Page 1

Содержание


МАТЕМАТИКА О курсе Курс “Высшая математика для экономистов” включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат, наиболее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ. Знание аналитической геометрии необходимо современному менеджеру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляемую в виде различных графиков - это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные формулы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план производства при заданных ресурсах. В разделе “Линейная алгебра” основное внимание уделяется матрицам, определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономических исследованиях широко используются различные матричные модели - межотраслевого баланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда заработной платы и т.д. Линейные модели, сводящиеся к системам алгебраических линейных уравнений или неравенств, c достаточно высокой точностью соответствуют описываемым ими явлениям; с их помощью решаются многие управленческие задачи. Математический анализ дает ряд фундаментальных понятий, которыми оперирует экономист, - это функция, предел, производная, интеграл, дифференциальное уравнение. Например, второй замечательный предел применяется при решении задач о росте банковского вклада по закону сложных процентов; использование понятия производной приводит к такой специальной дисциплине, как предельный анализ в экономике и т.д. В начале каждого параграфа приводятся краткие сведения из теории, носящие справочный характер. Основное внимание уделяется практическому освоению студентами изучаемого материала. Для достижения этой цели приводится большое число упражнений. Их выполнение будет способствовать выработке навыков рационального решения типовых примеров и задач, а также задач экономического и производственного содержания, развивающих навыки применения изученного математического инструментария. МОДУЛЬ 1 1. Линейная алгебра. 1.1.Понятие матрицы. Виды матриц. Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде  a 11 a 12 ... a 1 n     a 21 a 22 ... a 2 n  A=  ... ... ... ...     a m 1 a m 2 ... a m n 

(1.1)

или сокращенно в виде A = (ai j) (i = 1, m ; j = 1,n ). Числа ai j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (ai j) и B = (bi j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если ai j = bi j. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно векторстрокой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m×n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:


 a11 0 ... 0     0 a 22 ... 0   ... ... ... ...  .    0 0 ... a n n  Если все элементы ai обозначается буквой Е:

i

диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и 1  0 E =  ...  0

0 ... 0   1 ... 0 . ... ...   0 ... 1

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. 1.2. Дейстия над матрицами и их свойства. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху. Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу  a 11  a T  12 A = ...   a1 n

a 21 ... a m 1   a 22 ... a m 2  , ... ... ...   a 2 n ... a m n 

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот. Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число λ: λ A = (λ ai j). Суммой двух матриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называется матрица C = (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле ci j = ai j + bi j. Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением двух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i = 1,n , j= 1, m , k=1, p , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу: m

c i k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +... + ai m bm k = ∑ ai s bs k. s=1

(1.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. 1 2 3    1 2 1  Пример 1.1. Найти произведение матриц А=   и В =  2 0 1 .  3 1 0    3 5 4 Решение. Имеем: матрица А размера 2×3, матрица В размера 3×3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны с11 = 1⋅1 +2⋅2 + 1⋅3 = 8, с21 = 3⋅1 + 1⋅2 + 0⋅3 = 5, с12 = 1⋅2 + 2⋅0 + 1⋅5 = 7, с22 =3⋅2 + 1⋅0 + 0⋅5 = 6, с13 = 1⋅3 + 2⋅1 + 1⋅4 = 9, с23 = 3⋅3 + 1⋅1 + 0⋅4 = 10.


8 7 9  AB =   , а произведение BA не существует.  5 6 10 Пример 1.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода. Молокозавод М1 20 15

1 2

Магазин М2 35 27

М3 10 8

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

а

через

 20 35 10 А =  , В = (50, 70, 130).  15 27 8  Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:  20 35 10 АВ =    15 27 8  T

 50     20 ⋅ 50 + 35 ⋅ 70 + 10 ⋅ 130  4750  70  =  15 ⋅ 50 + 27 ⋅ 70 + 8 ⋅ 130  =  3680 .    130

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед. Пример 1.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида. Изделие Зимнее пальто Демисезонное пальто Плащ

Т1 5 3 0

Расход ткани Т2 Т3 1 0 2 0 0 4

Т4 3 2 3

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ? 2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида. 3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана. 4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки. Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,  5 1 0 3   A =  3 2 0 2 ,    0 0 4 3 тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:


X

А

=

(10,15,

23)

 5 1 0 3    3 2 0 2    0 0 4 3

=

( 10 ⋅ 5 + 15 ⋅ 3, 10 ⋅ 1+ 15 ⋅ 2, 23 ⋅ 4, 10 ⋅ 3 + 15 ⋅ 2 + 23 ⋅ 3)

=

= (95, 40, 92, 129). Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор CT:  5 1 0 3   А CT =  3 2 0 2    0 0 4 3

 40    5 ⋅ 40 + 1 ⋅ 35 + 0 ⋅ 24 + 3 ⋅ 16   283  35 =  3 ⋅ 40 + 2 ⋅ 35 + 0 ⋅ 24 + 2 ⋅ 16 =  222 .     24     0 ⋅ 40 + 0 ⋅ 35 + 4 ⋅ 24 + 3 ⋅ 16 144        16 

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:  283   X А C T = (10,15,23)  222 =10 ⋅ 283 + 15 ⋅ 222 + 23 ⋅ 144 = 9472 .    144  Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина  5    3 X А P T = (95, 40, 92, 129)   = 95 ⋅ 5 + 40 ⋅ 3 + 92 ⋅ 2 + 129 ⋅ 2 = 1037 . 2    2 Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед). 1.3. Определители 2-го и 3-го порядков. Определители n-го порядка и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего. Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени. Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках,  3 1 2 4 называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ    4 2 1 3 обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно).  1 2 ... n   ,т.е. с натуральным Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде   q 1 q 2 ... q n  расположением чисел в верхней строке. Пусть нам дана квадратная матрица порядка n


 a 11   a 21  ...  an1

a 12 ... a 1 n   a 22 ... a 2 n  . ... ... ...  a n 2 ... a n n 

(1.3)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: a 1 q1 a 2 q 2 ... a n q n ,

(1.4)

где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов. Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма a 11 a 12 ... a 1 n n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ A =

a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a n 1 a n 2 ... a n n

или det

a 11 a 12 ... a 1 n A=

a 21 a 22 ... a 2 n

(детерминант, или определитель, матрицы А). ... ... ... ... a n 1 a n 2 ... a n n Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k. 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a i j = bj + cj (j= 1, n ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j, в другом - из элементов cj. 8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы. Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор M i j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (1) i + j Mi j. Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема. Теорема (разложение определителя по строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +... + ai n Ai n (i = 1,n ) или j- го столбца


d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + an j An j (j = 1,n ). В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение. 1 2 3 Пример 1.4. Не вычисляя определителя 4 5 6 , показать, что он равен нулю. 7 8 9 Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель

1 3 7

2 3 8

3 3 , равный 9

1 2 исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель 3 3 6 6

3 3,в 6

котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю. 1 -2 3 5 - 1 , разложив его по элементам второго Пример 1.5. Вычислить определитель D = 3 4 1 2 столбца. Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца: D = a12A12 + a22A22+a32A32= -1 3 3 1+ 2 3 2 +2 1 3+ 2 1 + 5 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ ( −1) = −20 . = ( −2) ⋅ ( −1) 4 2 4 2 3 -1 Пример 1.6. Вычислить определитель a 11 0 0 ... 0 a 21

a 22

0 ... 0

a 32 a 33 ... 0 , A = a 31 ----------------an1 a n 2 a n 3 ... a n n в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a11 A11 = a 11

a 22

0 ... 0

a 32

a 33 ... 0

----------a n 2 a n 3 ...a n n

.

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим: a 33 0 ... 0 A = a 11 ⋅ a 22

a 43

a 44 ... 0

. ----------a n 3 a n 4 ... a n n И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22... ann.


1 2 3 ... n -1 0 3 ... n Пример 1.7. Вычислить определитель -1 - 2 0 ... n . --------------1 - 2 - 3 ... 0 Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут 1 2 3 ... n 0 2 6 ... 2n 0 3 ... 2n , равный исходному. равны нулю. А именно, получим определитель: 0 --------------0 0 0 ... n Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду. 1.4. Обратная матрица и ее свойства Рассмотрим квадратную матрицу A=

 a 11   a 21  ...  an1

a 12 ... a 1 n   a 22 ... a 2 n  . ... ... ...  a n 2 ... a n n 

Обозначим ∆ =det A. Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ∆ = 0. Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А−1, так что В = А−1. Обратная матрица вычисляется по формуле  A 11   A 12 А−1 = 1/∆  ...   A1 n

A 21 ... A n 1   A 22 ... A n 2  , ... ... ...   A 2 n ... A n n 

(4.5)

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j. Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.


1 2 - 2   1 - 2 найти обратную. Пример 1.8. Для матрицы А =  2   2 2 1 Решение. Находим сначала детерминант матрицы А 2 -2 1 1 - 2 = 27 ≠ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по ∆ = det А = 2 1 2 2  A 11 A 21 A 31    = 1/∆  A 12 A 22 A 32  , где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi    A 13 A 23 A 33 

формуле: А−1

1+1 исходной матрицы. Имеем: A 11 = ( −1)

1 -2 = 2 + 4 = 6, 2 2

A 12 = ( −1) 1+2

2 1

-2 = − (4 + 2) = −6, 2

A 13 = ( −1) 1+3

2 1

1 = 4 − 1 = 3, 2

A 21 = ( −1) 2+1

−2 2

A 22 = ( −1) 2+2

2 1

1 = 4 − 1 = 3, 2

A 23 = ( −1) 2+3

2 1

A 31 = ( −1) 3+1

−2 1 = 4 − 1 = 3, 1 -2

A 32 = ( −1) 3+2

2 1 = − ( −4 − 2) = 6, 2 -2

A 33 = ( −1)

2 2

2  5  7 2  5 7 

3+3

j

6 -2  1 -6 = 2 + 4 = 6, откуда А−1 = 27  1 3

6 3 -6

1 = −( −4 − 2) = 6, 2 -2 = −( 4 + 2) = −6, 2

3 2 2  1 6  =  -2 1  9 6 1 - 2

1  2 .  2

Пример 1.9. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= 1 -1   2 4 .  3 2 Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: 1 -1 1 0 0  2 4 0 1 0 . С помощью элементарных  3 2 0 0 1

преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.  2 1 -1 1 0 0  1 2 -1 0 1 0     Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:  5 2 4 0 1 0 ∼  2 5 4 1 0 0 .  7 3 2 0 0 1  3 7 2 0 0 1     К 1  2 3 

третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: 0 0 0 1 0  1 6 1 - 2 1 . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 1 5 0 0 1


6

второй;

 1 0 0 - 2 1 - 6    0 1 0 5 - 2 13 .  1 1 -1 0 0 1   

Прибавим

третий

столбец

 1 0 0 - 8 - 5 - 6 1 0 0     0 1 0 18 11 13 . Умножим последний столбец на -1:  0 1 0  0 0 -1 1 1 1   0 0 -1    справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к 6  −8 - 5   А−1 =  18 11 - 13 .   1 - 1 1

к

первому

и

второму:

-8 -5 6   18 11 - 13 . Полученная 1 1 - 1  данной матрице А. Итак,

1.5. Ранг матрицы. Теоремы про ранг матрицы. Совместимость систем линейных алгебраических уровнений. Теорема Кронекера-Капелли. Рассмотрим прямоугольную матрицу (1.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение 0 ≤ r(A) ≤ min (m, n). Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Элементарными называются следующие преобразования матрицы: 1) перестановка двух любых строк (или столбцов), 2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число, 3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ∼ B. Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,  1 0 0 0 0   например,  0 1 0 0 0  .   0 0 0 0 0 При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.


 1 2 - 1 - 2   4 3 0 . Пример 1.10. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы  2   6 6  -1 - 2 Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи 1 -1 второй строки и третьего столбца, получаем минор M2 = , отличный от нуля. Переходим 2 3 теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М 2. Их всего два (можно 1 2 -1 1 -1 - 2 4 3 = 0, 2 3 0 = 0. Таким добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 2 -1 - 2 6 -1 6 6 образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.  2 3 5 − 3 − 2   Пример 1.11. Найти ранг матрицы А=  3 4 3 - 1 - 3  и привести ее к каноническому   5 6 - 1 3 - 5  виду. 1 - 2 2 − 1  3 5 - 3 - 2  6 -1 3 -5  второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: 2 − 1  1 1 - 2 2 − 1    - 7 0  ; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В =  0 1 9 - 7 0     -7 0  0 0 0 0 0 

1  Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:  2  5 .Теперь 1 1  0 1  0 1

из -2 9 9

, которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме 0 0 1 0 0   0 0. второго, и получим каноническую матрицу:  0 1 0   0 0 0 0 0 Критерий совместности Система линейных уравнений имеет вид: a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, ... ... ... ... am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.

(5.1)

Здесь аi j и bi (i = 1, m ; j = 1,n ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде: AX = B,

(5.2)


где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T, B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов bi. Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC ≡ B. Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений. Матрица  a 11 a 12 ... a 1 n b 1     a 21 a 22 ... a 2 n b 2  A =  , ... ... ... ...    a m 1 a m 2 ... a m n b m  образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой. Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r. Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности: 1) M = ∅ (в этом случае система несовместна); 2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной); 3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений. Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m≥n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной. Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа: a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, ... ... ... ... ... ... an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn.

(5.3)

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом. Пример 1.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: 5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0. Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:


5  A =  2  1

-1 1 -3

2 1 4 -2 -6 5

7  1 .  0

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в 5 -1 левом верхнем углу = 7 ≠ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю: 2 1 5 -1 2 5 -1 2 M′3 = 2 1 4 = 0, M″3 = 2 1 4 = 0. 1 -3 -6 1 -3 -6 Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор 5 -1 2 1 1 -3

7 5 14 1 = 2 7 0 1 0

7 1 = -35 ≠ 0, 0

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A) ≠ r(A), то система несовместна. Метод Гаусса Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0. Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы 1 1 - 3 2     3 - 2 1 - 1   2 1 - 2 0 и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: 1 1 - 3 2  1 1 - 3 2       3 - 2 1 - 1 ~  0 - 5 10 - 7 ;      2 1 - 2 0   2 1 4 - 4 б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую: 1 1 - 3 2     0 - 5 10 - 7  .    0 0 - 10 13


В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13. Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7. Формулы Крамера Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А ∆ = det (ai j) и n вспомогательных определителей ∆ i (i=1,n ), которые получаются из определителя ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Формулы Крамера имеют вид: ∆ ⋅ x i = ∆ i (i = 1,n ).

(5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x i = ∆ i / ∆. Если главный определитель системы ∆ и все вспомогательные определители ∆ i = 0 (i= 1, n ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы ∆ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна. Пример 1.14. Решить методом Крамера систему уравнений: x1 + x2 + x3 + x4 = 5, x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2, 2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2, 3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0. Решение. Главный определитель этой системы 1 1 1 1 1 2 -1 4 ∆= = -142 ≠ 0, 2 - 3 -1 -5 3 1 2 11 значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители ∆ i (i=1,4 ), получающиеся из определителя ∆ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x i, столбцом из свободных членов: 5 1 1 1 1 5 1 1 -2 2 -1 4 1 - 2 -1 4 ∆1= = - 142, ∆2= = - 284, -2 - 3 - 1 - 5 2 - 2 -1 -5 0 1 2 11 3 0 2 11


1 1 5 1 1 1 1 5 1 2 -2 4 1 2 -1 - 2 ∆3= = - 426, ∆ 4 = = 142. 2 -3 -2 -5 2 - 3 -1 - 2 3 1 0 11 3 1 2 0 Отсюда x1 = ∆ 1/∆ = 1, x2 = ∆ 2/∆ = 2, x3 = ∆ 3/∆ = 3, x4 = ∆ 4/∆ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T. Матричный метод Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. −1 det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A−1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы. Пример 1.15. Решить матричным способом систему уравнений x1 - x2 + x3 = 6, 2x1 + x2 + x3 = 3, x1 + x2 +2x3 = 5. Решение. Обозначим 1 - 1  A = 2 1  1 1

1  1 , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.  2

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку ∆ = det  1 - 1 1    2 1 1 =5 ≠ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:   1 1 2  A 11 A 21 A 31    А = 1/∆  A 12 A 22 A 32  .    A 13 A 23 A 33  −1

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A −1B. В данном случае  1 3 - 2   1 1 1 A−1 =  -3 5   1 - 2 3 и, следовательно,  x1   1 3 - 2  6    1    1 1  3  .  x 2  = 5  -3        1 - 2 3  5   x3  Выполняя действия над матрицами, получим: x1 = 1/5(1⋅6+3⋅3-2⋅5) = 1/5 (6+9-10) = 1, x2 = 1/5 (-3⋅6 +1⋅3 - 1⋅5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2, x3 = 1/5 (1⋅6 - 2⋅3 + 3⋅5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.


Итак, С = (1, -2, 3)T. Системы линейных уравнений общего вида Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности a) r = n; б) r < n: а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель ∆ этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера; б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных. Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид: a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn, a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn, ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn. Ее можно решить относительно x 1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x 1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений. Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид: a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5) ... ... ... ... ... ... am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x 1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r. Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство AX = λX. Число λ называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n. В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы. Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = λX в виде (A λE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме: (a11 -λ)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0, a21x1 + (a22 -λ)x2 +... + a2nxn = 0, ... ... ... ... ... ... ... ... an1x1 + an2x2 +... + (ann-λ)xn = 0.

(5.6)

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.


a1 1 − λ A- λE =

a2 1

a1 2

...

a1 n

a 2 2 − λ ...

a2 n

.... ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... a n n − λ

= 0.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен A - λ E называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - λE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом. Пример 1.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна. x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1, 3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4, x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0. Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:  1 1 - 2 - 1 1 1    3 - 1 1 4 3 4 ∼   1 5 - 9 - 8 1 0 

 1 1 - 2 - 1 1 1  1 1 - 2 - 1 1 1      0 - 4 7 7 0 1  ∼  0 - 4 7 7 0 1 .      0 4 - 7 - 7 0 - 1  0 0 0 0 0 0

Очевидно, что r(A) = r(A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду: x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1, - 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1. Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде: x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1, - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1, откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x 3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы. Пример 1.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а. 2x1 - x2 + x3 + x4 = 1, x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2, x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.


2  Решение. Данной системе соответствует матрицаА=  1  1 1 2 - 1 4  5 -3 7 0  0 - 5 3 - 7 такой:

2  1   a - 2 ~  0   -3  0

2 -1 5 -3 0 0

1  2 . Имеем А ~  a

-1 1 1 2 -1 4 7 - 4 11

2   a - 2 , следовательно, исходная система равносильна  a - 5

4 7 0

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2, 5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2, 0 = a-5. Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид: x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.

1.6. Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Пример 1.18. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Тип заготовки А Б В

1 3 1 4

Способ раскроя 2 2 6 1

3 1 2 5

Записать в математической форме условия выполнения задания. Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е. 3x +2y + z =360. Аналогично получаем уравнения x + 6y +2z = 300 4x + y + 5z = 675, которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.


1 6  3 2  4 1 1 6  ∼  0 16  2 0

2 300   1 6 2 300   1 6 2 300       1 360 ∼  0 - 16 - 5 - 540 ∼  0 16 5 540 ∼      5 675  0 - 7 2 15   0 - 14 4 30  2 300   1 6 2 300   1 6 2 300       5 540 ∼  0 2 9 570 ∼  0 2 9 570  .      9 570  0 16 5 540  0 0 - 67 - 4020

Следовательно, исходная система равносильна следующей: x + 6y +2z = 300, 2y +9z = 570, -67z = - 4020. Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы. Пример 1.19. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед. Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед. Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x i j количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде x 11 + x 12 = 6000,

(5.7)

где x 11, x 12 - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды: x2 1 + x22 = 4000.

(5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x 31 = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид x 32 =3000.

(5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так: x 11 + x 21 = 8000.

(5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью: 4,3x 11 + 7,8 x 12 + 5,25 x 21 + 6,4x 22 + 3,25x 32 = 58850.

(5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде: 4,3x 11 + 7,8x 12 +5,25x 21 +6,4x 22 = 49100, и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x расширенная матрица которой имеет вид:

11,

x 12, x 21, x 22,


1 1  0 0 A =  1 0   4,3 7,8

0 1 1 5,25

0 1 0 6,4

6000   4000 . 8000  49100

Преобразуем ее к треугольному виду: 1 0 0 1  0 1 0 1 A ∼  0 0 1 1   4,3 7,8 5,25 6,4 1 1  0 - 1 ∼ 0 0  0 0

0 1 1 8,75

6000   1 1 0   8000  0 - 1 1 ∼ 4000  0 0 1   49100  0 3,5 5,25

0 6000   1 1   0 2000  0 - 1 ∼ 1 4000  0 0   6,4 30300  0 0

0 6000   0 2000  ∼ 1 4000   6,4 23300

0 0 1 0 1 1 0 - 2,35

6000   2000  . 4000   - 4700

Наша система равносильна следующей: x 11 + x 12 = 6000, - x 12 + x 21 = 2000, x 21 + x 22 = 4000, -2,35 x 22 = - 4700, откуда x 22 = 2000, x 21 = 2000, x 12 = 0, x 11 = 6000. Пример 1.20.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов. Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б. Изделие I 2 6

А Б

Выход из единицы сырья II III 1 7 12 2

IV 4 3

Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными: x1 + x2 + x3 + x4 = 94, 2x1 + x2 + 7x3 + 4x4 = 574, 6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328. Решаем ее методом Гаусса: 1  2  6

1 1 12

1 7 2

1 94   1 1 1 1 94   1 1 1     4 574  ∼  0 - 1 5 2 386  ∼  0 - 1 5     3 328   0 6 - 4 - 3 - 236  0 0 26

1 94   2 386 .  9 2080

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x4 - свободное. Исходная система равносильна следующей:


x1 + x2 + x3 = 94 - x4, - x2 + 5x3 = 386 - 2x4, 26x3 = 2080- 9x4. Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы. Пример 1.21. Математическая модель межотраслевого баланса. Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид: n

∑ a i jx j + yi = xi j=1

(i = 1, n) ,

(5.12)

или, в матричной форме, AX + Y = X,

(5.13)

где А = (a i j) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта. Перепишем систему (5.13) в виде (E - A) X = Y,

(5.14)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле X = (E - A) −1 Y.

(5.15)

Здесь (E - A) −1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b i j матрицы (E - A) −1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x i в виде функций планируемых значений y j конечных продуктов отраслей: n

xi = ∑ bi jy j j=1

.

Пример 1.22. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

A=

 0,1  0   0,7

0 0,6  100    0,7 0,2 ; X =  200    0,1 0,1  150

;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка. 0 - 0,6   0,9   0,3 - 0,2  , E-A=  0    -0,7 - 0,1 0,9 значит,


0 - 0,6   100  0,9 ⋅ 100 + 0 − 0,6 ⋅ 150  0   0,9         0,3 - 0,2   200 =  0 + 0,3 ⋅ 200 - 0,2 ⋅ 150  =  30 . Y=  0          -0,7 - 0,1 0,9  150  -0,7 ⋅ 100 - 0,1 ⋅ 200 + 0,9 ⋅ 150   45 Пример 1.23. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где  0,125 0,125  300 A=   ; Y= .  1,125 0,125  400 Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение: 0,125 - λ 1,125

0,125 = 0, 0,125 - λ

или (0,125 -λ)2 - 0,140625 = 0 ⇒ 0,125 - λ = ± 0,375. Следовательно, λ1 = 0,5; λ2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) −1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы  0,875 - 0,125 E - A=  .  -1,125 0,875  -1 Обозначим B = E-A, тогда B =

1  A 11 A 21  1  0,875 0,125  =  . det B  A 12 A 22  5,4  1,125 0,875

Следовательно, 1  0,875 0,125  300 1  0,875 ⋅ 300 + 0,125 ⋅ 400 1  312,5  57,9  X=   ⋅ =  =   = . 5,4  1,125 0,875  400 5,4  1125 , ⋅ 300 + 0,125 ⋅ 400  5,4  687,5  127,3


2. Векторная алгебра 2.1. Вектора. Линейные операции над векторами и их свойства. Декартовые прямоугольные координаты вектора в пространстве, его длина, направление вектора, расстояние между двумя точка. В математике и ее приложениях различают два типа величин: 1) Величины, для определения которых достаточно знать только одно число. Эти величины называются скалярными или скалярами (длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д.). 2) Величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Эти величины называют векторными или векторами (сила, скорость, ускорение и т. д.). Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой

В, который обозначается символом AB или одной строчной буквой a (рис. 3.1).

 a

B

A Рис. 2.1

Длиной

(или модулем) вектора AB называется число, равное

 | AB | | a | обозначают длине отрезка, изображающего вектор. Записи и   модули векторов AB и a соответственно. Вектор a , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом: орт

o

обозначается a . Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается символом

 0 . Длина такого вектора равна нулю и ему можно приписать любое направление.

Векторы a и b , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными ( a || b ). Два вектора называются равными ( a = b ), если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях. Рассмотрим линейные операциями над векторами.

   a α b Произведением вектора на действительное число называется вектор = α a , длина    | b | = | α a | = | α || a | , а направление совпадает с a , если α > 0 , и противоположно a , которого    α < 0 a если . Из определения следует, что векторы и b = α a всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Следовательно, равенство

b =α a выражает условие коллинеарности двух векторов.

(2.1)

  − a называется произведение вектора a на число (−1) , т.е.  − a = (−1) a . Если a ≠ 0 , то орт вектора a находится по формуле 1   ao =  a |a| . (2.2) Противоположным вектором 


Суммой двух векторов a и b называется вектор a + b , который идет из начала вектора a

   b b в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора a (рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор a + b в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).

 a = OA b = AB ,…, Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы ,  l = KL образуют ломаную OAB...KL , то суммой этих векторов является вектор OL , замыкающий

эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).

 O ≡ L 0 В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору . В

 a

a +b

 b

 a

А

а)

a +b  a −b b б)

D

Аb С O

В

К

a + b + ... + l

L

в)

Рис. 2.2. a и b называется вектор a − b , являющийся суммой векторов a Разностью двух векторов и (−b ) . Отметим, что вектор a − b направлен к концу вектора a , если a и b приведены к общему началу ( рис. 2.2, б). Введенные операции умножения вектора на число и сложения векторов называются линейными и удовлетворяют ( ∀ a, b, c и ∀ α , β ∈ R ) следующим свойствам: 1о. a + b = b + a ;

2о. (a + b) + c = a + (b + c) ;

4о. a + ( − a ) = 0 ;

5о. α ( β a ) = (α

β )a ;

3о. a + 0 = a ; 6о. 1 ⋅ a = a ;

7о. (α + β ) a = α a + β a ; 8о. α ( a + b ) = α a +α b . Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1о - 8о, называется 3

линейным или векторным пространством, которое в дальнейшем будем обозначать R . Назовем осью прямую, на которой задано направление. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью, или между двумя осями) называется наименьший угол ϕ , на который нужно повернуть один вектор (ось), чтобы он совпал по направлению c другим вектором (осью). Очевидно, что 0 ≤ ϕ ≤ π .


 пр AB пр a a = AB l l Проекцией вектора на ось l (обозначается или ) называется длина отрезка A 1 B 1 , заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора AB на эту ось, взятая со знаком плюс, если направление от A 1 до B 1 совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если не совпадает (рис. 3.3, а, б).

  пр a a на ось l равна l Из определения и рис. 3.3 следует, что проекция вектора  произведению длины вектора a на косинус угла ϕ между вектором a и осью l, т.е.   прl a =| a | cos ϕ . (2.3)

А

a

В

В

a

a

В2

В2

a

А φ

φ В1

А1

В1

l

a)

А1

l

б)

Рис. 2.3.   Проекции векторов a и b на данную ось l обладают следующими свойствами: 1о. прl ( a + b ) = прl a + прl b ; 2о. прl ( α a ) = α прl a . Пусть a = b и задана какая-то ось l. Применяя к каждому из этих векторов формулу (3.3), получаем

прl a = прl b , т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось. Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (началом координат) и общей единицей масштаба называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве (рис. 3.4), в которой ось 0х называется осью абсцисс, ось 0у - осью ординат и ось 0z - осью апликат. C произвольной точкой

z

пространства свяжем вектор OM , называемый радиусом-вектором точки М, и спроектируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величи-ны соответствующих

С z

 a

x Рис. 2.4

пр x OM = x ,

пр y OM = y

,

пр z OM = z , а углы, образованные этим вектором с координатными осями 0х, 0у, 0z

В y D

x

проекций:

M

γ k β 0 j i α А

M ( x, y , z )

y

соответственно α , β , γ . Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором (или ортом)


оси.

Обозначим

через

   ( | i | = | j | = | k | = 1) .

i , j, k

соответственно

орты

координатных

осей

0х,

0у,

0z

Теорема 1. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей.

3

□ Пусть a - произвольный вектор пространства R , а х, у, z - его проекции на координатные  оси. Так как мы рассматриваем свободные векторы, то совместим начало вектора a с началом координат и получим вектор OM = a с теми же проекциями х, у, z (рис. 2.4). Согласно правилу сложения векторов, имеем

a = OD + DM = OA + OB + OC . На основании правила умножения вектора на скаляр можно выразить составляющие вектора

   OB = y j , OC = zk . Тогда предыдущее векторное OA = x i , OM через его проекции и орты осей: равенство примет вид

a = xi + y j + z k. ■

(2.4) Равенство (3.4) называется разложением вектора по координатным осям, а х, у, z координатами вектора. После выбора в пространстве определенной системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяютдруг друга, поэтому вектор (3.4) может быть записан в эквивалентной форме

a = ( x; y; z ) .

Вследствие

взаимной

OM = a = ( x; y; z )

равна

перпендикулярности

длине

диагонали

координатных

параллелепипеда,

(2.5) осей

длина

построенного

на

вектора векторах

x i , y j , z k (рис.3.4), и выражается равенством  |a|= x 2 + y 2 + z 2 .

(2.6) С помощью формулы (3.3) легко получить выражения для координат вектора через его модуль

 (3.6) и cosα , cos β , cos γ , называемые направляющими косинусами вектора a    x = пр х a =| a | cosα ,     y = пр y a =| a | cos β ,     z = пр z a =| a | cos γ .

(2.7)

Из формул (2.6) и (2.7) имеем

 x x cosα =  = , 2 2 2 | a |  x +y +z  y y  , cos β =  = 2 2 2 | a | x + y + z   z cos γ = z = , 2 2 2 |a|  x +y +z 

(2.8) откуда, возведя в квадрат левую и правую части каждого из равенств (3.8) и суммируя полученные результаты, найдем

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 . (2.9) o  o Если a = a - единичный вектор, т.е. | a |= 1 , то из формул (3.8) имеем


 a o = (cosα ; cos β ; cos γ ) ,

(2.10) т.е. координатами единичного вектора служат его направляющие косинусы. Согласно свойств проекции вектора на ось, при выполнении линейных операций над

 a векторами тем же операциям подвергаются и координаты этих векторов, т.е. если = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и  b = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то a ± b = ( x 1 ± x 2 ; y 1 ± y 2 ; z 1 ± z 2 ),  α a = (α x 1; α y 1 ; α z 1 ).

(2.11)

Пусть a и b коллинеарны. Тогда равенство (3.1) эквивалентно равенствам

x2 y2 z2 = = x1 y1 z1 ,

x 2 = α x 1 , y 2 = α y 1 , z 2 = α z 1 или (2.12) т.е. векторы a и b коллинеарны в том и только в том случае, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Следует заметить, что если одно или два из чисел в знаменателях соотношения (3.12) окажутся равными нулю, то такая запись становится символической, поскольку она не утверждает деления на нуль, а свидетельствует лишь о пропорциональности координат коллинеарных векторов.

z

Рассмотрим

 r1

С r 0

точки

A ( x 1; y 1; z 1 )

и

B (x 2; y 2; z 2 ) , радиусы-векторы которых суть   r 1 = ( x 1; y 1 ; z 1 ) и r 2 = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) (рис. 3.5). Так как   AB = r 2 − r 1 = = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ), то прихо-

А

 В r2

две

дим к следующему выводу: чтобы найти координаты вектора

у

AB , нужно из координат его конца вычесть координаты его начала. Отсюда, в частности, получаем формулу для вычисления расстояния между рассматриваемыми точками А и В:

х Рис. 2.5 | AB |= ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . (2.13) Разделить отрезок АВ в данном отношении λ > 0 это значит найти на данном отрезке такую точку С, что имеет место равенство | AC |

| CB | = λ . Найдем координаты х, у, z точки С, если

A ( x 1; y 1; z 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) . Из рис. 3.5 следует, что ( AC = λ CB ) ⇔ (( x − x 1; y − y 1 ; z − z 1 ) = λ ( x 2 − x; y 2 − y; z 2 − z )). Отсюда, приравнивая координаты, получим


x1 + λ x 2   x = 1+ λ ,  y1 + λ y 2  ,  y= 1 + λ  z1 + λ z 2   z = 1+ λ . 

( x − x 1 ) = λ ( x 2 − x), ⇒  ( y − y 1 ) = λ ( y 2 − y ), ( z − z ) = λ ( z − z ). 1 2  (2.14) В частности, при λ = 1 из системы (3.14) находим координаты середины отрезка АВ x + x2 y + y2 z +z2 x= 1 , y= 1 , z= 1 . 2 2 2 (2.15) 2.2. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешенное произведение векторов. Их использование. Скалярным произведением двух векторов a и b (обозначается a ⋅ b ) называется число, равное произведение модулей перемножаемых векторов на косинус угла ϕ между ними (рис. 3.6). Таким образом, по определению

 a

пр

 ab

ϕ

 пр b a

Рис. 2.6

 a ⋅ b =| a || b | cos ϕ .

(2.16)

 | b | cos ϕ b Так как произведение есть проекция вектора на    ось, определяемую вектором a (обозначается пр a b ), и | a | cos ϕ    пр ba a b проекция вектора на ось вектора (обозначается ), то из (3.16) следует, что

  a ⋅ b =| a | пр a b =| b | пр b a

.

(2.17) Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:

a ⋅b пр a b =  , |a|  В частном случае, если | a |= 1 , то  a ⋅b пр ab = = a⋅b. 1

 a⋅b пр b a = . |b|

(2.18)

(2.19) Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов. Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения. 1о. Скалярное произведение коммутативно:

a⋅b = b⋅a . 2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:

(α a) ⋅ ( β b) = (α β )(a ⋅ b) . 3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:

( a + b )⋅c = a ⋅c + b⋅c.


  a = 0 b = 0 (либо , либо , либо a ⊥ b ). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов a и b является равенство нулю 4о. ( a ⋅ b = 0) ⇔

их скалярного произведения, т.е.

(a ⊥ b )

( a ⋅ b = 0) .

Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:

       a ⋅ a =| a || a | cos 0 =| a || a |=| a | 2 .

Таким образом,

  a 2 =| a | 2 ,

(2.20) т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Найдем выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов.

   2 2 2 Координатные орты i , j , k имеют длины, равные единице, т.е. i = j = k = 1 . Далее, так       i как эти векторы взаимно ортогональны, то ⋅ j = j ⋅ k = i ⋅ k = 0 .   a = ( x ; y ; z ) b = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) . В таком случае 1 1 1 и Пусть даны два вектора       a ⋅ b = ( x 1i + y 1 j + z 1k ) ⋅ ( x 2 i + y 2 j + z 2 k ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , (2.21) т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. В частности, положив в (2.21) a = b , найдем

    a ⋅ a = a 2 =| a | 2 = x 12 + y 12 + z 12 .

Отсюда следует, что

   | a |= a ⋅ a = x 12 + y 12 + z 12 .

Используя

координатную

форму

скалярного

(2.22) произведения, получаем,

что

условие

ортогональности ненулевых векторов a и b имеет вид

( a ⋅ b = 0)

( x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0 ) . (2.23)

Выражая скалярное произведение и модули векторов через их проекции по формулам (3.21) и (3.22), получим формулу для нахождения косинуса угла ϕ между векторами:

cos ϕ =

x 1x 2 + y 1 y 2 + z 1z 2

x 12 + y 12 + z 12 x 22 + y 22 + z 22

. (2.24)  Пусть дан вектор a = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и ось l, которая составляет с базисными векторами     i , j , k соответственно углы α , β , γ . Найдем пр l a . Для этого зададим направление оси l o e = (cosα ; cos β ; cos γ ) . Тогда, согласно (2.19) ортом    пр l a = a ⋅ e o = x 1 cosα + y 1 cos β + z 1 cos γ . (2.25) Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями: 1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. c  = a  b sin (a^b). 2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.


3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку. Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или c = a× b. Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j. Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то

[ab] =

i a1

j a2

k a3

b1

b2

b3

=i (a2b3 - a3b2) - j (a1b3 - a3b1) + k (a1b2 - a2b1).

Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c. Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то

abc =

a1

a2

a3

b1

b2

b3

c1

c2

c3

.

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах. Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = a b c . Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом ао. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или а , АВ  обозначаются модули векторов а и АВ. Пример 2.1. Зная векторы a и b, на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне a. Решение. Обозначим AB=a, AC=b, CD=h, где CD⊥a, D-основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону a. По правилу сложения векторов имеем: b + h = AD, h = AD - b. Поскольку AD a, то AD = λ a. Найдем значение λ, используя ортогональность векторов a и h: ah=0 или a(λ a-b)=0, откуда λ = ab /a2. Следовательно, h = (ab /a2) a - b. Пример 2.2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о. Решение. Имеем: cos ϕ = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn = = 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a =

2

a ; a2 = (2m+4n) (2m+4n) =

= 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = 12 . b =

2

b ; b2 =


−3

= (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = 3 . Окончательно имеем: cos ϕ = 12 ⋅ 3 = -1/2, ⇒ ϕ = 120o. Пример 2.3. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC. Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим: S = 1/2 BC AD. Тогда 2 2 2 2 AD=2S/BC, BC= BC = ( −2) + 4 + 4 = 6, S = 1/2 AB ×AC. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты

AC(-5,2,10). AB×AC =

i j -3 -2 -5 2

k 6 10

= i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =

16 2 ( 2 2 + 1) = 16 5 ; S = 8 5 , откуда = -16(2i +k ). AB×AC = 16 5 8 5 AD = 6 = 3 . Пример 2.4. Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой. Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z. Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b, то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0. Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x2 + y2 + z2 = 0. Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125, откуда 6 x = ± 5 5 . Используя условие a b c >0, получим неравенство 11 4 x

10 0 y

2 3 z

> 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда 6 1 8 следует, что x>0. Итак, x = 5 5 , y = - 5 , z =- 5 5 .


3. Аналитическая геометрия 3.1. Разные види уравнений приямой на плоскости.Нормальное уравнение прямой. При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них. Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя. Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода. Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией. Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках. Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции. Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума. Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной системой неравенств. В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений: 10. Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0.

(3.1)

Вектор n(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю. 20. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y - yo = k (x - xo),

(3.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg α, где α - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo, yo ) - некоторая точка, принадлежащая прямой. Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy. 30. Уравнение прямой в отрезках: x/a + y/b = 1, где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. 40. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x1, y1) и B(x2, y2 ):

(3.3)


y − y1 x − x1 = . y2 − y1 x2 − x1

(3.4)

50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x 1, y1) параллельно данному вектору a(m, n): y − y1 x − x1 = . n m

(3.5)

rnо - р = 0,

(3.6)

60. Нормальное уравнение прямой: где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, nо - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой. Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид: x cos α + y sin α - р = 0, где α - величина угла, образованного прямой с осью Оx. Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1, y1) имеет вид: y-y1 = λ(x-x1 ), где λ - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A 1 x + B1 y + C1= 0, A2 x + B2 y + C2 = 0, то его уравнение имеет вид: λ (A1 x + B1 y + C1) + µ (A2 x + B2 y + C2 )=0, где λ и µ - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно. 3.2. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1 задается формулой: tg ϕ =

k1 − k . 1 + k1 k

Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Для того, чтобы два уравнения A1 x + B1 y + C1= 0,

(3.7)

A2 x + B2 y + C2 = 0,

(3.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны: A1/A2 = B1/B2 = C1/C2. Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A 1/A2 = B1/B2 и B1/B2 ≠ C1/C2; прямые пересекаются, если A1/A2 ≠ B1/B2. Расстояние d от точки Mо(xо, yо) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = rо nо - р , где rо - радиус-вектор точки Mо или, в координатной форме, d = xо cosα + yо sinα - р . Пример 3.1. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o. Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, ⇒ b=1-3k. Величина угла


k1 − k . Так как угловой 1 + k1 k

между прямыми y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tgϕ =

коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол ϕ = 45o, то имеем уравнение для определения k: (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1. Имеем два значения k: k1 = 1/5, k2 = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x - 5y + 2 = 0 и 5x + y - 16 = 0. Пример 3.2.. При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ? Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t: t1 = 2, t2 = -2/3. Пример 3.4. Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данные приведены в таблице. Тип поезда Пассажирский Скорый Резерв вагонов

Количество вагонов в составе плацкартных купейных 5 6 8 4 80 72

мягких 3 1 21

Записать в математической форме условия, не позволяющие превысить наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневно отправляемых со станции. Построить на плоскости Oxy область допустимых вариантов формирования поездов. Решение. Обозначим через x количество пассажирских поездов, а через y - количество скорых. Получим систему линейных неравенств: 5x + 8y ≤ 80, 6x + 4y ≤ 72, 3x + y ≤ 21, x ≥ 0, y ≥ 0. Построим соответствующие прямые: 5x + 8y = 80, 6x +4y = 72, 3x + y = 21, x = 0, y = 0, записав их уравнения в виде уравнений прямых в отрезках: x/16 + y/10 = 1, x/12 + y/18 = 1, x/7 + y/21 = 1, x = 0, y = 0. Заштрихуем полуплоскости, удовлетворяющие данным неравенствам, и получим область допустимых значений:

Итак, количество скорых поездов не превышает 10, а пассажирских должно быть не более 7. Пример 3.5. Имеются два пункта производства (A и B) некоторого вида продукции и три пункта (I, II, III) его потребления. В пункте А производится 250 единиц продукции, а в пункте В - 350 единиц. В пункте I требуется 150 единиц, в пункте II -240 единиц и в пункте III - 210 единиц. Стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта производства в пункт потребления дается следующей таблицей.


Таблица 1 Пункт производства A B

I 4 5

Пункт потребления II 3 6

III 5 4

Требуется составить план перевозки продукции, при котором сумма расходов на перевозку будет наименьшей. Решение. Обозначим количество продукции, перевозимой из пункта А в пункт I через x, а из пункта А в пункт II - через y. Так как полная потребность в пункте I равна 150 единицам, то из пункта В надо завезти (150 - x) единиц. Точно так же из пункта В в пункт II надо завезти (240 - y) единиц. Далее: производительность пункта А равна 250 единицам, а мы уже распределили (x + y) единиц. Значит, в пункт III идет из пункта А (250 - x -y) единиц. Чтобы полностью обеспечить потребность пункта III, осталось завезти 210 - (250 - x -y) = x + y - 40 единиц из пункта В. Итак, план перевозок задается следующей таблицей. Таблица 2 Пункт Пункт потребления производства I II III A x y 250 - x - y B 150 - x 240 - y x + y - 40 Чтобы найти полную стоимость перевозки, надо умножить каждый элемент этой таблицы на соответствующий элемент предыдущей таблицы и сложить полученные произведения. Получим выражение: S(x,y) = 4x + 3y + 5 (250 - x - y) + 5 (150 - x) + + 6 (240 -y) + 4 (x + y - 40) = - 2x - 4y +3280. По условию задачи требуется найти минимум этого выражения. Но величины x и y не могут принимать произвольных значений. Ведь количество перевозимой продукции не может быть отрицательным. Поэтому все числа таблицы 2 неотрицательны: x ≥ 0, y ≥ 0, 250 - x - y ≥ 0, 150 -x ≥ 0, 240 - y ≥ 0, x + y - 40 ≥ 0.

(3.12)

Итак, нам надо найти минимум функции S(x,y) в области, задаваемой системой неравенств (2.12). Эта область изображена на рис.3 - она является многоугольником, ограниченным прямыми: x = 0, y = 0, 250 - x - y = 0, 150 - x = 0, 240 - y = 0, x + y - 40 = 0.

Рис. 3.1.


Находим координаты вершин многоугольника: A (0,40), B (40,0), C (150,0), D (150,100), E (10,240), F (0,240). Очевидно, что функция S(x,y) принимает наименьшее значение в одной из вершин многоугольника CDEFKL. В самом деле, выясним, где располагаются точки, в которых значения этой функции одинаковы (так называемые линии уровня функции S (x,y) = -2x - 4y + 3280). Если значение функции S (x,y) равно c, где с - вещественная константа, то 2x - 4y + 3280 = c. Но это уравнение прямой линии. Значит, для функции S линиями уровня являются прямые линии, которые параллельны друг другу при различных значениях c. Если линия уровня пересекает многоугольник, то соответствующее значение c не является ни наибольшим, ни наименьшим. Ведь немного изменив c, мы получим прямую, которая также пересекает многоугольник. Если же линия уровня проходит через одну из вершин, причем весь многоугольник остается по одну сторону от этой линии, то соответствующее значение c является наибольшим или наименьшим. Итак, функция S (x,y) = -2x - 4y + 3280 принимает наименьшее значение на многоугольнике в одной из его вершин. Поскольку мы уже знаем эти вершины, то подставим соответствующие значения координат и найдем, что S (0,40) = 3120, S (40,0) = 3200, S (1,500) = 2980, S (150,100) = 2580, S (10,240) = 2300, S (0,240) = 2320. Наименьшим из этих значений является 2300. Это значение функция принимает в точке E (10, 240). Значит, x = 10, y = 240. Подставляя эти значения в план перевозок (см. таблицу 2), получаем: Таблица 3 Пункт производства A B

I 10 140

Пункт потребления II 240 0

III 0 210

Таким образом, из пункта А в пункт I надо перевезти 10 единиц продукции, из пункта А в пункт II - 240 единиц и т. д. Стоимость намеченного плана равна 2300. Рассмотренная задача относится к большому классу задач, возникающих не только в экономике, но и в других областях человеческой деятельности. Задачи такого типа называются задачами линейного программирования. Пример 3.6. Рассмотрим формулу простых процентов: S = P + I = P ( 1 + ni ). В этой формуле I - это проценты за весь срок, P - первоначальная сумма, S - сумма, образованная к концу срока ссуды, i - ставка процентов в виде десятичной дроби. Начисленные проценты за один период ( месяц, квартал, год ) составят величину, равную Pi, за n периодов - Pni. Процесс роста суммы долга по формуле простых процентов легко представить графически. Перепишем S в виде S = P + Pni, откуда легко увидеть линейную зависимость между S и n, т. е. это уравнение прямой с угловым коэффициентом. Поскольку n - это независимая переменная, то, совместив ось On с горизонтальной осью, как это обычно и делается, а ось OS - c вертикальной осью, построим график функции S.


Рис. 3.2. 3.3. Разные види уравнений плоскости в пространстве. Угол между плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей. Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0

(3.9)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.9), которое называется уравнением плоскости. Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения (3.1): 1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат. 2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz. 3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz. 4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz. Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0. Как известно из курса средней школы, положение плоскости в пространстве однозначно определяется в следующих трех случаях: 1) даны точка, через которую проходит плоскость, и вектор, ей перпендикулярный); 2) даны два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, и точка, через которую эта плоскость проходит; 3) даны три точки плоскости, не лежащие на одной прямой. В зависимости от способа задания плоскости можно получить различные виды ее уравнения. 1. Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) перпендикулярно

z M0

x

к

ненуле-вому

вектору

N = ( A; B; C ) ,

называемому нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).

Р

M ( x; y; z ) Пусть плоскости Р.

M x 0

x у

x Рис. 3.3

произвольная Тогда

точка вектор

M 0M = r − r 0 = (x − x 0; y − y 0; z − z 0 ) плоскости Р ортогонален вектору N . Используя условие ортогональности векторов (3.23), получим уравнение плоскости Р

A( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 , (4.1)

которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку.


Таким образом, всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, z. Придавая коэффициентам А, В, С уравнения (4.1) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , поэтому это уравнение называют еще уравнением связки плоскостей. Раскрывая скобки в уравнении (4.1) и вводя обозначение D = − Ax 0 − By 0 − Cz 0 , получим уравнение

Ax + By + Cz + D = 0 ,

(4.2)

которое называется общим уравнением плоскости Р с нормальным вектором N = ( A; B; C ) . Верно и обратное: всякое уравнение вида (4.2), в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля, определяет плоскость с нормальным вектором N = ( A; B; C ) . В самом деле, пусть M ( x; y; z ) - произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (3.9), а

M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) - некоторая фиксированная точка, тоже удовлетворяющая ему, т.е. имеет место Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 . Вычитая это равенство из уравнения (3.9), получим равенство соотношение (4.1), определяющее искомую плоскость. Рассмотрим частные случаи положения плоскости относительно системы координат 0хуz. 1) При D = 0 уравнение имеет вид через начало координат.

Ax + By + Cz = 0 и определяет плоскость, проходящую

2) При C = 0 уравнение имеет вид Ax + By + D = 0 и определяет плоскость, параллельную 0z (или проходящую через эту ось при D = 0 ). Аналогично анализируются случаи, когда в уравнении (4.2) A = 0 ( By + Cz + D = 0 ) и B = 0 ( Ax + Cz + D = 0 ). Полезно запомнить, что если в уравнении нет текущей координаты, например z, то плоскость параллельна оси 0z и т.д. 3) При B = 0 и C = 0 уравнение имеет вид Ax + D = 0 и определяет плоскость, параллельную координатной плоскости 0yz (или совпадающую с ней при D = 0 , которая имеет уравнение x = 0 ). Аналогично анализируются случаи, когда A = 0 , C = 0 ( By + D = 0 ) и A = 0 , B = 0 ( Cz + D = 0 ). Пусть в уравнении (4.2) ни один из коэффициентов не равен нулю. Разделим обе части этого уравнения на D ≠ 0 и запишем его в виде

x y z + + =1 . D D D − − − A B C D D D Вводя обозначения a = − , b = − , c = − , получим уравнение A B C x y z + + = 1, a b c

(3.10)

которое называется уравнением плоскости в отрезках на осях. 2. Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) параллельно двум неколлинеарным векторам a 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) и a 2 = (l 2 ; m 2 ; n 2 ) .


Возьмем произвольную точку плоскости M ( x; y; z ) . Так как векторы

a1 ,

a2

и

M 0 M = ( x − x 0 ; y − y 0 ; z − z 0 ) расположены в параллельных плоскостях, то они компланарны. Используя условие компланарности трех векторов (равенство нулю их смешанного произведения), получим уравнение искомой плоскости в виде

x− x0 l1 l2

y− y0 m1 m2

z−z0 n1 = 0 . n2

(3.11)

Вычислять этот определитель удобнее разложением его по элементам первой строки. 3. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 )  M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) параллельно вектору a = (l ; m; n) .

M ( x; y; z )

Пусть

-

произвольная

M 1M = ( x − x 1 ; y − y 1 ; z − z 1 ) ,

точка

плоскости.

Тогда

M 1M 2 = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 )

и

 a

и

векторы будут

компланарны. Приравнивая нулю смешанное произведение этих векторов, получим искомое уравнение плоскости в виде

x − x1

y − y1

z − z1

x 2 − x1 l

y 2 − y1 m

z 2 − z1 = 0. n

(3.12)

4. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки

M 1 ( x 1; y 1; z 1 ) ,

M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) и M 3 (x 3; y 3; z 3 ) . Возьмем произвольную точку M ( x; y; z ) плоскости и соединим одну из данных точек, например M 1 , с точками M , M 2 и M 3 . Векторы M 1M , M 1M 2 и M 1M 3 - компланарны, и поэтому их смешанное произведение равно нулю:

x − x1 x 2 − x1 x 3 − x1

y − y1 y 2 − y1 y 3 − y1

z − z1 z 2 − z1 = 0. z 3 − z1

(3.13)

Полученное уравнение (4.6) – искомое. Пусть в системе координат 0хуz задана плоскость Р (рис. 4.2). Проведем из точки О луч, перпендикулярный к плоскости, называемый нормалью. Точку пересечения луча с плоскостью  обозначим через D, а длину перпендикуляра OD - через p. Выберем на луче единичный вектор n o , координатами которого, согласно (3.10), будут Q направляющие косинусы, т.е. z o . Положительным n = (cosα ; cos β ; cos γ )

M0 D

M

p

d

Р

 r γno

α

О

β

y

направле-нием n o будем считать направление от О к D. Если точки О и D совпадают, то выбирается любое из двух направлений на нормали. Выведем уравнение данной плоскости Р, считая известными числа cosα , cos β , cos γ и р. Возьмем произвольную точку M ( x; y; z ) . Эта точка лежит на плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора OM = ( x; y; z ) на

нормаль n o равна р, т.е.

x Рис. 3.4


пр o OM = p . n Эту проекцию, согласно (3.19), можно найти как скалярное произведение OM на единичный

вектор n o = (cosα ; cos β ; cos γ ) , т.е.

 пр o OM = n o ⋅ OM = x cosα + y cos β + z cos γ . n

Подставляя последнее выражение в левую часть предыдущего равенства, получим уравнение x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 , (3.14) которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальной форме. Определим теперь расстояние d от точки M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) до плоскости Р, заданной нормальным уравнением (4.7). Пусть Q - проекция точки M 0 на нормаль (рис. 4.2). Тогда DQ = OQ − OD . Но так как точки M 0 и начало координат О могут находиться как по разные стороны от плоскости, так и по одну сторону, то последнее равенство следует взять по модулю, т.е. d = | DQ | = | OQ − OD | . Но OQ = пр o OM 0 , OD = p , следовательно n

d = | пр o OM 0 − p | . n

o

Вектор OM 0 = ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , а пр o OM = n ⋅ OM = x 0 cosα + + y 0 cos β + z 0 cos γ n . С учетом этого равенства d = | x 0 cosα + y 0 cos β + z 0 cos γ − p | , (3.15)

M 0 до плоскости Р нужно в левую часть его нормального уравнения (3.14) подставить вместо ( x; y; z ) координаты точки M 0 и полученное т.е. для вычисления расстояния d от точки

число взять по модулю. Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть (3.10) общее уравнение плоскости, а (3.14) - ее нормальное уравнение. Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то умножая все члены (3.10) на некоторый множитель µ , мы получим уравнение µ Ax + µ By + µ Cz + µ D = 0 , совпадающее с уравнением (4.7), т.е. имеем µ A = cosα , µ B = cos β , µ C = cos γ , µ D = − p . Чтобы найти множитель µ , возведем первые три из этих равенств в квадрат и сложим; тогда получим µ 2 ( A 2 + B 2 + C 2 ) = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ . Но согласно (3.9) правая часть последнего равенства равна единице. Следовательно,

µ=±

1 A2 + B2 +C 2

.

(3.16)

Число µ называется нормирующим множителем уравнения (3.10). Для определения его знака используем равенство µ D = − p , т.е. µ имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (4.2). Если D = 0 , то знак µ выбирается произвольно. Если привести уравнение (3.10) с помощью (3.17) к нормальному виду, подставить вместо ( x; y; z ) координаты точки M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) и взять полученное число по модулю, то получим формулу для нахождения расстояния от точки M 0 до плоскости в виде


α

d=

A x0 + B y 0 + C z 0 + D A2 +B2 +C 2

.

(3.17)

Пусть даны две плоскости

P1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0; P 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ,(3.18) пересекающиеся по некоторой прямой L 0 . Проведем плоскость Р, перпендикулярную к линии L 0 . Эта плоскость пересекается с P1 и P 2 по прямым L 1 и L 2 . Угол ϕ между прямыми L 1 и L 2 называется углом между плоскостями P1 и P 2 . Поскольку N 1 ⊥ P1 и N 2 ⊥ P2 , то угол между векторами N и N ревен углу ϕ между плоскостями P1 и P 2 . Тогда 1

cos ϕ =

2

N1⋅N 2 | N 1 |⋅| N 2 |

=

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1C 2 A 12 + B 12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22

.

(3.19)

Второй угол равен 180 o − ϕ . Две плоскости (4.11) параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы N 1 и N 2 и наоборот. Таким образом, исходя из (3.12), имеем

P1 || P 2

N 1 || N 2

A1 B 1 C 1 = = . A2 B 2 C 2

(3.20)

Две плоскости (4.11) взаимно перпендикулярны, если ортогональны их нормальные векторы

N 1 и N 2 и наоборот. Таким образом, исходя из (3.23), имеем P1 ⊥ P 2 ⇔ N 1 ⊥ N 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1C 2 = 0 .

(4.14)

3.4. Разные види уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендиклярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние од точки до прямой Прямая в пространстве может быть задана: 1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;

(3.21)

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями: =;

(3.22)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями: .

(3.23)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой. Вектор a называется направляющим вектором прямой. Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt.

(3.24)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой: x = mz + a, y = nz + b. (3.25 От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: .


От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система равносильна системе x = x1, ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz. Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости. Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3⋅3+D = 0 ⇒ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0. Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о. Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями = cos 60о, где m = A/B. Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни m 1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0. Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой: 5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0. Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид: где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x 1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда n = [n1, n2] = = (-2-3)i - (-10-2)j + (15-2)k = -5i+12j+13k. Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 = (z - 1)/13. Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1). Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом: (2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0. Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим: (2u+v)⋅1 + ( -u + v)⋅0 + (5u + 2v )⋅1 -3u + v =0, или v = - u. Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка: u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0. Т.к. u≠0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:


(2u+ v)⋅1 + (v - u)⋅(-2) + (5u +2v)⋅3 = 0, или v = - 19/5u. Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0. Пусть даны две прямые

L1 :

x − x1 y − y 1 z − z 1 = = ; l1 m1 n1

L2 :

x− x2 y−y2 z−z2 = = l2 m2 n2

с направляющими векторами s 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) и s 2 = (l 2 ; m 2 ; n 2 ) соответственно. При любом расположении прямых L 1 и L 2 в пространстве за угол

ϕ между этими прямыми принимают один

из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным, через какую-

ϕ между их направляющими

нибудь точку пространства. Один их этих смежных углов равен углу векторами s 1 и s 2 данных прямых. Тогда

cos ϕ =

s1 ⋅ s 2

=

l 1l 2 + m 1m 2 + n 1n 2

.

(3.26)

Параллельность (перпендикулярность) двух прямых

L 1 и L 2 означает, очевидно,

| s 1 || s 2 |

l 12 + m 12 + n 12 l 22 + m 22 + n 22

Второй угол равен 180 o − ϕ .

коллинеарность (ортогональность) их направляющих векторов. Поэтому

L 1 || L 2

⇔ s 1 || s 2

l1 m1 n1 = = , l2 m2 n2

L 1⊥ L 2

l 1l 2 + m 1m 2 + n 1n 2 = 0 .

s 1⊥ s 2

В заключение найдем расстояние

x − x1 y − y 1 z − z 1 = = l m n параллелограмма,

M

в

построенного

d

от точки

пространстве. на

Искомое

(3.27) (3.28)

M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) до прямой расстояние

векторах

d

является

 s = (l ; m; n)

L:

высотой и

M 1M 2 = ( x 2 − x 1; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) (рис.4.4). Так 2

как площадь параллелограмма, построенного на векторах

d

s

M1

 s

L

и

произведения, то

d= Рис. 3.5

M 1M 2 , равна модулю их векторного | s × M 1M 2 | .  |s|

(3.29)


4. Ведение в математический анализ 4.1. Понятие функции. Область определения. Способы задания функции. Основные елементарные функции которые используются в економическиъ осследования. Свойства функции. В различных областях знания, при изучении тех или иных явлений или процессов мы встречаемся с постоянными величинами, которые в условиях данного процесса сохраняют свое числовое значение, и с переменными величинами, которые в данном процессе могут принимать различные числовые значения. Например, число месяцев в году постоянно. Примерами переменных величин могут служить величина издержек производства, доход от реализации продукции, национальный доход. Некоторые постоянные сохраняют свое числовое значение неизменным в условиях любой задачи. Они называются абсолютными постоянными. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу π . Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром. Например, параметрами являются курс конкретной денежной единицы в определенный момент времени, стоимость единицы продукции в данное время и в данном месте. Одна и та же величина в одних условиях может быть постоянной, в других – переменной. Так, например, национальный доход для ряда лет является величиной переменной, а для каждого конкретного года – параметром; при равномерном движении S = vt , где путь S и время t – переменные величины, а скорость v – параметр. Иногда постоянную C удобно рассматривать как частный случай переменной, принимающей одно и то же значение x = C . Во всех рассмотренных случаях значениями переменных (постоянных) величин были действительные числа. Такие переменные называются действительными переменными, которые и будут рассматриваться в данном курсе. Понятие функциональной зависимости. Пусть даны два непустых множества D и E множества R . Если каждому элементу x ∈ D ставится в соответствие один и только один элемент y ∈ E , то y называется функцией f (отображением) аргумента x . Это записывается в виде y = f ( x), x ∈ D . (4.1) Другими словами, с помощью функции y = f (x ) подмножество D отображается в подмножество y = − 2x , поэтому вместо соотношения (12.1) допустима запись x → f ( x), x ∈ D . (4.2) Подмножество D называется областью определения (существования) функции y , подмножество E – множеством ее значений. Аргумент x часто называют независимой переменной, функцию y – зависимой переменной, а соответствие между ними – функциональной зависимостью. Кроме буквы f для обозначения функций используют и другие буквы, например: y = y (x) , y = g (x) , y = ϕ (x) , y = F (x) и т.д. Значение, которое функция y = f (x) принимает при x = a , обозначается f (a ) . Функция и аргумент могут обозначаться также другими буквами, например, s = f (t ) , u = f (v ) , x = x(t ) и т.д. Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции. 1) Аналитический способ. Этот способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента. Этот способ 3 наиболее часто встречается на практике. Примеры функций, заданных аналитически: 1) y = 2 x − 5 ; 2) y = ( x + 3) ( x − 2) ; 3) y =

5 − x 2 + 3x ; 4) y = sin 2 x − 1 .


При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения, т.е. вместо y = f ( x), x ∈ D , пишут y = f (x) . В таких случаях можно говорить о естественной области определения функции. Естественной областью определения функции, заданной аналитически, называется множество значений аргумента x , для которого данная формула имеет смысл. f ( x) g ( x) является Областью определения функций f ( x ) ± g ( x) , f ( x ) ⋅ g ( x) и пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель g ( x) = 0 . Пример 1. Найти область определения функции

f ( x) = lg( x − 1) + arcsin

x . 2

 Область определения функции находим из решения следующей системы неравенств:

 x − 1 > 0,  ⇔  x − 1 ≤ ≤ 1 ;  2 Таким образом, x ∈ ( 1; 2 ] . 

 x > 1,  − 2 ≤ x ≤ 2;

1 < x ≤ 2.

Иногда функция задается с помощью нескольких формул, например,

2 x , для x > 0,  f ( x) = 0, для x = 0,  x − 1, для x < 0. 

(4.3)

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислять при любых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность. 2) Табличный способ. При этом способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Так, хорошо известны, например, 2 3 таблицы функций y = x , y = x , y = x , y = sin x , y = cos x , y = lg x и многие другие. Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет месторасположение поезда в отдельные моменты времени. Таблицы могут составляться также по значениям x и y , полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены. 3) Графический способ. Этот способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически – это значит построить ее график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине элекрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы. Графиком числовой функции y = f (x ) называется множество точек плоскости с координатами ( x; f ( x)) , абсциссы которых – числа из области определения функции, а ординаты – соответствующие значения функции. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси 0 y , пересекает ее не более чем в одной точке.


Пример 2. График параболы, заданной уравнением y = 2 x , не является графиком функции, 2

поскольку прямая, параллельная оси 0 y , пересекает его в двух точках при всех значениях x , кроме

x = 0 (рис. 12.1). Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям y = ± 2 x , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции y =

2 x служит верхняя половина параболы, графиком функции y = − 2 x – ее нижняя половина. Обе функции определены при x ∈ [0, + ∞) . График функции (12.3) имеет вид, изображенный на рис. 12.2. y y = 2x y 4) Словесный способ. При этом способе функция может быть y = 2x задана с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу x > 0 0 1 2 1 2 0 y = x−1 1 x число 1, числу 0 – число 0, а y = − 2x x каждому x < 0 – число − 1 . В результате получим функцию, определенную на всей вещественной оси и принимающую три значения: 1, 0 и − 1 . Эта функция имеет специальное Рис. Рис. обозначение sign x (signum – по 12.1 12.2 латыни обозначает “знак”) и, конечно, может быть записана с помощью нескольких формул:

 1, если x > 0,  sign x =  0, если x = 0, − 1, если x < 0. 

Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число 0. Полученная функция называется функцией Дирихле∗. Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции. Функция называется явной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит y , например, функция y = 2 x 2 − 5 x + 2 .

Функция называется неявной, если она задана уравнением F ( x, y ) = 0 , не разрешенным относительно зависимой переменной. Это название отражает только способ задания функции, а не характер функциональной зависимости. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции f1 ( x ) = 1 − x 2 и

f 2 ( x ) = − 1 − x 2 могут быть заданы также и

неявным образом с помощью уравнения x 2 + y 2 − 1 = 0 .

Сложная функция. Если функция y зависит от переменной u , т.е. y = f (u ), u ∈U , а u , в свою очередь, является функцией от переменной x , т.е. u = ϕ (x ) , x ∈ X с областью значений U , то переменная y называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции) от x и записывается в виде y = f (ϕ ( x )) . Из определения следует, что сложная функция может быть представлена в виде цепочки простых функций: y = f (u ) , u = ϕ (x) . Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной x . Очевидно, что цепочка, составляющая 

Дирихле Петер Густав Лежен (1805 – 1859) – немецкий математик.


сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев. Например, 4 2 4 функция y = tg (3 x − 5) состоит из трех звеньев: y = u , u = tg t , t = 3 x 2 − 5 . Рассмотрим основные свойства функций. Четность и нечетность. Пусть область определения функции симметрична относительно нулевой точки, кроме, может быть, самой точки 0. Функция y = f (x ) называется четной, если f (− x) = f ( x) , ∀x ∈ D . (4.4)

Например, функции y = 2 x 2 − 5 , y = cos x , определенные на всей числовой прямой, и

функция y = 9 − x 2 , определенная на отрезке [−3, 3] , являются четными, поскольку для них выполняется условие (12.4):

2(− x) 2 − 5 = 2 x 2 − 5 ; cos(− x) = cos x ;

9 − ( − x) 2 = 9 − x 2 . График четной функции симметричен относительно оси 0 y (см., например, график функции y = x 2 на рис. 12.4). Функция y = f (x ) называется нечетной, если f ( − x) = − f ( x) , ∀x ∈ D . (4.5) 3 Например, функции y = x , y = sin x , определенные на всей числовой прямой, и функция y = x 5 4 − x 2 , определенная на интервале (−2, 2) , являются нечетными, поскольку для них выполняется условие (12.5):

(− x) 3 = − x 3 ; sin( − x) = − sin x ; (− x) 5

4 − (− x) 2 = − x 5

4 − x2 .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, 3 график функции y = x на рис. 12.5). Разумеется, не все функции обладают свойствами (12.4) и (12.5). Пример 3. Исследовать на четность и нечетность функцию f ( x ) = lg((2 + x ) (2 − x )) .  Данная функция определена, если (2 + x) (2 − x) > 0 . Применяя к решению этого неравенства метод интервалов (СР 5), получим x ∈ (−2, 2) (симметричный интервал относительно нулевой точки). Найдем

2− x 2+ x f (− x) = lg = lg  2 − (− x) 2− x

−1

= СР 4.10 = − lg

2+ x = − f ( x) , 2−x

т.е. данная функция является нечетной. 

+

-2

0

2

х

Рис. 4.1

Монотонность. Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей) на промежутке

X , если для любых двух точек x1 , x 2 этого промежутка таких, что x1 < x 2 , выполняется неравенство f ( x1 ) < f ( x 2 ) ( f ( x1 ) > f ( x 2 ) ) (иными словами, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции). Если в приведенном выше определении выполняется неравенство f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) ( f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) ), то функция называется неубывающей (невозрастающей).


Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции еще называются строго монотонными. 3 2 Например, функция y = x монотонно возрастает на всей числовой прямой; функция y = x

– кусочно монотонная: на (−∞, 0) она убывает, а на (0, + ∞) – возрастает. Ограниченность. Функция y = f (x ) , определенная на множестве X , называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m) , что при всех значениях аргумента x ∈ X выполняется неравенство f ( x) ≤ M ( f ( x) ≥ m ). Если функция ограничена сверху или снизу, то говорят, что функция ограничена, т.е. m ≤ f ( x) ≤ M . Выберем из чисел m и M то, модуль которого больше. Пусть это будет M . Тогда − M ≤ f ( x) ≤ M , или f ( x) ≤ M .

График ограниченной сверху (снизу) функции лежит ниже (выше) прямой y = M ( y = m ), а график ограниченной функции размещается в полосе между прямыми y = − M и y = M . Например, функция y = cos x ограничена на всей числовой оси, ибо cos x ≤ 1 , ∀x ∈ R .

Периодичность. Функция y = f (x ) называется периодической, если существует такое действительное число T ≠ 0 , что для любых D из области определения функции f ( x + kT ) = f ( x) , где k ∈ Z . Число T называется периодом. Наименьший из положительных периодов функции называется основным периодом функции. Например, для функций y = sin x и y = cos x число T = 2π является основным периодом. Для функций y = tg x , y = ctg x основным периодом является число T = π . Нули функции. Нулем функции называется такое действительное значение x , при котором значение функции равно нулю. Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f ( x ) = 0 . Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f (x ) , и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается 3 ее, либо имеет общую точку с этой осью. Например, функция y = x − 3 x имеет нули в точках

x1 = 0 , x 2 = − 3 , x 3 = 3 , а функция y = ln( x − 1) имеет нуль в точке x = 2 . x Функция может и не иметь нулей. Такова, например, функция y = a . Обратная функция. Пусть задана функция y = f (x ) с областью определения D и множеством значений E . Если каждому значению y ∈ E соответствует единственное значение x ∈ D , то определена функция x = ϕ ( y ) с областью определения E и множеством значений D . Такая функция ϕ ( y ) называется обратной по отношению к функции f (x ) . Если функция ϕ ( y ) является обратной по отношению к функции f (x ) , то и функция f (x ) является обратной по отношению к функции ϕ ( y ) , т.е. эти две функции – взаимно-обратные. Чтобы найти функцию x = ϕ ( y ) , обратную к функции y = f (x ) , достаточно решить уравнение f ( x ) = y относительно x (если это возможно). Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f (x ) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f (x ) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает). Заметим, что функция y = f (x ) и обратная ей x = ϕ ( y ) изображаются одной и той же кривой, но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси 0 y , а значения функции – на оси 0 x .


Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через x , а функцию – через y , то функция, обратная по отношению к y = f (x) , запишется в виде y = ϕ (x) . В этом случае график функции y = ϕ (x) окажется симметричным графику функции y = f (x) относительно прямой y = x – биссектрисы первого и третьего координатных углов. Пример 4. Найти обратную функцию для функции y = x + 5 . 3

3  Эта функция возрастает на (−∞, + ∞) и, значит, обратима. Из уравнения y = x + 5 находим

x = 3 y − 5 . Поменяв x и y местами, получим y = 3 x − 5 – искомую обратную функцию.  12.2. Элементарные функции и их классификация. Преобразования графиков

у

у 1 -1 1

0 -1

1 -1

0

х

1

Рис. 4.3

Рис.4.2 у

-1

y=

1 0

х

-1

1

у

1 x

y= х

1 -1 0

Рис. 4.4

Рис. 4.5

1

1 x2 х

y = x3

y = x5

y = x2

y = x4

Основные элементарные функции. Напомним графики этих функций, известных из школьного курса. 1. Линейная функция y = kx + b является одной из наиболее распространенных. Она широко используется в линейном программировании и была подробно рассмотрена в гл. 4. 2. Степенная функция y = x α , α ∈ R . Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, представлены на рис. 12.4 ÷ 12.9.


у

у

y= x

y=3 x

1

1

0 1 -1

-1 1

0

х

х

Рис. 4.7

Рис. 4.6

3. Показательная функция: y = a x ∀a > 0, a ≠ 1 (рис. 12.8). 4. Логарифмическая функция: y = log a x ∀a > 0, a ≠ 1 (рис. 12.9).

у

у

y = loga x, a > 1 y = a x, 0<a<1

y = a x, a>1 0

1

х

1

y = loga x, 0 < a < 1

х

0

Рис. 4.8

Рис. 4.9

5. Тригонометрические функции: y = sin x, x ∈ R (рис. 12.10); y = cos x, x ∈ R (рис. 12.11);

y = tg x, x ∈ R и x ≠ π 2 + π k , k ∈ Z (рис. 12.12); y = ctg x, x ∈ R и x ≠ π k , k ∈ Z (рис. 12.13). y y y = sin x y = cos x 1 1 -π

-π/2

0 π/2 -1

Рис. 4.10

π

3π/2

2π x

-π/2

-1

0 π/2

Рис. 4.11

π

3π/2 2π x


y

0

-π/2

y

y = tg x

π/2

π

3π/2

x

-π -π/2

Рис. 4.12

y = ctg x

π/2

0

π 3π/2

x

Рис. 4.13

Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x , x ∈ [−1, 1] (рис. 12.14); x < 0 , x ∈ [−1, 1] (рис. 12.15); y = arctg x , x ∈ R (рис. 12.16); y = arcctg x , x ∈ R (рис. 12.17).

у

у y = arcsin x

π/2

y = arccos x

6.

y=x

π/2

y = sin x

1

π

1

-π/2 -1 1

0

π/2

х 0

-1

-1 -π/2

1

π

х

y = cos x

-1

Рис. 4.14

π/2

Рис. 4.15

y

y

π/2

π

y = arctg x 0 -π/2

Рис. 4.16

x

π/2 0 Рис. 4.17

y = arcctg x x


Обратные тригонометрические функции определены для тригонометрических функций с “урезанными” областями определения, так как иначе получились бы многозначные соответствия: y = Arcsin x , или y = Arccos x , или y = Arctg x , или y = Arcctg x , при которых каждому значению аргумента соответствует бесконечное множество значений функции, а не единственное, как требуется по определению однозначной функции. 7. Гиперболические функции. В математике и ее приложениях рассматривают гиперболические функции, а именно: гиперболический синус sh x , гиперболический косинус ch x , гиперболический тангенс th x и гиперболический котенганс cth x . Эти функции определяются следующими формулами:

e x − e− x e x + e − x th x = sh x cth x = ch x ; ; ; , sh x = ch x = ch x sh x 2 2

(12.6)

где e – основание натуральных логарифмов. Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости, которые легко проверяются с помощью формул (12.6): (12.7) ch 2 x − sh 2 x = 1; ch 2 x + sh 2 x = ch 2 x . Графики гиперболических функций приведены на рис. 12.18, 12.19. График функции y = ch x называется цепной линией.

y

y = ch x

y

y = cth x

1

1

0

y = sh x

0

x y = cth x

Рис. 4.18

x

-1

Рис. 4.19

Классификация функций. Основные элементарные функции и все функции, получающиеся из основных с помощью конечного числа арифметических действий и операций суперпозиции (или наложения) этих функций, составляют класс элементарных функций. Примерами элементарных


функций

f ( x) = x

являются:

f ( x) = arcsin ( 3 x 2 ) − ctg x ( 3x 3 + 8) .

( x = x2 ) ;

f ( x) = 1 + lg cos 2πx ;

Имеет место следующая классификация элементарных функций. 1) Функция вида

y = Pn ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n −1 x + a n , где n ≥ 0 – натуральное число; a 0 , a1 , ..., a n −1 , a n ∈ R ( a 0 ≠ 0) – коэффициенты, называется целой рациональной функцией (многочленом или полиномом). Многочлен первой степени называется также линейной функцией, рассмотренной выше. 2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

y=

Pn ( x) , Qm ( x)

где Pn (x) и Qm (x ) – многочлены соответственно n -й и m -й степени, называется дробнорациональной функцией. Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций. 3) Функции, в которых, кроме указанных выше действий, применяется еще и операция извлечения корня, называется иррациональной функцией. Например, f ( x) = x + x ,

f ( x) = 5 ( x − 1) ( x 2 + x ) являются иррациональными функциями. Рациональные и иррациональные функции входят в более общий класс – класс алгебраических функций. 4) Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. Это, например, функции f ( x) = cos x , f ( x) = 10 x , f ( x) = arccos x + log 2 x и т.д. Примерами неэлементарных функций могут служить y = sign x , (4.3),

y =1−

x3 x5 x7 x 2 n +1 + − + ... + (−1) n + ... 3!⋅3 5!⋅5 7!⋅7 (2n + 1)!⋅(2n + 1)

Преобразования графиков. При изучении дифференциального исчисления будет показано, как проводить исследование функций и строить их графики с помощью производной. Вместе с тем актуальными остаются приемы построения графиков функций с помощью преобразования графиков основных элементарных функций. Пусть дан график функции y = f (x ) . Тогда справедливы следующие утверждения. Правило 1. График функции y = f ( x − a ) ( y = f ( x + a ) ) получается из графика функции y = f (x) сдвигом последнего вдоль оси 0 x на a единиц вправо (влево), a > 0 (рис. 12.20). Правило 2. График функции y = f ( x ) + b ( y = f ( x ) − b ) получается из графика функции y = f (x) сдвигом последнего вдоль оси 0 y на b единиц вверх (вниз), b > 0 (рис. 12.21). Правило 3. График функции y = f ( x − a ) + b получается из графика функции y = f (x ) путем двух параллельных сдвигов последнего: вдоль оси 0 x на a единиц (вправо, если a > 0 , и влево, если a < 0 ) и затем вдоль оси 0 y на b единиц (вверх, если b > 0 , и вниз, если b < 0 ).

Используя правила 1 и 2, заключаем, что для построения графика функции y = f ( x − a ) + b можно выполнить параллельный перенос осей координат, поместив начало новой системы координат в точку 0′(a; b) и в новой системе координат x ′0′ y ′ построить график функции y ′ = f (x′) .


y

y = f (x) a

x0

x0+a

x

0 y0

М

y = f (x - a)

y

y = f (x + b) N

y = f (x)

b

N

М

x

0

Рис.4.20

Рис.4.21

Правило 4. График функции y = f (ax) , где a > 0 получается из графика функции y = f (x) сжатием последнего вдоль оси 0 x с коэффициентом, равным a (рис. 12.22). Правило 5. График функции y = bf (x) , где b > 0 , получается из графика функции y = f (x) растяжением последнего вдоль оси 0 y с коэффициентом b (рис. 12.23).

y y = f (x)

y

а=2

b=2

y = f (ax) N

М

x 0 x = 0 x0 a

Рис.4.22

x

N

by0

М

y0 0

x0

Рис.4.23

y = bf (x)

y = f (x) x


Правило 6. График функции y = f ( − x ) получается из графика функции y = f (x ) симметричным отображением последнего относительно оси 0 y (рис. 12.24). Правило 7. График функции y = − f (x ) получается из графика функции y = f (x ) симметричным отображением последнего относительно оси 0 x (рис. 12.25).

y

y

y = − f (x) М

N

y0

0 x x0 x = -x 0 0 0 x Правило 8. График функции y = f ( x ) совпадает с графиком функции y = f (x ) в правой

y = f (x)

f(-x) полуплоскости ( x < 0) симметричен этой части графика y = f(x) ( x ≥ 0) , а yв=левой полуплоскости относительно оси 0 y (рис. 12.28).

совпадает с графиком функции y = f (x ) для тех Рис.4.25 участков оси 0 x , где f ( x ) ≥ 0 и является симметричным отображением его относительно оси 0 x для тех участков, где f ( x ) < 0 (рис. 12.29). Правило 9. График функции y = f (x) Рис.4.24

y= f( x )

у

y = f (x)

0

у

0

х

y = f (x)

y = f (x)

Рис. 4.27

Рис. 4.26

Пример 5. Построить график функции y = 2 x 2 − 5 x + 2 .  Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене (СР 2), получим:

 y = 2 x 2   = 2  x −  

5 5 25 25    x + 1 = 2 x 2 − 2 x + − + 1 = 2 4 16 16   

2 2 5 9  5 9   −  = 2 x −  − . 4 16  4 8 

х


Произведем параллельный перенос осей координат, поместив начало новой системы координат в точку 0′ ( 5 4 ; − 9 8 ) . В системе координат x ′0′ y ′ построим искомый график функции

y ′ = 2x′ 2 с помощью контрольных точек (1; 2) и (2; 8) (рис. 12.30). Так как график функции y = ax 2 + bx + c (парабола) получается из параболы y = ax 2 параллельным переносом, то это замечание позволяет строить искомый график, не используя метод выделения полного квадрата. Пример 6. Построить график функции y = x 2 + 2 x + 3 .  Найдем точку пересечения графика с осью 0 y . Полагая x = 0 , получим y = 3 , т.е. график

проходит через точку A (0; 3) . Так как уравнение x 2 + 2 x + 3 = 0 не имеет корней, то график функции не пересекает ось 0 x . Найдем тогда точки пересечения графика с некоторой прямой, параллельной оси 0 x . За такую прямую удобно принять прямую y = 3 ( y = c ) . Для этого нужно

y’

2

0 9 -— 8

y’

B 5 — 4

y

0’

A

x’

E x

0’ Рис. 4.28

x’

0 Рис. 4.29

Пример 7. Построить график функции y = (1 − 3 x ) ( x − 1) .

x y = x2 + 2x +3

y

y = 2x2 – 5x + 2

решить уравнение 3 = x 2 + 2 x + 3 ⇒ x1 = 0 , x2 = −2 . Следовательно, A (0; 3) и B (−2; 3) – точки пересечения прямой y = 3 с параболой. Точки А и В лежат одновременно и на искомой параболе, и на прямой, перпендикулярной оси симметрии параболы; следовательно, они симметричны относительно оси параболы. Используя эти соображения найдем координаты вершины Е параболы: x = (0 − 2) 2 = −1 и y = 1 − 2 + 3 = 2 . Соединяя точки А, В и E ( −1; − 2) плавной линией, получим искомый график (рис. 12.31). 


 Здесь функция не определена в точке x = 1 (корень знаменателя), а отношение старших коэффициентов равно − 3 . Значит, x = 1 – вертикальная асимптота, а y = −3 – горизонтальная асимптота искомой гиперболы (пунктирные линии на рис. 12.32). Далее, если x = 0 , то y = −1 , а если y = 0 , то x = 1 3 .

С помощью контрольных точек (−1; − 2) и (−3; − 5 2) строим одну ветвь гиперболы. Вторая

ветвь симметрична первой относительно точки 0′ (1; − 3) . График функции изображен на рис. 12.32.  Пример 8. Построить график функции y = 2 cos( 2 x − π 3) + 1 .

 Запишем функцию в виде y = 2 cos( 2( x − π 6 ) ) + 1 . Построение графика выполним в несколько y этапов: y ′ = cos 2 x ′ y y’ 1 − 3x 3

y=

-5

-3

-1

0 1

-3 -5

x −1 3

5 x

x’

y ′ = cos x′

0

x

y = 2 cos( 2 x − π 3) + 1

1) Произведем параллельный перенос системы координат, выбрав в качестве начала новой системы точку 0′ ( π 6 ; 1) . В системе координат x ′0′ y ′ нам необходимо построить график функции

y ′ = 2 cos 2Рис. x′ . 4.30

Рис. 4.31

2) Строим график функции y ′ = cos x′ (пунктирная линия).

3) Выполнив сжатие графика к оси 0′ y ′ с коэффициентом 2 получим график y ′ = cos 2 x′ (штрихпунктирная линия). 4) Растягивая последний график от оси 0′ x′ с коэффициентом 2, получим график исходной функции (сплошная линия). Функции в моделировании экономических явлений и процессов Распространение математических методов в экономике как на макро-, так и на микроуровне привело к тому, что различные функциональные зависимости находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: линейные, дробно-рациональные (гиперболические), степенные, показательные (экспоненциальные), логарифмические, а также функции, получаемые по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции. Приведем примеры некоторых функций, наиболее часто используемых в экономике. 1. Функции спроса и предложения выражают собой зависимость объема спроса или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.). Важнейшим фактором такого влияния является цена Р на единицу товара. Рассмотрим зависимость спроса D (demand) и предложения S (supply)от цены на товар P (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от P имеет вид убывающей кривой (рис. 12.34; D) (42.8) D = Pa + c, где a < 0 . В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и поэтому зависимость S от P имеет следующую характерную форму (4.9) S = Pb + d ,


где b ≥ 1 (рис. 12.34; S). В формулах (12.8) и (12.9) c и d – так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.д.). Так как переменные, входящие в формулы (12.8) и (12.9) положительны, то графики функций имеют смысл только в первой четверти. Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению: это условие дается уравнением D( P) = S ( P) (4.10) и соответствует точке пересечения кривых D и S – это так называемая точка равновесия (рис. 12.34). Цена P0 , при которой выполнено условие (410), называется равновесной. При увеличении благосостояния населения, что соответствует росту величины с в формуле (12.8), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предложения S. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проблем рынка, означающая фактически торг между производителем и покупателем (рис. 4.33). Пусть сначала цену P1 называет покупатель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремиться получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D1 при этой цене и определяет свою цену P2 , при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена P2 ниже равновесной (всякий покупатель стремиться купить подешевле). В свою очередь производитель оценивает спрос D2 , соответствующий цене P2 , и определяет свою цену P3 , при которой спрос равен предложению. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому предложению к равновесной цене, т.е. к “скручиванию” спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим

Pn = P0 . пределом равновесную цену P0 : nlim →∞ D, S

D′

D

D, S

S

D

S

D2 M D, S

D

0

D′ P0 P0′

D0 D D,1S

S P

D P 2

0

D2

Рис. 4.32 M

P0 P3PS1

P

Рис. 4.33

D0 D1

0

P0 P0′ Рис. 12.34

P

0

P2

P0 P3P1

Рис. 12.35

P


2. В модели потребительского спроса используются также функции Торнквиста ∗ (Tornquist), моделирующие связь между величиной дохода ( х ) и величиной спроса ( у ) на: а) товары низкого качества y = ax ( x + b) ( x 2 + c) , где a , b и c – положительные постоянные, x ≥ 0 ; б) товары первой необходимости y = ax ( x + c ) , x ≥ 0 ; в) товары второй необходимости (относительной роскоши) y = a ( x − b) ( x + c) , x ≥ b ; г) предметы роскоши Соответствующие им графики приведены на рис. 12.36.

у

l

г)

a)

y = ax( x − b) ( x + c) , x ≥ b .

1

a

l=x

б)

в)

l = l(x) 0

0

x

1

x

Рис. 4.35

Рис. 4.34

3. Функция распределения доходов в обществе (функция М.Лоренца∗ (Lorentz)) (рис. 4.35): l = l (x) , где x – доля населения с наименьшим доходом, l – доля дохода. Чем больше отклоняется график функции М.Лоренца от прямой l = x , тем неравномернее доходы. 4.2 . Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Определение предела функции. Односторонние границы. Геометрическая интерпретация границ. Числовая последовательность. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn , то говорят, что этим определена последовательность чисел

x1 , x2 , ..., xn , ... , которую будем обозначать { xn } .

Итак, по определению, числовая последовательность

{ xn } = x1 ,

x2 , ..., xn , ... .

Числа x1 , x2 , ..., xn , ... называются членами (или элементами) последовательности, символ xn – общим или n -м членом последовательности, а число n – его номером. Часто последовательность

{ xn } = ϕ (n) , n = 1,

{ xn }

задается формулой общего члена последовательности

2, ... .

Примерами последовательностей могут служить:

1   1 1  , , ... ; n  2 3   (−1) n −1   1 1  3)   = 1, − , , ... ; 2 3   n   1)   = 1,

5) { n} = {1, 2, 3, ...} ;  

2) { cos πn} = { − 1, 1, − 1, 1, ...} ; 4) { lg(1 + n)} = { lg 2, lg 3, ...} ;

{

}

6) (−1) n n = { − 1, 2, − 3, ...} .

Л. Торнквист – шведский экономист. Макс Лоренц (1876 – 1959) – американский экономист и статистик.


Если речь идет о различных членах последовательности { xn } , то имеются в виду элементы с различными индексами n , хотя иногда может случиться, что xn = xk , n ≠ k . Геометрически последовательность изображается на координатной прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности. На рис. 11.1 изображены последовательности 1) и 6). Ограниченные и неограниченные последовательности. Последовательность { xn } называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число m ) такое, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенству xn ≤ M ( xn ≥ m ).

11 1 43 2

1)

6)

x4x3x2

0

–3

x3

1

2

–1

x1

x1

0

x2

x

4

x4

x

Рис. 4.36 Последовательность { xn } называется ограниченной, если существуют числа m и М такие, что m ≤ xn ≤ M , ∀n ∈ N . Пусть C = max m , M . Тогда условие ограниченности

{

}

последовательности можно записать в виде xn ≤ C , ∀n ∈ N . Рассмотренные выше примеры показывают, что последовательности: 4), 5) – ограничены снизу, но не ограничены сверху; 6) – неограниченная; 1), 2), 3) – ограничены. Предел последовательности и его геометрическое истолкование. Число a называется

xn = a , если для любого сколь пределом числовой последовательности { xn } и обозначается nlim →∞ угодно малого положительного числа ε существует целое положительное число N = N (ε ) , такое, что для всех n ≥ N выполняется неравенство xn − a < ε . С помощью логических символов это определение можно записать в виде

xn = a ) ⇔ (∀ε > 0) (∃N = N (ε )) (∀n ≥ N ) ⇒ xn − a < ε . (11.1) ( nlim →∞ Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Дадим определение предела последовательности, используя понятие окрестности. Из условия (11.1) и (10.8) имеем xn − a < ε ⇔ a − ε < x < a + ε , ∀n ≥ N .


x N − 2x N −1

a−ε

{ xN ,

a

a+ε

x N + 1 , x N + 2 , ...}

x

Рис. 4.37

Отсюда, число a является пределом последовательности { xn } , если для любого ε > 0 найдется номер N , начиная с которого все члены последовательности принадлежат ε -окрестности точки a (рис. 11.2). Таким образом, последовательность { xn } сходится к числу a , если вне любой ε -окрестности точки a имеется конечное число членов последовательности.

 2n + 3   . Доказать, что ее предел a = 2 .  n +1 

Пример 1. Дана последовательность { xn } = 

По условию 11.1 имеем

2n + 3 2n + 3 − 2n − 2 1 −2 = = <ε . n +1 n +1 n +1 Решив последнее неравенство, получим n > 1 ε − 1 , следовательно, N = [1 ε − 1] + 1 , где [α ] – целая часть числа α , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее α . Таким образом, существует 2n + 3 = 2. N , такое, что ∀n > N выполняется xn − 2 < ε . Это и доказывает, что lim n→∞ n +1 xn − a =

Свойства сходящихся последовательностей. Приведем без доказательства некоторые свойства сходящихся последовательностей. Свойство 4.1. Сходящаяся последовательность имеет единствен-ный предел. Свойство 4.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

xn = a ≠ 0 , то, начиная с некоторого номера Свойство 4.3. Если nlim →∞ последовательности сохраняют знак a .

N , члены

xn = a , lim y n = b и a < b , то, начиная с некоторого номера N , Следствие 11.1. Если nlim →∞ n→∞

выполняется неравенство xn < y n .

xn ≥ lim y n ), т.е. переход к пределу в Свойство 4.4. ( xn ≥ y n , ∀n > N ) ⇒ ( nlim →∞ n→∞

xn ≤ C . неравенстве xn ≥ y n не нарушает знака неравенства. В частности, если xn ≤ C , то nlim →∞ Свойство 4.5. Пусть даны три последовательности { xn } , { y n } и { z n } . Тогда

xn = lim z n = a ) ⇒ lim y n = a . ( xn ≤ y n ≤ z n , nlim (11.2) →∞ n→∞ n→∞ Свойства 11.4 и 11.5 составляют содержание вопроса о переходе к пределу в неравенствах. xn = a , Свойство 4.6. Если последовательности { xn } и { y n } сходятся и nlim →∞ то

lim ( xn ± y n ) = lim xn ± lim y n = a ± b ;

n→∞

n →∞

n→∞

(4.11)

lim y n = b ,

n→∞


lim ( xn yn ) = lim xn ⋅ lim y n = a ⋅ b ;

(4.12)

xn a  xn  nlim → ∞ lim   = = , n → ∞ y lim y  n  n →∞ n b

(4.13)

n→∞

n →∞

n →∞

lim y n = b ≠ 0 .

n→∞

xn = a , то, Следствие 11.2. Если последовательность { xn } сходится и nlim →∞ lim (Cxn ) = C lim xn = C ⋅ a , C = const . n→∞ Пример 2. Доказать, что при a > 0 lim n a = 1 . n→∞

n→∞

(4.14) (4.15)

Пусть a ≥ 1 . Положим n a = 1 + xn , xn ≥ 0 . В силу неравенства Бернулли (10.1)

a − 1  ⇒ a = (1 + xn ) n ≥ 1 + nxn . Отсюда, используя (11.2), получим  0 ≤ xn ≤ n   a −1   xn = 0 , т.е. lim n a = = lim (1 + xn ) = lim xn + 1 = 1 . = 0  ⇒ nlim  0 ≤ lim xn ≤ lim →∞ n →∞ n →∞ n→∞ n →∞ n →∞ n   1 Если a < 1 , то > 1 . Отсюда, учитывая последнее равенство и (4.13), имеем a 1 1 lim n a = lim = = 1. n→∞ n →∞ n 1 a lim n 1 a Пример 3. Доказать, что

n →∞

lim n n = 1 .

(4.16)

n→∞

Положим n n = 1 + xn , xn ≥ 0 . Используя известную формулу бинома Ньютона ∗ (СР 9.9), получим

n = (1 + xn ) n = 1 + nxn + Отсюда при n > 1 имеем

n(n − 1) 2 xn + ... + xnn . 2!

n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 xn ⇒ n − 1 > xn , 2! 1⋅ 2 или, сокращая на положительное число n − 1 , получим 2 2 ⇒ 0 < xn < 0 < xn2 < . n n 2 xn = 0 . Следовательно, Так как lim = 0 , то из 11.2 nlim →∞ n→∞ n lim n n = lim (1 + xn ) = 1 + lim xn = 1 . n >1+

n→∞

Лемма. Пусть a > 1 и

lim α n = 0 . Тогда

{α n }

n→∞

n →∞

- последовательность действительных чисел, для которой

n→∞

lim aα n = 1 .

n→∞

Отсюда легко вытекает 

Исаак Ньютон (1643 – 1727) – английский физик, механик, астроном и математик.

(4.17)


Теорема 11.1. Пусть a > 0 . Если переменная xn имеет конечный предел, то

lim a

xn

n→∞

=a

lim x n

n→∞

.

(4.18)

xn = x . Тогда lim ( xn − x) = 0 и, по лемме, □ Пусть a > 1 . Положим nlim →∞ n→∞ lim a x n − x = 1.

n→∞

Пользуясь этим равенством, получим

lim (a x n − a x ) = lim (a x (a x n − x − 1)) = a x lim (a x n − x − 1) = 0 ,

n→∞

n→∞

n →∞

т.е. lim x n

lim (a x n − a x ) = 0 ⇒ lim a x n = a x = a n → ∞ n→∞ n→∞

.

В случае a = 1 теорема очевидна. Пусть теперь 0 < a < 1 . Положим b = 1 a . Тогда b > 1 и, по доказанному, lim x n

lim b x n = b n → ∞

n→∞

.

Следовательно,

lim a

xn

n→∞

1 = lim   n → ∞ b 

xn

1

=

lim b x n

=

lim x n

1 lim x n

1 =  n→∞ b

=a

lim x n

n→∞

.

b Теорема 11.2. Пусть a > 0 и a ≠ 1 . Если положительная переменная xn имеет lim xn = b > 0 , то

n→∞

n→∞

n →∞

lim log a xn = log a lim xn . n→∞

(4.19)

lim ( xnα ) = ( lim xn )α .

(4.20)

n→∞

xn > 0 . Тогда для Теорема 11.3. Пусть переменная xn имеет конечный предел, причем nlim →∞ любого действительного α n→∞

n →∞

xn > 0 , то, начиная с некоторого n ∈ N , будет и xn > 0 . Для таких xn , ввиду □ Так как nlim →∞ возможности переходить к пределу в показателе степени и под знаком логарифма, находим α

lim ( xn ) = e

n→∞

lim α ln x n

n→∞

α ln lim x n

=e

n→∞

=e

ln( lim x n )α n→∞

= ( lim xn )α . ■ n→∞

Следствие 11.3. Если переменная xn имеет конечный предел, то

lim

n→∞

m

xn = m lim xn . n→∞

(4.21)

(при этом в случае четного m предполагается, что xn ≥ 0 и корень – арифметический). 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства и связь между ними

{α n }

α n = 0 , то ее называют имеет своим пределом нуль, т.е. nlim →∞ бесконечно малой последовательностью (б.м.п.). Символическая запись определения б.м.п.: Если последовательность


 lim α = 0  ⇔ (∀ε > 0) (∃N ) (∀n > N ) ⇒ α < ε . n  n →∞ n  Например, последовательности {1 n} и (−1) n −1 n являются б.м.п.

{

}

Приведем основные свойства б.м.п. Свойство 4.7. Сумма, разность и произведение двух б. м. п. есть б. м. п. Следствие 11.4. Алгебраическая сумма и произведение любого конечного числа б. м. п. есть б. м. п. Свойство 4.8. Произведение ограниченной последовательности на б. м. п. есть б. м. п. Следствие 11.5. Произведение б. м. п. на число есть б. м. п. Встречаются последовательности, члены которых с увеличением номера могут сделаться по модулю больше любого наперед заданного числа; такие последовательности называются бесконечно большими. Если последовательность { xn } имеет бесконечный предел, соответственно равный ∞ , + ∞ или − ∞ , то ее называют бесконечно большой последовательностью (б. б. п.). Приведем символическую запись определения б.б.п.:

1. xn > M ,  1. ∞       lim xn = 2. + ∞  ⇔ (∀M > 0) (∃N ) (∀n > N ) ⇒ 2. xn > M , .  n →∞ 3. − ∞  3. x < − M .  n    Приведем примеры б. б. п.: 1) { xn } = { n cos πn} = −1, 2, − 3, 4, − 5, 6, ... ;

{ } 3) { x } = { − n } = −1, − 4, − 9, − 16, − 25, ... . 2) { xn } = n 2 = 1, 4, 9, 16, 25, ... ; n

2

Докажем теорему, устанавливающую связь между б. б. и б. м. последовательностями. Теорема 11.4. Если { xn } - б. б. п. и все ее члены отличны от нуля, то {1 xn } - б. м. п., и,

{α n } - б. м. п. и α n ≠ 0 , то {1 α n } - б. б. п. Пусть { xn } - б. б. п. Возьмем любое ε > 0 и положим

обратно, если

M = 1 ε . Согласно определению для этого М существует номер N такой, что при n > N будет xn > M . Отсюда получаем, что 1 xn = 1 xn < 1 M = ε для всех n > N . А это значит, что последовательность { 1 xn } □

бесконечно малая. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. ■ В случае последовательностей, имеющих бесконечные пределы, свойства, аналогичные (11.3) – (11.5) вообще говоря, не имеют места. Однако отдельные обобщения этих свойств все же

xn = +∞ , lim y n = +∞ , lim z n = −∞ , lim an = a ∈ R , выполняются. Например, если nlim →∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim α n = 0 и α n > 0 , то

n→∞

(an + yn ) = +∞ , 1) nlim →∞

(an − y n ) = −∞ , 2) nlim →∞

( xn + y n ) = +∞ , 4) nlim →∞

( xn ⋅ y n ) = +∞ , 5) nlim →∞

(an y n ) = 0 ( y n ≠ 0, ∀n) , 3) nlim →∞ ( xn − z n ) = +∞ , 6) nlim →∞

+ ∞, если a > 0; − ∞, если a < 0,

8) lim (a n ⋅ xn ) =  n→∞

( xn ⋅ z n ) = −∞ , 7) nlim →∞


an + ∞, если a > 0; = n→∞ α n − ∞, если a < 0.

9) lim

Теорема 11.5. Для того, чтобы последовательность необходимо и достаточно, чтобы существовала такая б. м. п.

xn = a + α n .

{ xn }

{α n } , что

имела предел, равный a , (4.22)

xn = a . □ Необходимость. Пусть последовательность { xn } имеет предел, равный a : nlim →∞ Покажем, что xn = a + α n , где {α n } - б. м. п. xn = a означает, что (∀ε > 0) (∃N (ε )) (∀n > N ) ⇒ Равенство nlim →∞ Обозначим xn − a = α n . Тогда ∀n > N ,

xn − a < ε .

α n = 0 . Следовательно, {α n } α n < ε , т.е. nlim →∞

б. м. п. Таким образом,

lim xn = a ⇒ xn = a + α n , где {α n } - б. м. п.

n→∞

αn = 0 . Достаточность. Пусть последовательность { xn } представима в виде (4.23), где nlim →∞ Это означает, что (∀ε > 0) (∃N (ε )) (∀n > N ) ⇒ α n < ε . α n = xn − a , то ∀n > N справедливо неравенство xn − a < ε , откуда xn = a . Таким образом, по определению (11.1) nlim →∞ Так как из (11.14)

 lim x = a  ⇔  x = a + α , lim α = 0  . ■ n n n →∞  n →∞ n   n 

(4.24)

4.4. Основные особенности функции, которая имеет границу. Неопределенные выражения. Первая и вторая особенности границы. Число е. Граница показательно-степенной функции.

xn = lim y n = 0 ( y n ≠ 0) . Рассмотрим последовательность { xn y n } . О пределе Пусть nlim →∞ n→∞ этой последовательности заранее ничего определенного сказать нельзя, как это видно из следующих пределов: xn y n = lim n = ∞ ; 1) если xn = 1 n , y n = 1 n 2 , то nlim →∞ n→∞

xn y n = lim 1 n = 0 ; 2) если xn = 1 n 2 , y n = 1 n , то nlim →∞ n→∞ xn y n = lim a = a ; 3) если xn = a n , y n = 1 n , то nlim →∞ n→∞

n

4) если xn = (−1) n n , y n = 1 n , то lim xn y n = lim (−1) и предел n→∞ n→∞ этой последовательности не существует. Таким образом, для нахождения предела { xn y n } в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.


Говорят, что выражение xn y n при xn → 0 , y n → 0 представляет собой неопределенность вида [ 0 0] .

Если xn → ∞ , y n → ∞ , то выражение xn y n также представляет собой неопределенность и ее называют неопределенностью вида [ ∞ ∞ ] .

Если xn → 0 , y n → ∞ , то для выражения xn ⋅ y n получаем неопределенность вида [ 0 ⋅ ∞ ] . Если xn → ∞ , y n → ∞ , то выражение xn − y n представляет неопределенность вида

[ ∞ − ∞] .

Нахождение пределов приведенных выше выражений, неопределенности. Раскрытие некоторых типов неопределенностей.

Пример 3. Вычислить

lim

n→∞

2n 3 − 3n 2 + 4 5n − 3n 3 + 7

называется

раскрытием

.

Имеем неопределенность вида [ ∞ ∞ ] . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на наивысшую из имеющихся в числителе и знаменателе степеней n , т.е. на n 3 . Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и теорему 11.4, найдем

lim (2 − 3 n + 4 n 3 ) 3 ∞ 2 − 3 n + 4 n   lim =   = lim = n →∞ = 3 2 3 n → ∞ 5n − 3n + 7 lim (5 n 2 − 3 + 7 n 3 )  ∞  n →∞ 5 n − 3 + 7 n 2n 3 − 3n 2 + 4

n→∞

3

=

lim 2 − 3 lim (1 n) + 4 lim (1 n )

n→∞

n →∞ 2

n →∞

3

5 lim (1 n ) − lim 3 + 7 lim (1 n ) n→∞

n→∞

=

n→∞

Пример 5. Вычислить

lim

2 − 3⋅ 0 + 4⋅0 2 =− . 5⋅0 − 3+ 7⋅0 3

2n 2 + n − 1

n → ∞ 3 − 5n

+ n3

.

Применяя тот же прием, что в предыдущем примере, находим

2n 2 + n − 1

2 n + 1 n 2 −1 n 3 0 ∞  lim =   = lim = = 0. n → ∞ 3 − 5n + n 3  ∞  n →∞ 3 n3 − 5 n 2 + 1 1

5n 2 − n + 2 n 4 + 3 . 3 n→∞ n −4 Разделив почленно числитель и знаменатель на n 4 , получим 5n 2 − n + 2n 4 + 3  ∞  5 n 2 −1 n 3 + 2 + 3 n 4 lim =   = lim =∞. n→∞ n3 − 4 1 n − 4 n4  ∞  n →∞

Пример 6. Вычислить

lim

Решения последних трех примеров позволяют записать следующую общую формулу:

a0 n k + a1n k −1 + ... + ak −1n + ak

∞  =  ∞  = n → ∞ b n m + b n m −1 + ... + b n + b 0 1 m −1 m a0 b0 , если k = m; n k ( a0 + a1 n + a2 n 2 + ... + ak n k )  = lim m = ∞, если k > m; (4.25) m n → ∞ n (b + b n + b n 2 + ... + b n ) 0 1 2 m  0, если k < m.  lim

Пример 7. Найти предел последовательности

n! . n → ∞ ( n + 1)!− n! lim


Символ n! (читается “эн факториал”) вычисляется по формуле (СР 9.2), т.е. n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n , (n + 1)!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n ⋅ ( n + 1) = n!(n + 1) . Имеем

n! n! 1 = lim = lim = 0 . n → ∞ ( n + 1)!− n! n → ∞ n!( n + 1) − n! n → ∞ n lim

Пример 8. Вычислить

lim

n→∞

lim

n→∞

2−n 2 3 n+3

= (11.10) = 3

Пример 9. Вычислить

lim log 2

2−n n → ∞ 2n + 3 lim

lim log 2

n→∞

2

n→∞

2−n 2 3 n+3 .

4n + n − 1 2 + n 2 − 5n

= (11.16) = 3

4n 2 + n − 1 2

2 + n − 5n

Пример 10. Вычислить

lim

3

n→∞

n2 − n + 1 1 − 8n 2

=1

4n 2 + n − 1

n →∞ 2 +

1 2

3.

.

= (11.11) = log 2 lim

= log 2 4 = 2 .

n 2 − 5n

= (11.16) =

.

n2 − n + 1 n2 − n + 1 3 lim = (11.13) = lim = (11.16) = n→∞ n → ∞ 1 − 8n 2 1 − 8n 2 1 1 =3 − =− . 8 2 3

Определение и признак сходимости монотонных последовательностей. Числовая { xn } последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ xn +1 ≤ ... ( x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ xn +1 ≥ ... ), при этом последовательность { xn } называется строго возрастающей (строго убывающей), если x1 < x2 < ... < xn < xn +1 < ... ( x1 > x2 > ... > xn > xn +1 > ... ). Возрастающие и убывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей. Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность всегда ограничена снизу (сверху) своим первым членом. По свойству 11.2 необходимым условием сходимости последовательности является ее ограниченность. Немонотонные последовательности этим свойством не обладают. Так, например, ограниченная последовательность (−1) n не является сходящейся. Оказывается, что для монотонных последовательностей их ограниченность является достаточным условием сходимости. Теорема 11.6. (критерий сходимости монотонной последовательности). Для того, чтобы монотонная последовательность { xn } сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была

{

}

ограниченной. При этом, если { xn } монотонно возрастающая (убывающая) последовательность, то

lim xn = sup { xn }

n→∞

 lim x = inf { x }  . n  n →∞ n 

□ Необходимость. В силу свойства 11.2 всякая сходящаяся последовательность ограничена.


{ xn } – монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная M = sup { xn } ( m = inf { xn } ) . По свойству точной верхней (нижней) грани

Достаточность. Пусть последовательность и

множества { xn } , в нем (∀ε > 0) (∃ x N ) ⇒ M − ε < x N ≤ M (m ≤ x N < m + ε ) , а в силу того, что последовательность { xn } монотонно возрастающая (убывающая), справедливы неравенства

M − ε < x N ≤ x N +1 ≤ x N + 2 ≤ ... ≤ ≤ M ( m ≤ x N ≤ x N +1 ≤ x N + 2 ≤ ... < m + ε ) , т.е., начиная с xN − M < ε номера N , все члены последовательности { xn } удовлетворяют условию

(

xn x N − m < ε ) . Значит, M = sup { xn } = nlim →∞

 m = inf { x } = lim x  . ■ n n n →∞  

Теорема 11.7. Если an > 0 , ∀n и { a n } – монотонная последовательность, а также существует

lim ( an +1 an ) , то:

n→∞

a n +1 = q < 1 ⇒ lim an = 0 ; n→∞ n → ∞ an a n +1 = q > 1 ⇒ lim an = +∞ ; 2) lim n→∞ n → ∞ an 1) lim

(4.26) (4.27)

Эту теорему примем без доказательства. Пример 11. Доказать, что при a > 0

an lim = 0. n → ∞ n!

(4.28)

xn +1 = a n +1 ( n + 1)! = = (a n n!) ⋅ ( a (n + 1) ) = xn ( a (n + 1) ) , то начиная с некоторого n , величина a (n + 1) < 1 , т.е. xn +1 < xn . Значит, последовательность монотонно убывающая. Обозначим

xn = a n n! .

Так

как

Так как

x n +1 a = lim = 0 < 1, n → ∞ xn n →∞ n + 1 lim

an то согласно теореме 11.7, lim = 0. n → ∞ n! Пример 12. Доказать, что при q < 1

lim q n = 0 .

(11.20)

n→∞

При q = 0 доказательство очевидно. Пусть 0 < q < 1 , тогда последовательность xn = q n – монотонно убывающая и ограничена снизу ( q n > 0 ). Следовательно, по теореме 11.6 последовательность

xn = q n

имеет

предел,

который

обозначим

через

a = lim q n . n →∞

Последовательность y n = q n −1 , за исключением первого члена, также сходится к числу a , т.е.

lim q n −1 = a . Отсюда следует, что

n→∞

a = lim q n = lim (q ⋅ q n −1 ) = q ⋅ a , т.е. a = qa n →∞

n →∞

или a (1 − q ) = 0 . Так как q ≠ 1 , то a = 0 . Пусть − 1 < q < 0 . Рассмотрим


− q = p; ( −1) n ≤ 1 − ограниченна; n n lim q = 0 < p < 1; = lim (−1) p = = 0. n→∞ n→∞ lim p n = 0; свойство 11.8 q = −1 ⋅ p. n →∞

n

lim

Пример 13. Вычислить

2 n + 3n

n → ∞ 2 n +1

+ 3 n +1

.

При n → ∞ получается неопределенность вида [ ∞ ∞ ] . Поэтому сначала разделим

числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком предела, на 3n . Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и (11.20), найдем

lim

2 n + 3n

n → ∞ 2 n +1

+ 3 n +1

( 2 3) n + 1 = 1 ∞ =   = lim .  ∞  n → ∞ 2( 2 3) n + 3 3

Число е . Рассмотрим последовательность

 1  n  { xn } = 1 +   .  n  

Придавая n различные натуральные значения, получаем таблицу: n 1 2 10 100 1000 10000 2 2,25 2,594 2,705 2,717 2,718 xn

100000 2,718

Из таблицы видно, что xn с возрастанием n изменяется все медленнее и, по-видимому, стремиться к некоторому пределу. Докажем это.

xn = (1 + 1 n ) n ≥ 1 + n ⋅ (1 n ) = 2 . Обозначим y n = xn (1 + 1 n ) > 2 . Тогда для последовательности { y n } имеем y n = (1 + 1 n ) n +1 . Выполнив Согласно

неравенству

Бернулли

(10.1),

преобразования над отношением

y n −1  1  = 1 +  yn  n − 1

n

 1 1 +   n

n +1

 n  =   n − 1

n

 n + 1    n 

n +1

=

n +1

n +1 n n n n +1 n − 1  n 2  n − 1 1  = = = 1 +  ≥ n  n 2 − 1  n  n2 − 1 (n − 1) n (n + 1) n +1 n − 1 n +1  n −1 n ≥ 10.1 ≥ ⋅ = 1 , получим, что y n −1 ≥ y n . 1 + 2 = n  n − 1 n n −1 Итак, последовательность { y n } монотонно убывает и ограничена снизу числом 2.

Следовательно,

она

имеет

конечный

предел,

причем,

lim y n = lim ( xn (1 + 1 n ) ) = lim xn ⋅ lim (1 + 1 n ) = lim xn , т.е. последова-тельность { xn } тоже n→∞ n →∞ n→∞ n→∞

n→∞

имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой е:

 lim 1 + n → ∞

n

1  =e. n

(4.29)

Число е иррациональное, которое называют неперовым∗ числом. Его приближенное значение равно 2,72 ( e = 2,71828182845904523... ). Число е принято за основание натуральных логарифмов, которые обозначаются ln x , т.е. ln x = log e x .

Джон Непер (1550-1617) – шотландский математик.


Найдем связь между натуральными и десятичными логарифмами. По определению логарифма (СР 4.2) имеем x = e ln x . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

( )

lg x = lg e ln x , т.е. lg x = ln x lg e = M ln x .

Пользуясь таблицей десятичных логарифмов, находим M = lg e ≈ 0,434294 . Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Значит, lg x ≈ 0,434294 ln x ⇒ ln x ≈ 2,302585 lg x . (11.22) Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами. Число е часто используют для раскрытия неопределенности [1∞ ]. n −1

 2n − 5  . Пример 14. Вычислить lim   n → ∞ 2n + 1  При n → ∞ получается неопределенность вида [ 1∞ ]. Преобразуем выражение, стоящее

под знаком предела так, чтобы использовать (11.21).

 2n − 5  lim   n → ∞ 2n + 1 

n −1

 2n + 1 − 6   n → ∞ 2n + 1 

= [1∞ ] = lim 

−6 2 n +1  2 n +1 ( n −1)  −6 

  −6 lim  1 +  n → ∞  2n + 1  

  

=e

n −1

− 6n + 6 n → ∞ 2 n +1 lim

−6   = lim 1 +  n → ∞ 2n + 1 

n −1

=

= (11.16) = e − 3 .

К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п. Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.

Пусть вклад будет невостребованным целый год, тогда его прирост x = Q0 p 100 , а вся

сумма Q1 = Q0 (1 + p 100) . За второй год прирост x =

Q0 p  p  1 +  , а вся сумма 100  100  2

p  Q0 p  p  p    Q2 = Q0 1 + + 1 +  = Q0 1 +  . 100 100 100 100       Аналогично 3

t

p  p    Q3 = Q0 1 +  , ..., Qt = Q0 1 +  , 100 100    

т.е. при р % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в (1 + p 100) раз. Если вклад сняли через полгода и снова положили его на полгода, то прирост за первое полугодие будет x1 = за год будет

Q1 = Q0 +

Q0 p  p Q0 p  , а за второе – x2 =  Q0 + . Следовательно, вся сумма ⋅ 2 ⋅ 100  2 ⋅ 100 2 ⋅ 100 

Q0 p  Q p  p p  p   +  Q0 + 0  ⋅ = Q0 1 + 1 + = 2 ⋅ 100  2 ⋅ 100  2 ⋅ 100  2 ⋅ 100  2 ⋅ 100  2

p   = Q0 1 +  . 2 ⋅ 100  


Аналогично, если брать из банка вклад и снова его ложить 3 (n) раза на год, то за год сумма вклада будет следующей: n 3 p   Q = Q 1 + p     , Q1 = Q0 1 +  ,  1 0 n ⋅ 100    3 ⋅ 100    а размер вклада за t лет при nt начислениях составит nt p   (4.30) Qt = Q0 1 +  . 100 n  

Будем предполагать, что проценты по вкладу начисляются непрерывно ( n → ∞ ). Тогда размер вклада за t лет составит p 100 n  100 n ⋅ nt  p 

 nt  p  p  Qt = lim Q0 1 +  = Q0 lim  1 +  n →∞ n → ∞  100n   100n  

  

= Q0 e pt 100 .(4.31)

Формула (11.24) выражает собой показательный (экспоненциальный) закон роста. Заменив p на − p , получим показательный закон убывания:

Qt = Q0 e − pt 100 .

(4.32) Например, если население страны возрастает на 2 % в год, то по формуле (11.24) можно с неплохим приближением подсчитать численность населения страны через t лет: Qt = Q0 e 0,02t , где

Q0 – численность населения в начале отсчета. Пример 15. Пусть темп инфляции составляет 1 % на день. На сколько уменьшится начальная сумма через полгода. Обозначим через Q0 начальную сумму. Тогда по формуле (4.32), с учетом того, что t = 182 (количество дней за полгода), получим

Q = Q0 e −182 100 = Q0 e1,82 ≈ Q0 6 ,

т.е. инфляция уменьшит начальную сумму примерно в шесть раз. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений.

4.5. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Основные свойства непрерывности и их классификация. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

lim f(x) = f(x o ) .

x→ x 0

(4.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

lim f(x) = f( lim x o ) ,

x→ x 0

x→ x 0

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке. Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = xo функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)= f(0) не определено, поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.


Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если

lim f(x) = f(x 0 ) ,

x→ x 0 + 0

и непрерывной слева в точке xo, если

lim f(x) = f(x 0 ) .

x→ x 0 − 0

Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел

lim f(x) , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x ). o

x→ x 0 + 0

Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв. 1. Если

lim f(x)

x→ x 0 + 0

существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке xo имеет

разрыв первого рода, или скачок. 2. Если

lim f(x)

x→ x 0 + 0

равен ∞ или не существует, то говорят, что в точке xo функция имеет

разрыв второго рода. Например, функция y = ctg x при x→ +0 имеет предел, равный +∞, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки. Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой. Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п. Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e =

1 n

n lim (1 + ) . В сбербанках процентные деньги n →∞

присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ⋅ 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 ⋅ 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 ⋅ (1 +1/3)3 ≈237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится: 100 ⋅ (1 +1/10)10 ≈ 259 (ден. ед.), 100 ⋅ (1+1/100)100 ≈ 270 (ден. ед.), 100 ⋅ (1+1/1000)1000 ≈ 271 (ден. ед.). При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что


1 n

n lim (1 + ) = e. n →∞

Пример 4.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1. Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство  xn -1 <ε. Возьмем любое ε >0. Так как  xn -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε, N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что

lim

n →∞

xn = 1.

Пример 4.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом xn =

n2 + 1 n +5 . + 2 3n − 4 n + 2

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n →∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем: xn =

1 + 1/ n2 1/ n + 5 / n 1 + → . 2 1+ 2/ n 3 3− 4/ n

lim

6

 4 n − 5 xn.  . Найти 3n + 1  n →∞

Пример 4.3. xn =  

6

5  6 4−  6   4n − 5 n  →  4 .  Решение.  =     3n + 1   1  3 3+   n Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 4.4. Найти

lim

n →∞

( n 2 + 3n − n ).

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞ - ∞. Преобразуем формулу общего члена: ( n 2 + 3n − n)( n 2 + 3n + n) n + 3n − n = 2

n 2 + 3n + n

Пример 4.5. Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что

=

3n n 2 + 3n + n

lim f(x) x →0

3

= 1+

3 +1 n

3 2.

не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е.

lim

n →∞

xn =0. Покажем, что величина f(xn)= 2 1/ x n для

разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что тогда

lim

n →∞

lim 1/n =0, n →∞

2n = +∞. Выберем теперь в качестве xn последовательность с общим 2 1/ x n = lim n →∞


членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю.

lim 2

1/x

x →0

Решение. n →∞

n

1/ x n = lim 2− n= lim 1/2n = 0. Поэтому 2 n →∞ n →∞ n →∞

не существует.

Пример 4.6. Доказать, что

lim x

lim

Пусть

x1,

lim

x →∞

sin x не существует.

x2,...,

xn,...

-

последовательность,

которой

= ∞. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различных xn →∞ ?

Если xn= πn, то sin xn= sin πn = 0 при всех n и

lim sin n →∞

xn=2πn+π/2, то sin xn= sin(2πn+π/2) = sin π/2 = 1 для всех n и следовательно образом,

для

lim

n →∞

xn =0. Если же

lim

n →∞

sin xn =1. Таким

sin x не существует.

Пример 4.7. Найти

lim

sin 5x . x

x →0 sin 5x sin 5x Решение. Имеем: =5 . Обозначим t = 5x. При x→0 имеем: t→0. Применяя формулу x 5x sin t →5. (3.10), получим 5 t

Пример 4.8. Вычислить

lim

sin 3x . x →π sin 4 x

Решение. Обозначим y=π-x. Тогда при x→π, y→0.Имеем: sin 3x = sin 3(π-y) = sin (3π-3y) = sin 3y. sin 4x = sin 4(π-y) = sin (4π-4y)= - sin 4y. sin 3 y sin3y 4y 3 3 sin 3x = − lim ⋅ lim ⋅ =− . =- lim y→0 sin 4 y y→0 3y y→0 sin4y 4 4 x →π sin 4 x

lim

Пример 4.9. Найти

lim

arcsin x . x x →0

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x→0 t→0. Пример 4.10. Найти 1) lim

lim

arcsin x t →1 . = x sin t

lim

x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 ; 2) ; 3) . x →1 x 2 − x - 2 x →2 x 2 − x - 2 x →∞ x 2 − x - 2

Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:

lim x →1

(x − x - 2) = 1- 1- 2 = -2 . 2

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:

x2 − 4 = x2 − x - 2

2 lim ( x − 4)

−3 3 = . 2 lim ( x − x - 2) − 2 2 x→ 1

x→ 1

=

lim x →1


2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ≠ 2 равенство: x2 − 4 x +2 = . 2 x − x - 2 x +1

Так как

lim (x+1) ≠ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем x →2

lim x →2

lim

x −4 x +2 = = x →2 x + 1 x −x-2 2

2

lim ( x + 2) 4 x→ 2 = . ( x + 1) 3 lim x→ 2

3. Числитель и знаменатель при x→∞ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного: 1−

4 x2

x −4 → 1. = x − x - 2 1− 1 − 2 x x2 2

2

Пример 4.11. Найти

lim

3

x →9

x -1 − 2 . x-9

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: 3 x - 1 − 2 → 0 , x-9→0, т.е. имеем неопределенность вида

0 . 0

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения 3 x - 1 − 2 , получим 3

x-1 − 2 x-9 = = x-2 (x - 9)( 3 (x - 1) 2 + 2 3 x - 1 + 4)

Пример 4.12. Найти

1 3

(x - 1) 2 + 2 3 x - 1 + 4

1 1 = . 4 + 4 + 4 12

lim

2 (1 + ) x+5 . x x →- ∞ x

2 2 2 Решение. (1 + ) x+5 = ((1 + ) 2 ) 2 ⋅ (1 + ) 5 → e 2 ⋅ 1 = e 2 . x x x

4.6. Применение пределов в экономических расчетах Сложные проценты В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов: S = P(1 + i)n.

(4.16)

Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных


процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем: P=

lim

lim

S S P= n ⇒ n = 0. (1+ i) n →∞ n →∞ (1+ i)

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна. В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году: S =P (1 + i/m) mn. Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m →∞ имеем: S = Поскольку

lim (1 + i/m)

m→∞

m

lim

m→∞

P (1 + i/m) mn = P

lim

m→∞

((1 + i/m) m) n.

= e i, то S = P e in.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, δn обозначим первую через δ, тогда S = Pe . Сила роста δ представляет собой номинальную ставку процентов при m→∞. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции. Потоки платежей. Финансовая рента Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и р-срочные, где р характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами. Пример 4.13. Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 6 × 1,053 так как соответствующая сумма была на счете


в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 6 × 1,052, так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 6 × 1,053; 10 6 × 1,052; 10 6 × 1,05; 10 6. Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S - наращенная сумма ренты, R размер члена ренты, i - ставка процентов (десятичная дробь), n - срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n - 1, n - 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит R (1 + i)n - 1, R (1 + i)n - 2,..., R (1 + i), R. Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: S = R×((1 + i)n 1)/((1 + i) 1) = = R×((1 + i)n - 1)/ i. Обозначим S n; i = ((1 + i)n - 1)/ i и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то S = R×((1 + i/m)mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), где i номинальная ставка процентов. Величина a n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при n →∞ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:

lim

n →∞

a n; i =

lim (1 - (1 + i) n →∞

-n

)/ i =1/i.

Пример 4.14. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле: R×((1 + i)n - 1)/ i → ∞ при n → ∞. Коэффициент приведения для вечной ренты a n; i → 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.


МОДУЛЬ 2 5. Производные функции и их применение. 5.1. Определение производной ее геометрический, механический и экономический смысл. Зависимость между непрерывностью и дифференциалом функции. Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел

f(x 0 + ∆x) - f(x 0 ) ∆y = lim . ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x

lim

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или - ∞), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечную производную. Производная обозначается символами y ′, f ′(xo),

dy , dx

df(x 0 ) . dx

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент to. 5.2. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная неявной функции. Производные высших порядков. Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: 1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu'; 2) (u+v)' = u'+v'; 3) (uv)' = u'v+v'u; 4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2; 5) если y = f(u), u = ϕ(x), т.е. y = f(ϕ(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций ϕ и f, то y ′x = y ′u ⋅ u ′x , или dy dy du = ⋅ ; dx du dx

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем dg = x ′y dy

1

≠ 0, то y ′x = x ′ . y На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций. 1. (uµ)' = µ uµ−1 u' (µ ∈ R). 2. (au)' = au lna⋅ u'. 3. (eu)' = eu u'. 4. (loga u)' = u'/(u ln a). 5. (ln u)' = u'/u. 6. (sin u)' = cos u⋅ u'. 7. (cos u)' = - sin u⋅ u'. 8. (tg u)' = 1/ cos2u⋅ u'.


9. (ctg u)' = - u' / sin2u. 10. (arcsin u)' = u' / 1 − u 2 . 11. (arccos u)' = - u' / 1 − u 2 . 12. (arctg u)' = u'/(1 + u2). 13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2). Вычислим производную степенно-показательного выражения v y=u , (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'. Прологарифмировав равенство y=u v, получим ln y = v ln u. Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь: y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u). Итак, (u v)'=u v (vu'/u+v' ln u), u > 0. Например, если y = x sin x, то y' = x sin x (sin x/x + cos x⋅ ln x). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y', то

∆y = y'+α, где α→0 при ∆х→ 0; отсюда ∆ y = y' ∆х + α x. ∆x

Главная часть приращения функции, линейная относительно ∆х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' ∆х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x'∆х = 1⋅∆х =∆х, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной

dy можно рассматривать как dx

дробь. Приращение функции ∆ y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной. Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ′= f ′(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и d2y обозначается y ′′, f ′′(x), . dx 2 Аналогично определяются и обозначаются: d 3y производная третьего порядка - y ′′′, f ′′′(x), , dx 3 d4y производная четвертого порядка - y I V , f I V (x), dx 4 dny и вообще производная n-го порядка - y ( n ) , f ( n ) (x), . dx n Пример 5.15. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)⋅sin x. Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'⋅sin x + (3x3-2x+1)⋅(sin x)' = = (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x. Пример 5.16. Найти y', y = tg x +

ex . 1+x

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + (tgx)' + (

ex )' = 1+x

(e x )′ (1 + x) - (1+ x)′e x 1 (1 + x)e x − e x 1 ex 1 xe x + )' = + = . = + = cos 2 x (1 + x) 2 cos2 x (1 + x) 2 1+x cos 2 x (1 + x) 2

Пример u=x4 +1.

5.17.

Найти

производную

сложной

функции

y= u 2 + 3 u − 1 ,


Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y' x =y 'u u'x =( u 2 + 3 u − 1 )'u(x4 (2 x4 +2+

+1)'x 3 2 x +1 4

=(2u

+

3 2 u

) ⋅ 4x 3 .

Так

как

u=x4

+1,то

) ⋅ 4x 3 . 2

Пример 5.18. Найти производную функции y= e x . 2 Решение. Представим функцию y= e x в виде суперпозиции двух функций: y = e u и u = x2. 2 Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ⋅2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x e x . Пример 5.19. Найти производную функции y=ln sin x. Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x=

1 cos x ⋅ cos x = = ctg x . u sin x

Пример 5.20. Найти производную функции y= tg

1 x. 2

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5: y ′x =

1 2 ⋅ tg x / 2

⋅ ( tg

1 x) ′x = 2

1 sec 2 x . 1 1 2 ⋅ sec x ⋅ ( x) ′x = 2 2 2 ⋅ tg x / 2 4 ⋅ tg x / 2 1

2

( x 2 + 4) 5 (3x - 1) 7 . (6x 3 + 1) 2 e tg 5x Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

Пример 5.21. Вычислить производную y=ln

3

y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x. Дифференцируя обе части последнего равенства, получим: 5 2x 7 12 x 2 5 y′ = ⋅ 2 + − 3 − . 3 x + 4 3x - 1 6x + 1 3cos 2 5x

Предельный анализ в экономике. Эластичность функции В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем. Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную

dv . dx

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время


∆t = t1 - t0: ∆u = u(t1) - u(t0) = u(t0+∆t) - u(t0). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= ∆u/∆t. Производительностью труда рабочего z(t0) в момент t0 называется предел, к которому стремится

∆u . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к ∆t →0 ∆ t

z ср. при ∆t→0: z = lim

вычислению производной: z(t0) = u'(t0). Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на ∆х. Количеству продукции x+ ∆х соответствуют издержки производства K(x + ∆х). Следовательно, приращению количества продукции ∆х соответствует приращение издержек производства продукции ∆K = K(x + ∆х) - K(x). Среднее приращение издержек производства есть ∆K/∆х. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции. Предел

∆K = K ′(x) называется предельными издержками производства. ∆x→0 ∆x

lim

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то

∆u = u ′(x) и ∆x→0 ∆x

lim

называется предельной выручкой. С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ′ = f ′(x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

∆y / y

x

lim ∆x / x = y ∆x→o

f ′(x) .

x dy

Его обозначают Ex (y) = x/y f ′ (x) = y ⋅ dx . Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным. 5.3. Определения дифференциала функции. Правила нахождения дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x . Тогда, как следует из (14.43), приращение функции ∆y представляет собой сумму двух слагаемых f ′( x) ⋅ ∆x и α ⋅ ∆x , являющихся бесконечно малыми при ∆x → 0 . При


( f ′( x)∆x ∆x) = f ′( x) ≠ 0 , а этом первое слагаемое есть б.м.ф. одного порядка с ∆x , так как ∆lim x →0

(α ⋅ ∆x ∆x) = lim α = 0 . второе слагаемое есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ∆x : ∆lim x→0 ∆x → 0 ′ f ( x ) ⋅ ∆ x Поэтому первое слагаемое , линейное относительно ∆x , называется главной ∆ y частью приращения функции . Определение. Дифференциалом функции y = f (x) в точке x называется главная, линейная относительно ∆x , часть приращения функции. Дифференциал функции обозначается символом dy или df (x) . Из определения следует, dy = f ′( x) ⋅ ∆x . (14.45) x Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции y = x . Так как y ′ = x′ =1 , то, согласно формуле (14.45), имеем dy = dx = ∆x . Поэтому формулу (14.45) можно записать так: dy = f ′( x ) ⋅ dx . (5.1) Выясним геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции y = f (x) y (рис. 5.1), дифференцируемой в точке x. Проведем касательную к кривой в точке M с абсциссой x. Зададим в точке x приращение ∆x , y = f (x) y + ∆y N T отметим на кривой точку N с абсциссой x + ∆x . Проведем построение, указанное на рисунке. Из A треугольника AMB получим (СР 10.13) AB = tgα ⋅ ∆x . Но, согласно геометрическому dy α M смыслу производной, tgα = f ′( x) . Поэтому y B AB = f ′( x) ⋅ ∆x . ∆x∆x Сравнивая полученный результат с α dy = AB , формулой (5.1), получим т.е. x дифференциал функции y = f (x) в точке x x x + ∆x 0 равен приращению ординаты касательной к графику функций в этой точке, когда x получит Рис. 5.1 приращение ∆x . Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Как известно, если функция y = f (x ) дифференцируема в точке x , то на основании формулы (5.2.) ее приращение ∆y , соответствующее приращению ∆x , можно записать следующим образом: ∆y = f ′( x)∆x + α ∆x = dy + α ∆x , где lim α ( ∆x) = 0 . Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых ∆x может ∆x → 0

служить хорошим приближением приращения функции. Отбрасывая б.м. α ⋅ ∆x более высокого порядка, чем ∆x , получим приближенное равенство ∆y ≈ dy = f ′( x )∆x , (5.3.) которое позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции. Запишем приближенное равенство (5.2.) более подробно. Так как ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) , а dy = f ′( x0 )∆x , то f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) ∆x . (5.3.) Полученная формула и лежит в основе приближенного вычисления функции в точке x0 + ∆x . Она дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной. С помощью дифференциала функции можно вычислить абсолютную погрешность функции εy ( абсолютную величину разности между точным числом и его приближенным значением), если известна абсолютная погрешность εx аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.


Пусть требуется вычислить значение функции y = f (x) при некотором значении аргумента, которое можно представить как x = x0 + ∆x . Отсюда ε x = x − x0 = ∆x . (5.4.) Тогда, согласно (14.48), ε y = f ( x + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) ∆x = f ′( x0 ) ε x . (5.5) δ Относительная погрешность функции y выражается формулой δy =

εx f ′( x0 ) ⋅ 100% = ε x ⋅ 100% f ( x0 ) f ( x0 )

( f ( x 0 ) ≠ 0) .

(5.6.)

Пример 15. С помощью дифференциала приближенно вычислить величину 4 17 и оценить допущенную погрешность. Число 4 17 является частным значением функции y = 4 x при x = 17 . Пусть x0 = 16 , тогда

f ( x0 ) = 4 16 = 2 , f ′( x) = 1 x 4

3 4

, f ′(16) =1 32 , ∆x = x − x0 = 1 .

Пользуясь формулой (14.48), найдем: 4

3

x0 + ∆x ≈ 4 x0 + ( x0 4 / 4)∆x = 2 + (1 32) ⋅ 1 = 2,03125 .

Оценим по формулам (14.50) и (14.51) абсолютную и относительную погрешности полученного приближенного значения: ε x = 1 ; ε y = f ′( x0 ) ε x = 0,03125 ; εx 0,03125 δy = ⋅ 100% = ⋅ 100% = 1,56% . f ( x0 ) 2 Инвариантность формы дифференциала. Рассмотрим сложную функцию y = f (x) , где x =ϕ(t ) и найдем ее дифференциал. Если x – независимая переменная, то, по формуле (14.46) dy = f ′( x ) ⋅ dx , (5.7) где dx = ∆x . Если же независимой переменной служит t , то dy = yt′ dt = ( y ′x ⋅ xt′ )dt = y ′x ( xt′ dt ) = y ′x dx , т.е. и в этом случае dy = f ′( x ) ⋅ dx . (5.8) Формулы (14.52) и (14.53), совпадающие по форме, имеют различный смысл: в формуле (14.52) dx = ∆x , а в формуле (14.53) – dx = xt′dt . Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом и заключается свойство инвариантности (независимости) формы первого дифференциала, которое позволит в дальнейшем ввести операцию, обратную дифференцированию (интегрирование). Из формул (14.52) и (14.53) следует, что

f ′( x ) =

dy , dx

т.е. производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции dy и переменной dx независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией x =ϕ(t ) . Понятие производной n -го порядка. Пусть функция y = f (x) имеет конечную производную y ′ = f ′(x) в каждой точке некоторого промежутка, называемую производной первого порядка. Но производная f ′(x ) сама является функцией от x , которая также может иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка (или второй производной) от функции y = f (x) и обозначают символом y ′′ или f ′′(x ) : y ′′ = ( y ′)′ = f ′′( x) (читается “игрек два штриха” или “эф два штриха от икс”). Так, например, если y = x 7 , то y ′ = 7 x 6 , y ′′ = (7 x 6 )′ = 42 x 5 .


Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, то ее называют производной третьего порядка (или третьей производной) от функции y = f (x) и обозначают символом y ′′′ или f ′′′( x) : y ′′′ = ( y ′′)′ . Вообще, производной n -го порядка от функции y = f (x) называют производную от производной ( n −1) -го порядка и обозначают символом y (n ) или f ( n ) ( x ) : y ( n ) = ( y ( n −1) )′ = f ( n ) ( x ) , n =1, 2, ... (14.54) (0) Отметим, что в формуле (14.54) принято f ( x) = f ( x ) , т.е. производная нулевого порядка есть сама функция. Производные порядка выше первого называют производными высших порядков. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой. Таковой является, например, функция y =e x . Формулы для n -х производных некоторых функций. 1) Вычислим n -ю производную степенной функции y = xα , x > 0 , α ∈ R . Последовательно дифференцируя, имеем: y ′ =α xα−1 ; y ( 2) = α(α − 1) xα −2 ; y (3) = α(α − 1)(α − 2) xα −3 ; … ; y ( n ) = α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) xα −n . (5.9) В частности, если α = m , где m ∈ N , то получим ( x m ) ( m ) = m( m −1)(m − 2)...2 ⋅1 = m! , ( x m ) ( n ) = 0 при n > m . a ≠1. 2) Вычислим n -ю производную показательной функции y = a x , a > 0 и Последовательно дифференцируя, имеем: y ′ = a x ln a ; y ( 2 ) = a x ln 2 a ; y (3) = a x ln 3 a ; … ; y ( n ) = a x ln n a . (5.10) x В частности, если y =e , то ∀n (e x ) ( n ) = e x . (5.11) y = sin x 3) Вычислим n -ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем (СР 7): y ′ = cos x = sin( x + 1 ⋅ π 2) ; y ( 2) = −sin x = sin( x + 2 ⋅ π 2) ; y (3) = −cos x = sin( x + 3 ⋅ π 2) ; …………………………..… ; y ( n ) = (sin x) ( n ) = sin( x + n ⋅ π 2) . (5.12) n 4) Аналогично можно получить формулу -й производной функции y = cos x : y ( n ) = (cos x) ( n ) = cos( x + n ⋅ π 2) . (5.13) Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их n -х производных. Механический смысл производной второго порядка. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f (t ) , где s – путь, пройденный точкой за время t . Выше было установлено, что производная s ′ = f ′(t ) равна скорости точки в данный момент времени, т.е. f ′(t ) = v , где скорость v этого движения является некоторой функцией времени t : v = v(t ) . Пусть в момент времени t скорость точки равна v (t ) , а в момент времени t + ∆t – скорость равна v (t + ∆t ) . Тогда за промежуток времени ∆t скорость изменится на величину ∆v = v (t + ∆t ) − v (t ) . Отношение ∆v ∆t = acp выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t . Предел этого отношения при ∆t → 0 называется ускорением точки М в данный момент времени t и обозначается буквой a : ∆v = vt′ . ∆t → 0 ∆t

a = lim acp = lim ∆t →0

Так как v = s′ = f ′(t ) , то можно записать a = vt′ = ( s′)′ = s′′ .


Таким образом, с механической точки зрения вторая производная от пути по времени есть ускорение в этой точке. Производные высших порядков неявно заданной функции. Пусть функция y = f (x) задана неявно в виде уравнения F ( x, y ) = 0 . Продифференцировав это уравнение по x , считая y функцией от x , и разрешив полученное уравнение относительно y ′ , найдем производную первого порядка. Как правило, она будет зависеть от x и y : y ′ = ϕ( x, y ) . Вторую производную y ′′ от неявной функции получим, дифференцируя функцию ϕ( x, y ) по переменной x и помня при этом, что y есть функция от x : y ′′ = (ϕ ( x, y )) ′ = F ( x, y, y ′) . Заменяя здесь y ′ через ϕ( x, y ) , получим выражение второй производной через x и y : y ′′ = F ( x, y ,ϕ( x, y )) = Φ( x, y ) . Аналогично и все высшие производные от неявной функции можно выразить только через x y и : каждый раз, когда при дифференцировании появляется производная y ′ , ее следует заменить на ϕ( x, y ) . Пример 16. Найти y ′′ , если y = x + ln y , и вычислить ее значение в точке (e −1, e) . Дифференцируем по x и определяем y ′ :

y′ =1 +

y′ y

y′ =

y . y −1

Дифференцируем последнее равенство по x и определяем y ′′ : y ′( y − 1) − y ′ ⋅ y y′ y y ′′ = = − =− . 2 2 ( y − 1) ( y − 1) ( y − 1) 3 Значение второй производной при x = e − 1 , y = e : y ′′(e −1) = −e (e −1) 3 . Дифференциалы высших порядков. Пусть функция y = f (x) имеет производную n -го порядка на некотором промежутке. Дифференциал этой функции dy = f ′( x) dx является функцией независимой переменной x , определенной на рассматриваемом промежутке. Так как dx = ∆x не зависит от x , то при дифференцировании dx считается постоянным: ( dx)′ =0 . Дифференциал от дифференциала функции y = f (x) называется ее дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) и обозначается d 2 y (“дэ два игрек”) или d 2 f ( x ) . Итак, по определению d 2 y = d ( dy ) , откуда учитывая выражение дифференциала функции, запишем: d 2 y =( dy )′dx =( f ′( x ) dx )′dx = f ′′( x )(dx ) 2 = f ′′( x ) dx 2 . (14.60) y = f (x ) Дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции. По определению d 3 y = d ( d 2 y ) = ( f ′′( x ) dx 2 ) dx = f ′′′( x ) dx 3 . Вообще, по определению дифференциалом n -го порядка функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала ( n −1) -го порядка, т.е. d n y = d ( d n −1 y ) = ( f ( n −1) ( x ) dx n −1 ) dx = f ( n ) ( x) dx n . Отсюда находим, что f ( n ) ( x) = d n y dx n . В частности, при n =1, 2, 3 соответственно получим:

f ′( x ) =

dy ; dx

f ′′( x ) =

d2y ; dx 2

f ′′′( x ) =

d3y , dx 3

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. Покажем, что дифференциалы высших порядков ( n ≥ 2) не обладают уже свойством инвариантности, как это имело место для дифференциала первого порядка. Действительно, пусть y = f (x) , x =ϕ(t ) , t – независимая переменная, т.е. y – сложная функция аргумента t . Кроме того, ϕ(t ) – дважды дифференцируемая функция на некотором


промежутке изменения t , а f ( x) – дважды дифференцируемая функция на соответствующем промежутке изменения x . Тогда по определению 2 d y = ( f ( x))′′ dt 2 = ( f ′( x)ϕ′(t ))′t dt 2 = ( f ′′( x)(ϕ′(t )) 2 + f ′( x)ϕ′′(t )) dt 2 , t2

откуда d y = f ′′( x)dx 2 + f ′( x)d 2 x . Если же x – независимая переменная, то d 2 x = ( x )′′dx 2 = 0 и d 2 y = f ′′( x ) dx 2 . Пример 17. Найти d 3 y , если y = 3 e 2 x +1 , и x – независимая переменная. Так как y ′ = 2 3 e 2 x +1 3 , y ′′ = 4 3 e 2 x +1 9 , y ′′′ =8 3 e 2 x +1 27 , то по формуле (14.60) имеем 2

◦(

)

d y = 8 3 e 2 x +1 27 dx 3 . 3

5.4. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Теорема Ферма∗ . Пусть функция y = f (x) определена на интервале ( a , b) и в некоторой точке x0 ∈ ( a, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x0 существует конечная производная f ′( x0 ) ,

то f ′( x0 ) = 0 .

□ Пусть для определенности в точке x0 функция имеет локальный максимум, т.е. f ( x) ≤ f ( x0 ) ∀x ∈( a, b) . Это значит, что ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≤ 0 для любой точки x0 + ∆x ∈ (a, b) . Тогда в силу дифференцируемости f ( x) в точке x0 при ∆x > 0 ( x > x0 ) получим ∆y ∆y ≤0 lim = f +′ ( x0 ) ≤ 0 , ⇒ ∆x →+0 ∆x ∆x а при ∆x < 0 ( x < x0 ) будем иметь ∆y ∆y ≥0 lim = f −′ ( x0 ) ≥ 0 . ⇒ ∆x →−0 ∆x ∆x По условию f ′( x0 ) существует и, значит, f +′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ) = f ′( x0 ) . Это возможно только в

случае, когда f +′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ) = 0 . Но тогда и f ′( x0 ) = 0 . Аналогично доказывается теорема для случая локального минимума функции. ■ Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство f ′( x0 ) = tg α = 0 означает, что α = 0 , т.е. касательная к кривой в точке экстремума дифференцируемой функции параллельна оси 0 x (точки x4 и x6 на рис. 14.6).

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е., если f ′( x0 ) = 0 , то это не значит, что x0 – точка

экстремума (точка x2 на рис.14.6). Теорема Ролля∗ . Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [ a , b] ; 1) дифференцируема на интервале ( a , b) ; 2) f ( a ) = f (b) . Тогда существует хотя бы одна точка c ∈(a, b) , в которой f ′(c) = 0 . □ Так как функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b] , то по теореме Вейерштрасса 13.18 она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. существуют такие точки x1 , x2 ∈[ a, b] , что f ( x1 ) = m , f ( x2 ) = M и выполняются неравенства m ≤ f ( x) ≤ M . Если M = m , то функция f ( x) постоянна на [a, b] и, следовательно, ее производная f ′( x) = 0 в любой точке отрезка [ a , b] . Если M ≠ m , то хотя бы одно из этих чисел функция достигает во внутренней точке c ∈(a, b) , так f ( a ) = f (b) . В этом случае, так как f ( x) дифференцируема в точке c , то по теореме Ферма как f ′(c) = 0 . ■

 

Пьер Ферма (1601 – 1665) – французский математик и юрист. Мишель Ролля (1652 – 1719) – французский математик.


Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка [ a , b] обязательно найдется хотя бы одна точка c , такая, что касательная к графику f ( x) в точке (c, f (c )) параллельна оси 0 x (рис. 14.7). На этом рисунке таких точек три.

y

y B

f (a )

0 a c1

c2

c3

b x

0 a

Рис. 5.2

A b x

c

Рис. 5.3

Заметим, что если не выполнено хотя бы одно из условий теоремы, то может не выполняться и заключение теоремы Ролля. Теорема Коши. Пусть функции y = f (x ) и y = g (x ) удовлетворяют следующим условиям: 1) непрерывны на отрезке [ a , b] ; 2) дифференцируемы на интервале ( a, b) ; 3) g ′( x ) ≠ 0 , ∀x ∈( a, b) . Тогда существует хотя бы одна точка c ∈(a, b) такая, что справедлива формула

f (b) − f (a ) f ′(c) = . g (b) − g (a) g ′(c )

(14.62)

□ Отметим, что g (b) ≠ g ( a ) , так как в противном случае по теореме Ролля на ( a, b) нашлась бы точка c , такая, что g ′(c ) = 0 , что противоречит условию g ′( x ) ≠ 0 ∀x ∈( a, b) . Рассмотрим вспомогательную функцию f (b) − f ( a ) F ( x) = f ( x) − f (a) − ( g ( x) − g ( a )) . g (b) − g ( a ) Функция F (x ) : 1) непрерывна на [ a , b] ; 2) дифференцируема на ( a, b) ; 3) F ( a ) = F (b) = 0 . По теореме Ролля существует точка c ∈(a, b) , такая, что F ′(c ) = 0 . Так как f (b) − f ( a ) f (b) − f (a ) F ′( x) = f ′( x ) − g ′( x) , то F ′(c ) = f ′(c) − g ′(c) = 0 . g (b) − g ( a ) g (b) − g (a ) Откуда, учитывая, что g ′(c) ≠ 0 , и получаем формулу (14.62). ■ Теорема Лагранжа∗ . Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a, b] ; 2) дифференцируема на интервале ( a, b) Тогда существует хотя бы одна точка c ∈(a, b) , такая, что справедлива формула f (b) − f (a ) = f ′(c) ⇔ f (b) − f ( a ) = f ′(c)(b − a ) . (14.63) b −a □ Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив g ( x ) = x , находим g (b) − g ( a ) = b − a , g ′( x ) =1 , g ′(c ) =1 . Подставляя эти значения в (14.62), получим формулу (14.63). ■ Равенство (14.63) называется формулой конечных приращений или формулой Лагранжа. Ее часто записывают в виде f (b) − f ( a ) = f ′( a + θ (b − a ))(b − a ) , 0 < θ < 1, 

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) – французский математик и механик.


где θ – некоторое число, при котором a + θ (b − a ) = c . Если положить a = x , b = x + ∆x , то получим f ( x + ∆x ) − f ( x ) = f ′( x + θ∆x )∆x , 0 < θ < 1. (14.64) Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись в виде (14.63). Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 14.8). Отношение ( f (b) − f (a )) (b − a ) есть тангенс угла, образованного прямой, проходящей через точки A( a, f ( a )) и B (b, f (b)) графика функции y = f (x ) , с осью 0 x , а f ′(c ) – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (c, f (c )) . Из теоремы Лагранжа следует, что на интервале ( a, b) существует точка c , такая, что касательная к графику функции y = f (x ) в точке (c, f (c )) параллельна секущей, проходящей через точки A и B . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует. Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих формул и теорем анализа.

Теорема Лопиталя. 1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя. Если

lim f(x) = lim g(x) = x→ a

x→ a

0,

то

lim x →a

f(x) f ′(x) = lim , когда последний x →a g ′(x) g(x)

существует. 2. Неопределенность вида ∞/∞. Второе правило Лопиталя. Если

lim f(x) = lim g(x) = x→ a

x→ a

∞,

то

lim x →a

f(x) f ′(x) = lim , когда последний x →a g ′(x) g(x)

существует. 3. Неопределенности вида 0⋅ ∞, ∞ - ∞, 1∞ и 00 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований. Пример 5.22. Найти предел функции y =

1 1 − x при x → 0. x e −1

Решение. Имеем неопределенность вида ∞-∞. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь:

(e x − 1 − x) ′ ex −1 − x 1 1 ex − 1 = = = = ( − ) lim lim lim lim x x x→ 0 x e x − 1 x→0 x(e − 1) x→0 (x(e − 1)) ′ x→0 xe x − 1 + e x (e x − 1) ′ ex 1 = lim = = . lim x x x x x x → 0 (xe − 1 + e ) ′ x→ 0 xe + e + e 2 Пример 5.23. Найти lim

ln x

. x Решение. Раскрывая неопределенность вида ∞/∞ по правилу Лопиталя, получаем: x→ + ∞

lim

ln x

x→ + ∞

Пример 5.24. Вычислить

x

= lim

x→ + ∞

1/ x 1 / (2 x )

= lim

x→ + ∞

2 x

=0.

x 1/x lim (e + x) . x→ 0

Решение. Имеем неопределенность вида 1∞. Обозначим искомый предел через A. A = x 1/x lim (e + x) . x→ 0

Тогда ln A =

1 ln( e x + x) ex +1 x = = = 2, ⇒ A = e2. ( ln( e + x)) lim lim lim x x →0 x x→0 e + x x →0 x


5.5. Возрастание, убывание и экстремум функции. Наибольшее и наименьшее хначение функции на отрезке. Выпуклость, вогнутость графика. Точки перегиба. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0). Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ′(xо) = 0, либо f ′(xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ′ (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ′ (x) в окрестности точки xо и вторую производную f ′′(x 0 ) в самой точке xо. Если f ′(xо) = 0, f ′′(x 0 ) >0 ( f ′′(x 0 ) <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f ′′(x 0 ) =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 5.25. Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14. Решение. Так как f ′ (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13. Пример 5.26. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь? Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ′ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда y = a - 2⋅a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ′ >0, а при x >a/4 S ′ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x. Пример 5.27. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16π ≈ 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2πR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = πR2Н ⇒ Н = V/πR2 =16π/ πR2 = 16/ R2. Значит, S(R) = 2π(R2+16/R). Находим


производную этой функции: S ′(R) = 2π(2R- 16/R2) = 4π (R- 8/R2). S ′(R) = 0 при R3 = 8, следовательно, R = 2, Н = 16/4 = 4.


6. Неопределенный интеграл В математике, как правило, для каждого действия над изучаемыми объектами (числами, функциями, векторами и т.д.) определяется и обратное действие: сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение корня и т.д. При этом именно наличие обратных действий дает возможность решать наиболее содержательные задачи. Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения приводят к решению обратной задачи – восстановлению функции по известной ее производной или дифференциалу. С механической точки зрения это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения. Восстановление функций по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления. 6.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Функция F (x ) называется первообразной для функции f ( x) на интервале ( a; b) если ∀x ∈( a; b) выполняется равенство

F ′( x) = f ( x) (или dF ( x) = f ( x)dx ).

(6.1) Аналогично можно определить понятие первообразной на бесконечном промежутке и на

отрезке [a; b] , но в последнем случае в точках a производные.

и

b надо рассматривать односторонние

Пример 1. ○ Функция F ( x) = s i n3x есть первообразная для функции f ( x) = 3cos3x на

(−∞; + ∞) , поскольку F ′( x) = (s i n 3x)′ = 3cos3x = = f ( x) . Функция F ( x) = ln | x | является первообразной для функции F ′( x) = (ln | x |)′ = 1 x = f ( x) , x ≠ 0 . Функция F ( x) = 4 − x

2

f ( x ) =1 x ,

∀x ≠ 0 , так как

является первообразной для функции f ( x) = = − x

F ′( x) = ( 4 − x )′ = = − x интервале (−2; 2) , так как 2

4 − x 2 на

4 − x 2 = f ( x) . ●

Очевидно, что функции F ( x) = sin 3x + C , F ( x) = ln | x | +C и F ( x) = = 4 − x + C , где C = const , будут также первообразными для соответствующих функций f ( x) , поскольку для них выполняется равенство (16.1). Теорема 16.1 Если функция F (x ) является первообразной для функции f ( x) на (a; b), то множество функций F ( x) + C , где С – произвольная постоянная, охватывает все первообразные для функции f ( x) . □ Действительно, если F (x ) – первообразная, т.е. F ′( x) = f ( x) ,то ( F ( x) + C )′ = F ′( x) = f ( x) 2

∀C , т.е. F ( x) + C также первообразная. Пусть Φ( x) – любая другая первообразная функция для f ( x) , т.е. Φ′( x ) = F ′( x) = f ( x) . Тогда ∀x ∈( a; b) имеем (Φ( x) − F ( x))′ = Φ′( x) − F ′( x) = f ( x) − f ( x) = 0 . А это означает, что Φ( x ) − F ( x) = C , где С – постоянное число. Следовательно, Φ( x ) = F ( x) + C .  Совокупность всех первообразных F ( x) + C для функции f ( x) на интервале (a; b) называется

неопределенным

интегралом

от

f ( x)

и

обозначается

символом

∫ f (x)dx .


Следовательно,

Здесь

f ( x)

∫ f (x)dx = F (x) + C . называется

подынтегральной

функцией,

(6.2) –

f ( x ) dx

подынтегральным

выражением, х – переменной интегрирования, а символ ∫ – знаком неопределенного интеграла. Таким образом, согласно примеру 1,

∫ 3co s3xdx = s in3x + C ; ∫ (− x 4 − x )dx = 2

∫ dxx = ln | x | +C ; 4 − x2 + C

. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. С геометрической точки зрения теорема у 16.1 утверждает, что график любой f ( x ) первообразной для получается путем 2 сдвигания вверх или вниз графика функции y = F (x) (рис. 16.1). При фиксированном 1 0 значении C = C0 , график первообразной

y = F ( x) + C y = F ( x) + C y = F (x)

y

0

x0

х

y = F ( x) + C

Рис. 6.1

y = F ( x) + C0 (кривой) называется интегральной кривой. Для того чтобы из данного семейства 3 кривых выделить одну определенную кривую, нужно к условию задачи присоединить дополнительное условие, например, потребовать, чтобы кривая проходила через

данную точку ( x0 ; y 0 ) . Такое условие называется начальным. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению искомой кривой y = F ( x ) + C т.е. y0 = F ( x 0 ) + C . Из этого условия однозначно определяем С: C = C0 = y0 − F ( x0 ) . Тогда уравнение y = F ( x) + C0 является уравнением той интегральной кривой, которая проходит через точку ( x0 ; y 0 ) .

Пример 2. Для функции f ( x) = 1 x найти первообразную, которая при x0 = e принимает значение y 0 = 5 .

y = ∫ dx = ln | x | + C x ○ В примере 1 было установлено, что . Подставим в это выражение

начальные условия x0 = e , y0 = 5 ; получим 5 = ln e + C , откуда C = C0 = 4 . Следовательно, искомая первообразная имеет вид y = ln | x | + 4 . ● В гл.17 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на некотором промежутке является непрерывность функции на этом промежутке. А пока будем считать, что всюду в данной главе осуществляется интегрирование непрерывных функций. Если функция, для которой мы ищем первообразную, разрывна, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна. Основные свойства неопределенного интеграла. Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. 16.1º. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫ f ( x)dx)′ = f ( x)

□ Действительно,

и

d (∫ f ( x)dx) = f ( x)dx

.

(6.3)

(∫ f ( x)dx)′ = ( F ( x) + C )′ = F ′( x) + 0 = f ( x)


и

d (∫ f ( x)dx) = (∫ f ( x)dx)′dx = f ( x)dx

.  Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

∫ 3co s3xdx = s in3x + C

верно, так как (sin 3 x + C )′ = 3 cos 3 x . 6.2º. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

∫ d F (x) = F ( x) + C .

□ Действительно,

(6.4)

∫ dF (x) = ∫ F ′(x)dx = ∫ f (x)dx = F (x) + C . 

6.3º. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е., если k = const ≠ 0 , то

∫ k f (x)dx = k ∫ f (x)dx .

(6.5)

□ Действительно,

∫ k f (x)dx = ∫ k F ′(x)dx = ∫ (k F (x))′d x = ∫ d (kF ( x)) = kF (x) + C =k (F ( x) + + C k ) = C = C k = k (F ( x) + C ) = k ∫ f ( x)dx .  1

1

1

6.4º. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

∫ ( f ( x) ± g ( x))d x = ∫ f (x)d x ± ∫ g (x)dx .

(6.6) Доказательство аналогично свойству 16.3º. Это свойство легко распространяется на любое конечное число слагаемых функций, т.е. n

n

i =1

i =1

∫ ∑α i fi (x)dx = ∑αi ∫ fi (x)dx 6.5º. (Инвариантность формулы интегрирования). Если

∫ f (u)du = F (u) + C ,

.

(6.7)

∫ f (x)dx = F (x) + C , то и (6.8)

где u = ϕ(x ) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. □ Действительно, пусть

∫ f (x)dx = F (x) + C ,

F ′( x) = f ( x)

и u = ϕ(x ) – непрерывнодифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию

F (u) = F (ϕ ( x)) . В силу инвариантности формы первого дифференциала функции имеем dF (u) = F ′(u)du = f (u)du .

∫ f (u)du = ∫ d F (u) = F (u) + C

Отсюда . Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную. Так, из формулы

∫ 3cos3xdx = s i n3x + C

∫ 3cos3udu = si n3u + C . В частности,

путем замены

x

на

u

( u = ϕ(x ) ) получаем


∫ 3cos(3e )de x

x

= si n(3e x ) + C

16.6º. Если F (x ) – первообразная для функции f ( x) , то

.

∫ f (ax + b)dx = 1a F (ax + b) + C .

(6.9)

□ Действительно,

( 1a F (ax + b) + C ) ′ = 1a ×aF ′(ax + b) = f (ax + b) .  Например,

∫ axdx+ b = ln | ax + b |

6.7º. □ Действительно,

a +C

.

f ′( x) dx = ln | f ( x) | +C f ( x) .

(6.10)

(ln | f ( x) | +C )′ = f ′( x) f ( x) . 

Таблица основных неопределенных интегралов. Отыскание первообразной от данной функции является задачей более сложной, чем задача нахождения по данной функции ее производной. В дифференциальном исчислении, на основе правил и формул дифференцирования, было установлено, что производная любой элементарной функции – также элементарная функция. Для отыскания первообразных от элементарных функций, единого алгоритма, подобного алгоритму дифференцирования, не существует. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функции) сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых во многих случаях приводит к цели. Для облегчения интегрирования составляется таблица так называемых основных интегралов, которая получается на основании определения неопределенного интеграла, свойств интегрирования и таблицы производных. Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную x , так и функцию от независимой переменной, согласно свойству 6.5º. Приведем таблицу основных интегралов, вывод ряда формул которой будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования. 1. 2. 3.

α uα +1 + C u du = ∫ (α ≠ −1) α +1 = ln | u | + C ∫ du u ; u u ∫ a du = lna a + C ;

9.

∫ sin ud u = − co s u + C ; ∫ t g udu = − ln cos u + C ; du = t g u + C ∫ cos u ;

11.

∫ sidun u = ln t g

5. 7.

2

13.

u +C 2 ;

∫ ch udu = s h u + C ;

(

∫ du = u + C ); 4. 6. 8. 10. 12.

∫ sh

∫e

u

du = e u + C

;

∫ cos ud u = si n u + C ; ∫ ct g udu = ln si n u + C ; = −ct g u + C ∫ sidu n u ; 2

du = ln t g u + π + C ( 2 4) ; ∫ cos u u du = ch u + C

;

14.


∫ chduu = t h 2

15.

∫ shduu = −ct h 2

u +C

2

2

∫ u du +a 2

2

∫ uudu ±a

2

= 1 ln u − a + C 2a u + a

16.

= 1 arct g u + C a a ;

21.

= 1 ln u 2 ± a 2 + C 2 ; 2 2 1 2 2 = − ln | a − u | +C ∫ audu 2 −u ; = arcsi n u + C ∫ adu 2 2 a −u ;

22.

23.

2

19. 20.

24. 25.

;

;

17.

∫ u du −a

u +C

18.

du = ln u + u 2 ± a 2 + C u2 ± a2 ; 2 2 udu = u ± a + C u2 ± a2 ; udu = − a2 − u 2 + C a2 − u2 ;

2

u 2 ± a 2 du = u u 2 ± a 2 ± a ln u + u 2 ± a 2 + C 2 2 ; 2 2 u a2 − u 2 + a 2 arcs i n u + C a − u du = ∫ 2 2 a ; au bu eau + C 2 ∫ e cos budu = b si n bua2 ++abcos ; au au a si n bu − b cos bu e +C ∫ e si n budu = a 2 + b2 ;

26. 27. 28. Рекуррентная формула

∫ (u

2

du = u 2k − 3 du 2 k 2 2 2 k −1 + 2 2 ∫ + a ) a (2k − 2)(u + a ) a (2k − 2) (u + a 2 )k −1 .

29. Справедливость формул таблицы интегралов, не имеющих аналогов в таблице производных, проверяется непосредственно путем дифференцирования их правых частей. Для примера докажем формулу 21. Имеем

(

)

1 d arcsi n u + C = ×1 du = du 2 a a a2 − u 2 . 1− ( u a) Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 2 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку u = 0 ; формула 21 – для интервала ( − a; a ) и т.п. Применяя (16.9), можно написать более сложную таблицу интегралов. Например:

= 1 t g (au + b) + C ∫ cos (du au + b) a 2

∫ ct g (au + b)du = 1a ln

;

si n(au + b) + C

, и т.д.


Если первообразная F (x ) для функции f ( x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл ∫ выражается в элементарных функциях. Однако интеграл от элементарной функции может привести к неэлементарной функции, т.е. функции, которая не выражается через конечное число арифметических действий и суперпозиций элементарных функций. Так, например, известно, что интегралы f ( x ) dx

∫e

−x 2

dx

– интеграл Пуассона,

2 ∫sin x dx

2 , ∫cos x dx – интегралы Френеля,

dx e x dx ∫ ln x – интегральный логарифм и сводящийся к нему ∫ x , ∫ sixn x dx , ∫ cosx x dx – интегральный синус и конус хотя и существуют, но не выражаются в элементарных функциях. Искусство интегрирования состоит в умении с помощью свойств неопределенных интегралов преобразовать подынтегральное выражение к табличному, или сначала хотя бы упростить его. Для этого применяются различные методы интегрирования. 6.2. Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен. Метод разложения. Суть этого метода состоит в тождественном преобразовании подынтегральной функции и применении свойств неопределенного интеграла так, чтобы исходный интеграл приводился к одному или нескольким табличным интегралам. При нахождении интегралов часто применяется свойство 6.5º, согласно которого некоторые сомножители подынтегральной функции подводятся под знак дифференциала, после чего используется подходящий табличный интеграл. Такое преобразование называется подведением под знак дифференциала. Приведем некоторые простейшие преобразования дифференциалов вида

f ′(u)du = d ( f (u)) :

udu = d (u 2 + b) 2 ; s i n udu = −d (cos u) ; du u = d (ln u) ; du si n 2 u = = −d (ct g u) и т.д. Проиллюстрируем применение этого метода на примерах.

∫ ( 4x Пример 3. ○

cos udu = d (s i n u) ;

)

− 3 − 35 + 7 + 3x ×2 x − 5cos x + 2 2− 3x − 5 −24 x dx = x x x + 7 2x −1 3 −1 3 x dx = (16.7) ∗ = 4∫ x dx − 3∫ dx − 5∫ x dx + 7∫ x + ∫ 6 dx − 5∫ cos xdx + + 2∫ 2dx − 3∫ x2 dx − 5 ∫ 2dx + 4 ∫ x2 dx =| ÒÈ : 1; 2; 3; 6; 17; 2 x −1 2 2 x −1 2 x +7 x +7 19; 22; 23|= x4 − 3x −15x 2 3 2 + 7ln | x | + 6 x ln6 − 5s i n x + + 2 arct g x − 7 7 2 2 2 − 3ln | x + 7 | 2 − 5ln | x + x −1 2 | 2 + 2 2 x −1 2 + C .●

ct g Пример 4. ○ ∫

3

d (si n u) udu = ∫ cos udu = ∫ =| (16.10) | = si n u si n u

= ln |si n u | +C (вывод формулы 8). ● du = (ÑÐ: (7.10) = du = 2 2 ∫ cos ∫ u cos ( u 2) − si n ( u 2) Пример 5. ○ 

Здесь и далее в вертикальных скобках будут выполняться промежуточные действия и приводиться ссылки на соответствующие формулы.


d (t g(u 2)) du = 2∫ = (16.8); ÒÈ : 18 = 2 (1 − t g (u 2))cos (u 2) 1 − t g 2(u 2) t g(u 2) + 1 t g(u 2) + t g(π 4) = 2 1 ln + C = ln + C = ÑÐ: (7.5) = 2 t g(u 2) −1 1 − t g(u 2)t g(π 4) = ln t g u + π + C 2 4 (вывод формулы 12). ● 2 2 udu = − 1 d (a − u ) = (16.10) = − 1 ln | a2 − u 2 | + ∫ 2 2 2 ∫ a2 − u 2 2 Пример 6. ○ a − u +C (вывод формулы 20). ● 2 2 udu = 1 d (u ± a ) = (16.8); ÒÈ : 1 = ∫ u 2 ± a2 2 ∫ u 2 ± a2 Пример 7. ○ = 1 2 u 2 ± a2 + C = u2 ± a2 + C 2 (вывод формулы 23). ●  3x − 2 ∫  4 (3 −35x)3 − e + 2s i n(4x −1) + 7t g 5x − cos2(35 − 5x) − Пример 8. ○ =∫

2

(

)

− 4 s i n3x + 2ch (2 − 5x) ) dx = (16.7) = 3∫ (3 − 5 x) −3 4 dx − ∫ e3x −2dx +

dx − 4∫ dx + 2∫ ch (2 − 5 x)dx = s i n3x cos (3 − 5x) = (16.9); ÒÈ : 1; 4; 5; 7; 9; 11; 14 = −12(3 − 5 x)1 4 5 − e3x−4 3 − − cos (4 x −1) 2 − 7ln cos5x 5 + t g (3 − 5 x) − 4ln | t g(3 x 2) | 3 − − 2s h (2 − 5x) 5 + C + 2∫ s i n(4 x −1)dx + 7∫ t g 5xdx − 5∫

2

.● Для нахождения интегралов вида

∫ co s mx ×cos n x dx , ∫ sin mx ×si n nx d x , ∫ si n mx ×co s n x d x (6.11)

используются формулы СР: (7.31) ÷ (7.33), а при нахождении интегралов вида

∫cos

2k

, ∫sin используются формулы СР: (7.18); (7.19). mx dx

2k

mx dx

(6.12)

∫ si n3x ×s in 4 x ×s i n5x dx = ÑÐ: (7 .3 2 ) = = 1 ∫ (cos x − cos7 x)s i n5x dx = 1 ∫ si n5x ×cos x dx − 1 ∫ s i n5x ×cos7 x dx = 2 2 2 = ÑÐ: (7.33) = 1 ∫ (s i n 4 x + s i n6 x) dx − 1 ∫ (s i n(− 2 x) + si n12 x) dx = 4 4 = 1 ∫ si n 4 x dx + 1 ∫ s i n6 x dx + 1 ∫ si n 2 x dx − 1 ∫ s i n12 x dx =| (16.9); ÒÈ :5|= 4 4 4 4

Пример 9. ○

= − cos4 x 16 − cos6 x 24 − cos2 x 8 + cos12 x 48 + C . ● Пример 10. ○

(

∫ cos

)

4

2 x dx = ∫ (cos2 2 x)2 dx = (ÑÐ: (7.18) =

2

= ∫ 1 + cos4 x dx = 1 ∫ (1 + 2cos4 x + cos2 4 x) dx = 2 4 = 1 ∫ 1 + 2cos4 x + 1 + cos8x dx = (16.7) = 1 3 ∫ dx + 2 ∫ cos4 xdx + 4 2 4 2 + 1 ∫ cos8x dx = (16.9); ÒÈ : 1; 6 = 3x 8 + s i n 4 x 8 + si n8 x 64 + C 2 .●

(

)

)

(


I =∫

dx . 2x2 − 7 x + 1

Пример 11. Найти ○ Выделяя в квадратном трехчлене полный квадрат, согласно СР : (2.2) , получим

2 x2 − 7 x + 1 = 2( x 2 − (7 2) x + 1 2) = 2( x 2 − 2 x(7 4) + 49 16 − 49 16 +1 2) = = 2(( x − 7 4)2 − 41 16). dx I = 1∫ = (16.9); ÒÈ : 18 = 1 ln 4 x − 7 − 41 + C 2 ( x − 7 4)2 − 41 16 41 4 x − 7 + 41 .● dx I =∫ . 2 − 2 x − 3x 2 Пример 12. Найти ○ Используя СР : (2.2) , получим

− 3x2 − 2x + 2 = − 3( x 2 + (2 3) x − 2 3) = − 3( x 2 + 2 x(1 3) + 1 9 −1 9 − 2 3) = =−3(( x +1 3) 2 −7 9).

dx I= 1 ∫ = (16.9); ÒÈ : 21 = 1 arcs i n 3x + 1 + C. 2 3 7 9 − ( x + 1 3) 3 7 ● Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида Mx + N

∫ ax 2 + bx + c dx

Mx + N

2

dx

ax + bx + c и (6.13) путем выделения в числителе производной 2ax + b квадратного трехчлена и выделения полного квадрата в квадратном трехчлене, приводятся к табличным интегралам.

x + 2 dx. 2 3 x − x+5 Пример 13. Найти 2 ′ ○ Имеем (3x − x + 5) = 6 x − 1, x + 2 = (6 x −1 + 1) 6 + 2 = (6 x −1) 6 + I =∫

СР : (2.2) , получим

+13 6. Используя

2

3x2 − x + 5 = 3(( x −1 6) + 59 36).

(6x −1) + 13 d (3x2 − x + 5) 13 dx 1 1 I= ∫ 2 dx = ∫ + ∫ = | (16.10); 2 6 3x − x + 5 6 3x − x + 5 18 ( x −1 6)2 + 59 36 (16.9); ÒÈ :17 |= 1 ln 3x2 − x + 5 + 13 arct g 6 x −1 + C. 6 3 59 59 ● 4 3 I = ∫ 2 x + 3x + x − 5 dx. x+2 Пример 14. Найти

○ В данном случае подынтегральная функция является неправильной дробью СР : ( 1.4) . Путем деления числителя на знаменатель (СР : Пример 1.2) и применения формулы СР : (1.35) , получим

2x4 + 3x2 + x − 5 = 2 x3 − 4 x2 + 11x − 21 + 37 . x+2 x+2 3 2 I = ∫ (2 x − 4 x + 11x − 21 + 37 )dx = (16.7) =2∫ x3dx − 4∫ x 2dx + 11∫ xdx − x+2 − 21∫ dx + 37∫ dx =| ÒÈ :1; 2|= x 4 2 − 4 x3 3 + 11x 2 2 − 21x + 37ln | x + 2| + +C. ● x+2 Как видно, нахождение интегралов иногда требует некоторой изобретательности, которая приобретается в результате решения значительного числа примеров. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирования x новой переменной t свести данный интеграл


∫ f (x)dx к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется иным способом. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

∫ f (x)d x

Пусть требуется найти интеграл . Сделаем замену переменной в подынтегральном x = ϕ (t ) ϕ (t ) выражении, положив , где –непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную

ϕ ′(t ) , а dx = ϕ ′(t )dt . Покажем, что имеет место равенство

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ (t))ϕ ′(t)dt .

(6.14) Это соотношение называется формулой замены переменной. Чтобы установить справедливость этой формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей совпадают. Согласно (16.3), дифференциал левой части

d ∫ f ( x)dx = f ( x)d x = f (ϕ (t ))ϕ ′(t )d t

, dx где вместо и подставлены их выражения через переменную t . Дифференциал правой части, согласно тому же свойству, равен

x

d ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )d t = f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt

.

Тем самым справедливость формулы (16.14) доказана. Допустим, что интеграл, стоящий в правой части формулы (6.14), найден, т.е.

∫ f (ϕ (t))ϕ ′(t)dt = Φ(t) + C .

Для нахождения искомого интеграла в виде функций от x , необходимо разрешить уравнение x =ϕ(t ) относительно t , т.е. найти обратную функцию∗ t = g ( x) , и подставить ее в Φ(t ) :

∫ f (x)dx =∫ f (ϕ (t))ϕ ′(t)dt = Φ(t) + C = Φ(g (x)) + C .

(6.15)

Применим этот метод для нахождения второго интеграла вида (6.13). I =∫

3x −1

2 x 2 − 5x +1

dx

Пример 15. Найти . ○ Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим

2 x2 − 5x + 1 = 2(( x − 5 4)2 −17 16) . Положим t = x −5 4 ⇒ x = t + 5 4 , тогда dx = dt . Следовательно, 3(t + 5 4) − 1 I= 1 ∫ 2 dt = 3 ∫ 2 t dt + 11 ∫ 2 dt =| ÒÈ : 2 2 t − 17 16 4 2 t − 17 16 t − 17 16 23; 22|= 3 t 2 −17 16 + 11 ln t + t 2 −17 16 + C = 3 x 2 − (5 2) x + 1 2 + 2 4 2 2 2 11 + ln x − 5 4 + x − (5 2) x + 1 2 + C 4 2 .● Интегралы вида

∫ (mx + n)

dx ax 2 + bx + c (i = 1, 2)

i

(6.16.) сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки mx + n =1 t .

dx x x − 2x − 1 . Пример 16. Найти 2 ○ Положим x = 1 t ⇒ t = 1 x , тогда dx = − dt t . Следовательно, I =∫

2

Существование обратной функции вытекает из монотонности и непрерывности функции x = ϕ (t ) .


− dt t 2 dt dt I =∫ = −∫ = −∫ =| (16.9); ÒÈ : 21|= 2 2 1 t 1 t − 2 t −1 1 − 2t − t 2 − (t + 1) 2 = − arcsi n t + 1 + C = − arcsi n 1 + x + C 2 x 2 .● Пример 17. Найти

I = ∫ x 3 x + 1 dx

.

○ Положим x = t − 1 ⇒ t = x + 1 , тогда dx = 3t dt . Следовательно, 3

2

3

I = ∫ (t 3 − 1) ×t ×3t 2dt = 3∫ (t 6 − t 3)dt = 3 ( t 7 7 − t 4 4 ) + C =

= 3 ( (( x + 1) 2 3 x + 1) 7 − (( x + 1) 3 x + 1) 4 ) + C = 3( x + 1) 3 x + 1 ( ( x + 1) 7 − − 1 4 ) + C = 3( x + 1)(4 x − 3) 3 x + 1 28 + C . ● При замене переменной в неопределенном интеграле часто оказывается проще задавать не как функцию от t , а, наоборот, задавать t как функцию от x . Так, если интеграл имеет вид

∫ f (ϕ ( x))ϕ′( x)dx ,

x,

то его можно упростить с помощью

′ подстановки t = ϕ ( x) , dt = ϕ (t )dt и найти интеграл аналогично (6.15), т.е. ∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x)d x = ∫ f (t)dt = Φ(t) + C = Φ(ϕ (x)) + C

. (6.17)

x2

I = ∫ 2 xe 2dx 2 1+ e x . Пример 18. Найти 2 ○ Обозначим x = t , тогда dt = 2 xdx . Следовательно,

t

t d (e ) t x2 I = ∫ e dt2t =∫ = | ÒÈ : 17 | = arct g e + C = arct g e +C 1+ e 1 + (et ) 2 . ●

I =∫

ln 3 x dx x .

Пример 19. Найти ○ Обозначим ln x = t , тогда dt = dx x . Следовательно,

I = ∫ t 3d t = t 4 4 + C = ln 4 x 4 + C

. ●

I = ∫ s i n 2 x2 dx 4 + si n x . Пример 20. Найти 2 ○ Обозначим s i n x = t , тогда dt = 2 si n x cos xdx =| ÑÐ: (7.9) |=

= sin 2 xdx .

Следовательно,

I = ∫ dt = | (16.9); ÒÈ : 2 | = ln 4 + t + C = ln 4 + si n 2 x + C 4+t .● Общих методов подбора подстановок не существует и удачный ее выбор обычно сопряжен с известными трудностями. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы. Метод интегрирования по частям. Этот метод следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Пусть u = u( x) и v = v( x) – функции, непрерывно дифференцируемые на некотором

интервале. Из дифференциального исчисления известно, что d (uv) = udv + vdu , откуда udv = d (uv ) − vdu . Интегрируя обе части последнего равенства, получим

∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu или ∫ udv = uv − ∫ vdu .

(6.18) (постоянную С мы присоединили к той постоянной, которая получится от второго интеграла).


Формула (16.18) называется формулой интегрирования по частям, а интегрирование с ее помощью – интегрированием по частям. Для применения формулы (16.18) подынтегральное выражения следует разбить на два множителя u и dv ( это, как правило, можно осуществить несколькими способами). Затем дифференцированием находится du и интегрированием – функция v , причем при нахождении v достаточно найти какую-нибудь одну из первообразных функций, опустив постоянную интегрирования. 2x Пример 21. Найти I = ∫ xe dx .

u = x, dv = e 2xdx . du = dx , ○ Положим Тогда а 2x = | (16.9); ÒÈ : 4 | = e 2 . Подставляя найденные выражения в (6.18), получим

∫ xe dx = 12 xe I = ∫ ln x dx . 2x

Пример 22. Найти

I = u = ln x dv = dx ○

⇒ ⇒

2x

v = ∫ e2xdx =

− 1 ∫ e 2 xdx = 1 xe 2 x − 1 e 2 x + C 2 2 4 . ●

du = dx x = x ln x − x dx = x ln x − x + C ∫ x v=x .●

В отдельных случаях формулу (16.18) приходится использовать несколько раз. Пример 23. Найти

I = ∫ (ax 2 + bx + c) cos α x dx

.

2 I = u = ax + bx + c ⇒ du = (2ax + b)dx = ax + bx + c si n α x − dv = cos α x dx ⇒ v = si n α x α α ○ ⇒ du = 2adx − 1 ∫ (2ax + b) si n α x dx = u = 2ax + b = dv = s i n α x dx ⇒ v = − cos α x α α 2 = ax + bx + c s i n α x − 1 − 2ax + b cos α x + 2a ∫ cos α x dx = α α α α 2 = ax + bx + c s i n α x + 2ax 2+ b cos α x − 2 a3 s i n α x + C α α α . ● (6.20) 2

(

)

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно находить с помощью формулы (16.18) 1. Интегралы вида

∫ P ( x)e n

kx

dx

,

∫ P (x) si n kx d x , ∫ P (x) cos kx dx , n

n

(6.21)

где Pn ( x) – многочлен, а k – некоторое число. Интегралы этих типов берутся по частям, если за u принять многочлен Pn (x ) , а за dv – остальную часть подынтегрального выражения. Тогда решение сведется к нахождению интеграла такого же типа, но его подынтегральное выражение содержит многочлен, степень которого на единицу меньше. Следовательно, n -кратное применение (16.18) приведет решение к нахождению табличного интеграла (Примеры: 21, 23). 2. Интегралы вида

∫ P (x) ln x d x , ∫ P (x) arcsi n x dx , ∫ P (x) arcco s x dx , ∫ P (x)arct g x dx , ∫ P (x)arcct g x dx . (6.22) n

n

n

n

n

В этих интегралах удобно положить dv = Pn ( x)dx ,а за u обозначить остальные сомножители (Пример 22). Пример 24. Найти

I = ∫ arcsi n x dx

.


2 I = u = arcsi n x ⇒ du = dx 1 − x = x arcs i n x − ∫ xdx 2 = dv = dx ⇒ v=x 1− x ○ = x arcsi n x + 1 − x 2 + C . ●

Интеграл вида

∫ Pn ( x) ln

где m ∈ N , m > 1 .

m

xdx

,

(6.23)

Он выражается через элементарные функции, если последовательно применять формулу

i (16.18), полагая u = ln x , i = m, m − 1, ..., 1 , а dv = Pn ( x)dx .

Пример 25. Найти

I = ∫ x ln 2 x d x

.

⇒ du = 2 ln xdx x = x 2 ln 2 x − x 2 2 ln x dx = I = u = ln x ∫2 x 2 dv = xdx ⇒ v = x2 2 ○ 2 2 u = ln x ⇒ du = dx x = x ln 2 x − ∫ x ln xdx = = x ln 2 x − 2 dv = xdx ⇒ v = x 2 2 2 − x 2 ln x 2 − 1 ∫ xdx = x 2 ln 2 x 2 − x 2 ln x 2 + x 2 4 + C 2 . ● 2

(

)

3. Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.

I = ∫ a 2 − x 2dx

Пример 26. Найти . ○ Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на

a2 − x2 . I =∫

a2 − x2 2

a −x

2

dx = a 2 ∫

dx 2

a −x

2

−∫x

xdx a2 − x2 .

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

∫x

u=x ⇒ du = dx 2 2 xdx = 2 2 = −x a − x + a 2 − x 2dx xdx ∫ 2 2 dv = ⇒ v = − a − x a −x a2 − x2

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

I = a 2 arcsi n x + x a 2 − x 2 − I a .

Решая это уравнение относительно I , окончательно получим

a 2 − x 2dx = a 2 2 arcsi n x a + x a 2 − x 2 2 + C

.●

(6.24)

Аналогично находим

x 2 ± a 2dx = x x 2 ± a 2 2 ± a 2 ln | x + x 2 ± a 2 | 2 + C

Пример 27. Найти

I = ∫ e ax cos bx dx

. (6.25)

.

⇒ du = ae dx = e ax si n bx − a e ax si n bx dx = I = u=e dv = cos bxdx ⇒ v = si n bx b b b∫ ○ ax ⇒ du = aeaxdx = eax sin bx − a − eax cos bx + a eax cos bxdx = u =e dv = sin bxdx ⇒ v = − cos bx b b b b b∫ . ax

ax

(

Таким образом, получаем уравнение

)


2 I = b s i n bx +2a cos bx e ax − a 2 I b b ,

откуда I = ∫ e ax cos bxdx =

b sin bx + a cos bx 2

a +b

2

e ax + C

. ●

(6.26)

Аналогично находим

I = ∫ e ax s i n bxdx = a si n bx2 − b 2cos bx e ax + C a +b .

(6.27) Часто интегрирование по частям приводит к рекуррентной формуле, т.е. формуле, позволяющей последовательно вычислять интегралы, исходя из известного начального интеграла.

Ik = ∫

dx ( x + a 2 )k . 2

Пример 28. Найти ○ Произведем над подынтегральной функцией следующие тождественные преобразования:

( x2 + a2 ) − x2 1 1 dx 1 x2dx Ik = 2 ∫ dx = − a ( x 2 + a 2 )k a 2 ∫ ( x2 + a 2 )k −1 a 2 ∫ ( x 2 + a 2 )k . К последнему интегралу применим формулу (6.18)

u=x ⇒ du = dx xdx 1 = v=− ∫ x ( x2 + a2)k = dv = (x2xdx 2 k ⇒ 2 2 k −1 +a ) 2(k − 1)( x + a ) x 1 dx =− 2 2 k −1 + 2 ∫ 2(k −1) ( x + a 2 )k −1 2(k −1)( x + a ) .

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

x 1 I = I k = 12 I k −1 − 12  − 2 2 k −1 + 2(k − 1) k −1 ÷ a a  2(k − 1)( x + a )  x 2k − 3 I = 2 2 2 k −1 + 2a (k − 1)( x + a ) 2a 2 (k − 1) k −1 где

I k −1 = ∫

(6.28)

dx ( x2 + a2 )k −1 .

Таким образом, зная интеграл I k −1 , по рекуррентной формуле (6.28) можно найти интеграл I k . Например, при k = 2 имеем

I2 = ∫ +C . ●

dx x 1 dx = x 1 arctg x + 2 2 = 2 2 2 + 2 ∫ 2 2 2 2 2 + a ( x + a ) 2a ( x + a ) 2a x + a 2a ( x + a ) 2a3 2

(6.29)

Для интегралов вида

I = ∫ xneax cos bx dx

I = ∫ xneax sin bx dx

и , где n ∈ N , также можно получить рекуррентные формулы, позволяющие понижать степень x и тем самым позволяющие в конечном итоге свести интегрирование к ТИ: 27; 28. Действительно, интегрируя по частям и используя ТИ: 27; 28, получим

eax (b sin bx + a cos bx) I =∫{ x e1 44 cos − 2nb 2 ∫ x n−1eax sin bx dx − 2 2 2 bx 4 4dx 3 =x a +b a +b u dv − 2na 2 ∫ xn−1eax cos bx dx a +b , n

ax

n


eax (a sin bx − b cos bx) I =∫{ x e1 4sin dx = x − 2na 2 ∫ x n−1eax sin bx dx + 2 2 4 2 bx 4 43 a +b a +b u dv + 2nb 2 ∫ xn−1eax cos bx dx a +b . n

ax

n

При применении к формулам (6.24) – (6.28) свойства 6.5º, получим ТИ: 25 ÷ 29. Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования.

I = ∫ x3e x dx 2

Пример 29. Найти . ○ Обозначим х2 = t, тогда dt = 2x dx. Следовательно,

2 2 u =t ⇒ du = dt 1 t I = 1 ∫ tet dt = = (te − ∫ et dt ) = 1 ( x 2e x − e x ) + C t t dv = e dt ⇒ v = e 2 2 2 . ●

Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования. 6.3. Понятие рациональных дробей. Самые простые рациональные дроби. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных дробей. Некоторые сведения о многочленах. Многочленом функцией) называется выражение вида

n -й

степени (или целой рациональной

P n ( x) = a0 x n + a1x n−1 + ... + an−1x + an ,

(6.30)

где n ∈ N – степень многочлена, ak (k = 0, 1, ..., n) – постоянные коэффициенты действительные, или комплексные. Корнем многочлена (16.30) называется число α (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль, т.е. Pn (α ) = 0 . Теорема Безу∗ 16.2. Число x1 является корнем многочлена (16.30) тогда и только тогда, когда многочлен Pn ( x) делится без остатка на x − x1 , т.е. Pn ( x) = ( x − x1 ) Pn −1 ( x ) ,

(6.31)

где Pn−1( x) – многочлен степени n −1 . Теорема Гаусса 16.3. (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен Pn ( x) степени n ≥ 1 имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Примем эту теорему без доказательства. На основании этой теоремы можно доказать следующую теорему. Теорема 16.4. Всякий многочлен Pn ( x) степени n может быть представлен в виде

произведения n линейных множителей вида x − xk и коэффициента a0 при старшей степени

Pn ( x) = a0 ( x − x1)( x − x2 )...( x − xn ) .

x , т.е.

(6.32)

□ Действительно, по теореме 16.3 многочлен (16.30) имеет хотя бы один корень, например, x1 . Тогда по теореме 16.2 имеет место соотношение (16.31). А так как Pn−1( x) – также многочлен, то он имеет корень, например, x2 . Тогда

Pn−1( x) = ( x − x1)( x − x2 )Pn−2 ( x) .

Продолжая этот процесс, получим 16.32.  

Этьен Безу (1730 – 1783) – французский математик.


Если среди корней многочлена x1 , x2 , …, xn какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k . При k = 1 корень называется простым. Собирая вместе множители, соответствующие одинаковым корням, разложение (16.32) можно записать в виде:

Pn ( x) = a0 ( x − x1)k1 ( x − x2 )k2 ...( x − xm ) ,

где все корни x1 , x2 , …, xm различны и k1 + k 2 + ... + km = n .

(6.33)

Так, например, многочлен P7 ( x) = 3( x + 2) ( x − 1) ( x − 4) имеет следующие корни: x1 = − 2 – 4

2

кратности 4; x2 = 1 – кратности 2; x3 = 4 – простой корень. Из формулы (16.33) следует, что всякий многочлен n -й степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Теорема 16.5. Два многочлена вида (16.30) тождественно равны тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого. Теорема 16.6. Если многочлен Pn ( x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a ± bi кратности k , то сопряженное комплексное число a − bi также является корнем многочлена той же кратности. Перемножим эти два множителя, соответствующие сопряженным корням:

( x − (a + ib))k ( x − (a − ib))k = ((( x − a) − ib)(( x − a) + ib))k = (( x − a) 2 + b 2) k = = ( x2 − 2ax + a 2 + b 2 )k = ( x 2 + px + q)k , где p = − 2a , q = a + b . Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами. На основании вышеизложенного всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме: 2

2

Pn ( x) = a0 ( x − x1)k1 ( x − x2 )k2...( x − xs )ks )( x 2 + p1x + q1)l1...( x 2 + pm x + qm )lm ,(6.34)

где k1 + k 2 + ... + ks + 2(l1 + l 2 + ... + lm ) = n . В этом разложении линейные множители соответствуют действительным корням, а квадратные трехчлены – комплексным корням многочлена. Рациональные функции. Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции (или рациональные дроби), т.е. функции вида

f ( x) =

Qm ( x) Pn ( x) ,

где Qm ( x) и Pn ( x) – многочлены соответственно то дробь (16.35) называется правильной (неправильной). Например,

дроби

x2 − 3 x3 − 2 x 2 − x + 2 ,

3x + 4 3 x + x2 − 2

(6.35)

m -й и n -й степени. Если m < n (m ≥ n) , – правильные,

а

дроби

x2 + x −1 x2 + 6x − 7 ,

x + 2x + 2x + x + 5 x2 + 1 – неправильные. 5

3

2

Каждая неправильная дробь, путем деления числителя на знаменатель (СР: 1.4), может быть представлена в виде Qm ( x) R ( x) = S m − n ( x) + l Pn ( x) Pn ( x) , (6.36) где Sm −n ( x) – целая часть дроби, называемая частным, а Rl ( x) – остаток этой дроби (l < n) . Пример 30. Представить в виде (16.36) приведенную выше неправильную дробь.


○ Разделив числитель на знаменатель по правилу “деления углом” (СР: 1.4), получим

x 5 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 5 x5 + x3 x3 + 2 x 2 + x + 5 x3 +x 2 2x + 5 2 x2 + 2

x2 + 1 x3 + x + 2

3

Следовательно,

x5 + 2 x 3 + 2 x 2 + x + 5 = x3 + x + 2 + 3 x2 + 1 x2 + 1 . ● Согласно соотношению (6.36), интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена Sm −n ( x) и правильной рациональной дроби Rl ( x) Pn ( x) :

∫ P (x) dx = ∫ ( S Qm ( x) n

m− n

( x) +

)

Rl ( x) R ( x) dx = ∫ Sm− n ( x)dx + ∫ l dx Pn ( x) Pn ( x) .

Поэтому в дальнейшем будем считать, что дробь (16.35) – правильная. Среди правильных дробей различают четыре типа так называемых простейших дробей:

A x − a; 1. Mx + N 2 3. x + px + q ;

A k 2. ( x − a) , k ≥ 2 ; Mx + N 2 k 4. ( x + px + q) , k ≥ 2 ,

6.37

где A, M , N , a, p, q – действительные числа, k ∈ N , а трехчлен x + px + q не имеет 2

2 p 4−q < 0. действительных корней, т.е.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема. Теорема 16.7. Всякую правильную рациональную дробь (16.35) со знаменателем, представленным в виде (16.34), можно единственным образом представить в виде следующей суммы простейших дробей типа 1 ÷ 4:

Ak1 Bk2 Qm ( x) A A2 B1 B2 = 1 + + ... + + + + ... + + ... + Pm ( x) x − x1 ( x − x1)2 ( x − x1)k1 x − x2 ( x − x2 )2 ( x − x2 )k2 + +

Eks E1 E2 C1x + D1 C x + D2 + + ... + + 2 2 + ... + 2 ks + 2 x − xs ( x − xs ) ( x − xs ) x + p1x + q1 ( x + p1x + q1)2

M lm x + Nlm Cl1 x + Dl1 M1x + N1 M 2x + N2 + ... + + + ... + + x2 + pm x + qm ( x 2 + pm x + qm )2 ( x2 + p1x + q1)l1 ( x2 + pm x + qm )lm , (6.38)

где A1, A2, ..., B1, B2, ..., E1, E2, ..., C1, D1, ..., M 1, N1, ... – некоторые действительные числа, называемые коэффициентами разложения. Проиллюстрируем формулу (16.38) конкретными примерами. Пример 31. Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей, не находя коэффициентов разложения:

x2 − 3 3 2 1) x − 2 x − x + 2 ; 8x3 − 10 x2 − 30 x + 19 2 2 3) ( x − 2) ( x + 4 x + 5) ;

3x + 4 2 2) x + x − 2 ; 2 x3 − 18x + 1 2 2 4) ( x + 4 x + 5) . 3


○ 1) Разложим знаменатель рациональной дроби на множители

x3 − 2x2 − x + 2 = x( x2 − 1) − 2( x2 − 1) = ( x + 1)( x − 1)( x − 2) . x2 − 3 = A + B + C 3 2 x − 2x − x + 2 x + 1 x − 1 x − 2 . 3 2 3 2 2 2) x + x − 2 = ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1)( x + x + 1) + ( x − 1)( x + 1) = = ( x − 1)( x2 + 2 x + 2) . 3x + 4 = A + Bx + C x + x2 − 2 x − 1 x2 + 2x + 2 . 8x3 − 10 x2 − 30 x + 19 = A + B + Cx + D 2 2 x − 2 ( x − 2)2 x 2 + 4 x + 5 3) ( x − 2) ( x + 4 x + 5) . 3 2 x − 18x + 1 = Ax + B + Cx + D 2 2 x2 + 4 x + 5 ( x2 + 4 x + 5)2 . ● 4) ( x + 4 x + 5) 3

Найдем неопределенные интегралы от простейших дробей (6.37). 1.

∫ x −A a dx = ∫ (x −Aa)

k

(16.9); ÒÈ : 2 = ln x − a + C

.

1 dx = (16.9); ÒÈ : 1 = A +C 1 − k ( x − a)k −1

2. . 3. Процесс нахождения интеграла этого типа показан в примере 13. 4. При нахождении интеграла этого типа используется (16.9) и ТИ: 1; 17 ÷ 20; 29 (пример 33 5)). Поскольку интегралы от простейших дробей – элементарные функции, то отсюда вытекает следующий вывод: интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции. Методы нахождения коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби. Приведем два наиболее употребляемых метода нахождения неопределенных коэффициентов

A1, A2, ..., B1, B2, ... в равенстве (6.38). Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода такова: а) Знаменатель Pn ( x) данной дроби раскладываем на множители, т.е. приводим к виду (16.34). б) Правильную дробь (6.35) разлагаем на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами по формуле (6.38). в) В правой части равенства (16.38) простейшие дроби приведем к общему знаменателю Pn (x )

; в результате получим тождество Qm ( x) Pn ( x) = Sn −1( x) Pn ( x) , где Sn−1( x) – многочлен с неопределенными коэффициентами. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.

Qm ( x) = Sn−1( x) .

(6.39) г) Используя известный в алгебре факт, что два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов. д) Записываем дробь (6.35) в виде линейной комбинации простейших дробей по формуле (6.38) с найденными значениями неопределенных коэффициентов. Метод частных значений. Если в тождестве (6.39) придать x конкретные различные значения столько раз, сколько неизвестных коэффициентов, то получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой определим неизвестные коэффициенты. Это особенно удобно, когда знаменатель Pn (x ) правильной рациональной дроби имеет только действительные простые корни.


На практике часто комбинируют оба рассмотренных выше метода. Пример 32. Представить в виде суммы простейших дробей рациональные дроби примера 31. ○ Ко всем дробям применим приведенную выше схему разложения дроби на простейшие, начиная с в). 2

1) в) x − 3 = A( x −1)( x − 2) + B ( x +1)( x − 2) + C ( x +1)( x −1) . г) Здесь удобно применить метод частных значений. Подставляя в последнее выражение корни знаменателя дроби, получим

x = −1 : − 2 = A(− 2)(− 3) ⇒ A = − 1 3 ; x = 1 : − 2 = B ⋅ 2(−1) ⇒ B = 1 ; ⇒ C =1 3 . x =2: 1= C ⋅3

x2 − 3 =− 1 + 1 + 1 3 2 3( x + 1) x − 1 3( x − 2) . д) x − 2 x − x + 2 2

2) в) 3 x + 4 = A( x + 2 x + 2) + ( Bx + C )( x − 1) г) В начале применим метод частных значений, подставив в последнее выражение корень знаменателя, получим

x = 1 : 7 = A ×5 ⇒ A = 7 5 . Подставим найденное А в это выражение и выполним тождественные преобразования

−(7 5) x2 + (1 5) x + (6 5) = Bx2 + (C − B) x − C Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях определения B и C .

B = − 7 5,   C − B =1 5, =6 5 B = − 7 5,  −C ⇒ 3x + 4 = 7 − 7x + 6 3 2 2 5( x − 1) 5( x + 2 x + 2) . д) x + x − 2

x,

получим систему уравнений для

C = − 6 5.

3) в) 8x − 10 x − 30 x + 19 = A( x − 2)( x + 4 x + 5) + B( x + 4 x + 5) + 3

2

2

2

+( x − 2)2 (Cx + D) . г) x = 2 : − 17 = B ×17 ⇒ B = − 1 . 8x3 − 9x2 − 26x + 24 = ( A + C ) x3 + (2 A − 4C + D) x 2 + (− 3A + 4C − 4D) x + +(− 10 A + 4D) . A +C = 8,   2 A − 4C + D = − 9,  − 3A + 4C − 4D = − 26  − 10 A + 4D = 24 A = 2,  ⇒ 8x3 − 10 x2 − 30 x + 19 = 2 − 1 + 6 x + 11 2 2 x − 2 ( x − 2)2 x 2 + 4 x + 5 д) ( x − 2) ( x + 4 x + 5) . 3 2 4) в) 2 x − 18x + 1 = ( Ax + B)( x + 4 x + 5) + Cx + D

C = 6,

г) 2 x − 18x + 1 = Ax + (4 A + B) x + (5 A + 4B + C ) x + 5B + D . 3

3

= 2,  A 4 A + B = 0, 5 A + 4B + C = − 18,  5B + D =1 

2

A = 2,

B = − 8,

C = 4,

D = 41.

D = 11.


2x3 − 18x + 1 = 2x − 8 + 4 x + 41 2 2 x2 + 4 x + 5 ( x2 + 4 x + 5)2 . ● д) ( x + 4 x + 5) Интегрирование рациональных дробей. Все вышеизложенное позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей. 1. Если рациональная дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (6.36). 2. Разлагаем знаменатель правильной дроби на множители и представляем ее в виде суммы простейших дробей. 3. Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей. Пример 33. Найти интегралы от рациональных дробей примеров 30 ÷ 32.

)

(

x5 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 5dx = x3 + x + 2 + 3 dx = ∫ x3dx + 2 2 ∫ ∫ x +1 x +1 ○ 1) +∫ xdx + 2∫ dx + 3∫ 2dx = x 4 4 + x2 2 + 2 x + 3arctg x + C x +1 . 2 ( x − 3) dx =∫ − 1 + 1 + 1 dx =| (16.9);ÒÈ :2 |= 3 2 ∫ 3( x + 1) x − 1 3( x − 2) 2) x − 2 x − x + 2

)

(

= − ln | x + 1| 3 + ln | x − 1| + ln | x − 2 | 3 + C .

3)

I =∫

(3x + 4)dx  7 (7 x + 6)dx = ∫ − 27 x + 6 ÷dx = 7 ∫ dx − 1 ∫ 2 3 2 5 x −1 5 x + 2x + 2 x + x − 2  5( x −1) 5( x + 2 x + 2)  .

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене x + 2 x + 2 = подстановку t = x + 1 . Тогда x = t − 1 , dx = dt и 2

= ( x + 1)2 + 1 . Сделаем

− ∫ dt =| ÒÈ :19;17 |= 7 ln | t ∫ ( x7+x1)+ 6+ 1 dx = ∫ 7t t +−11 dt = 7∫ tt dt +1 t +1 2

2

2

2

2

+ 1| 2 −

−arctg t + C = 7 ln | x2 + 2 x + 2 | 2 − arctg ( x + 1) + C . I = 7 ln x − 1 5 − 7 ln | x 2 + 2 x + 2 | 10 + arctg ( x + 1) 5 + C . 3 2 I = ∫ 8x − 102x 2− 30 x + 19 dx = (16.7) = 2∫ dx − ∫ dx 2 + x−2 ( x − 2) ( x + 4 x + 5) ( x − 2) 4) +∫ 26 x + 11 dx. x + 4x + 5 t = x+2 6 x + 11 dx = x = t − 2 = 6t − 1 dt =6 tdt − dt =3 ln | t 2 + 1| − ∫ (x + 2)2 + 1 ∫ t2 + 1 ∫ t2 + 1 ∫ t2 + 1 dx = dt −arctg t + C = 3 ln | x 2 + 4 x + 5 | −arctg ( x + 2) + C .

I = 2 ln | x − 2 | + 1 ( x − 2) + 3 ln | x 2 + 4 x + 5 | −arctg ( x + 2) + C . 3 I = ∫ 2 x2 − 18x + 12 dx = | (16.7) |= ∫ 2 2 x − 8 dx + ∫ 24 x + 41 2dx ( x + 4 x + 5) x + 4x + 5 ( x + 4 x + 5) 5) . t = x+2 2 x − 8 dx = x = t − 2 = 2t − 12 dt = 2 tdt − 12 dt = ∫ ( x + 2)2 + 1 ∫ t2 + 1 ∫ t2 +1 ∫ t2 + 1 dx = dt = ln | t 2 + 1| − 12arctg t + C = ln | x2 + 4 x + 5 | − 12arctg ( x + 2) + C .


t = x+2 4 x + 41 dx = x = t − 2 = 4t + 33 dt = 4 tdt + 33 dt = 2 2 2 2 2 ∫ ((x + 2)2 + 1)2 ∫ ∫ ∫ ( t + 1) ( t + 1) ( t + 1)2 dx = dt d (t 2 + 1) dt =| ÒÈ :1; 29 |= − 2 + 33(t 2(t 2 + 1) + = 2∫ 2 2 + 33∫ 2 (t + 1) (t + 1)2 t2 + 1 + arctg t 2) + C = − 2 2 + 33 2 x + 2 + 33 arctg ( x + 2) + C x + 4x + 5 2 x + 4x + 5 2 . I = ln | x2 + 4 x + 5 | − 12arctg ( x + 2) − 2 2 + 33 2 x + 2 + x + 4x + 5 2 x + 4x + 5 x + 62 − 9 arctg ( x + 2) + + 33 arctg ( x + 2) + C = ln x 2 + 4 x + 5 + 33 2 2 2( x + 4 x + 5) 2 +C . ● 6.4. Интегрирование иррациональных и трегонометрических функций

∫ f (x)dx

Понятие о методе рационализации. Если для интеграла , где подынтегральная f ( x ) функция не является рациональной, можно указать такую подстановку, которая приводит его к виду

∫ g (t)dt , где

g (t ) – рациональная функция, то последний интеграл, а значит, и интеграл

∫ f (x)dx , выражается в элементарных функциях. Применение f ( x)dx интеграла ∫ называют методом рационализации.

такой подстановки для взятия

2x x I = ∫ 2e x + e dx e +1 Например, в интеграле подынтегральная функция не является x x 2 рациональной. Применим подстановку t = e , откуда e = t , x = 2 ln t , dx = 2 dt t . Тогда 4 3 I = 2∫ 2t2 + t dt = = 2 2t2 + 1 dt ∫ t + 1 , т.е. данный интеграл преобразован в интеграл от (t + 1) получим

рациональной функции.

Для обозначения рациональной функции будем использовать букву R (например, R( x) ). Ранее были рассмотрены рациональные функции одного аргумента x . Наряду с такими функциями, рассмотрим рациональные функции двух, трех и большего числа переменных, т.е. таких, над аргументами которых производятся только рациональные действия (сложение, вычитание,

2 2 умножение и деление). Например, R(u, v) = = (2uv − 3u v + 5) (3u − 4u −1) – рациональная функция двух аргументов.

Заметим, что если R(u, v) – рациональная функция, а

u

и

v

в свою очередь – рациональные

функции от t , т.е. u = ϕ (t ) , v = g (t ) , то сложная функция R(u, v) = R(ϕ (t ), g (t )) также рациональна. В частности, сума, разность, произведение и частное рациональных функций являются функциями рациональными. Данная функция может не быть рациональной относительно ее аргументов, но заменой переменной ее иногда можно привести к рациональному виду относительно новых переменных. Например, функция

f ( x) =

x + 3 ( x2 + 5)2 − 4 ( x − 3)3 x3(2 − 5 x + 7)

3 4 не является рациональной; если положить u = ( x + 5) , v = ( x − 3) 2

2

3

5 и w = x + 7 , то


получим

рациональную

R( x, u, v, w) .

функцию

Функция

f ( x) = (sin x − 2 cos x) (cos x − 3 sin x + 5) является рациональной относительно sin x и cos x : f ( x) = R(sin x; cos x) . 2

3

Интегралы вида

3

∫ R(sin x; cos x) dx . Покажем, что любой интеграл такого вида с помощью

подстановки t = tg ( x 2) , которая называется универсальной, приводится к интегралу от рациональной функции t . В самом деле, применяя известные в тригонометрии формулы СР: (7.28); (7.29) и ТП: 24, имеем 2 sin x = 2t 2 cos x = 1 − t 2 1+ t ; 1+ t ; так как x = 2arctg t .

dx = 2dt2 1+ t ,

Подставляя в подынтегральное выражение вместо sin x , получим

∫ R(sin x; cos x) dx = ∫ R

(

(6.40)

cos x

и dx их значения через t ,

)

2t ; 1 − t 2 2dt = R (t )dt 1 + t2 1 + t2 1 + t2 ∫ 1 ,

где R1 (t ) – рациональная функция от t . Интегралы вида

∫ a sin x +dx b cos x + c

(6.41)

целесообразно находить с помощью универсальной подстановки.

dx 9 + 8 cos x + sin x . Пример 34. Найти ○ Используя подстановку t = tg ( x 2) , с учетом соотношений (16.40), получим I =∫

2dt = 2∫ 2 dt = 2 2 (t + 1) ( 9 + 8(1 − t ) (1 + t ) + 2t (1 + t ) ) t + 2t + 17 tg ( x 2) + 1 dt = 2∫ = 1 arctg t + 1 + C = 1 arctg +C 2 4 2 4 (t + 1) + 16 2

I =∫

2

2

∫ R(sin x;

. ●

cos x) dx

Хотя подстановка t = tg ( x 2) интеграл всегда приводит к интегралу от рациональной функции, но очень часто это ведет к слишком громоздким преобразованиям. Поэтому во многих случаях целесообразно пользоваться другими методами нахождения этого интеграла. В частности, удобны следующие правила: R (sin x; cos x ) sin x , 1) Если функция нечетна относительно т.е.

R(− sin x; cos x) = −R(sin x; cos x) , то удобна подстановка t = cos x ; R(sin x; cos x) cos x , 2) Если функция нечетна относительно т.е. R(sin x; − cos x) = −R(sin x; cos x) , то рекомендуется применять подстановку t = sin x ; R (sin x; cos x ) cos x , т.е. sin x 3) Если функция четна относительно и R(− sin x; − cos x) = R(sin x; cos x) , то вводим подстановку t = tg x . Часто подынтегральную функцию R (sin x; cos x ) можно представить в виде R1 ( tg x) . В этом

случае также используется подстановка t = tg x , для которой x = arctg t ; dx = dt (1 + t ) . Подстановку t = tg x целесообразно применять к интегралам вида 2

∫ a sin

2

dx x + b sin x ×cos x + c cos2 x .

(6.42)


Пример 35. Найти ○

I =∫

I =∫

dx 1 + cos2 x .

t = tg x dx dx =∫ = = 2 2 2 dt = dx cos2 x sin x + 2 cos x (tg x + 2) cos x 2

tg x = ∫ 2dt = ÒÈ : 17 = 1 arctg t + C = 1 arctg +C 2 2 2 2 t +2 . ● m n I = ∫ sin x cos x dx

Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы: 1) Если n = 2k + 1∈ N , то полагая t = sin x , cos xdx = dt , получим

I = ∫ sin m x ×cos2k x ×cos xdx = ∫ sin m x(1 − sin 2 x)k cos xdx = ∫ t m (1 − t 2 )k dt

.

Последний интеграл находим методом разложения. Пример 36. Найти

I = ∫ t (1 − t ) dt = ∫ (t 12

I = ∫ sin x cos5 xdx

2 2

12

− 2t

5 2

.

+ t )dt = 2t 3 2 3 − 4t 7 2 7 + 2t11 2 11 + 9 2

+C = sin x ( 2 sin x 3 − 4 sin 3 x 7 + 2 sin 5 x 11) + C

. ●

2) Если m = 2k + 1∈ N , то полагая t = cos x , − sin xdx = dt , получим

∫ sin

2k +1

x cosn xdx = ∫ sin 2k x ×cos n x ×sin xdx = −∫ (1 − t 2 )k t ndt

. Интеграл также находится методом разложения. 3) Если m + n = 0 , m и n от – целые числа, то интеграл приводится к виду

∫ tg

m

xdx

(при m > 0 ) или

∫ ctg xdx n

(при n > 0 ).

В первом случае полагаем t = tg x . Тогда, используя формулу СР: (6.16), получим m t m dt dt = dx2 = (1 + tg 2 x)dx dx = dt 2 tg xdx = ∫ t 2 +1 . ⇒ cos x 1+ t и ∫ Во втором случае полагаем t = ctg x . Тогда, используя формулу СР: (6.17), получим

dt = − dx2 = −(1 + ctg 2 x)dx sin x

n t n dt dx = − dt 2 ctg xdx = − ∫ t 2 +1 . 1+ t и ∫

Полученные интегралы, после деления многочленов по правилу “деления углом” (СР: 1.4), находим методом разложения. 5 Пример 37. Найти I = ∫ tg xdx .

(

)

5 I = ∫ 2t dt = ∫ t 3 − t + 2 t dt =| ÒÈ :1;19|= t 4 4 − t 2 2 + ln | t 2 + 1| 2 +C = t +1 t +1 ○ = tg4 x 4 − tg 2 x 2 + ln | tg 2 x + 1| 2 + C . ● 4) Если m + n = − 2k – четное отрицательное число, то интеграл приводится к виду I = ∫ tgm x dx2k I = ∫ ctg n x dx2k cos x или sin x . dx = dt 2 В первом случае полагаем t = tg x , откуда cos x и 1 dx = t m (1 + t 2 )k −1dt I = ∫ tgm x 2k − 2 cos x cos2 x ∫ . Во втором случае полагаем t = ctg x и аналогично находим, что


I = −∫ t n (1 + t 2 )k −1dt

При m = 0 или n = 0 получим интегралы

.

∫ cosdx x , ∫ sindx x . 2k

2k

I = ∫ dx4 sin x . Пример 38. Найти I = −∫ t 0 (1 + t 2 )dt = −t − t 3 3 + C = −ctg x − ctg3x 3 + C ○

. ●

5) Если m = −(2k + 1) – целое нечетное отрицательное число и подстановку t = tg ( x 2) , с учетом (16.40), получим

n = 0 , то применяя

2 2k dx = 1 (1 + t ) dt ∫ sin 2k +1 x 22k ∫ t 2k +1 .

6) Если n = −(2k + 1) – целое нечетное отрицательное число и m = 0 , то интеграл имеет вид

∫ cosdx

2k +1

x.

Его удобнее вначале преобразовать к виду 5) с помощью подстановки x = t − π 2 . Тогда

dx = dt , cos x = cos ( t − π 2) = sin t . 7) Если m и n – целые четные положительные числа (одно из чисел m или n может быть равно нулю), то интеграл целесообразно находить, используя формулы СР: (7.9); (7.18); (7.19). Пример 39. Найти

.

I = ∫ sin x ×cos x ×sin xdx = 1 4 ∫ sin 2 2x ×sin 2 xdx = 2

I = ∫ sin 4 x cos2 xdx 2

2

= 1 16 ∫ (1 − cos 4 x)(1 − cos 2 x)dx = 1 16 ∫ (1 − cos 2 x − cos 4 x +

cos 4 x cos 2 x) dx = (16.7); ÑÐ: (7.31) =1 16 ∫ dx −1 16 ∫ cos 2 xdx −

−1 16 ∫ cos 4 x dx + 1 32 ∫ (cos 2 x + cos 6 x) dx = | ÒÈ : 1; (16.9); ÒÈ : 6| = = x 16 − sin 2 x 32 − sin 4 x 64 + sin 2 x 64 + sin 6 x 192 + C = = x 16 − sin 2 x 64 − sin 4 x 64 + sin 6 x 192 + C . ●

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.

( (

I = ∫ R x; ax + b cx + d

)

p1

(

)

p

)

k ; ...; ax + b dx cx + d Интегралы вида . Рассмотрим интегралы указанного типа, где a, b, c, d – и действительные числа; p1, p2, ..., pk – рациональные числа. Пусть n – наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, т.е. pi = qi n , i = 1, k , где ax + b n qi – целые числа. Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой cx + d = t .

В самом деле,

ax + b = t n cx + d так что

n nt n −1(ad − bc) b − d t dx = dt x= n (ct n − a)2 ⇒ ct − a и ,


)

(

b − d t n ; t q1; ...; t qk dt = R (t )dt ∫ 1 , ct n − a где R1 (t ) – рациональная функция аргумента t . 3 4 I = ∫ x −1 + 6 x − 1 dx ( x −1)(1 + x −1) . Пример 40. Найти I =∫R

○ В рассматриваемом интеграле наименьшее общее кратное знаменателей дробей p1 =1 3 ,

p2 = 1 4 и p2 = 1 6 есть 12. Поэтому вводим замену Следовательно,

(

x = t12 + 1 ,

x −1 = t 12 ,

dx =12t 11dt .

)

(t 4 + t 3) t11 t + 1 dt = 12 2 dt = (ÑÐ: 1.4 ) = 12∫ t + 1 − 2 t (1 + t ) t +1 = 12 ∫ tdt + ∫ ddt − ∫ tdt − ∫ 2dt = | ÒÈ :1;19;17| = 12 ( t 2 2 + t − ln | t 2 + 1| 2 − 2 t +1 t +1 6 −arctg t ) + C = 6 x −1 + 1212 x −1 − 6ln | 6 x −1 + 1| − 12arctg 12 x −1 + C . ● I = 12∫

)

(

Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида x (a + bx ) dx , где m, n, p – m

n p

рациональные числа, а a, b – действительные числа, называется дифференциальным биномом. Рассмотрим интеграл

∫x

m

(a + bxn ) p dx

. (6.43) Как показал Чебышев П.Л., интеграл (16.43) рационализируется лишь в следующих трех случаях: k 1) если p – целое число, то применяется подстановка x = t , где k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n ;

m +1 n s 2) если n – целое число, то применяется подстановка a + bx = = t , где s – знаменатель

дроби p ;

a + bx n = t s m +1 + p xn n 3) если – целое число, то применяется подстановка , где s –

знаменатель дроби p . Во всех остальных случаях интеграл (16.43) через элементарные функции не выражается.

dx = x− 4 (1 + x2 )−1 2 dx x 1 + x2 ∫ Пример 41. Найти . ○ Здесь имеем m = − 4; n = 2; p = −1 2 . Так как (m + 1) n + p = = − 2 ∈ Z , то в I =∫

4

соответствии со случаем 3), делаем подстановку

1 + x2 = t 2 dx = − 2 tdt 2 x = 21 x2 = 21 2 (t −1) t −1 . Таким образом, ⇒ x t −1 ⇒ t −1 , I = −∫

(

)

3 (t 2 −1)2 t 2 −1tdt 2 3 1 1 + x2 + 1 + x2 + = − ( t − 1) dt = − t 3 + t + C = − ∫ 3 x2 x2 t (t 2 −1) t 2 −1 +C ●. I = ∫ R x, ax 2 + bx + c dx

(

)

Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций. Выделив под знаком радикала полный квадрат в квадратном трехчлене и сделав подстановку

t = x + b (2a) , исходный интеграл приводится к интегралу одного их следующих трех типов: 1)


∫ R ( t;

m2 − t 2 ) dt

; 2)

∫ R ( t;

m2 + t 2 ) dt

; 3)

2

∫ R ( t;

t 2 − m2 ) dt

.

2

Четвертая комбинация знаков ( −t − m ) приводит нас к подынтегральной функции, которая не существует в действительной области. Покажем, что интегралы этих трех видов с помощью соответствующих тригонометрических подстановок приводятся к интегралам вида

∫ R(sin u,

cos u) du

.

1) Применяя подстановку t = m sin u (t = m cos u) , получим dt = = m cos u du ,

∫R ( 2)

m2 − t 2 = m2 − m2 sin 2 u =| ÑÐ: (6.10) |= m cos u .

t; m2 − t 2 ) dt = ∫ R ( m sin u; m cos u ) m cos udu

Применяя

t = m tg u

подстановку

.

(t = m ctg u) ,

(6.44)

dt =

получим

= m du cos2 u = m sec2 u du , m2 + t 2 = m2 + m2tg 2u = ÑÐ: (6.16) = m cos u = m sec u .

∫R (

t; m2 + t 2 ) dt = ∫ R ( m tg u; m sec u ) m sec2 udu

. (6.45)

3) Применяя подстановку t = m sec u (t = m cosec u) , получим dt = = m tg u sec u du ,

∫R (

t 2 − m2 = m2 sec2 u − m2 =| ÑÐ: (6.16) |= m tg u . t; t 2 − m2 ) dt = ∫ R ( m sec u; m tg u ) m tg u sec u du

∫ R(sin u,

.(6.46)

cos u) du

Интегралы вида рациональных алгебраических функций. Пример 42. Найти

I =∫

, как известно, могут быть выражены через интегралы от

dx (1 + x2 )3 2 .

○ В соответствии с 2) применим подстановку x = tg t (t = arctg x) . Тогда dx = sec t dt , 2

dx = dt = cos t dt (1 + x2 )3 2 = sec3 t , (1 + x2 )3 2 sec t . Следовательно, tg t +C = x 2 +C 2 1 + tg t 1+ x ,

I = ∫ cos tdt = sin t + C = так как tg (arctg x) = x . ● Метод неопределенных

I =∫R 1.

(

x, ax + bx + c ) dx

I =∫

коэффициентов.

Вычисление

интегралов

вида

2

Pn ( x) dx ax + bx + c ; 2

часто сводится к нахождению интегралов следующих трех типов: 2.

I = ∫ Pn ( x) ax 2 + bx + c dx

I =∫

dx ( x − α ) ax 2 + bx + c , k

;

3. P (x ) где n – многочлен, k ∈ N . Покажем, что интегралы 2-го и 3-го типов могут быть сведены к интегралу 1-го типа. Действительно,

Pn ( x)(ax 2 + bx + c) P1( x) I =∫ dx =∫ dx 2 ax + bx + c ax 2 + bx + c 2.


где P1(t ) - многочлен. Для приведения интеграла 3-го типа к интегралу 1-го типа применяется подстановка

x − α = 1 t , x = (1 + α t ) t , dx = − dt t 2 . Тогда, P2 (t )dt t k dt I = −∫ = ∫ a(1 + α t )2 1 + α t a1t 2 + bt 1 + c1 t2 + b + c 2 t t 3. , где a1, b1, c1 – коэффициенты трехчлена, полученные после приведения подобных членов, P2 (t ) – многочлен. Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде

Pn ( x) dx dx = Qn−1( x) ax 2 + bx + c + λ ∫ 2 ax + bx + c ax + bx + c , (6.47) где Qn −1 ( x ) – многочлен (n − 1) -й степени с неопределенными коэффициентами, λ – также I =∫

2

неопределенный коэффициент. Для нахождения неопределенных коэффициентов применяется метод неопределенных коэффициентов (метод Остроградского М.В.∗), согласно которому дифференцируют обе части

ax2 + bx + c и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , определяют λ и коэффициенты многочлена Qn−1( x) . 2 I = ∫ 2x + 1 dx x −x+2 . Пример 43. Найти равенства (6.47), затем умножают на

○ По формуле (6.47) имеем:

x2 + 1 dx = ( Ax + B) x 2 − x + 2 + λ x2 − x + 2

dx x −x+2 . 2 Дифференцируя это равенство, затем умножая на x − x + 2 и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , определим коэффициенты A, B, λ : x2 + 1 = A x2 − x + 2 + ( Ax + B) 2x −1 + λ 2 2 2 x −x+2 2 x −x+2 x −x+2; 2 2 x + 1 = A( x − x + 2) + ( Ax + B)( x −1 2) + λ ; I =∫

2A =1,  ( − 3 2) A + B = 0,  2 A − (1 2) B + λ = 1 

A = 1 2;

2

B = 3 4;

λ =3 8 .

Следовательно,

dx I = ( 1 2 x + 3 4) x 2 − x + 2 + 3 ∫ = 2x + 3 x2 − x + 2 + 2 8 ( x −1 2) + 7 4 4

+ 3ln | x −1 2 + x2 − x + 2 | 8 + C . ● ∫ R(x; Pn (x))dx,

Интегралы вида где n > 2 , в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом, если n = 3 или n = 4 , то они называются эллиптическими, если же n > 4 , то – ультраэллиптическими. В некоторых частных случаях интегралы

∫ R ( x;

Pn ( x) ) dx

могут выражаться и через элементарные функции, они называются

псевдоэллиптическими. 

Михаил Васильевич Остроградский (1801 – 1862) – русский математик.


6.5. Использование понятия неопределенного интеграла в экономике Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла. Пример 44. Определить функциональное соотношение между количеством выпускаемой продукции и общими производственными затратами, а также средние затраты, если

MC (Q) = 0,003Q 2 − 0,2Q, а фиксированные затраты составляют 5000 у.е. ○ Интегрирование MC (Q) и прибавление к полученному результату фиксированных затрат приводит к следующей функции общих затрат:

C (Q) = ∫ MC (Q)dQ = 0,001×Q3 − 0,1×Q 2 + 5000.

Средние затраты AC (Q ) равны:

AC (Q) = C (Q) Q = 0,001Q2 − 0,1Q + 5000 Q . ● Пример 45. Найти функциональную зависимость общего и среднего доходов от единицы продукции, если известна функция маргинального дохода в зависимости от Q:

MR(Q) = 250 − 0,3Q − Q 2 40. ○ Интегрирование MR(Q) и прибавление к полученному результату C=0 (доход без производства) приводит к следующей функции общего дохода:

R(Q) = ∫ MR(Q)d Q + C = 2 50 − 0,1 5Q 2 − Q 3 12 0.

Средний доход AR (Q ) определяется как часть общего дохода, приходящегося на единицу продукции, т.е. AR(Q ) = R (Q ) Q = 250Q − 0,15Q − Q 2 120.

Зная эти три функциональные зависимости, легко найти маргинальный доход, общий доход и средний доход для конкретного уровня производства. ● Рассмотрим еще один пример применения неопределенного интеграла для определения функциональной зависимости наращивания капитального имущества. Такие зависимости применяются при анализе национальной и региональной экономики. Если формирование капитала (новые заводы, оборудование, машины и т.п.) рассматривать как непрерывный процесс, зависимый от времени, то переменная капитального имущества определяется в виде функции от времени. Зная процесс формирования капитального фонда (например, новые капиталовложения) как функции от времени, можем определить общий капитальный фонд в виде неопределенного интеграла с точностью до постоянной интегрирования C. Постоянная C определяется из начальных условий (величина общего капитального фонда в какой-то фиксированный момент времени, например, при t = 0 ). Пример 46. Найти общую сумму капитального имущества (в у.е.), если известна величина капитального блага в начальный момент времени t = 0 , которая составляет 10 млрд. у.е. и темп новых инвестиций как функция времени g (t ) = 0,6 t, где t измеряется в годах. ○ Интегрируя функцию инвестиций g(t), получим функциональное выражение величины капитала (в млрд. у.е.) как функцию времени, т.е. 4

K (t) = ∫ g (t )d t = ∫ 0,6t1 4d t = 0,6 ×4t 5 4 5 + C = 0,49 4 t 5 +1 0.

Это и есть функциональная зависимость общей суммы капитала в каждый момент времени, измеряемого в годах после начального момента. ●


7. Определенный интеграл 7.1. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм, его геометрическое содержание и основные свойства. Теорема Барроу. Теорема Ньютона-Лейбница. Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области координатной плоскости

отрезком

, заданной на отрезке , соединяющими точки оси

оси

, ограниченной на

, графиком непрерывной функции

, и двумя отрезками вертикальных прямых

и

с точками графика (см. рис.).

Рис.7.1.

Заметим, что если графиком

служит не прямая линия и не окружность, то в

школьном курсе математики не было определено, что такое площадь , так что для таких областей

заданной области

мы должны дать определение того, что такое площадь, и

это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру

мы будем в общем случае называть криволинейной

трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки

и

её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область

на узкие вертикальные полоски

, проведя вертикальные линии

; при этом мы будем считать, что Тогда область , где

где

и

. Обозначим длины отрезков между такими прямыми через . Очевидно, что площадь

, где

лежит между прямыми

области

и

-- произвольная точка отрезка

лежит в пределах от

(см. рис.), и примерно равна .

:

до ,


Рис.7.2.

Легко видеть также, что при любом выборе точек

мы получаем (7.1)

Тогда искомая площадь

приблизительно равна сумме величин

и лежит между суммой площадей

и

:

: (7.2)

Из неравенства (7.2.) следует также, что при любом выборе точек

получаем (7.3)

Если все отрезки деления имеют малые длины все разности между малого

и

7

, то в силу непрерывности функции

будут также малы. Точнее говоря, для любого, как угодно

можно найти такое

, что при

будет

при всех

Значит, разница между правой и левой частями в (7.2.) и (7.3.) будет меньше, чем Поскольку при

эта величина, очевидно, стремится к

0, то левые и правые части неравенств (3.2) и (3.3) имеют общий предел, который в силу

.


(3.2) равен

. По теореме "о двух милиционерах" величина

пределом число

-- искомую площадь области

также имеет

.

Теперь заметим, что составить сумму

мы можем не только для

положительной непрерывной функции, но для произвольной функции

, заданной на

. Разберёмся теперь с тем, от какой величины и при каком условии вычисляется упомянутый предел, то есть какова база предела. Величина

зависит, в силу своего определения, во-

первых, от выбора точек, которые делят на части отрезок , где

, то есть от набора точек

, а также от выбора промежуточных

точек, в которых вычисляются значения функции, то есть набора точек где

. Наборы

задают разбиение, а точки функции

величина

и

,

задают размеченное разбиение отрезка

: точки

-- разметку этого разбиения. Итак, при фиксированной

зависит от размеченного разбиения

:

Величина называется интегральной суммой, построенной для функции на отрезке по размеченному разбиению ; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений . Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения разбиения; то же относится и к размеченному разбиению разбиения

будем обозначать

, называется диаметром

. Диаметр размеченного

или

. Итак,

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа

, то это означает, что

. Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка существуют разбиения с диаметром, меньшим отрезок на множество

. При любом значении

. Достаточно, например, поделить

равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: размеченных разбиений с диаметром, меньшим

Значит,

, не пусто при любом

.


Если взять два значения диаметра меньше

, скажем,

, то очевидно, что каждое разбиение

, одновременно имеет диаметр меньше

. Так что

, так что

, если

.

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база , таких что все они непусты и если такое что

состоит из окончаний

, то существует третье окончание

. Наши множества разбиений

,

, как мы только что проверили,

образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка

. Действительно, мы

проверили, что они непусты и при

можно взять

если

и

в качестве

,

.

Итак, размеченные разбиения образуют базу

в том самом множестве, для элементов

которого определены значения интегральной суммы

. Эту базу мы будем обозначать

. Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции

, равен

площади криволинейной трапеции. Эти соображения приводят нас к следующему основному определению. Определение 7.1 Для заданной функции от

по

назовём определённым интегралом

число, равное пределу интегральной суммы, рассматриваемой как функция

размеченного разбиения или

Если функция

, по базе

. Определённый интеграл обозначается

. Итак,

такова, что определённый интеграл от неё по отрезку

интегральная сумма имеет предел при базе на отрезке

на отрезке

), то функция

существует (то есть если называется интегрируемой

.

По отношению к интегралу верхним пределом, а функция

число

называется нижним пределом, число

-- подынтегральной функцией.

--


Если вспомнить общее определение предела и записать его применительно к нашему случаю, то получим, что число

равно определённому интегралу от

для любого, сколь угодно малого числа

по отрезку

, если

мы можем выбрать такое число

,

задающее мелкость разбиения, что для любого размеченного разбиения

с

диаметром, меньшим

не

больше чем на

, значение интегральной суммы будет отличаться от числа

:

если Заодно, кроме общего определения определённого интеграла, мы получили определение площади

криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции

, как такого

же предела интегральных сумм:

если функция

непрерывна на

и

при всех

.

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении

совершенно неважно,

какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае фиксированы подынтегральная функция ,

,

и пределы интегрирования

и т. п. означают одно и то же число

интегральные суммы, построенные для функции размеченного разбиения. (Точно так же сумма

на отрезке

,

,

и , то интегралы , к которому стремятся

при измельчении

величин

того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение обозначенные как

): если

не зависит от будут иметь суммы,

и т. п.)

Рассматривая на каждом из отрезков разбиения (в случае непрерывной функции

значения

и

они совпадают с

, которые мы рассматривали выше), мы можем дать для разбиения определение нижней интегральной суммы:

и


и верхней интегральной суммы:

При измельчении разбиения

, то есть при добавлении к множеству точек деления

дополнительных точек отрезка , не совпадающих с уже имеющимися и рассмотрении новых, более мелких, отрезков деления, верхние интегральные суммы, очевидно, могут лишь уменьшиться, а нижние интегральные суммы -- лишь увеличиться: если -- разбиение с добавленными точками деления, то

Очевидно также, что для любого размеченного разбиения

имеет место неравенство

Отсюда сразу следует такая теорема: Теорема 7.1 Пусть при

существуют и равны друг другу пределы верхней и

нижней интегральных сумм для функции

Тогда функция

интегрируема на

на отрезке

:

, причём

Верно и обратное утверждение: Теорема 7.2 Пусть функция

интегрируема на отрезке

. Тогда пределы верхней и

нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке равны определённому интегралу:

Доказательство.

, существуют и

Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем

предыдущей теоремы; дадим его набросок. Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению можно указать такие точки разметки

(при том же самом разбиении

интегральная сумма со значениями функции в этих точках (скажем, меньше, чем на

,

), что получающаяся

будет произвольно мало

) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при


достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла

(тоже,

скажем, меньше, чем на

) отличается

. Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на

от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к

при неограниченном измельчении

разбиения. Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему: Теорема 7.3 Если функция непрерывна на отрезке отрезке, то есть существует число

Доказательство.

, то она интегрируема на этом

Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при

построении интегральных сумм, соответствующих значениям

и

. Для

строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления

нижние интегральные суммы

не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм

; аналогично, верхние интегральные суммы

не возрастают при

измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы . Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре. Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция отрезке

-- линейна:

. Это непрерывная на любом

функция, так что интеграл, задающий площадь

под графиком, существует:

Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок на

равных частей, длина каждой из которых будет

, а в качестве точек


разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим величина

будет в точности равна площади

. тогда

(см. рис.):

Рис.3.3. Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции . Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая ), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме , значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции. Свойства определённого интеграла Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема. Теорема 7.4 Пусть функция не возрастает на нём. Тогда

Доказательство. неравенства отрезке

монотонна на отрезке интегрируема на

Разберём случай, когда

(

, то есть либо не убывает, либо

. не убывает на отрезке, то есть когда из

) следует, что

. Если функция постоянна на 9

, то она непрерывна на нём и, следовательно, интегрируема . Если же функция

не постоянна, то

. Рассмотрим тогда произвольное число

. Выберем любое разбиение нижняя интегральная сумма

с диаметром

получится, если взять точки разметки

и возьмём . Тогда , поскольку

ввиду неубывания функции она принимает наименьшее значение в левом конце каждого из отрезков разбиения; аналогично, верхняя интегральная сумма

получится при выборе

(наибольшее значения принимается в правом конце отрезка что

). Получаем,


где

-- размеченное разбиение, полученное из

Интегрируемость функции предел

при

любым выбором точек разметки

будет доказана, если мы покажем, что . Заметим, что при любом разбиении

числом

, а величины

и

, причём из неравенства

Покажем, что разность разбиения

меньше

есть

и точная нижняя

и

. Действительно, поскольку длины отрезков

,

Получили, тем самым, что число, а разность

следует, что

, если

ограничены сверху

, причём эти границы не

зависят от выбора разбиения. Значит, существует точная верхняя грань грань

имеют один и тот же

величины

ограничены снизу числом

.

. Так как в качестве

мы можем выбрать как угодно малое

от разбиения (и, следовательно, от выбора

. Так как

и

) не зависит, то

, то при

. По теореме "о двух милиционерах" тогда и интегрируемость функции

будет

, то и

, что означает

.

Можно указать также класс функций, ни одна из которых не может быть интегрируемой на отрезке

. А именно, имеет место следующее утверждение:

Теорема 7.5 Пусть функция может быть интегрируемой на функции ограничена.

при условии

Доказательство.

не ограничена на отрезке

. Тогда эта функция

не

, то есть не существует предела интегральных сумм для . Иными словами, если функция интегрируема, то она

Фиксируем любое разбиение

. Поскольку функция

с произвольным диаметром

не ограничена на отрезке

, то она не ограничена


хотя бы на одном из отрезков разбиения

. Предположим, что функция не

ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке

. Выберем точки разметки

разбиения, то есть при

, лежащие на прочих отрезках

, и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки

разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный Поскольку на оставшемся отрезке деления с номером длиной

функция

и фиксированной

неограничена сверху, то для любого, как угодно большого числа

можно найти такую точку

, что

достаточно взять такую точку

, что значение функции в ней превышает

. Следовательно, при

любом, как угодно малом, значении диаметра размеченного разбиения такое размеченное разбиение

, что интегральная сумма

, мы можем найти

, ему соответствующая, будет как

угодно велика. Значит, величина не ограничена ни на каком окончании базы и поэтому не может иметь никакого предела при этой базе (как мы знаем, все величины, имеющие предел, локально ограничены при данной базе). Поскольку предела интегральных сумм нет, функция не интегрируема на отрезке , что и требовалось доказать. Замечание 3.1 Заметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится. Действительно, изменение значения в одной точке сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если

совпадает с одной из точек разметки

Но при измельчении разбиения, то есть при соответствующего отрезку, на котором лежит предел

либо вовсе не меняет интегральную

, вклад слагаемого , стремится к 0, так как

не меняется. Если точек

, . Значит,

, в которых изменяется значение

функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.

.


Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла

. При этом

будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -интегрируемые. Линейность интеграла. Пусть

-- интегрируемая на

функция. Докажем формулу,

означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если

, то функция

интегрируема на

и имеет место формула

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму

для функции

, значения которой в точках разметки равны

можно будет вынести постоянный множитель

где

-- интегральная сумма для функции

, то

за знак конечной суммы по номеру отрезка :

, вычисленная по тому же размеченному разбиению

. При измельчении разбиения, то есть при

, левая часть равенства даёт

а правая часть --

причём из существования предела в правой части следует существование предела в левой. Здесь мы воспользовались тем, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. Поскольку при переходе к пределу равенство сохранится, мы получим доказываемую формулу. Докажем теперь, что если

и

-- интегрируемые на

функции, то функция

тоже интегрируема и имеет место формула

Составим для данного размеченного разбиения :

интегральную сумму для функции


и очевидным образом преобразуем её, раскрыв скобки и переставив слагаемые:

где -- интегральная сумма для функции , а -- интегральная сумма для функции , составленные по тому же размеченному разбиению . Теперь заметим, что равенство сохранится и после предельного перехода при базе пределов, если пределы слагаемых существуют:

, а также что предел суммы равен сумме

По условию, пределы в правой части существуют:

Поэтому существует и предел в левой части, причём он равен

Осталось

заметить, что, по определению, предел левой части даёт . Итак, получили, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций. Из доказанных свойств интеграла следует, что если

и

-- постоянные, то

Эта формула означает, что операция вычисления определённого интеграла обладает свойством линейности. Можно также отметить, что тем самым мы доказали, что множество всех интегрируемых на фиксированном отрезке функций является некоторым линейным пространством

, то

есть операции умножения на постоянный множитель и сложения не выводят результирующую функцию из данного множества, а операция элементы

где

по формуле

, действующая на

-- это линейная операция:

-- произвольные функции, а

-- постоянные.

Докажем теперь свойство определённого интеграла, называемое его аддитивностью. А именно, предположим, что функция . Тогда

интегрируема на отрезках

интегрируема на отрезке

, причём

и

, где


Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка в качестве одной из точек деления точку для

по отрезку

, содержащее

. Тогда, очевидно, интегральная сумма

представляется в виде

причём первая сумма,

является интегральной суммой для , заданному точками

по отрезку

, соответствующей размеченному разбиению

и

, а вторая,

-интегральной суммой по отрезку точками

и

, соответствующей размеченному разбиению

, заданному

. Заметим еще, что при будет также

и , так как, очевидно,

. Так что при измельчении разбиений отрезков разбиение отрезка

также будет измельчаться, и наоборот, из условия

и

интегрируема и на любом отрезке

на отрезке

Рассмотрим для любого разбиения

, которое получается, если включить в

отрезок

. Если

и

следует, что она

.

отрезка

соответствующие

следует, что

. Поэтому

Теорема 7.6 Из интегрируемости функции

Доказательство.

и

отрезка

те точки из

то разбиение , которые попадают на

-- нижняя и верхняя интегральные суммы,

, то легко видеть, что


Поэтому если функция интегрируема на

, то есть суммы

измельчении разбиения, то и суммы стремится к 0, причём

и

и

имеют общий предел при

будут иметь общий предел, так как их разность

не увеличиваются, а

не уменьшаются при добавлении

дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у означает интегрируемость

на

и

.

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков

и

, на которые разбивается отрезок

: интегрируемость на этих

двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на

. Более того, справедливо

следующее замечание. Замечание 7.2 Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки расположены на оси , и функция

один за другим, то есть

интегрируема на объединении отрезков

, ...,

,

, то она интегрируема на каждом из частичных отрезков

, то есть на

, причём

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей. Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение. Теорема 3.7 Рассмотрим функцию можно разбить на конечное число частей

, заданную на отрезке ,

. Пусть отрезок ,

при

, так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале функция

, а в точках интегрируема на

Доказательство. доказать, что функция

либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда .

Согласно свойству аддитивности ( замечание 7.2), достаточно интегрируема на каждом из замкнутых отрезков

Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию положив её равной соответственно

и

.

в двух точках ; по условию

и

,


теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке

и, следовательно, интегрируема на

, согласно

теоремам 7.3 и 7.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на

, согласно замечанию 7.1. Этим

завершается доказательство теоремы. Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства. Теорема 3.8 Пусть интегрируемые на отрезке при всех

Доказательство. точки разметки

функции

и

таковы, что

. Тогда

Рассмотрим любое размеченное разбиение

, лежащей на отрезке разбиения

предположению, выполнено неравенство , поскольку

длины

. Для любой , согласно

и, следовательно, неравенство

. Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

то есть интегральные суммы и , построенные, соответственно, для функций и по любому размеченному разбиению , связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе пределов, то получаем, что

сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств

что и требовалось доказать. Следствие 7.1 Пусть на отрезке имеет место неравенство

задана интегрируемая функция , где

и

, причём для всех

-- некоторые постоянные. Тогда (7.4)

Доказательство.

Действительно, из предыдущей теоремы следует, что


Выше мы уже замечали, что для любой постоянной

откуда

и

что и доказывает утверждение следствия.

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем: Теорема 3.9 Пусть функция точка

. Тогда существует такая

, что

Доказательство. на

непрерывна на отрезке

Заметим для начала, что по теореме 7.3 функция

интегрируема

, так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку

функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках наименьшее и наибольшее значения

и

при всех

и

своё

, то

. Согласно неравенству (7.4), величина

удовлетворяет неравенству

и, следовательно, является промежуточным значением между и . Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка

, что

Умножая последнее равенство на Теорема 7.10 Пусть функция также интегрируема на

, получаем утверждение теоремы. интегрируема на отрезке , причём

. Тогда функция


(7.5)

Доказательство. ,

Докажем сначала, что функция .

произвольных

интегрируема. Пусть

,

. Тогда для

будет

откуда

Умножая на

и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

Поскольку функция

интегрируема, правая часть становится меньше любого

, если разбиение

имеет достаточно малый диаметр . Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше , а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции согласно теореме 7.1.

. Следовательно, функция

интегрируема,

Неравенство (7.5) докажем так: запишем очевидные неравенства и и к каждому из них применим теорему об интегрировании неравенства ( теорема 7.8). Получим, если воспользоваться свойством линейности, согласно которому множитель интеграла,

можно вынести за знак

и Но эти два неравенства как раз и означают, что выполнено неравенство (7.5). Замечание 3.3 Заметим, что из интегрируемости функции функции

не следует интегрируемость

. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Дирихле:

(Напомним, что любом отрезке суммы равны

-- это множество рациональных чисел.) Поскольку при любом разбиении найдётся как рациональное, так и иррациональное число, то все верхние

на


а все нижние суммы равны

Поэтому их пределы при измельчении разбиения не совпадают и, следовательно, функция интегрируема. С другой стороны, функция

не

тождественно равна 1. Она интегрируема, как

любая постоянная, и определённый интеграл от неё равен, как легко видно,

.

7.2. Методы подстановки и интегрирование частями в определенному интеграле. Использование определенного интеграла для нахождения площади геометрических фигур. Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям. Формула замены переменного в определённом интеграле. Теорема 7.14 Пусть функция непрерывную производную принадлежат отрезку

Доказательство.

и

непрерывна на отрезке

на отрезке , в том числе

Пусть

-- некоторая первообразная для

, а функция

, причём все значения и

имеет

при

. Тогда имеет место равенство

-- некоторая первообразная для

, так что

, так что

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

то есть


где

, то при

Учитывая, что

и

имеем

и

и

, откуда

, получаем

а это и есть доказываемая формула замены переменного. Замечание 7.4 Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница. Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной есть

должны быть указаны пределы изменения именно

(то

и ), в то время как в исходном интеграле по переменной указаны пределы

изменения (то есть

и

)!

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, -- те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся. Пример 7.3 Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену имеем

, а при

, откуда имеем

. Кроме того, при . Получаем:

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Теорема 7.15 Пусть функции и

и

. Тогда имеет место формула

имеют на отрезке

непрерывные производные


Замечание 3.5 Заметим, что эту формулу можно записать в виде

где выражение

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения и переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

Доказательство теоремы 7.15.

, мы можем

Поскольку из условий теоремы следует, что под

знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

и

Пусть

-- некоторая первообразная для функции

первообразная для функции

-- некоторая

. Формула интегрирования по частям для

неопределённого интеграла, то есть

означает, что

где

. Положим теперь

и

и получим:

и

, откуда Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу. Замечание 7.6 Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона - Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее


при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член. Пример 7.4 Вычислим интеграл

Выгодно взять

и

, так что получаем:

При этом возникший по дороге внеинтегральный член

мы вычислили так:

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд. Пример 7.5 Вычислим интеграл

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов а вторую на

и

, а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0,

, что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.


Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга Напомним, что выше мы проверили, что формула

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия -прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна для круга радиуса ). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости

, так что окружность радиуса

имеет уравнение

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением график функции

, то есть представляет собой

.

Рис.7.5.

Пусть теперь взят отрезок оси

, целиком умещаюшийся на диаметре

. Для определённости разберём случай, когда

вертикальные отрезки

и

через концы

, лежащем на

(тогда

). Проведём

до пересечения с полуокружностью и

получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы

и

в точки пересечения вертикальных отрезков

и

,

соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны . Площадь треугольника треугольника оси

, а радиус

равна -- под углом

сектора с центральным углом

равна, очевидно, . Радиус к оси

и

, а площадь

проведён под углом

к

. Используя формулу площади

, находим площадь сектора круга

:


Поскольку, как видно из чертежа, площадь

криволинейной трапеции

равна

то получаем формулу

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции

подсчитывать по общей фоpмуле площади

области, лежащей под гpафиком функции

, то есть вычислять как

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв числителе, после чего поделили скобку на которого начинали, то есть . Оставшийся интеграл

и получили тот же интеграл, с

-табличный, но вместо привычной табличной формулы

в


мы воспользовались (тоже верной) формулой

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве

перенесём

из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

Это та же самая формула для площади , что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.


7.3. Несобственный интеграл. Разновидность несобственных интегралов. Исследования совпадения несобственных интегралов. Решение экономических примеров. Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся. Аналогично

и

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода). Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси

и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой

полуоси. Предел интеграла

f(x) от a до

и обозначается

Итак, по определению,

при

называется несобственным интегралом функции

.

. Если этот предел существует и конечен,

интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Примеры: 1. предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2.

; этот


; следовательно, интеграл сходится и равен . Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется

интеграл в пределах от

до b :

и в пределах от

до

:

. В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.

Примеры: 3. сходится.

. Интеграл

4.

следовательно, интеграл сходится и равен . Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным

верхним пределом:

сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего

неравенству c > a, сходится интеграл

(док-во: так как при a < c < b по свойству

аддитивности ,и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства). Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом

тогда можно записать

будем обозначать

,

; символом

,

- соответственно,

;

, подразумевая


в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения

примеров выглядят более просто: интеграл расходится.

- интеграл сходится;

-

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: то

; если

то

. Пусть

,

;

; если

,

Поэтому

(это уже собственный интеграл) = . Признаки сравнения для неотрицательных функций . В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении (

или

), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их. . Признак сравнения . Пусть функции f (x ) и g (x ) интегрируемы по любому отрезку [a ,b ] и при

удовлетворяют неравенствам

если сходится интеграл

если расходится интеграл

. Тогда:

, то сходится интеграл

;

, то расходится интеграл

(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции,


то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).

Док-во: если

,

, то функции

и

-

монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел

сходится. G (b )

тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть

, F (b ) ограничена, т.е.

ограничена

Пусть

расходится

F (b ) неограничена

сходится.

G (b ) неограничена, т.е.

расходится. Примеры: Исследовать на сходимость интегралы

5.

. Функция

не имеет первообразной, выражающейся через

элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При

имеет место

сходится

6.

; интеграл сходится.

. При

; интеграл

расходится

расходится

расходится. В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа

, часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится,

если p > 1, и расходится, если Примеры:

:


7.

. На всём промежутке интегрирования

; интеграл

сходится

(p = 7 > 1 ), поэтому исходный интеграл сходится;

8.

. Здесь

при

расходится (p = 2/3 < 1),

,

поэтому исходный интеграл расходится; 9.

. Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x

невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. ln x - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой

При

положительной степенью x , поэтому

ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции

сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится; 10.

. На всём промежутке интегрирования

(отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл

сходится, поэтому исходный интеграл

сходится. Теперь рассмотрим

. Понятно, что бесконечно большие низших

порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших x выполняются неравенства , поэтому и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечный

. Тогда


несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для существует такое значение x0, что при x > x0 выполняется . Дальше

рассуждения простые: пусть a1 = min{a, x0}; если сходится

по теореме сравнения, сходится

расходится

сходится

, то расходится

расходится

расходится

, то сходится

, тогда,

сходится. Если

, тогда, по теореме сравнения, расходится

расходится. Случаи, когда сходится или

, рассмотреть самостоятельно.

Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция f(x) -

бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то сходится; если f(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится. Примеры:

11. интеграл сходится.

. При

эквивалентна функции

12. . При интеграл расходится.

13. интеграл расходится.

14.

эквивалентна функции

. При

эквивалентна функции

. При

, поэтому интеграл расходится.

, поэтому

, поэтому

, поэтому

эквивалентна функции


Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции f (x ) к исследованию интеграла от

положительной функции | f (x )|? Можно показать, что если сходится интеграл

, то

(идея доказательства: разобьем отрезок X b = [a , b ]

обязательно сходится интеграл на два множества,

и

, т.е. к первому

множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых

функция отрицательна. Тогда

,

. В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b , ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при

. Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма).

Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла

интеграл

может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости .

Опр.7.1.4. Если сходится интеграл

сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл

расходится, то интеграл

, то интеграл

называется

, а интеграл

называется сходящимся условно.

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

15.

.

;


интеграл от большей функции сходится, следовательно,

сходится,

следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

16.

.

первый множитель,

,

, стремится к нулю при

, следовательно, ограничен:

, интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

Приведённые примеры показывают, что переход от

к

и

применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f (x )| расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл

.

1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям:

. Для последнего интеграла

, т.е. он сходится абсолютно, следовательно,

исходный интеграл сходится. 2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как

, то , для последнего интеграла, по доказанному выше,

существует конечный предел при

, для предыдущего - нет, следовательно,

расходится. Вывод - исходный интеграл сходится условно.


Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля: 1. пусть функции f (x ) и g (x ) определены в промежутке

интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл

, причём f (x )

сходится (условно или абсолютно);

2. g (x ) монотонна и ограничена:

Тогда интеграл

.

сходится.

признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция f (x ) интегрируема в любом конечном промежутке [ a , b ], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b ):

; 2. g (x ) монотонно стремится к нулю при

Тогда интеграл

:

.

сходится.

Применим, например, признак Дирихле к

. Здесь f (x ) = cos x ,

g (x ) = 1/x , условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода). Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку предел при

, и имеет бесконечный

. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется

предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Примеры: 17. 18.

- интеграл расходится;


- интеграл сходится. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то

,и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела

.

Будем писать просто , имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится.

Примеры: 19.

(интеграл сходится).

20. (интеграл расходится). В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично. Особенность на правом конце промежутка интегрирования . Пусть функция f (x ) определена на полуинтервале [a , b ), интегрируема по любому отрезку и имеет бесконечный предел при

f (x ) по отрезку [a , b ] называется предел

,

. Несобственным интегралом от

. Если этот предел конечен, говорят,

что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования . Пусть функция f (x ) определена на отрезке [a , b ], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какойлибо внутренней точке c этого отрезка:

, интегрируема по любому отрезку, не

содержащему точку c . Несобственным интегралом от f (x ) по отрезку [a , b ] называется

. Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.


Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c 1, c 2, c 3 отрезка [a , b ] (a < c 1 < c 2 < c 3 < b ) и правому концу

b , и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как

. Здесь d 1, d 2, d 3 - произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам a < c 1 < d 1 < c 2 < d 2 < c 3 < d 3 < b . Пример:

21.

,и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:

- расходится, так как первообразная

обращается в бесконечность в точке x = -1. Признаки сравнения для неотрицательных функций . Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет


особенность на левом конце промежутка интегрирования. Признак сравнения . Пусть функции f (x ) и g (x ) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам

если сходится интеграл

, то сходится интеграл

если расходится интеграл

. Тогда:

;

, то расходится интеграл

В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае

обычно берётся интеграл от степенной функции типа если p < 1, и расходится, если

. Этот интеграл сходится,

:

Признак сравнения в предельной форме . Пусть неотрицательные функции f (x ) и g (x ) интегрируемы по любому отрезку

и пусть существует конечный

. Тогда несобственные интегралы

и

сходятся или

расходятся одновременно.

Сравнение интеграла

со "стандартным" интегралом

форме даёт правило: если при

в предельной

неотрицательная функция f (x ) - бесконечно

большая порядка роста ниже первого по сравнению с

, то

сходится; если f (x )

имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится. Примеры:

22.

. Так как при

, и интеграл от большей функции

сходится, то данный интеграл сходится;

23. расходится;

. При

, p = 1, интеграл


24.

. При

,

, интеграл

расходится;

25.

. При

, интеграл

расходится. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( 12.1.4) , а именно: несобственный интеграл от

неограниченной функций

интеграл

называется абсолютно сходящимся, если сходится

, и условно сходящимся, если интеграл

расходится (если сходится

, то

сходится, а интеграл

тоже обязательно сходится).

Пример: Исследовать на сходимость интеграл:

26.

Так как

, то исходный интеграл

сходится абсолютно. При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:

Признак Дирихле. Интеграл

сходится, если:

1).функция f (x ) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на ( a , b ]; 2).функция g (x ) непрерывно дифференцируема и монотонна на ( a , b ], причём .

Признак Абеля. Интеграл

сходится, если:

1).функция f (x ) непрерывна на (a , b ] и интеграл

сходится;


2).функция g (x ) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на ( a , b ], то есть имеет конечный предел:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Рекомендованная литература Лихолетов И. И. Высшая математика. — Минск, 1976. Кудрявцев В. А., Демидович В. П. Краткий курс высшей математики. -М.: Физматгиз, 1962,1975. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1969. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: Физматгиз, 1963. Методичні розробки кафедри за всіма розділами курсу. Макаренко О.І., Лютий О.І. 3бірник тестів і задач. - К., 1996. Волощенко А. Б., Лютий О.І. Методичні вказівки та навчальні завдання для індивідуальної роботи студентів з курсу «Вища математика». - К., 1996. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997 Карасев А.И. и др. Курс высшей математики для экономических вузов. - М.: Высш. шк., 1982. - Ч. 1,2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).- М.: Высш. шк., 1982. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. - Харьков: ХГУ, 1967. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1980. Прудников А. П. и др. Интегралы и ряды. - т. 1-3 - М.: Наука, 1986. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Наука, 1971.

Конспекты по высшей математике  

Конспекты по высшей математике

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you