaciones reales están referenciadas a través de datos o bases de datos sobre finanzas, economía, salud, educación, etcétera. Un ejercicio típico de este ambiente puede consistir en utilizar las bases de datos sobre matrimonio y divorcios entre los años 2004 y 2013 en Ecuador que están disponibles en la página web de Ecuador en cifras www.ecuadorencifras.gob.ec. Por el volumen de datos, se hará necesaria la utilización de una herramienta informática para trabajar con esta información. Entre los ejercicios que se pueden plantear, a más de realizar una variedad de gráficos en los que se pueden mostrar los números de matrimonios y/o divorcios distribuidos por provincias, ciudades o regiones, tenemos los siguientes: a) calcule el número promedio de divorcios en un año, b) ¿cuál es la probabilidad de que una mujer de 30 años se divorcie?, y c) obtenga una recta de regresión lineal para los divorcios para predecir el número de divorcios en Ecuador en 2015. Ambiente 6: Escenarios de investigación + realidad En este ambiente la o el docente plantea proyectos o experimentos que, sustentados en hechos de la vida real, fomentan la indagación, la discusión, la reflexión y el enfrentamiento a la incertidumbre. El trabajo en el aula busca, por supuesto, desarrollar los conceptos y métodos necesarios para un tratamiento matemático de los problemas, pero enfatiza en las posibilidades de enfrentar a los estudiantes con la matemática en acción, generando indagaciones que conducen al conocer reflexivo. Pongamos un ejemplo: Las y los estudiantes, con la guía de su profesor o profesora, implementan un proyecto de investigación en torno a las siguientes preguntas guía:  ¿En qué medida hay libertad de expresión en la prensa escrita?  ¿En qué medida las y los periodistas son censuradas y censurados por el gobierno?

Ambiente 5: Ejercicio tradicional + realidad Los contenidos de trabajo en el aula son tomados de la vida real. En este ambiente la o el docente emplea da-

Para responder estas preguntas la o el docente define: al nivel de libertad de expresión, como la proporción de noticias que critican o cuestionan la gestión gubernamental, respecto de todas las noticias referidas a la

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CLAVEMAT es un proyecto de desarrollo que promueve la creación de una comunidad virtual y ofrece tutorías para mejorar los procesos de enseñanza - aprendizaje de la matemática en los últimos años de colegio y en los primeros de universidad, beneficiando a sectores vulnerables de Chile, Colombia, Cuba y Ecuador

gestión gubernamental, y al nivel de censura, como el porcentaje de noticias que critican o cuestionan la gestión gubernamental y que han sido censuradas, frente al total de este tipo de noticias. El proyecto contempla:  Delimitación del universo de estudio.- La o el docente define los periódicos -y las fechas de publicación correspondientes- que deberán ser revisados por las y los estudiantes, por ejemplo: El Universo, El Telégrafo y El Comercio, de enero y febrero de 2014.  Definición de criterios y metodología para la recopilación de los datos.- La o el docente, con ejemplos visuales, solicita a sus estudiantes el conteo de las notas o comentarios que aparecen en los diarios, distinguiendo entre notas gobiernistas, notas anti-gobiernistas, notas neutrales, declaraciones de censura y otras noticias. Les plantea que se dividan en grupos, asignándoles a cada uno determinados diarios para la correspondiente lectura, y les solicita que registren la cantidad de noticias en una matriz de Excel previamente diseñada.

 Interpretación de los datos procesados mediante el cálculo de los niveles de libertad de expresión y de censura. En este punto se espera que las y los estudiantes demanden o comprendan la necesidad de aprender conceptos matemáticos que les lleve a tomar una postura respecto de la validez o no de una determinada estadística a la hora de interpretar realidades cotidianas. Finalmente, la o el docente, haciendo uso de los resultados de la investigación y de otros ambientes de aprendizaje, procederá a plantear actividades para el aprendizaje de los siguientes conceptos: distribuciones muestrales, elementos básicos de muestreo, estimación puntual e intervalos de confianza. Y con los nuevos conceptos introducidos, realizará una actividad de reinterpretación de los resultados de la investigación.

 Recopilación y sistematización de los datos por parte de las y los estudiantes, cumpliendo la metodología definida previamente con la o el docente.

Se esperaría, a partir del ambiente de aprendizaje tipo 6, que las y los estudiantes alcancen un aprendizaje significativo de los conceptos de probabilidad y estadística, manejen adecuadamente herramientas tecnológicas de procesamiento de información, y experimenten la matemática en acción -como diría Skovsmose- aportando con reflexiones sobre qué nos dicen los datos tomados de una muestra en sí mismos y en relación con la población, y cuáles son las bondades, abusos y limitaciones de la matemática.

 Procesamiento de los datos por parte de las y los estudiantes, haciendo uso de las fórmulas y herramientas disponibles en la matriz de Excel.

Elaborado por: Equipo de CLAVEMAT - EPN Quito, Ecuador

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